人教版2025年九年级上册第22章《二次函数》单元常考题训练 含解析

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人教版2025年九年级上册第22章《二次函数》单元常考题训练
一、选择题
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．二次函数的图象经过的象限为（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限
5．二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．方程的两根是
6．抛物线和直线在同一坐标系内的图像如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，点 ，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
8．根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ）
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 0.04
A． B．
C． D．
9．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①， ②， ③， ④，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．若是关于x的二次函数，则m的值为 ．
12．已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b= ．
13．二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
14．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降 米时，水面宽度为米．

15．已知函数的图象如图所示，若直线与该图象恰有三个不同的交点，则的取值范围为 ．
三、解答题
16．已知二次函数
(1)将二次函数的解析式化为的形式．
(2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
17．已知二次函数．
(1)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象；
x … 0 1 2 3 …
y … …

(2)根据图象写出当为正数时的取值范围为_________；
(3)当时，的取值范围为_________．
18．已知二次函数的图象的顶点在原点O，且经过点A（1，）．
（1）求此函数的解析式；
（2）将该抛物线沿着y轴向上平移后顶点落在点P处，直线x=2分别交原抛物和新抛物线于点M和N，且S△PMN= ， 求：MN的长以及平移后抛物线的解析式．
19．已知，抛物线，过、、，M为顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，并求出P的坐标；
20．在平面直角坐标系中，设二函数y1＝（x﹣m）（x＋m＋2），其中m≠0
（1）求证：函数y1与x轴有交点；
（2）若函数y2＝mx＋n经过函数y1的顶点，求实数m，n的关系式；
（3）已知点P（﹣3，a），Q（x1，b）在函数y1的图象上，若a≥b，求x1的取值范围．
21．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．

（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
22．已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，）三点，顶点为D．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求经过A、D两点的直线的表达式；
(3)设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C D A D C C B
1．C
【分析】对四个选项逐个分析，选项A，D显然不符合，选项B化简后是一次函数，也不符合，只有选项C符合．
【详解】选项A中是一次函数，故不符合题意；
选项B中是一次函数，故不符合题意；
选项C中是二次函数，故符合题意；
选项D中不是二次函数，故不符合题意
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数，注意要先化简再判断．
2．D
【分析】直接根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线的顶点坐标是；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
3．D
【分析】根据二次函数图象上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的函数表达式为，即，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．
4．C
【分析】根据二次函数的各项的系数即可判断二次函数的图象位置．
【详解】解：∵二次函数，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为，
∴二次函数的图象经过第三、四象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的各项的系数的符号确定二次函数的图象位置．
5．D
【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，其中抛物线的开口方向确定二次项a的符号，抛物线与y轴交点的位置确定c的符号，根据图像上的特殊点对应函数值得正负确定的正负，抛物线与轴的交点个数确定了根的判别式与0的关系，熟练掌握这些知识是解本题的关键．
【详解】由图象知，开口向上，
，故A错误；
由图象知，与轴的交点在负半轴，
，故B错误；
令，则，故C错误；
∵抛物线与x轴两个交点，，故D正确；
故选D．
点睛：
6．A
【分析】先由二次函数图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致，逐一判断即可．
【详解】解：A．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象一致，符合要求；
B．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；
C．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；
D．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；
故选D．
【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，解题的关键是能够根据函数图象判断解析式中系数的正负．
7．D
【分析】根据题目中的抛物线，可以得到函数图象的开口方向，对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到、、的大小关系，从而可以解答本题．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线开口向上，对称轴是y轴，点距离对称轴越远则函数值越大．
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．C
【分析】应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可．
【详解】解：由表格得：
时，，
时，，
的一个解的范围为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解得含义是解题关键．
9．C
【分析】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：设小正方形边长为xcm，由题意知：
现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm，
则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键．
10．B
【分析】根据二次函数二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，得到，再由对称轴得到即可判断①；由函数图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点可判断②；根据当时，即可判断③；根据当时，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，
∴，故①错误；
由函数图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，故②正确；
由函数图象可知，当时，，
∴，故③正确；
由函数图象可知，当时，，
∴，
又∵，
∴，故④正确，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的性质，正确读懂函数图象是解题的关键．
11．2
【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数定义进行解答即可．
【详解】解：由题意可知，，
解得：．
故答案为：2．
12．-4
【详解】解：由对称轴公式得=2，
求得b=-4．
故答案为：-4．
13．或
【分析】观察图象，x轴上方的图象所对应的x轴上的部分即是的解集．
【详解】二次函数的图象在x轴上方的部分所对应的x轴上的部分为，点-3以左的部分和点1以右的部分，所以的解集为或．
故答案为：或．
【点睛】考查二涵数的图象和性质，其关键是领会x轴上方的图象其y值大于0，x轴下方的图象其y小于0．
14．
【分析】如图所示，建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，根据题意，令即可得到答案．
【详解】解：如图所示，建立如下平面直角坐标系：

设抛物线的解析式为，
将代入解析式得到，解得，
，
根据题意，当时，，
此时，水面下降（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数解决实际问题，读懂题意，建立平面直角坐标系求出抛物线解析式是解决问题的关键．
15．
【分析】直线与有一个交点，与有两个交点，则有，时，，即可求解．
【详解】解：直线与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与有一个交点，
∴，
∵与有两个交点，
∴，
，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定的范围．
16．(1)；
(2)开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．
【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式即可；
（2）根据二次函数的图象结合顶点式解决问题．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵中，，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．
【点睛】本题考查了配方法，二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
17．(1)图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求出表格中的函数值，利用描点法画出函数图象即可；
（2）结合图象，找到时，的取值范围即可；
（3）图象法，确定函数的最大值和最小值即可得解．
【详解】（1）解：∵，
列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
画出函数图象，如图：

（2）由图象可知：当为正数时，；
故答案为：；
（3）由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称，
∴和时的函数值相同，为最小值，，
当时，有最大值为：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出二次函数的图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
18．（1）y=x2；（2）3，y=x2+3．
【分析】（1）根据题意可直接设y＝ax2把点（1，﹣3）代入得a＝﹣3，所以y＝﹣3x2；
（2）设平移后yx2+d（d＞0），则MN＝d，根据题意得出S2×d＝3，即可求得d的值，从而求得平移后的解析式．
【详解】（1）∵抛物线顶点是原点，可设y＝ax2，把点A（1，）代入，得：a＝，所以这个二次函数的关系式为yx2；
（2）设平移后yx2+d（d＞0），∴MN＝d，S2×d＝3，∴d＝3，∴yx2+3．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及二次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法和平移的规律是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）设抛物线解析式为，把点C的坐标代入解析式，即可求解；
（2）首先根据抛物线的对称性，可得点P的位置，可求得直线的解析式，再把代入解析式，即可求得点P的坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，点A与点B关于直线对称，
连接交直线于P点，则，
，
∴此时的值最小，
设直线的解析式为，
把、代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
则满足条件的P点坐标为．
【点睛】本题考查了求一次函数及二次函数的解析，二次函数的性质，准确求得一次函数及二次函数的解析是解决本题的关键．
20．（1）证明见详解；（2）实数m，n的关系式为：；（3）的取值范围为：．
【分析】（1）将二次函数解析式先进行化简，然后根据判别式进行判断即可；
（2）将化为顶点式，然后代入解析式，化简即可得出实数m，n的关系式；
（3）根据二次函数的基本性质，确定对称轴及开口方向，作出草图，结合题意即可得出取值范围．
【详解】解（1），
，，，
，
∴函数与x轴有交点；
（2），
∴顶点坐标为：，
∵函数经过函数的顶点，
∴，
化简可得：，
∴实数m，n的关系式为：；
（3）抛物线的对称轴为：，
∵二次项系数，开口向上，作草图如下：
∴（-3，a）与（1，a）关于对称，
∵，
∴根据函数图象的性质可得：，
∴的取值范围为：．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质、与一元二次方程的联系，函数增减性，理解题意，结合函数图象是解题关键．
21．（1）y=；0≤x≤12 ；（2）不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；（3）15．
【详解】试题分析：（1）根据点P（6，6）为抛物线的顶点坐标可设这条抛物线的函数解析式为y=a(x－6)2+6，在根据图象经过原点即可求得结果；
（2）把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代入（1）中的函数关系式计算，结果与5比较即可判断.；
（3）设点A的坐标为（m，－m2+2m），即可得到OB=m，AB=DC=－m2+2m，再根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m，从而可以得到BC=12－2m，即AD=12－2m，即可得到L关于x的函数关系式，最后根据二次函数的性质即可求得结果．
（1）∵M（12，0），P（6，6）．
∴设这条抛物线的函数解析式为y=a(x－6)2+6，
∵把（0，0）代入解得a=－，
∴这条抛物线的函数解析式为y=－(x－6)2+6，
即y=－x2+2x（0≤x≤12）；
（2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时，y=4.5＜5
∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；
（3）设点A的坐标为（m，－m2+2m），
∴OB=m，AB=DC=－m2+2m
根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m，
∴BC=12－2m，即AD=12－2m
∴L=AB+AD+DC=－m2+2m+12=－(m－3)2+15
∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数的应用是初中数学的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，要特别注意．
22．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据（1）的结论求得点的坐标，进而待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）根据题意分①当为对角线时，②当为对角线时，两种情形讨论，根据平行四边形的性质以及点的平移知识进行求解即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，）三点，
设抛物线的解析式为，将代入得，
解得
抛物线的解析式为
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵
设经过A、D两点的直线的表达式为，将A（1，0），代入得，
解得
经过A、D两点的直线的表达式为；
（3）解：如图，为顶点的四边形是平行四边形
①当为对角线时，
，
②当为对角线时，
，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数与平行四边形的性质是解题的关键．