第2章 代数式（新课预习.培优卷）（含解析）-2025-2026学年七年级上册数学湘教版（2024）

第2章 代数式
一、选择题
1．代数式﹣7x的意义可以是（　　）
A．﹣7与x的和 B．﹣7与x的差 C．﹣7与x的积 D．﹣7与x的商
2．下列整式与ab2为同类项的是（　　）
A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c
3．下列计算正确的是（　　）
A．4a﹣2a＝2 B．2ab+3ba＝5ab
C．a+a2＝a3 D．5x2y﹣3xy2＝2xy
4．若a2+2a﹣3＝0，则2a2+4a﹣3的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
5．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（　　）
A．8x元 B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元
6．在多项式x﹣y﹣m﹣n（其中x＞y＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣m+n，|x﹣y|﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣m+n，…．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有3种不同运算结果．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
7．“九台卡伦湖半程马拉松”活动于2023年9月23日在卡伦湖力旺实验学校鸣枪开跑，某同学参加了5公里的欢乐跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了8分钟，此时他离欢乐跑终点的路程为 　 　 公里．（用含x的代数式表示）
8．观察下列各式：
依此规律，第n个等式（n为正整数）为 　 　 ．
三、解答题
9．阅读下列素材：
如何设计“非对称加密算法”
素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密．
素材2 3×1001＝3003；13×1001＝13013；213×1001＝213213；……
素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记（公钥，私钥）为（a，b）（其中a，b均为两位正整数），则 例，当明文为123，（a，b）取（13，77）时，加密解密过程如图：
结合上述素材，完成以下问题：
【模型理解】
（1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由．
（2）设是一个三位数，是一个四位数，则被1000除的余数为请说明理由．
【初步应用】
（3）若公钥a为69，设计匹配的私钥b．
【解决问题】
（4）请再设计一对匹配的钥匙：（ 　 　 ，　 　 ）．
10．已知下列代数式：，﹣5.8xy3，，y．
【基础设问】
（1）写出其中的整式．
（2）写出其中的单项式，并分别指出它们的系数和次数．
（3）写出其中的多项式，并分别指出它们的次数、项数和常数项．
【能力设问】
（4）求其中所有整式的和，并将结果按字母x降幂排列．
【拓展设问】
（5）取两个有理数，分别为a，b，再从上述代数式中取两个整式，分别为A，B，则aA+bB的值可能与x无关．你认为这个说法正确吗？若正确，写出一组符合条件的a，b，A，B；若不正确，请说明理由．
11．小明同学家的住房户型呈长方形，平面图（单位：m）如图1，现准备铺设地面，三间卧室铺设木板，其他区域铺设地砖．
（1）a的值为 　 　 ，所有地面总面积为 　 　 m2．
（2）分别求铺设地面需要木地板多少平方米，需要地砖多少平方米．（用含x的代数式表示）
（3）按市场价格，木地板价格为300元/m2，地砖价格为120元m2，当x＝2时，求小明家铺设地面总费用为多少元．
（4）工人师傅铺设地砖时，小明用若干块大小相同的长方形地砖按规律摆成如图2所示的图案，则第n个图案中长方形地砖的块数为 　 　 ．
12．先化简，再求值4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中（x﹣2）2+|y+1|＝0．
13．在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当a，b＝﹣3时，求多项式2a2+4ab+2b2﹣2（a2+2ab+b2﹣1）的值．”解完这道题后，小明指出：“a，b＝﹣3是多余的条件．”师生讨论后，一致认为小明的说法是正确的．
（1）请你说明正确的理由；
（2）受此启发，王老师又出示了一道题目：“已知无论x，y取什么值，多项式2x2﹣my+12﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，求m+n的值．”请你解决这个问题．
第2章 代数式
参考答案与试题解析
一、选择题
1．代数式﹣7x的意义可以是（　　）
A．﹣7与x的和 B．﹣7与x的差 C．﹣7与x的积 D．﹣7与x的商
【答案】C
【分析】直接利用代数式的意义分析得出答案．
【解答】解：代数式﹣7x的意义可以是﹣7与x的积．
故选：C．
【点评】此题主要考查了代数式，掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子是解题关键．
2．下列整式与ab2为同类项的是（　　）
A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c
【答案】B
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可判断．
【解答】解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四个整式中，与ab2为同类项的是：﹣2ab2，
故选：B．
【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
3．下列计算正确的是（　　）
A．4a﹣2a＝2 B．2ab+3ba＝5ab
C．a+a2＝a3 D．5x2y﹣3xy2＝2xy
【答案】B
【分析】根据合并同类项的运算法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：A．4a﹣2a＝（4﹣2）a＝2a，则A不符合题意；
B．2ab+3ba＝（2+3）ab＝5ab，则B符合题意；
C．a与a2不是同类项，无法合并，则C不符合题意；
D．5x2y与3xy2不是同类项，无法合并，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项，其运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．若a2+2a﹣3＝0，则2a2+4a﹣3的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
【答案】D
【分析】首先把2a2+4a﹣3化成2（a2+2a﹣3）+3，然后把a2+2a﹣3＝0代入化简后的算式计算即可．
【解答】解：∵a2+2a﹣3＝0，
∴2a2+4a﹣3
＝2（a2+2a﹣3）+3
＝2×0+3
＝0+3
＝3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，求代数式的值可以直接代入计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
5．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（　　）
A．8x元 B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元
【答案】C
【分析】直接利用乙的单价×乙的本数＝乙的费用，进而得出答案．
【解答】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为：8（100﹣x）元．
故选：C．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出乙的本数是解题关键．
6．在多项式x﹣y﹣m﹣n（其中x＞y＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣m+n，|x﹣y|﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣m+n，…．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有3种不同运算结果．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法推理①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【解答】解：①|x﹣y|﹣m﹣n＝x﹣y﹣m﹣n，故说法①正确．
②若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现﹣x，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负，故说法②正确．
③添加一个绝对值时，
分别是|x﹣y|﹣m﹣n＝x﹣y﹣m﹣n；
x﹣|y﹣m|﹣n＝x﹣y+m﹣n；
x﹣y﹣|m﹣n|﹣n＝x﹣y﹣m+n．
当添加两个绝对值时，|x﹣y|﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣m+n；
故共有3种不同运算结果，故说法③正确．
故选：D．
【点评】本题考查新定义题型，根据给定的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
二、填空题
7．“九台卡伦湖半程马拉松”活动于2023年9月23日在卡伦湖力旺实验学校鸣枪开跑，某同学参加了5公里的欢乐跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了8分钟，此时他离欢乐跑终点的路程为 　（5﹣8x）　 公里．（用含x的代数式表示）
【答案】（5﹣8x）．
【分析】根据题意列出代数式即可．
【解答】解：∵平均每分钟x公里的速度跑了8分钟，
∴一共跑了8x公里，
∵欢乐跑项目一共5公里，
∴他离欢乐跑终点的路程为（5﹣8x）公里，
故答案为：（5﹣8x）．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．
8．观察下列各式：
依此规律，第n个等式（n为正整数）为 　（10n+5）2＝n（n+1）×100+52　 ．
【答案】（10n+5）2＝n（n+1）×100+52．
【分析】通过观察可知，式子左边数的规律是（10n+5）2，式子右边的规律是n（n+1）×100+52，即可得到第n个等式为：（10n+5）2＝n（n+1）×100+52．
【解答】解：∵观察下列各式：
∴（10n+5）2＝n（n+1）×100+52，
故答案为：（10n+5）2＝n（n+1）×100+52．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给式子，观察出等式两边各数的规律是解题的关键．
三、解答题
9．阅读下列素材：
如何设计“非对称加密算法”
素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密．
素材2 3×1001＝3003；13×1001＝13013；213×1001＝213213；……
素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记（公钥，私钥）为（a，b）（其中a，b均为两位正整数），则 例，当明文为123，（a，b）取（13，77）时，加密解密过程如图：
结合上述素材，完成以下问题：
【模型理解】
（1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由．
（2）设是一个三位数，是一个四位数，则被1000除的余数为请说明理由．
【初步应用】
（3）若公钥a为69，设计匹配的私钥b．
【解决问题】
（4）请再设计一对匹配的钥匙：（ 　11　 ，　99（答案不唯一）　 ）．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）答案见解答过程；
（3）29；
（4）（11，99）（答案不唯一）．
【分析】（1）根据13×77＝1001，再计算即可得出结论；
（2）计算，根据被1000除的余数为可得出结论；
（3）根据，对于匹配的钥匙（a，b），则有ab＝ab，再根据当n＝2，a＝69时可得出b的值；
（4）根据，对于匹配的钥匙（a，b），则有ab＝1001，再由11×91＝1001可得出匹配的钥匙（答案不唯一）．
【解答】解：（1）∵13×77＝1001，
∴，
∴；
（2）∵，
∵能被1000整除，
∴被1000除的余数为，
即被1000除的余数为．
（3）∵，
∴对于匹配的钥匙（a，b），则有ab，
当公钥a为69，则匹配的私钥b；
∵b为两位整数，
∴当n＝2时，b29；
（4）∵，
∴对于匹配的钥匙（a，b），则有ab＝1001，
∵11×91＝1001，
∴匹配的钥匙（11，91）．
故答案为：（11，91）（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法运算，理解题意，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键．
10．已知下列代数式：，﹣5.8xy3，，y．
【基础设问】
（1）写出其中的整式．
（2）写出其中的单项式，并分别指出它们的系数和次数．
（3）写出其中的多项式，并分别指出它们的次数、项数和常数项．
【能力设问】
（4）求其中所有整式的和，并将结果按字母x降幂排列．
【拓展设问】
（5）取两个有理数，分别为a，b，再从上述代数式中取两个整式，分别为A，B，则aA+bB的值可能与x无关．你认为这个说法正确吗？若正确，写出一组符合条件的a，b，A，B；若不正确，请说明理由．
【答案】（1），﹣5.8xy3，x2﹣（xy+2y2），，xy；
（2）见解答；
（3）见解答；
（4）x2y+x2﹣5.8xy3﹣2y2y；
（5）正确，a＝3，b＝2，A，B．
【分析】（1）根据“单项式和多项式同程整式”进行判断求解；
（2）根据单项式及有关概念求解；
（3）根据多项式及有关概念求解；
（4）根据整式的加法运算法则求解；
（5）根据互为相反数的和为0进行求解．
【解答】解：（1）整式有：，﹣5.8xy3，x2﹣（xy+2y2），，xy；
（2）单项式为：，﹣5.8xy3，xy；
的系数为，次数为3，
﹣5.8xy3，的系数为﹣5.8，次数为4，
xy；的系数为1，次数为2；
（3）多项式为：x2﹣（xy+2y2），，
x2﹣（xy+2y2）的次数为2、项数为3，常数项为0，
，的次数为3、项数为3，常数项为；
（4）5.8xy3+x2﹣（xy+2y2）xy
5.8xy3+x2﹣xy﹣2y2+2x2yyxy
x2y+x2﹣5.8xy3﹣2y2y；
（5）正确，a＝3，b＝2，A，B，
则：aA+bB＝324x2y+（4x2y﹣y+1）＝﹣y+1．
【点评】本题考查了整式及整式的加减，理解整式及有关的概念、整式的加减运算法则是解题的关键．
11．小明同学家的住房户型呈长方形，平面图（单位：m）如图1，现准备铺设地面，三间卧室铺设木板，其他区域铺设地砖．
（1）a的值为 　3　 ，所有地面总面积为 　136　 m2．
（2）分别求铺设地面需要木地板多少平方米，需要地砖多少平方米．（用含x的代数式表示）
（3）按市场价格，木地板价格为300元/m2，地砖价格为120元m2，当x＝2时，求小明家铺设地面总费用为多少元．
（4）工人师傅铺设地砖时，小明用若干块大小相同的长方形地砖按规律摆成如图2所示的图案，则第n个图案中长方形地砖的块数为 　3n+1　 ．
【答案】（1）3，136．
（2）铺设地面需要木地板（85﹣13x）平方米，需要地砖（51+13x）平方米．
（3）小明家铺设地面总费用为26940元．
（4）3n+1．
【分析】（1）观察图形得a＝4+4﹣5＝3（m），所有地面总面积为（4+4）×（10+7）＝136（m2）．
（2）观察图形得卧室2的长为＝（19﹣7x）（m），故铺设地面需要木地板＝卧室1面积+卧室2面积+卧室3面积，再计算即可．需要地砖面积＝其他区域面积＝所有地面总面积﹣铺设地面需要木地板面积，再计算即可．
（3）小明家铺设地面总费用＝（85﹣13×2）×300+（51+13×2）×120＝26940（元）．
（4）观察图形找到规律即可．
【解答】解：（1）a＝4+4﹣5＝3（m），
所有地面总面积为（4+4）×（10+7）＝136（m2）．
故答案为：3，136．
（2）卧室2的长为10+7﹣x﹣（4x﹣2）﹣2x＝（19﹣7x）（m），
∴卧室1面积+卧室2面积+卧室3面积＝4×2x+a（19﹣7x）+4×7＝（85﹣13x）（m2），
∴其他区域面积＝136﹣（85﹣13x）＝（51+13x）（m2）．
故铺设地面需要木地板（85﹣13x）平方米，需要地砖（51+13x）平方米．
（3）小明家铺设地面总费用＝（85﹣13×2）×300+（51+13×2）×120＝26940（元）．
故小明家铺设地面总费用为26940元．
（4）n＝1时，长方形地砖的块数为1+2+1，
n＝2时，长方形地砖的块数为2+3+2，
n＝3时，长方形地砖的块数为3+4+3，
n＝4时，长方形地砖的块数为4+5+4，
...，
故n＝n时，长方形地砖的块数为n+（n+1）+n＝3n+1．
故答案为：3n+1．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，列代数式，代数式求值，观察图形进行正确计算是解题关键．
12．先化简，再求值4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中（x﹣2）2+|y+1|＝0．
【答案】5xy，﹣10．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，
∵（x﹣2）2+|y+1|＝0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
∴x＝2，y＝﹣1，
则原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则．
13．在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当a，b＝﹣3时，求多项式2a2+4ab+2b2﹣2（a2+2ab+b2﹣1）的值．”解完这道题后，小明指出：“a，b＝﹣3是多余的条件．”师生讨论后，一致认为小明的说法是正确的．
（1）请你说明正确的理由；
（2）受此启发，王老师又出示了一道题目：“已知无论x，y取什么值，多项式2x2﹣my+12﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，求m+n的值．”请你解决这个问题．
【答案】（1）理由见解答过程；
（2）﹣1．
【分析】（1）去括号合并同类项可得代数式的值与a、b无关，即可得结论；
（2）先求出m、n的值，再代入计算即可．
【解答】解：（1）2a2+4ab+2b2﹣2（a2+2ab+b2﹣1）
＝2a2+4ab+2b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2+2
＝2，
∴该多项式的值为常数．与a和b的取值无关，小明的说法是正确的；
（2）2x2﹣my+12﹣（nx2+3y﹣6）
＝2x2﹣my+12﹣nx2﹣3y+6
＝（2﹣n）x2+（﹣m﹣3）y+18，
∵已知无论x，y取什么值，多项式2x2﹣my+12﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，
∴2﹣n＝0，﹣m﹣3＝0，
解得n＝2，m＝﹣3，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1．
【点评】本题考查求代数式的值，解题的关键是掌握去括号及合并同类项的法则．
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