五年级暑假新课提升练期末练习检测卷（含解析）-2024-2025学年下学期小学数学北师大版

五年级暑假新课提升练期末练习检测卷（含解析）-2024-2025学年下学期小学数学北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下图中，平行线间的梯形A和B面积相等，梯形B的下底长（ ）cm。
A．9 B．12 C．10.5 D．15
2．盒中装有黑、白两种颜色的球（除了颜色不同，其他都相同），笑笑每次从中摸出一个球，记录下它的颜色，再放回去摇匀，重复40次，试验结果如图。笑笑最有可能是用下面（ ）盒做的试验。
颜色 记录
黑 正正正正正正
白 正正
A． B． C． D．
3．的分子乘3，要使它的大小不变，分母应该加（ ）。
A．10 B．9 C．6 D．3
4．如图，竖式中箭头所指的部分表示（ ）。
A．45个1 B．45个0.1 C．45个0.01
5．下面各分数，分数单位最小的是（ ）。
A． B． C．
6．在长方形中，厘米，厘米，P为上一点，垂直于，垂直于，则与的长度之和是（ ）。
A．10 B．12 C．24 D．30
7．一个合数（ ）。
A．有无数个因数 B．只有一个因数
C．只有2个因数 D．至少有3个因数
8．笑笑用76.5元买故事书，每本12.5元。如图竖式中箭头所指的数表示买6本故事书花了（ ）元。
A．750 B．75 C．以上说法都不对
9．1.245÷31的商保留两位小数是（ ）。
A．0.04 B．0.40 C．0.4
10．一个数有因数3，又是4的倍数，则这个数可能是（ ）。
A．12 B．14 C．16 D．18
二、填空题
11．3.0152152…是( )小数，循环节是( )，用简便记法写作( )，保留两位小数约是( )。
12．136至少加上( )，才是3的倍数，至少减去( )，才是5的倍数。
13．为支援西南抗旱，军军全家每天节约5瓶水，军军每天节约1瓶水，军军节约水比全家人节约少( )。（填分数）
14．填空。
0.48÷0.6＝( )÷6 0.48÷0.006＝( )÷6
15．2021年以来合阳县工业生产稳步增长，从内部结构看，月份重工业实现产值约为26.8亿元，轻工业实现产值约为1.8亿元。2021年月份重工业实现产值约是轻工业实现产值的( )倍。（保留一位小数）
16．一个两位数，个位上是最小的合数，十位上是10以内最大的质数，这个两位数是( )，它的因数有( )个。
17．数形结合是一种重要的数学思想。请你仔细观察，找出如图所示图形与算式的关系，再填空。
1 1＋3＝22 1＋3＋5＝9＝32 1＋3＋5＋7＝16＝42
(1)推算：1＋3＋5＋…＋19＝( )2。
(2)应用：81个“●”＝( )2。
(3)拓展：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝( )。
18．将一张长方形纸剪成三角形和梯形，如图。如果在剪出的梯形中继续剪，最多还可以剪出( )个与剪出的三角形形状相同、面积相等的三角形。
19．填一填。
105平方分米＝( )平方米 4.1平方千米＝( )公顷
20．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
18.72×0.98( )18.72 43.56×0.95( )43.56
6.8÷1.7( )6.8 73.5÷0.1( )73.5
三、判断题
21．一个数除以小数，要把除数转化成整数，同时把被除数扩大相同的倍数，这根据的是商不变的规律。( )
22．在1～100中，所有的偶数和比所有的奇数和小。( )
23．因为32÷4＝8，所以，4是因数，32是倍数。( )
24．分数的分母扩大到原来的3倍，要使分数大小不变，分子要加上4。( )
25．用2、4、8这三个数字组成的三位数一定是2的倍数。( )
26．一个大于1的数除以0.1，相当于把这个数扩大到原来的10倍。( )
四、计算题
27．解下列方程。
x÷5.8＝3.2 7×7－3x＝40 x－0.85x＝3
28．计算下面各题，怎样简便就怎样算。
34.7×13－34.7×3 5.87×99＋5.87 1.25×64
9.6÷12×0.4 （4.8＋6.4）÷8 34.5×0.17＋34.5×0.83
29．先通分，再比较大小。
和 和 和
五、改错题
30．将下面不正确的改正过来。
六、作图题
31．我国人口约占全世界人口的。根据分数圈一圈。
七、解答题
32．做一套童装需2.3米布，50米布最多可做多少套这样的童装？
33．小丽从家去学校，如果每小时走4.5千米，那么0.6小时可以到达；如果每小时走5千米，需要几小时到达？
34．先说一说下面的图案是怎样设计出来的，再画一画。
35．妈妈在菜市场买了1.5千克带鱼，交给售货员11元钱后，找回0.5元。每千克带鱼多少元？
36．节约用水，点滴做起。一个没有拧紧的水龙头每天大约滴水1.8千克，如果将1个月（按31天计算）浪费掉的水分装在饮水桶中，每个饮水桶最多装15千克水，装完这些水至少需要多少个这样的饮水桶？
37．把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸，剪成大小相同的正方形，且纸无剩余。每个正方形的面积最大是多少？
《五年级暑假新课提升练期末练习检测卷（含解析）-2024-2025学年下学期小学数学北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B C C D B B A
1．C
【分析】观察图形可知，梯形A和梯形B的高相等；根据题意可知，梯形A和梯形B的面积相等，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，面积相等，高相等，则梯形A的上底与下底的和等于梯形B的上底与下底的和，进而求出梯形B的下底，据此解答。
【详解】6＋9－4.5
＝15－4.5
＝10.5（cm）
平行线间的梯形A和B面积相等，梯形B的下底长10.5cm。
故答案为：C
2．C
【分析】从球的数量上分析：数量多的，摸到的可能性大；数量少的，摸到的可能性小；数量相等的，摸到的可能性一样。本题中摸到黑球的次数多，摸到黑球的可能性大，说明盒中黑球的个数多，白球的个数少，据此判断。
【详解】A．盒子中只有白球，没有黑球，不符合题意；
B．盒子中有黑色球有3个，白球有7个，7＞3，白球比较多，不符合题意；
C．盒子中有黑色球有8个，白球有2个，8＞2，黑球比较多，符合题意；
D．盒子中只有黑球，没有白球，不符合题意。
故答案为：C
【点睛】解答本题的关键是掌握可能性大小的判断方法。
3．A
【分析】根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变；分子乘3，分母也乘3，求出分母乘3的积，再减去原来的分母，即可解答。
【详解】5×3－5
＝15－5
＝10
的分子乘3，要使它的大小不变，分母应该加10。
故答案为：A
4．B
【分析】根据除数是整数的小数除法的计算方法，商的十分位上的9表示9个0.1，与5相乘所得的积是45个0.1；据此解答即可。
【详解】竖式中箭头所指的部分表示45个0.1。
故答案为：B
5．C
【分析】表示把单位“1”平均分成4份，每份是，取其中的3份。根据分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。因此，这个分数的分数单位是；同理，的分数单位是；的分数单位是。根据同分子分数的大小比较方法即可对这三个分数单位进行比较、排列，从而看出哪个最小。
【详解】的分数单位是，的分数单位是，的分数单位是。
分数单位最小的是。
故答案为：C
【点睛】此题主要考查的分数单位的意义、分数的大小比较。
6．C
【分析】连接OP，如图。长方形中OB＝OC。因为三角形OBP面积＝，三角形OCP的面积＝，所以三角形BOC的面积＝。因为AB＝30厘米，BC＝40厘米，所以AC＝BD＝50厘米，所以OB＝25厘米。因为长方形ABCD的面积＝30×40＝1200（平方厘米），所以三角形BOC＝长方形ABCD的面积＝300（平方厘米），即（厘米）。
【详解】因为AB＝30厘米，BC＝40厘米，所以AC＝BD＝50厘米
（厘米）
（厘米）
在长方形中，厘米，厘米，P为上一点，垂直于，垂直于，则与的长度之和是24厘米。
故答案为：C
【点睛】因为AB＝30厘米，BC＝40厘米，可以确定AC＝BD＝50厘米，考查长方形的面积公式，以及对角线把长方形平均分成4份，据此解答。
7．D
【详解】自然数中，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，由此可知，合数除了1和它本身外，至少还要有一个因数，即至少有3个因数，如9有1，9，3三个因数。
故答案为：D
8．B
【分析】箭头指的是750表示750个十分之一，即75元，表示6和12.5的乘积，由此可知750个十分之一表示6本故事书花的钱数，由此选择即可，
【详解】根据分析可知，笑笑用76.5元买故事书，每本12.5元。如图竖式中箭头所指的数表示买6本故事书花了75元。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查除数是小数的除法，明确知道每个步骤的意思是解题的关键。
9．B
【分析】按照计算小数除法方法，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾添0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算，据此求出1.245÷31的商；
取一个小数的近似数用四舍五入法：在取小数近似数的时候，如果尾数的最高位数字是4或者比4小，就把尾数去掉，如果尾数的最高位是5或者比5大，就把尾数舍去并且在它的前一位进“1”，据此把1.245÷31的商保留两位小数即可。
【详解】由分析可得：
1.245÷31≈0.04
故答案为：B
【点睛】本题考查了取一个小数近似数的方法，明确如何四舍五入是解题的关键，还需要看清楚题目要求精确到的位数。
10．A
【分析】因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；这个数有因数3，又是4的倍数，说明它既是3的倍数也是4的倍数，据此判断即可。
【详解】A．12÷3＝4
12÷4＝3
12既是3的倍数，也是4的倍数；
B．14÷4＝3……2
14÷3＝4……2
14既不是3的倍数，也不是4的倍数；
C．16÷3＝5……1
16÷4＝4
16是4的倍数，但不是3的倍数；
D．18÷3＝6
18÷4＝4……2
18是3的倍数，但不是4的倍数；
所以一个数有因数3，又是4的倍数，则这个数可能是12。
故答案为：A
【点睛】解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可，注意不能单独说这个数是因数或倍数。
11． 循环 152 3.02
【分析】循环小数的定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出，这样的小数叫做循环小数。
循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。
简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上各记一个圆点；
保留两位小数就要看小数点后面第三位，再根据“四舍五入”法取近似数即可。
【详解】3.0152152…是循环小数；
3.0152152…循环节是152；
3.0152152…＝
≈3.02
3.0152152…是循环小数，循环节是152，用简便记法写作，保留两位小数约是3.02。
【点睛】熟练掌握循环小数的意义以及小数的近似数的求法是解答本题的关键。
12． 2 1
【分析】3的倍数的特点是：各位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的特点是：个位上的数是0或5，据此解答。
【详解】1＋3＋6＝10，10＋2＝12，12是3的倍数，所以136至少加上2，才是3的倍数，至少减去1才是5的倍数。
【点睛】本题考查了3，5倍数的特点，解答此题关键是要记住这些特点，并灵活运用。
13．
【分析】求一个数比另一个数少几分之几的解题方法：两数差量÷单位“1”的量。由题意可知：全家人节约水的瓶数是单位“1”，军军比全家人少节约5－1＝4（瓶）水，求军军节约水比全家人节约少几分之几，列式为4÷5。
【详解】（5－1）÷5
＝4÷5
＝
所以军军节约水比全家人节约少。
【点睛】在解答有关“甲比乙多或少几分之几”的简单实际问题时，要找准单位“1”，以单位“1”为标准，列式时以单位“1”的量作除数。
14． 4.8 480
【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；据此解答即可。
【详解】0.48÷0.6＝（0.48×10）÷（0.6×10）＝4.8÷6
0.48÷0.006＝（0.48×1000）÷（0.006×1000）＝480÷6
15．14.9
【分析】重工业实现产值约为26.8亿元，轻工业实现产值约为1.8亿元，根据倍数的意义，求一个数是另外一个数的几倍用除法，据题意，可列数量关系为：重工业实现产值÷轻工业实现产值＝倍数，代入数值求解即可。
【详解】由分析可得：
26.8÷1.8≈14.9
【点睛】本题考查了两个数据之间的倍数关系，解题的关键是找准等量关系，并能正确列式解答。
16． 74 4
【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数除了1和它本身，还有别的因数，这样的数叫合数； 最小的合数是4，10以内最大的质数7，由此确定这个两位数，接下来将所求的数写成两个数乘积的形式即可找出这个数的因数。
【详解】由分析可得：一个两位数，个位上是最小的合数，十位上是10以内最大的质数，这个两位数是74；
74＝1×74＝2×37
74的因数有1、2、37、74共4个。
17．(1)10
(2)9
(3)113
【分析】审题明确题意，发现规律，根据规律解题。
（1）1＋3＋5＋…＋19是从1开始到19结束的相邻奇数相加，由图可以看出：1＝12；1与3之和等于4，是22；1、3、5之和等于9，是32；1、3、5、7之和等于16，是42；第一个算式（1个数）12；第二个算式（2个加数）22；第三个算式（3个加数）32；第n个是n2；1＋3＋5＋…＋19＝有10个数相加，结合规律可知为10的平方；
（2）由（1）分析可知，第n个是n2；
（3）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15）＋（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13）＝82＋72据此答题即可。
【详解】（1）推算：1＋3＋7＋…＋19＝102。
（2）应用：81个“●”＝92。
（3）拓展：
1＋3＋6＋7＋9＋11＋13＋15＋13＋11＋3＋7＋5＋2＋1
＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15）＋（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13）
＝82＋72
＝64＋49
＝113
【点睛】解答此题的关键是根据各算式的特征，从1开始的相邻奇数相加，找算式中加数的个数与算式的叙述之间关系，然后根据这一关系解答。
18．5
【分析】两个腰长为2厘米的等腰直角三角形可以拼成一个边长是2厘米的正方形，分别求出这个长方形的长和宽里各有几个正方形的边长，再把长和宽里正方形的个数相乘，最后减去已经剪掉的1个三角形，据此解答。
【详解】7÷2＝3（个）……1（厘米）
2÷2＝1（个）
3×1×2
＝3×2
＝6（个）
6－1＝5（个）
最多还可以剪出5个与剪出的三角形ABC形状相同、面积相等的三角形。
19． 1.05 410
【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1平方米＝100平方分米，用105÷100即可；高级单位换低级单位乘进率，根据1平方千米＝100公顷，用4.1×100即可。
【详解】105平方分米＝105÷100平方米＝1.05平方米
4.1平方千米＝4.1×100公顷＝410公顷
【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。
20． ＜ ＜ ＜ ＞
【分析】（1）（2）一个数（0除外）乘一个比1小的数，积比原数要小。
（3）一个数（0除外）除以一个比1大的数，商比原数要小。
（4）一个数（0除外）除以一个比1小的数（0除外），商比原数要大。
【详解】（1）0.98＜1，所以18.72×0.98＜18.72。
（2）0.95＜1，所以43.56×0.95＜43.56。
（3）1.7＞1，所以6.8÷1.7＜6.8。
（4）0.1＜1，所以73.5÷0.1＞73.5。
18.72×0.98＜18.72 43.56×0.95＜43.56
6.8÷1.7＜6.8 73.5÷0.1＞73.5
21．√
【分析】根据商不变的规律可知，被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变；根据除数是小数的除法法则，先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数，这正是依据商不变的规律。据此解答。
【详解】根据分析得，一个数除以小数，要把除数转化成整数，同时把被除数扩大相同的倍数，这根据的是商不变的规律。
故答案为：√
【点睛】此题主要考查小数除法的计算法则以及掌握商不变的规律。
22．×
【分析】分别求出所有偶数、奇数的和，再比较即可。
【详解】2＋4＋6＋8＋…＋100
＝（2＋100）×50÷2
＝5100÷2
＝2550
1＋3＋5＋7＋…＋99
＝（1＋99）×50÷2
＝5000÷2
＝2500
2550＞2500
所以题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查奇偶数的认识，需要掌握相关计算方法。
23．×
【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。
【详解】通过分析，因为32÷4＝8，所以4是32的因数，32是4的倍数。原题说法错误。
故答案为：×
24．√
【分析】根据分数的基本性子：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变，据此解答。
【详解】2×3－2
＝6－2
＝4
分数的分母扩大到原来的3倍，要使分数大小不变，分子要加上4。
原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】熟练掌握分数的基本性质是解答本题的关键。
25．√
【分析】根据2的倍数特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；据此判断。
【详解】由分析得：
用2、4、8这三个数字组成的三位数，无论怎么组合，个位上只可能出现2、4、8，所以用2、4、8这三个数字组成的三位数一定是2的倍数。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题考查的目的是理解掌握2的倍数特征及应用。
26．√
【分析】一个大于1的数除以0.1，计算除数是小数的小数除法时，把除数和被除数的小数点同时向右移动一位，就相当于把被除数扩大到原来的10倍再除以1，结果就相当于把这个数扩大到原来的10倍，据此判断。
【详解】根据除数是小数的小数除法运算，把除数改写成整数，即0.1扩大到原来的10倍，利用商不变的规律，被除数也应该扩大到原来的10倍，因此一个大于1的数除以0.1，相当于把这个数扩大到原来的10倍，原题干的说法是正确的。
故答案为：√
27．x＝18.56；x＝3；x＝20
【分析】（1）根据被除数＝商×除数，原式变为x＝3.2×5.8，解答即可；
（2）先计算7×7，原式变为49－3x＝40，根据减数＝被减数－差，式子变为3x＝49－40，先计算减法，再根据等式的性质，等号的左右两边同时除以3即可解答；
（3）先计算x－0.85x＝0.15x，然后根据等式的性质，等号的左右两边同时除以0.15即可解答。
【详解】x÷5.8＝3.2
解：x＝3.2×5.8
x＝18.56
7×7－3x＝40
解：49－3x＝40
3x＝49－40
3x＝9
x＝9÷3
x＝3
x－0.85x＝3
解：0.15x＝3
x＝3÷0.15
x＝20
28．347；587；80
0.32；1.4；34.5
【分析】（1）利用乘法分配律进行简算；
（2）利用乘法分配律进行简算；
（3）先将64写成8×8，再利用乘法结合律进行简算；
（4）利用除法的性质进行简算；
（5）先计算括号里的加法，再计算括号外的除法；
（6）利用乘法分配律进行简算。
【详解】（1）34.7×13－34.7×3
＝34.7×（13－3）
＝34.7×10
＝347
（2）5.87×99＋5.87
＝5.87×（99＋1）
＝5.87×100
＝587
（3）1.25×64
＝（1.25×8）×8
＝10×8
＝80
（4）9.6÷12×0.4
＝9.6÷（12÷0.4）
＝9.6÷30
＝0.32
（5）（4.8＋6.4）÷8
＝11.2÷8
＝1.4
（6）34.5×0.17＋34.5×0.83
＝34.5×（0.17＋0.83）
＝34.5×1
＝34.5
29．＝；＝；＜；
＝；＝；＜；
＝；＝；＞。
【分析】和通分时，把的分子、分母都乘5，的分子、分母都乘3，化成3和5的最小公倍数15作公分母的分数，再根据分母相同，分子大的分数较大，分子小的分数较小比较大小；
和通分时，把的分子、分母都乘3，的分子、分母都乘4，化成16和12的最小公倍数48作公分母的分数，再根据分母相同，分子大的分数较大，分子小的分数较小比较大小；
和通分时，把的分子分母都乘3，化成13和39的最小公倍数39作公分母的分数，再根据分母相同，分子大的分数较大，分子小的分数较小比较大小。
【详解】＝；＝；＜；
＝；＝；＜；
＝；＝；＞。
30．见详解
【分析】小数除法计算方法：在计算除数是小数的除法时。根据商不变的性质，将除数和被除数同时扩大相同的倍数，转化成除数是整数的除法进行计算；
根据除数是整数的小数除法的运算法则，除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除，据此解答。
【详解】
改正： 改正：
31．见详解
【分析】把全世界人口平均分成5份，中国人口约占其中的1份，即，圈一圈即可。
【详解】
【点睛】熟练掌握分数的意义是解答本题的关键。
32．21套
【分析】每套童装用布2.3米，求50米布可以做多少套童装，就是求50米里面有多少个2.3米，用除法求解即可，结果用“去尾法”取值。
【详解】50÷2.3≈21（套）
答：50米布最多可做21套这样的童装。
【点睛】解决本题根据除法的包含意义进行求解，注意结果根据 “去尾法”保留整数。
33．0.54小时
【分析】根据路程＝速度×时间，求出小丽家到学校的路程，再除以5，就是需要的时间。据此解答。
【详解】4.5×0.6÷5
＝27÷5
＝0.54（小时）
答：需要0.54小时到达。
【点睛】本题主要了学生对速度、时间、路程三者之间关系的掌握情况。
34．见详解
【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。根据旋转的特征，首先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，找出构成图形的关键点，再按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点，顺次连接即可，最后以旋转中心为圆点，以旋转中心到一个关键点的长度为半径画一个圆，据此解答。
【详解】
如图（图1）所示，把绕O点顺时针旋转60°后，再以同样的方法依次旋转4次后得到图形，最后以O点为圆心，以OA长为半径画一个圆，即可得到该图案（图2）。
作图如下：
图1 图2
35．7元
【分析】先用总钱数减去找回的钱数求出买带鱼一共花去的钱数，再根据“单价＝总价÷数量”求出每千克带鱼的钱数，据此解答。
【详解】（11－0.5）÷1.5
＝10.5÷1.5
＝7（元）
答：每千克带鱼7元。
36．4个
【分析】根据题意，用每天大约滴水的质量×天数，求出一个月滴水的质量，再除以15，即可解答。
【详解】1.8×31÷15
＝55.8÷15
＝3.72（个）
3＋1＝4（个）
答：装完这些水至少需要4个这样的饮水桶。
【点睛】解答本题的关键是求出一个月滴水的质量。
37．36平方厘米
【分析】求出24和18的最大公因数，就是每个正方形的边长，根据正方形的面积＝边长×边长解答。
【详解】24＝2×2×2×3
18＝2×3×3
所以24和18的最大公因数是：2×3＝6
6×6＝36（平方厘米）
答：每个正方形的面积最大是36平方厘米。
【点睛】此题考查了灵活应用求最大公因数的方法和正方形面积公式来解决实际问题的能力。
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