第3章 图形的初步认识（新课预习.培优卷）（含解析）-2025-2026学年七年级上册数学华东师大版（2024）

第3章 图形的初步认识
一、选择题
1．如图所示，①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，组合其中的两个，能构成长方体的方案个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝140°，则∠BOC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．40°
4．如图，是一个正方体茶盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点K重合的顶点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（　　）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
6．已知线段AB＝5，点C为直线AB上一点，且AC：BC＝3：2，点D为线段AC的中点，则线段BD的长为（　　）
A．3.5 B．3.5或7.5 C．3.5或2.5 D．2.5或7.5
7．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）
A．31 B．32 C．33 D．34
二、填空题
8．如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝　 　 °．
9．如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数为　 　
10．如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为 　 　 °．
三、解答题
11．综合与实践
某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒），请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
动手操作一：
根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b cm的小正方形，再沿虚线折合起来．
问题解决：
（1）该长方体纸盒的底面边长为 　 　 cm；（请你用含a，b的代数式表示）
（2）若a＝24cm，b＝6cm，则长方体纸盒的底面积为 　 　 cm2；
动手操作二：
根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．
方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
拓展延伸：
（3）该长方体纸盒的体积为多少cm3？（请你用含a，b的代数式表示）
第3章 图形的初步认识
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图所示，①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，组合其中的两个，能构成长方体的方案个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据组合后的几何体是长方体直接判断即可．
【解答】解：由题意知，组合后的几何体是长方体，
∴①④符合要求，③④符合要求，
∴能构成长方体的方案个数是2．
故选：B．
【点评】本题主要考查立体图形的拼搭，根据组合后的几何体形状做出判断是解题的关键．
2．北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【答案】A
【分析】根据三视图的定义求解即可．
【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
3．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝140°，则∠BOC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．40°
【答案】D
【分析】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝140°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝50°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD
＝90°﹣50°
＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出∠COD的度数．
4．如图，是一个正方体茶盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点K重合的顶点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【分析】结合图形即可求解．
【解答】解：观察发现，折叠成正方体后，与顶点K重合的顶点是点D．
故选：D．
【点评】本题考查了立体图形的展开图，掌握数形结合是关键．
5．如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（　　）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
【答案】C
【分析】从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1；从左面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次，2，2，1，依此画出图形即可判断．
【解答】解：如图所示
主视图和左视图都是由4个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，所以俯视图的面积最大．
故选：C．
【点评】本题主要考查作图﹣三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
6．已知线段AB＝5，点C为直线AB上一点，且AC：BC＝3：2，点D为线段AC的中点，则线段BD的长为（　　）
A．3.5 B．3.5或7.5 C．3.5或2.5 D．2.5或7.5
【答案】C
【分析】根据线段的比例，可得AC和BC的长，根据线段中点的性质，可得CD的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：如图，当点C在线段AB上时，
∵AB＝5，AC：BC＝3：2，
∴AC＝3，BC＝2．
∵D是线段AC的中点，
∴CDAC＝1.5，
∴BD＝CD+BC＝1.5+2＝3.5；
如图，当点C在线段AB延长线上时，
∵AB＝5，AC：BC＝3：2，
∴AC＝15，BC＝10．
∵D是线段AC的中点，
∴CDAC＝7.5，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣7.5＝2.5．
综上所述：BD的长是3.5或2.5．
故选：C．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的比例得出AC和BC的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
7．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】根据正方体表面展开图的特征，判断“对面”“邻面”上的数字，再该结合体的摆放方式得出答案．
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”是对面，
因此要使图②中几何体能看得到的面上数字之和最小，最右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1、2、3、5，最上边的那个正方体所能看到的5个面的数字为1、2、3、4、5，左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字为1、2、3，
所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为11+15+6＝32，
故选：B．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是正确解答的前提．
二、填空题
8．如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝　90　 °．
【答案】90．
【分析】根据题意可得∠APC＝34°，∠BPC＝56°，然后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
∠APC＝34°，∠BPC＝56°，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
9．如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数为　6　
【答案】见试题解答内容
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：综合三视图，几何体的底面有5个小正方体，第二层有1个小正方体，那么构成这个几何体的小正方体的个数有5+1＝6个．
故答案为：6．
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
10．如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为 　135　 °．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形外角定理进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
∠BAC＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
【点评】本题主要考查了角的计算，熟练掌握角的计算方法进行求解是解决本题的关键．
三、解答题
11．综合与实践
某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒），请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
动手操作一：
根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b cm的小正方形，再沿虚线折合起来．
问题解决：
（1）该长方体纸盒的底面边长为 　（a﹣2b）　 cm；（请你用含a，b的代数式表示）
（2）若a＝24cm，b＝6cm，则长方体纸盒的底面积为 　144　 cm2；
动手操作二：
根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．
方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
拓展延伸：
（3）该长方体纸盒的体积为多少cm3？（请你用含a，b的代数式表示）
【答案】（1）（a﹣2b）；（2）144；（3）b（a﹣2b）2cm3．
【分析】（1）根据折叠可得答案；
（2）将a＝24，b＝6代入底面积的代数式计算即可；
（3）根据图2的裁剪，折叠后，表示出长、宽、高，进而用代数式表示体积．
【解答】解：（1）根据折叠可知，底面是边长为（a﹣2b）cm的正方形，
故答案为：（a﹣2b）；
（2）将a＝24，b＝6代入得，（a﹣2b）2＝（24﹣2×6）2＝144（cm2），
答：长方体纸盒的底面积为144cm2；
故答案为：144；
（3）裁剪后折叠成长方体的长为：（a﹣2b）cm，宽为 cm，高为b cm，
所以，折叠后长方体的体积为（a﹣2b）b，即b（a﹣2b）2cm3，
答：长方体的体积为b（a﹣2b）2cm3．
【点评】本题考查认识立体图形，列代数式和求值，掌握立体图形的特征是正确计算的前提，用代数式表示是关键．
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