第4章 图形的认识（新课预习.培优卷）（含解析）-2025-2026学年七年级上册数学湘教版（2024）

第4章 图形的认识
一、选择题
1．下列图形中是圆柱的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，利用量角器可知∠AOB的度数为（　　）
A．150° B．30° C．40° D．60°
3．已知∠α＝25°30′，则它的余角为（　　）
A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′
4．如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB＝2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
5．“争创全国文明卫生城市，让文明成为我县人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（　　）
A．文 B．明 C．卫 D．生
6．互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AB＝2a，AC＝a+6，BC＝3a+1，则这三点的位置关系是（　　）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
二、填空题
7．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．若∠AOD＝150°，则∠BOC＝ 　 　 °．
8．如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠AOD的度数为 　 　 ．
三、解答题
9．根据以下素材，探索完成任务．
时钟里的数学问题
素材1 时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1～12均匀分布，分针60分钟转动一周是360°时针60分钟移动一周的是30°，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．
素材2 当时钟显示10：10时（如图2），时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑10：00时，时针与分针所成角度为60°；从10：00到10：10，分针转动的角度为10×6＝60°时针转动的角度为10×0.5＝5°，60+60﹣5＝115°因此10点10分时，时针与分针所成角度是115°．
素材3 当时针和分针所成角度180°时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”．如图3，当时钟显示6：00时，此时，时针和分针所成角度180°因此6：00就是一个美妙时刻．
解决问题
任务1 当时钟显示11：10分时，求时针与分针所成角度．
任务2 时钟显示1：00时，时针与分针所成角度为30°在1：00到1：30的30分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻．
任务3 6：00之后的下一个美妙时刻是 　 　 ．一天24个小时内，共有 　 　 个美妙时刻．
10．如图，A，B，C，D四点在同一直线上．
（1）若AB＝CD，比较线段的大小：AC　 　 BD（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）在（1）的基础上，若，且AC＝16，求AD的长．
（3）若AD＝12，点B是线段AD靠近点A的三等分点，点C是线段AD的中点，求BC的长．
（4）若线段AD被点B，C分成了长度比为2：3：4的三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18，求AD的长．
（5）若AD＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AD方向运动，运动时间为t（t＞0）秒，点Q为AP的中点．
①当t为何值时，点P恰好是QD的中点？
②当t为何值时，AQ＝2PD？
11．如图1，已知射线OA，OB，OC，OD．
（1）若，且∠AOC＝80°，求∠AOD的度数．
（2）若∠AOD＝120°，OB是∠AOC的平分线，OC是∠AOD的平分线，求∠BOD的度数．
（3）若∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线，∠MON＝90°，求∠AOD的度数．
（4）定义：从∠α（45°＜α＜90°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”．
①若OC平分∠BOD，且OC为∠BOD的“分余线”，则∠BOD＝　 　 ；
②如图2，∠AOD＝160°，OB为∠AOC的平分线，在∠COD的内部作射线OP，使∠POD＝2∠COP，当OC为∠BOP的“分余线”时，求∠COD的度数．
第4章 图形的认识
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列图形中是圆柱的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据圆柱体的概念和定义，圆柱体的上下两个底面是圆形，平行且相等．
【解答】解：根据以上分析B为圆柱体．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆柱的定义，关键点在于：圆柱体上下底面是圆形且平行和相等的．
2．如图，利用量角器可知∠AOB的度数为（　　）
A．150° B．30° C．40° D．60°
【答案】B
【分析】利用对顶角相等即可求得．
【解答】解：因为对顶角相等，
所以∠AOB的度数为30°，
故选：B．
【点评】本题考查的是对顶角的度数，解题的关键是会识图，了解对顶角相等．
3．已知∠α＝25°30′，则它的余角为（　　）
A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′
【答案】B
【分析】根据余角的定义，两个锐角和为90°的角互余．
【解答】解：由题意得：∠α＝25°30′，
故其余角为（90°﹣∠α）＝64°30′．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是两个角的互余，互余的两个角的和为90°．
4．如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB＝2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
【答案】B
【分析】根据条件求出OA的长度，点A在原点的左侧，点A为负数，从而得出答案．
【解答】解：∵点B表示的数是6，
∴OB＝6，
∵OB＝2OA，
∴OA＝3，
∴点A表示的数为﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，根据条件求出OA的长度是解题的关键．
5．“争创全国文明卫生城市，让文明成为我县人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（　　）
A．文 B．明 C．卫 D．生
【答案】B
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是明，
故选：B．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
6．互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AB＝2a，AC＝a+6，BC＝3a+1，则这三点的位置关系是（　　）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
【答案】B
【分析】用假设法分别计算各选项中的a值，再根据a＞0判断即可．
【解答】解：∵AC＝a+6，BC＝3a+1，AB＝2a，A、B、C三点互不重合，
∴a＞0，
若点A在B、C之间，
则AB+AC＝BC，
即2a+a+6＝3a+1，
此时无解，
故此情况不存在，
若点B在A、C之间，
则BC+AB＝AC，
3a+1+2a＝a+6，
a，
故此情况存在，
若点C在A、B之间，
则BC+AC＝AB，
即3a+1+a+6＝2a，
a，
故此情况不存在，
∵互不重合的A、B、C三点在同一直线上，
故选：B．
【点评】本题主要考查两点间的距离及整式的加减，分类讨论和反证法的应用是解题的关键．
二、填空题
7．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．若∠AOD＝150°，则∠BOC＝ 　30　 °．
【答案】见试题解答内容
【分析】从图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝150°
∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣150°＝30°．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．
8．如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠AOD的度数为 　160°　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据邻补角定义求得∠BOC的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．
【解答】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD∠BOC＝20°，
∴∠AOD＝180°﹣20°＝160°，
故答案为：160°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握．
三、解答题
9．根据以下素材，探索完成任务．
时钟里的数学问题
素材1 时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1～12均匀分布，分针60分钟转动一周是360°时针60分钟移动一周的是30°，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．
素材2 当时钟显示10：10时（如图2），时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑10：00时，时针与分针所成角度为60°；从10：00到10：10，分针转动的角度为10×6＝60°时针转动的角度为10×0.5＝5°，60+60﹣5＝115°因此10点10分时，时针与分针所成角度是115°．
素材3 当时针和分针所成角度180°时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”．如图3，当时钟显示6：00时，此时，时针和分针所成角度180°因此6：00就是一个美妙时刻．
解决问题
任务1 当时钟显示11：10分时，求时针与分针所成角度．
任务2 时钟显示1：00时，时针与分针所成角度为30°在1：00到1：30的30分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻．
任务3 6：00之后的下一个美妙时刻是 　7：　 ．一天24个小时内，共有 　22　 个美妙时刻．
【答案】任务一：85°；
任务二：1：；
任务三：7：，22．
【分析】任务一：利用时针与分针所成角度＝30°+分针转过的度数﹣时针转过的度数，即可求出结论；
任务二：设1点x分时，时针与分针垂直，利用分针转过的度数﹣（时针转过的度数+30°）＝90°，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
任务三：设再经过y分钟，时针和分针所成角度第一次为180°，利用分针转过的度数﹣时针转过的度数＝360°，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出6：00之后的下一个美妙时刻是7：；设从0：00开始经过m分钟，时针和分针所成角度为180°，利用分针转过的度数﹣时针转过的度数＝180°的奇数倍，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m，结合m≤60×24，可列出关于n的一元一次不等式，解之可得出n的取值范围，再结合n为正整数，即可得出结论．
【解答】解：任务一：30°+10×6°﹣10×0.5°＝85°．
答：当时钟显示11：10时，时针与分针所成角度为85°；
任务二：设1点x分时，时针与分针垂直，
根据题意得：6x﹣（30+0.5x）＝90，
解得：x．
答：此时的时刻为1：；
任务三：设再经过y分钟，时针和分针所成角度第一次为180°，
根据题意得：6y﹣0.5y＝360，
解得：y60，
∴6：00之后的下一个美妙时刻是7：；
从0：00开始经过m分钟，时针和分针所成角度为180°，
根据题意得：6m﹣0.5m＝180（2n﹣1）（n为正整数），
解得：m，
∵m≤60×24，
∴60×24，
解得：n，
又∵n为正整数，
∴n的最大值为22，
∴一天24个小时内，共有22个美妙时刻．
故答案为：7：，22．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、钟面角、分数的除法以及解一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．如图，A，B，C，D四点在同一直线上．
（1）若AB＝CD，比较线段的大小：AC　＝　 BD（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）在（1）的基础上，若，且AC＝16，求AD的长．
（3）若AD＝12，点B是线段AD靠近点A的三等分点，点C是线段AD的中点，求BC的长．
（4）若线段AD被点B，C分成了长度比为2：3：4的三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18，求AD的长．
（5）若AD＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AD方向运动，运动时间为t（t＞0）秒，点Q为AP的中点．
①当t为何值时，点P恰好是QD的中点？
②当t为何值时，AQ＝2PD？
【答案】（1）＝；
（2）20；
（3）2；
（4）27；
（5）①8秒；
②秒或16秒．
【分析】（1）根据题意，AB＝CD，则AB+BC＝CD+BC，由线段的大小比较进而得出答案；
（2）根据题意，，AC＝16，可得出BC的长，进而得出AB的长，由（1）可知AB＝CD，进而得出AD的长；
（3）由题意可知，AD＝12，点B是线段AD靠近点A的三等分点，点C是线段AD的中点，可求出AB，AC的长，根据BC＝AC﹣AB，即可得出答案；
（4）由题意可知，M是线段AB的中点，AB：BC：CD＝2：3：4，得出AM＝BM，设AM＝BM＝x，从而得出AB＝2x，BC＝3x，CD＝4x，进而得出AD＝9x，再根据已知N是线段CD的中点，MN＝18，得出CN＝DN＝2x，列出方程：x+3x+2x＝18，解一元一次方程求出x的值，进而得出答案；
（5）①根据题意可得AP＝2t，，再根据已知点P是QD的中点，所以得出QP＝PD＝t，进而得出AD＝3AQ＝3t＝24，求出t值即可；
②分两种情况：点P在点D的左侧和右侧，根据如图可得，PD＝AD﹣AP＝24﹣2t，或PD＝AP﹣AD＝2t﹣24，再根据AQ＝2PD，列出关于t的方程，进而得出t的值．
【解答】解：（1）∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD．
故答案为：＝；
（2）∵，AC＝16，
∴，
∴AB＝AC﹣BC＝16﹣12＝4，
在（1）的基础上，∵AB＝CD，
∴CD＝4，
∴AD＝AC+CD＝16+4＝20．
（3）如图所示：
由题意可知，AD＝12，点B是线段AD靠近点A的三等分点，点C是线段AD的中点，
∴，，
∴BC＝AC﹣AB＝6﹣4＝2；
（4）如图所示：
∵M是线段AB的中点，AB：BC：CD＝2：3：4，
∴AM＝BM，
设AM＝BM＝x，
∴AB＝2x，BC＝3x，CD＝4x，
∴AD＝AB+BC+CD＝2x+3x+4x＝9x．
∵N是线段CD的中点，MN＝18，
∴CN＝DN＝2x，
∴x+3x+2x＝18，
解得：x＝3，
∴AD＝9x＝9×3＝27．
（5）①如图所示：
∵点Q是AP的中点，AP＝2t，
∴，
又∵点P是QD的中点，
∴QP＝PD＝t，
∴AD＝3AQ＝3t＝24，
解得：t＝8．
∴当t为8秒时，点P恰好是QD的中点．
②如图所示，点P在点D左侧时，
∵点Q是AP的中点，AP＝2t，
∴，PD＝AD﹣AP＝24﹣2t，
∵AQ＝2PD，
∴t＝2（24﹣2t），
∴t＝48﹣4t，
解得：，
∴当t为秒时，AQ＝2PD．
如图所示，点P在点D右侧时，
∵点Q是AP的中点，AP＝2t，
∴，PD＝AP﹣AD＝2t﹣24，
∵AQ＝2PD，
∴t＝2（2t﹣24），
∴t＝4t﹣48，
解得：t＝16，
∴当t为16秒时，AQ＝2PD．
综上所述，t为秒或16秒时，AQ＝2PD．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，线段的和差，线段的大小比较，掌握解一元一次方程的方法，线段的和差计算，线段的大小比较方法是解题的关键．
11．如图1，已知射线OA，OB，OC，OD．
（1）若，且∠AOC＝80°，求∠AOD的度数．
（2）若∠AOD＝120°，OB是∠AOC的平分线，OC是∠AOD的平分线，求∠BOD的度数．
（3）若∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线，∠MON＝90°，求∠AOD的度数．
（4）定义：从∠α（45°＜α＜90°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”．
①若OC平分∠BOD，且OC为∠BOD的“分余线”，则∠BOD＝　60°　 ；
②如图2，∠AOD＝160°，OB为∠AOC的平分线，在∠COD的内部作射线OP，使∠POD＝2∠COP，当OC为∠BOP的“分余线”时，求∠COD的度数．
【答案】（1）100°；
（2）90°；
（3）135°；
（4）①60°；
②105°或60°．
【分析】（1）根据题意，得到∠BOC＝60°，从而得到∠AOD的度数；
（2）利用角平分线，得到∠AOB＝∠BOC，∠AOC＝∠COD，从而得到结果；
（3）利用角之间的比例关系，设∠AOB＝2x°，∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，利用角平分线，从而得到结果；
（4）①根据新定义，∠BOC+∠BOD＝90°，结合角平分线得到∠BOC＝∠COD，从而求得结果；
②根据题意，OC为∠BOP的“分余线”，分别讨论∠BOC+∠BOP＝90°或∠COP+∠BOP＝90°这两种情况，从而得到结果．
【解答】解：（1）∵∠BOC∠AOC，∠AOC＝80°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝20°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠COD＝20°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝100°；
（2）∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB＝∠BOC，
∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠AOC＝∠COD，
∴∠COD∠AOD＝60°，
∵∠BOC＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝90°；
（3）如图：
∵∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，
∴设∠AOB＝2x°，∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，
∵OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线，
∴∠MOB，，
∵∠MON＝90°，
∴∠MOB+∠BOC+∠CON＝90°，
即：x+3x+2x＝90，
解得：x＝15，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝9x°＝135°；
（4）①∵OC平分∠BOD，且OC为∠BOD的“分余线”，
∴∠BOC＝∠COD，且∠BOC+∠BOD＝90°，
∴∠BOC+2∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
故答案为：60°；
②如图2，
∵OB为∠AOC的平分线，
∴∠AOB＝∠BOC，
∵OC为∠BOP的“分余线”，
∴∠BOC+∠BOP＝90°或∠COP+∠BOP＝90°，
若∠BOC+∠BOP＝90°时，
令∠BOC＝x°，
则∠AOB＝x°，∠BOP＝90°﹣x°，
∴∠COP＝90°﹣2x°，
∵∠POD＝2∠COP，
∴∠POD＝2（90°﹣2x°），
∵∠AOD＝160°，
∴∠AOB+∠BOP+∠POD＝160°，
∴x+90﹣x+2（90﹣2x）＝160，
解得x＝27.5，
∴∠COD＝∠AOD﹣2∠AOB＝160°﹣2×27.5°＝105°；
若∠COP+∠BOP＝90°时，
令∠COP＝x°，则∠BOP＝90°﹣x°，
∴∠AOB＝90°﹣2x°，∠POD＝2x°，
∵∠AOB+∠BOP+∠POD＝160°，
∴（90°﹣2x°）+（90°﹣x°）+2x°＝160°，
解得：x＝20，
∴∠COD＝∠COP+∠POD＝60°．
综上所述，∠COD为105°或60°．
【点评】本题考查了角平分性质，互为余角的概念，以及新定义的“分余线”的应用，关键是对新定义的理解和正确应用．
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