江西省南昌新民外语学校2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题(含部分答案)

江西省南昌新民外语学校2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题
单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（ ）
A．（3，1） B． C． D．
3. 与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
4. 已知函数，且的图象恒过点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5. 已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
6. 函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8. 定义行列式运算 ，函数若对于任意的，都有，则满足条件的的最小值为（ ）
A． B． C． D．
多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知点、、，其中，则（ ）
A．若、、三点共线，则 B．若，则
C．若，则 D．当时，
10. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（ ）

A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
11. 设函数，则（ ）
A．当时，的图象关于点对称
B．当时，方程有个实根
C．当时，是的极大值点
D．存在实数，恒成立
填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知，若，则__________．
13. 的展开式中的系数为__________（用数字作答）
14. 已知函数．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为_______．
解答题(本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分)
15. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600]
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
附：，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
16. 如图，在三棱锥中，平面，，，点分别为，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
17. 已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求的值.
18. 已知数列的首项为，且满足
(1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
(3)若数列的通项公式为，且对任意的恒成立，求实数的最小值．
19. 已知椭圆经过点,,过点的直线与椭圆交于不同的两点 .
（1）求椭圆的方程;
（2）求的取值范围;
（3）设直线和直线的斜率分别为和,求证:为定值.
江西省南昌新民外语学校2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、等式与不等式、复数、平面解析几何、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、矩阵与变换、平面向量、计数原理与概率统计、数列
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 5
较易 3
适中 11
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 交集的概念及运算；区间的关系与运算；解不含参数的一元二次不等式
2 0.94 复数的坐标表示；复数代数形式的乘法运算
3 0.94 根据双曲线过的点求标准方程；求共渐近线的双曲线的标准方程
4 0.94 对数型函数图象过定点问题
5 0.85 台体体积的有关计算；球的截面的性质及计算；多面体与球体内切外接问题
6 0.65 求sinx型三角函数的单调性；三角恒等变换的化简问题
7 0.65 根据函数的单调性解不等式；由函数奇偶性解不等式
8 0.65 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数；计算二阶矩阵的乘法
二、多选题
9 0.85 由坐标解决三点共线问题；坐标计算向量的模；向量夹角的坐标表示；已知向量垂直求参数
10 0.65 根据a、b、c求椭圆标准方程；求椭圆的长轴、短轴；求椭圆的离心率或离心率的取值范围
11 0.65 判断或证明函数的对称性；用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数研究方程的根；函数极值点的辨析
三、填空题
12 0.94 由向量共线（平行）求参数
13 0.85 求指定项的系数
14 0.65 由函数在区间上的单调性求参数；根据二次函数的最值或值域求参数
四、解答题
15 0.65 独立性检验解决实际问题
16 0.65 证明线面垂直；面面角的向量求法；求二面角；线面垂直证明线线垂直
17 0.65 由导数求函数的最值（含参）；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；含参分类讨论求函数的单调区间
18 0.65 错位相减法求和；根据数列的单调性求参数；判断等差数列；裂项相消法求和
19 0.65 根据椭圆过的点求标准方程；求椭圆中的参数及范围；椭圆中的定值问题
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 集合与常用逻辑用语 1
2 函数与导数 1,4,7,11,14,17
3 等式与不等式 1
4 复数 2
5 平面解析几何 3,10,19
6 空间向量与立体几何 5,16
7 三角函数与解三角形 6,8
8 矩阵与变换 8
9 平面向量 9,12
10 计数原理与概率统计 13,15
11 数列 18
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：