1.2 集合间的基本关系
1.下列四个集合中，是空集的是（ ）
A.{x｜x＋3＝3}
B.{（x，y）｜y2＝－x2，x，y∈R}
C.{x｜x2≤0}
D.{x｜x2－x＋1＝0，x∈R}
2.已知集合A＝{x｜x2－9＝0}，则下列结论正确的有（ ）
①3∈A；②{－3}∈A；③ A；④{3，－3} A.
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
3.已知集合M＝{x｜y2＝2x}和集合P＝{（x，y）｜y2＝2x}，则两个集合间的关系是（ ）
A.M P B.P M
C.M＝P D.M，P互不包含
4.设集合A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{x｜x－a＞0}.若A B，则实数a的取值范围是（ ）
A.{a｜a≥1} B.{a｜a＞1}
C.{a｜a＜－1} D.{a｜a≤－1}
5.（多选）已知集合A＝{x｜x2－2x＝0}，则有（ ）
A. A B.－2∈A
C.{0，2} A D.A {y｜y＜3}
6.（多选）已知A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是（ ）
A.{1，8} B.{2，3}
C.{1} D.{2}
7.设x，y∈R，A＝{（x，y）｜y＝x}，B＝（x，y）｜＝1}，则A，B准确的关系是 .
8.若集合A {1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有 个.
9.已知集合A＝{x∈R｜x2＋x＝0}，则集合A＝ ；若集合B满足{0} B A，则集合B＝ .
10.已知集合A＝{x｜1≤x≤2}，B＝{x｜1≤x≤a，a≥1}.
（1）若A B，求a的取值范围；
（2）若B A，求a的取值范围.
11.（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝（ ）
A.2 B.1
C. D.－1
12.若集合M＝{x｜x＝＋，k∈Z}，集合N＝{x｜x＝＋，k∈Z}，则（ ）
A.M＝N B.N M
C.M N D.以上均不对
13.已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，有下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0.若这三个关系中有且只有一个是正确的，则a＋2b＋3c＝ .
14.已知集合M＝{x｜x2＋2x－a＝0}.
（1）若 M，求实数a的取值范围；
（2）若N＝{x｜x2＋x＝0}且M N，求实数a的取值范围.
15.（多选）已知集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜2a－3＜x＜a－2}，下列结论正确的是（ ）
A.不存在实数a使得A＝B
B.存在实数a使得A B
C.当0≤a≤4时，B A
D.存在实数a使得B A
16.已知集合P＝{x∈R｜x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R｜（x＋1）2·（x2＋3x－4）＝0}，集合P是否能成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围；若不能，请说明理由.
1.2 集合间的基本关系
1.D ∵x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，∴{x｜x2－x＋1＝0，x∈R}＝ ，故选D.
2.B 解方程x2－9＝0得x＝3或x＝－3，所以A＝{－3，3}.故①③④正确.
3.D 由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含.
4.D 化简得集合B＝{x｜x＞a}，结合数轴可知，要使A B，则只要a≤－1即可，即实数a的取值范围是{a｜a≤－1}，故选D.
5.ACD 由题得集合A＝{0，2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确；因为A＝{0，2}，所以C、D正确，B错误.
6.AC ∵A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，∴集合A中一定含有集合B，C的公共元素，结合选项可知A、C满足题意.
7.B A 解析：因为B＝＝{（x，y）｜y＝x，且x≠0}，故B A.
8.5 解析：若集合A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若集合A中含有两个奇数，则A＝{1，3}.
9.{－1，0} {－1，0} 解析：解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0，所以集合A＝{x∈R｜x2＋x＝0}＝{－1，0}，因为集合B满足{0} B A，所以集合B＝{－1，0}.
10.解：（1）若A B，由图可知，a＞2.
故实数a的取值范围为{a｜a＞2}.
（2）若B A，由图可知，1≤a≤2.
故实数a的取值范围为{a｜1≤a≤2}.
11.B 由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A B.综上所述，a＝1.故选B.
12.C M＝{x｜x＝＋，k∈∈Z}，N＝{x｜x＝＋，k∈∈Z}，因为2k＋1（k∈Z）为奇数，k＋2（k∈Z）为整数，所以M N.
13.5 解析：假设①正确，②③错误，则a≠2，b≠2，c＝0，矛盾，故假设不成立；假设②正确，①③错误，则a＝2，b＝2，c＝0，矛盾，故假设不成立；假设③正确，①②错误，则a＝2，b＝0，c＝1，假设成立，∴a＋2b＋3c＝5.
14.解：（1）由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解.
∴Δ＝22－4×（－a）≥0，解得a≥－1，
∴实数a的取值范围是{a｜a≥－1}.
（2）∵N＝{x｜x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M N，
∴当M＝ 时，Δ＝22－4×（－a）＜0，解得a＜－1；
当M≠ 时，当Δ＝0时，a＝－1.
此时M＝{－1}，满足M N，符合题意；
当Δ＞0时，a＞－1，M中有两个元素，
若M N，则M＝N，从而根据一元二次方程根与系数的关系有无解.
综上，实数a的取值范围为{a｜a≤－1}.
15.AD 对于A，由集合相等的概念可得此方程组无解，故不存在实数a使得A＝B，因此A正确；对于B，由A B，得即此不等式组无解，因此B错误；对于C，当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝ A，符合B A，当a＜1时，要使B A，需满足解得2≤a≤4，不满足a＜1，故这样的实数a不存在，故当a≥1时，B A，因此C错误；对于D，由C选项分析可得存在实数a使得B A，因此D正确.故选A、D.
16.解：当P＝ 时，P是Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根，即Δ＝9－4m＜0，所以m＞.
当P≠ 时，由于Q＝{－1，－4，1}，因此当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，所以m＝－4，此时P＝{4，－1}，不是Q的一个子集；
当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，所以m＝－28，此时P＝{－4，7}，不是Q的一个子集；
当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，所以m＝2，此时P＝{1，2}，不是Q的一个子集.
综上所述，若集合P能成为集合Q的一个子集，
满足条件的m的取值范围是{m｜m＞}.
2 / 21.2 集合间的基本关系
新课程标准解读 核心素养
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 数学抽象、逻辑推理
2.在具体情境中，了解空集的含义 数学抽象
3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用 数学抽象、直观想象
在北京举行的第二十四届冬季奥林匹克运动会上，各国参赛运动员组成集合A，中国参赛运动员组成集合B.
【问题】 （1）集合B中的元素与集合A中的元素的关系是怎样的？
（2）集合B与集合A又存在着什么关系？
知识点一 子集
1.Venn图
用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图.
2.子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的
记法与 读法 记作 （或B A），读作“ ”（或“B包含A”）
图示
结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即 ； （2）对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么
3.集合相等
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 .
也就是说，若A B，且B A，则 .
提醒 （1）“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B；（2）集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”，即“若A B，且B A，则A＝B”，反之亦成立.
知识点二 真子集
定义 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集
记法与 读法 记作A B（或B A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）
图示
结论 （1）若A B且B C，则A C； （2）若A B且A≠B，则A B
提醒 在真子集的定义中，A B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
知识点三 空集
定义 我们把 的集合叫做空集
记法
规定 空集是任何集合的 ，即 A
特性 空集只有一个子集，即它的本身， ；若A≠ ，则 A
【想一想】
，{ }，{0}，0四者有什么关系？
1.已知集合M＝{x｜x2－1＝0}，N＝{－1，0，1}，则M与N的关系是（ ）
A.M N B.M＜N
C.N＜M D.M N
2.下列四个集合中，是空集的为（ ）
A.{0} B.{x｜x＞8，且x＜5}
C.{x∈N｜x2－1＝0} D.{x｜x＞4}
3.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝ ，b＝ .
题型一 集合间关系的判断
【例1】 判断下列集合的关系：
（1）A＝{1，2，3}，B＝{x｜（x－1）（x－2）（x－3）＝0}；
（2）A＝{x｜－1＜x＜4}，B＝{x｜x－5＜0}；
（3）A＝{x｜x是文学作品}，B＝{x｜x是散文}，C＝{x｜x是叙事散文}.
通性通法
判断集合间关系的常用方法
【跟踪训练】
判断下列两个集合之间的关系：
（1）A＝{1，2，4}，B＝{x｜x是8的约数}；
（2）A＝{x｜0＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x≤3}；
（3）A＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}.
题型二 子集、真子集个数问题
【例2】 已知集合M＝{0，1}，N＝{－1，0，1}.
（1）写出集合M的子集、真子集；
（2）求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数.
通性通法
求集合子集、真子集个数的3个步骤
提醒 要注意两个特殊的子集： 和本身.
【跟踪训练】
写出满足{3，4} P {0，1，2，3，4}的所有集合P.
题型三 由集合间的关系求参数（范围）
【例3】 已知集合A＝{x｜－3≤x≤4}，B＝{x｜1＜x＜m，m＞1}，且B A，则实数m的取值范围是 .
【母题探究】
（变条件）本例若将“B＝{x｜1＜x＜m，m＞1}”改为“B＝{x｜1＜x＜m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？
通性通法
由集合间的包含关系求参数的方法
（1）当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，转化为方程或方程组求解，此时应注意分类讨论；
（2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点.
提醒 （1）不能忽视集合为 的情形；
（2）当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论.
【跟踪训练】
已知A＝{x｜x＜3}，B＝{x｜x＜a}.
（1）若B A，求a的取值范围；（2）若A B，求a的取值范围.
1.下列结论中，正确的个数为（ ）
①{1}∈{0，1，2}；②{1，－3}＝{－3，1}；③{0，1，2} {1，0，2}；④ ∈{0，1，2}.
A.0 B.2 C.3 D.4
2.已知集合A＝{x｜－1＜x＜6}，B＝{x｜2＜x＜3}，则（ ）
A.A∈B B.A B
C.A＝B D.B A
3.已知集合A＝{－1，1}，则集合A的真子集有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
4.已知集合A＝{x｜x＞4}，非空集合B＝{x｜2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围.
子集个数的探究
阅读下表，找出规律并填空：
集合 元素个数 所有子集 子集个数
{a} 1个 ，{a} 个
{a，b} 2个 ，{a}，{b}，{a，b} 个
{a，b，c} 3个 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 个
【问题探究】
1.你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？
2.如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集、真子集和非空真子集数目的公式吗（用n表达）？
【迁移应用】
1.已知集合A＝{0，1}，则集合A的真子集有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.已知集合A＝{（x，y）｜4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为（ ）
A.3 B.4 C.7 D.8
1.2 集合间的基本关系
【基础知识·重落实】
知识点一
1.封闭曲线 2.子集 A B A包含于B
（1）A A （2）A C 3.A＝B A＝B
知识点三
不含任何元素 子集
想一想
提示： 是不含任何元素的集合；{ }表示集合中含有 这样一个元素；{0}是含有一个元素0的集合.0∈{0}，0 ， {0}， { }.
自我诊断
1.A 由题意，M＝{1，－1}，N＝{－1，0，1}，故集合M N.
2.B 满足x＞8且x＜5的实数不存在，故{x｜x＞8，且x＜5}＝ .
3.－1 0 解析：由两个集合相等的定义知a＝－1，b＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）B＝{x｜（x－1）（x－2）（x－3）＝0}＝{1，2，3}＝A.
（2）集合B＝{x｜x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.
（3）画出Venn图，可知C B A.
跟踪训练
解：（1）∵A＝{1，2，4}，B＝{1，2，4，8}，如图，
∴A B.
（2）∵A＝{x｜0＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x≤3}，
用数轴表示如下：
∴A B.
（3）法一 任取x0∈A，则x0＝2k0＋1，k0∈Z.
又∵x0＝2（k0＋1）－1，k0∈Z，∴k0＋1∈Z，∴x0∈B，则A B.同理可得，B A.由A B，B A，得A＝B.
法二 集合A＝{…，－5，－3，－1，1，3，5，7，…}，集合B＝{…，－7，－5，－3，－1，1，3，5，…}，根据规律可知集合A与B所含元素相同，∴A＝B.
【例2】 解：（1）M的子集为 ，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为 ，{0}，{1}.
（2）N的子集为 ，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}.
所以N的子集数为8，真子集数为7，非空真子集数为6.
跟踪训练
解：由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P有{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.
【例3】 1＜m≤4 解析：由于B A，结合数轴分析可知，m≤4，又m＞1，所以1＜m≤4.
母题探究
解：若m≤1，则B＝ ，满足B A.
若m＞1，则由例题解析可知1＜m≤4.
综上可知m≤4.
跟踪训练
解：（1）因为B A，B是A的子集，由图①得a≤3.
（2）因为A B，A是B的子集，由图②得a≥3.
随堂检测
1.B ①应是{1} {0，1，2}；对于②，集合中的元素有无序性，故②正确；③任何集合都是本身的子集，故{0，1，2} {1，0，2}，正确；④应是 {0，1，2}；故正确的有②③.
2.D 集合A＝{x｜－1＜x＜6}，B＝{x｜2＜x＜3}，A，B两个数集之间应是包含关系不是属于关系，故选项A不正确.由条件可得B A，且A≠B，所以选项B、C错误，选项D正确.故选D.
3.A A的子集有 ，{－1}，{1}，{－1，1}，其中真子集为 ，{－1}，{1}共3个，故选A.
4.解：因为B≠ ，根据题意作出如图所示的数轴，
则
解得2＜a≤3.
所以实数a的取值范围为{a｜2＜a≤3}.
拓视野 子集个数的探究
2 4 8
问题探究
1.提示：“元素个数”与“子集个数”之间的关系是：设该集合中有n个元素，则该集合的子集个数为2n.
2.提示：子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
迁移应用
1.A 根据有n个元素的集合的真子集有（2n－1）个，集合A中有2个元素，得其真子集个数为22－1＝3，故选A.
2.D 用列举法表示集合A，得A＝{（1，1），（1，2），（2，1）}，则集合A的子集的个数为23＝8.
4 / 4(共58张PPT)
1.2 集合间的基本关系
新课程标准解读 核心素养
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定
集合的子集 数学抽象、逻辑
推理
2.在具体情境中，了解空集的含义 数学抽象
3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形
对理解抽象概念的作用 数学抽象、直观
想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在北京举行的第二十四届冬季奥林匹克运动会上，各国参赛运动
员组成集合 A ，中国参赛运动员组成集合 B .
【问题】 （1）集合 B 中的元素与集合 A 中的元素的关系是怎样的？
（2）集合 B 与集合 A 又存在着什么关系？
知识点一 子集
1. Venn图
用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图.
封闭曲线
2. 子集
定义 一般地，对于两个集合 A ， B ，如果集合 A 中任意一个
元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为集合 B 的
记法与 读法 记作 （或 B A ），读作“ ”
（或“ B 包含 A ”）
图示
结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即 ；
（2）对于集合 A ， B ， C ，如果 A B ，且 B C ，那
么
子集
A B
A 包含于 B
A A
A C
3. 集合相等
一般地，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合
B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等，
记作 .
也就是说，若 A B ，且 B A ，则 .
A ＝ B
A ＝ B
提醒 （1）“ A 是 B 的子集”的含义：集合 A 中的任意一个元素
都是集合 B 中的元素，即由任意 x ∈ A ，能推出 x ∈ B ；（2）集合
A 与集合 B 相等，就是集合 A 与集合 B 中的元素完全一致，集合
“ A ＝ B ”可类比实数中的结论“若 a ≥ b ，且 b ≥ a ，则 a ＝
b ”，即“若 A B ，且 B A ，则 A ＝ B ”，反之亦成立.
知识点二 真子集
定义 如果集合 A B ，但存在元素 x ∈ B ，且 x A ，就称集合 A 是集合 B 的真子集
记法与 读法 记作 A B （或 B A ），读作“ A 真包含于 B ”（或“ B
真包含 A ”）
图示
结论 （1）若 A B 且 B C ，则 A C ；
（2）若 A B 且 A ≠ B ，则 A B
提醒 在真子集的定义中， A B 首先要满足 A B ，其次至少有一个
x ∈ B ，但 x A .
知识点三 空集
定义 我们把 的集合叫做空集
记法
规定 空集是任何集合的 ，即 A
特性 空集只有一个子集，即它的本身， ；若 A ≠ ，则
A
不含任何元素
子集
【想一想】
，{ }，{0}，0四者有什么关系？
提示： 是不含任何元素的集合；{ }表示集合中含有 这样一个元
素；{0}是含有一个元素0的集合.0∈{0}，0 ， {0}， { }.
1. 已知集合 M ＝{ x ｜ x2－1＝0}， N ＝{－1，0，1}，则 M 与 N 的关
系是（ ）
A. M N B. M ＜ N
C. N ＜ M D. M N
解析： 由题意， M ＝{1，－1}， N ＝{－1，0，1}，故集合 M
N .
2. 下列四个集合中，是空集的为（ ）
A. {0} B. { x ｜ x ＞8，且 x ＜5}
C. { x ∈N｜ x2－1＝0} D. { x ｜ x ＞4}
解析： 满足 x ＞8且 x ＜5的实数不存在，故{ x ｜ x ＞8，且 x ＜
5}＝ .
3. 若 A ＝{1， a ，0}， B ＝{－1， b ，1}，且 A ＝ B ，则 a ＝
， b ＝ .
解析：由两个集合相等的定义知 a ＝－1， b ＝0.
－
1
0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 集合间关系的判断
【例1】 判断下列集合的关系：
（1） A ＝{1，2，3}， B ＝{ x ｜（ x －1）（ x －2）（ x －3）＝0}；
解： B ＝{ x ｜（ x －1）（ x －2）（ x －3）＝0}＝{1，2，
3}＝ A .
（2） A ＝{ x ｜－1＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ x －5＜0}；
解： 集合 B ＝{ x ｜ x ＜5}，用
数轴表示集合 A ， B 如图所示，由图
可知 A B .
（3） A ＝{ x ｜ x 是文学作品}， B ＝{ x ｜ x 是散文}， C ＝{ x ｜ x 是叙
事散文}.
解： 画出Venn图，可知 C B A .
通性通法
判断集合间关系的常用方法
【跟踪训练】
判断下列两个集合之间的关系：
（1） A ＝{1，2，4}， B ＝{ x ｜ x 是8的约数}；
解：∵ A ＝{1，2，4}， B ＝{1，2，4，
8}，如图，∴ A B .
（2） A ＝{ x ｜0＜ x ＜2}， B ＝{ x ｜－1＜ x ≤3}；
解： ∵ A ＝{ x ｜0＜ x ＜2}， B ＝
{ x ｜－1＜ x ≤3}，
用数轴表示如下：
∴ A B .
（3） A ＝{ x ｜ x ＝2 k ＋1， k ∈Z}， B ＝{ x ｜ x ＝2 k －1， k ∈Z}.
解： 法一 任取 x0∈ A ，则 x0＝2 k0＋1， k0∈Z.
又∵ x0＝2（ k0＋1）－1， k0∈Z，∴ k0＋1∈Z，∴ x0∈ B ，则 A
B . 同理可得， B A . 由 A B ， B A ，得 A ＝ B .
法二 集合 A ＝{…，－5，－3，－1，1，3，5，7，…}，集合 B ＝
{…，－7，－5，－3，－1，1，3，5，…}，根据规律可知集合 A 与 B
所含元素相同，∴ A ＝ B .
题型二 子集、真子集个数问题
【例2】 已知集合 M ＝{0，1}， N ＝{－1，0，1}.
（1）写出集合 M 的子集、真子集；
解： M 的子集为 ，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为 ，
{0}，{1}.
（2）求集合 N 的子集数、真子集数和非空真子集数.
解： N 的子集为 ，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，
1}，{0，1}，{－1，0，1}.
所以 N 的子集数为8，真子集数为7，非空真子集数为6.
通性通法
求集合子集、真子集个数的3个步骤
提醒 要注意两个特殊的子集： 和本身.
【跟踪训练】
写出满足{3，4} P {0，1，2，3，4}的所有集合 P .
解：由题意知，集合 P 中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元
素的集合，因此所有满足题意的集合 P 有{0，3，4}，{1，3，4}，
{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，
2，3，4}.
题型三 由集合间的关系求参数（范围）
【例3】 已知集合 A ＝{ x ｜－3≤ x ≤4}， B ＝{ x ｜1＜ x ＜ m ， m ＞
1}，且 B A ，则实数 m 的取值范围是 .
解析：由于 B A ，结合数轴分析可知， m ≤4，又 m ＞1，所以1＜ m
≤4.
1＜ m ≤4
【母题探究】
（变条件）本例若将“ B ＝{ x ｜1＜ x ＜ m ， m ＞1}”改为“ B ＝{ x ｜
1＜ x ＜ m }”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围又是什么？
解：若 m ≤1，则 B ＝ ，满足 B A .
若 m ＞1，则由例题解析可知1＜ m ≤4.
综上可知 m ≤4.
通性通法
由集合间的包含关系求参数的方法
（1）当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，转化
为方程或方程组求解，此时应注意分类讨论；
（2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注
意端点处是实点还是虚点.
提醒 （1）不能忽视集合为 的情形；
（2）当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论.
【跟踪训练】
已知 A ＝{ x ｜ x ＜3}， B ＝{ x ｜ x ＜ a }.
（1）若 B A ，求 a 的取值范围；
解： 因为 B A ， B 是 A 的子集，由图①得 a
≤3.
（2）若 A B ，求 a 的取值范围.
解： 因为 A B ， A 是 B 的子集，由图②得 a ≥3.
1. 下列结论中，正确的个数为（ ）
①{1}∈{0，1，2}； ②{1，－3}＝{－3，1}；
③{0，1，2} {1，0，2}； ④ ∈{0，1，2}.
A. 0 B. 2
C. 3 D. 4
解析：B ①应是{1} {0，1，2}；对于②，集合中的元素有无序
性，故②正确；③任何集合都是本身的子集，故{0，1，2} {1，
0，2}，正确；④应是 {0，1，2}；故正确的有②③.
2. 已知集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜6}， B ＝{ x ｜2＜ x ＜3}，则（ ）
A. A ∈ B B. A B
C. A ＝ B D. B A
解析： 集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜6}， B ＝{ x ｜2＜ x ＜3}， A ， B
两个数集之间应是包含关系不是属于关系，故选项A不正确.由条
件可得 B A ，且 A ≠ B ，所以选项B、C错误，选项D正确.故选D.
3. 已知集合 A ＝{－1，1}，则集合 A 的真子集有（ ）
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
解析： A 的子集有 ，{－1}，{1}，{－1，1}，其中真子集为
，{－1}，{1}共3个，故选A.
4. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＞4}，非空集合 B ＝{ x ｜2 a ≤ x ≤ a ＋3}，若
B A ，求实数 a 的取值范围.
解：因为 B ≠ ，根据题意作出如图所示的数轴，
则
解得2＜ a ≤3.
所以实数 a 的取值范围为{ a ｜2＜ a ≤3}.
子集个数的探究
阅读下表，找出规律并填空：
集合 元素个数 所有子集 子集个数
{ a } 1个 ，{ a } 个
{ a ， b } 2个 ，{ a }，{ b }，{ a ， b } 个
{ a ， b ， c } 3个 ，{ a }，{ b }，{ c }，{ a ，
b }，{ a ， c }，{ b ， c }，
{ a ， b ， c } 个
2
4
8
【问题探究】
1. 你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？
提示：“元素个数”与“子集个数”之间的关系是：设该集合中有
n 个元素，则该集合的子集个数为2 n .
2. 如果一个集合中有 n 个元素，你能写出计算它的所有子集、真子集
和非空真子集数目的公式吗（用 n 表达）？
提示：子集个数为2 n ，真子集个数为2 n －1，非空真子集的个数为2
n －2.
【迁移应用】
1. 已知集合 A ＝{0，1}，则集合 A 的真子集有（ ）
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
解析： 根据有 n 个元素的集合的真子集有（2 n －1）个，集合 A
中有2个元素，得其真子集个数为22－1＝3，故选A.
2. 已知集合 A ＝{（ x ， y ）｜4 x ＋3 y －12＜0， x ∈N*， y ∈N*}，则
集合 A 的子集的个数为（ ）
A. 3 B. 4
C. 7 D. 8
解析： 用列举法表示集合 A ，得 A ＝{（1，1），（1，2），
（2，1）}，则集合 A 的子集的个数为23＝8.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列四个集合中，是空集的是（ ）
A. { x ｜ x ＋3＝3}
B. {（ x ， y ）｜ y2＝－ x2， x ， y ∈R}
C. { x ｜ x2≤0}
D. { x ｜ x2－ x ＋1＝0， x ∈R}
解析： ∵ x2－ x ＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，
∴{ x ｜ x2－ x ＋1＝0， x ∈R}＝ ，故选D.
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2. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2－9＝0}，则下列结论正确的有（ ）
①3∈ A ；②{－3}∈ A ；③ A ；④{3，－3} A .
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
解析： 解方程 x2－9＝0得 x ＝3或 x ＝－3，所以 A ＝{－3，3}.
故①③④正确.
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3. 已知集合 M ＝{ x ｜ y2＝2 x }和集合 P ＝{（ x ， y ）｜ y2＝2 x }，则
两个集合间的关系是（ ）
A. M P B. P M
C. M ＝ P D. M ， P 互不包含
解析： 由于集合 M 为数集，集合 P 为点集，因此 M 与 P 互
不包含.
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4. 设集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜1}， B ＝{ x ｜ x － a ＞0}.若 A B ，则实
数 a 的取值范围是（ ）
A. { a ｜ a ≥1} B. { a ｜ a ＞1}
C. { a ｜ a ＜－1} D. { a ｜ a ≤－1}
解析： 化简得集合 B ＝{ x ｜ x ＞ a }，结合数轴可知，要使 A
B ，则只要 a ≤－1即可，即实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≤－1}，故
选D.
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5. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜ x2－2 x ＝0}，则有（ ）
A. A B. －2∈ A
C. {0，2} A D. A { y ｜ y ＜3}
解析： 由题得集合 A ＝{0，2}，由于空集是任何集合的子
集，故A正确；因为 A ＝{0，2}，所以C、D正确，B错误.
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6. （多选）已知 A B ， A C ， B ＝{2，0，1，8}， C ＝{1，9，3，8}，则集合 A 可以是（ ）
A. {1，8} B. {2，3}
C. {1} D. {2}
解析： ∵ A B ， A C ， B ＝{2，0，1，8}， C ＝{1，9，
3，8}，∴集合 A 中一定含有集合 B ， C 的公共元素，结合选项可
知A、C满足题意.
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7. 设 x ， y ∈R， A ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x }， B ＝ （ x ， y ）｜ ＝
1}，则 A ， B 准确的关系是 .
解析：因为 B ＝ ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x ，且 x
≠0}，故 B A .
B A
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8. 若集合 A {1，2，3}，且 A 中至少含有一个奇数，则这样的集合 A
有 个.
解析：若集合 A 中含有一个奇数，则 A 可能为{1}，{3}，{1，2}，
{3，2}；若集合 A 中含有两个奇数，则 A ＝{1，3}.
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9. 已知集合 A ＝{ x ∈R｜ x2＋ x ＝0}，则集合 A ＝ ；若
集合 B 满足{0} B A ，则集合 B ＝ .
解析：解方程 x2＋ x ＝0，得 x ＝－1或 x ＝0，所以集合 A ＝{ x
∈R｜ x2＋ x ＝0}＝{－1，0}，因为集合 B 满足{0} B A ，所以集
合 B ＝{－1，0}.
{－1，0}
{－1，0}
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10. 已知集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤2}， B ＝{ x ｜1≤ x ≤ a ， a ≥1}.
（1）若 A B ，求 a 的取值范围；
解： 若 A B ，由图可知， a ＞2.
故实数 a 的取值范围为{ a ｜ a ＞2}.
（2）若 B A ，求 a 的取值范围.
解： 若 B A ，由图可知，1≤ a ≤2.
故实数 a 的取值范围为{ a ｜1≤ a ≤2}.
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11. （2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合 A ＝{0，－ a }， B ＝{1， a －2，2
a －2}，若 A B ，则 a ＝（ ）
A. 2 B. 1
解析： 由题意，得0∈ B . 又 B ＝{1， a －2，2 a －2}，所以 a
－2＝0或2 a －2＝0.当 a －2＝0时， a ＝2，此时 A ＝{0，－2}， B
＝{1，0，2}，不满足 A B ，舍去.当2 a －2＝0时， a ＝1，此时
A ＝{0，－1}， B ＝{1，－1，0}，满足 A B . 综上所述， a ＝1.
故选B.
D. －1
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12. 若集合 M ＝{ x ｜ x ＝ ＋ ， k ∈Z}，集合 N ＝{ x ｜ x ＝ ＋ ， k
∈Z}，则（ ）
A. M ＝ N B. N M
C. M N D. 以上均不对
解析： M ＝{ x ｜ x ＝ ＋ ， k ∈Z}＝{ x ｜ x ＝ ， k
∈Z}， N ＝{ x ｜ x ＝ ＋ ， k ∈Z}＝{ x ｜ x ＝ ， k ∈Z}，因为
2 k ＋1（ k ∈Z）为奇数， k ＋2（ k ∈Z）为整数，所以 M N .
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13. 已知集合{ a ， b ， c }＝{0，1，2}，有下列三个关系：① a ≠2；
② b ＝2；③ c ≠0.若这三个关系中有且只有一个是正确的，则 a
＋2 b ＋3 c ＝ .
解析：假设①正确，②③错误，则 a ≠2， b ≠2， c ＝0，矛盾，
故假设不成立；假设②正确，①③错误，则 a ＝2， b ＝2， c ＝
0，矛盾，故假设不成立；假设③正确，①②错误，则 a ＝2， b ＝
0， c ＝1，假设成立，∴ a ＋2 b ＋3 c ＝5.
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14. 已知集合 M ＝{ x ｜ x2＋2 x － a ＝0}.
（1）若 M ，求实数 a 的取值范围；
解： 由题意得，方程 x2＋2 x － a ＝0有实数解.
∴Δ＝22－4×（－ a ）≥0，解得 a ≥－1，
∴实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≥－1}.
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（2）若 N ＝{ x ｜ x2＋ x ＝0}且 M N ，求实数 a 的取值范围.
解： ∵ N ＝{ x ｜ x2＋ x ＝0}＝{0，－1}，且 M N ，
∴当 M ＝ 时，Δ＝22－4×（－ a ）＜0，解得 a ＜－1；
当 M ≠ 时，当Δ＝0时， a ＝－1.
此时 M ＝{－1}，满足 M N ，符合题意；
当Δ＞0时， a ＞－1， M 中有两个元素，
若 M N ，则 M ＝ N ，从而根据一元二次方程根与系数的关
系有无解.
综上，实数 a 的取值范围为{ a ｜ a ≤－1}.
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15. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜1＜ x ＜2}， B ＝{ x ｜2 a －3＜ x ＜ a －
2}，下列结论正确的是（ ）
A. 不存在实数 a 使得 A ＝ B
B. 存在实数 a 使得 A B
C. 当0≤ a ≤4时， B A
D. 存在实数 a 使得 B A
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解析： 对于A，由集合相等的概念可得此方程
组无解，故不存在实数 a 使得 A ＝ B ，因此A正确；对于B，由 A
B ，得即此不等式组无解，因此B错误；
对于C，当2 a －3≥ a －2，即 a ≥1时， B ＝ A ，符合 B A ，当
a ＜1时，要使 B A ，需满足解得2≤ a ≤4，不满
足 a ＜1，故这样的实数 a 不存在，故当 a ≥1时， B A ，因此C错
误；对于D，由C选项分析可得存在实数 a 使得 B A ，因此D正
确.故选A、D.
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16. 已知集合 P ＝{ x ∈R｜ x2－3 x ＋ m ＝0}，集合 Q ＝{ x ∈R｜（ x ＋
1）2·（ x2＋3 x －4）＝0}，集合 P 是否能成为集合 Q 的一个子
集？若能，求出 m 的取值范围；若不能，请说明理由.
解：当 P ＝ 时， P 是 Q 的一个子集，此时方程 x2－3 x ＋ m ＝0无
实数根，即Δ＝9－4 m ＜0，所以 m ＞ .
当 P ≠ 时，由于 Q ＝{－1，－4，1}，因此当－1∈ P 时，－1是
方程 x2－3 x ＋ m ＝0的一个实数根，所以 m ＝－4，此时 P ＝{4，
－1}，不是 Q 的一个子集；
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当－4∈ P 时，－4是方程 x2－3 x ＋ m ＝0的一个实数根，所以 m ＝
－28，此时 P ＝{－4，7}，不是 Q 的一个子集；
当1∈ P 时，1是方程 x2－3 x ＋ m ＝0的一个实数根，所以 m ＝2，
此时 P ＝{1，2}，不是 Q 的一个子集.
综上所述，若集合 P 能成为集合 Q 的一个子集，
满足条件的 m 的取值范围是{ m ｜ m ＞ }.
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谢 谢 观 看！
