集合的综合问题
题型一 集合的综合运算
【例1】 已知集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜x≥1}，C＝{x｜x＞m－2}.
（1）求A∪B；
（2）若 ，求实数m的取值范围.
请从①A C；②A∩C≠ ；③C RA.这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
通性通法
集合的综合运算的常用解法
（1）定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解；
（2）数轴法：集合是用不等式（组）给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解.
【跟踪训练】
设全集U＝R，集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，C＝{x｜a≤x≤a＋1，a∈R}.
（1）分别求A∩B，A∪（ UB）；
（2）若B∩C＝C，求实数a的取值范围.
题型二 集合的综合应用
【例2】 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.求该网店：
（1）第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？
（2）这三天售出的商品最少有多少种？
通性通法
解决此类以生活实际为背景的集合问题，通常是先将各种对象用不同的集合表示，再借助Venn图直观分析各集合中的元素个数，最后转化为实际问题求解.
【跟踪训练】
某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人.
题型三 集合中的创新性问题
角度1 集合的新定义问题
【例3】 若集合A具有以下性质：
（1）0∈A，1∈A；
（2）若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.
则称集合A是“好集”.下列结论正确的个数是（ ）
①由－1，0，1组成的集合B是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A.0 B.1
C.2 D.3
通性通法
解答集合新定义问题的关键是认真阅读题目，准确理解题目中的新定义，依照新定义中某些限定条件，联系所学过的知识找出解题的突破口.
【跟踪训练】
设全集U＝{1，2，3}，集合A，B（A≠B）都是U的子集，若A∩B＝{1}，则称A，B为“理想配集”，记作（A，B），（A，B）和（B，A）是相同的“理想配集”，则这样的“理想配集”（A，B）有（ ）
A.3种 B.4种 C.7种 D.8种
角度2 集合的新运算问题
【例4】 定义集合运算：A☉B＝{z｜z＝xy（x＋y），x∈A，y∈B}.设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A☉B的所有元素之和为（ ）
A.0 B.6 C.12 D.18
通性通法
有关集合“新运算”的问题，在理解运算法则的基础上，试图去寻求运算规律，并进行推理.
【跟踪训练】
设集合M＝xm≤x≤m＋，N＝{xn－≤x≤n}，且M，N都是集合{x｜0≤x≤1}的子集，如果把b－a称为集合{x｜a≤x≤b，a，b∈R}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（ ）
A. B. C. D.
培优课 集合的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）∵集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜x≥1}，
∴A∪B＝{x｜－1＜x＜3}∪{x｜x≥1}＝{x｜x＞－1}.
（2）若选择①，由A C，得m－2≤－1，即m≤1，
∴实数m的取值范围是{m｜m≤1}.
若选择②，由A∩C≠ ，得m－2＜3，即m＜5，
∴实数m的取值范围是{m｜m＜5}.
若选择③，由C RA，且 RA＝{x｜x≤－1或x≥3}，得m－2≥3，即m≥5，
∴实数m的取值范围是{m｜m≥5}.
跟踪训练
解：（1）A∩B＝{x｜2＜x≤3}， UB＝{x｜x≤2或x≥4}，A∪（ UB）＝{x｜x≤3或x≥4}.
（2）由B∩C＝C可得C B，由题可得C≠ ，
所以解得2＜a＜3，即实数a的取值范围为{a｜2＜a＜3}.
【例2】 解：（1）
设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品为集合B，则B中有13个元素.由于前两天都售出的商品有3种，则A∩B中有3个元素.Venn图如图所示，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16（种）.
（2）由（1）知，前两天售出的商品为19＋13－3＝29（种），当第三天售出的18种商品都是前两天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少，售出的商品最少为29种.
跟踪训练
8 解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图，由题意可得（26－6－x）＋6＋（15－4－6）＋4＋（13－4－x）＋x＝36，解得x＝8.即同时参加数学和化学小组的有8人.
【例3】 C ①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，－1－1＝－2 B，这与－2∈B矛盾.②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”.③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－（－y）∈A，即x＋y∈A.
跟踪训练
B 由A∩B＝{1}可知，1这个元素在集合A和B中，且A≠B，则集合A，B可能是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，所以讨论满足条件的集合A和B可能的情况.因为（A，B）和（B，A）是相同的“理想配集”，所以集合A，B的可能情况有：①A＝{1}，B＝{1，2}；②A＝{1}，B＝{1，3}；③A＝{1}，B＝{1，2，3}；④A＝{1，2}，B＝{1，3}.所以这样的（A，B）有4种.
【例4】 D 当x＝0，y＝2时，z＝xy（x＋y）＝0；当x＝0，y＝3时，z＝xy（x＋y）＝0；当x＝1，y＝2时，z＝xy（x＋y）＝2×3＝6；当x＝1，y＝3时，z＝xy（x＋y）＝3×4＝12.综上所述，A☉B所有元素之和为0＋6＋12＝18.
跟踪训练
C 由题意可知，集合M，N都是由数轴上0～1这一段上的点所对应的实数组成的集合（如图所示），且集合M，N的“长度”分别为，，因此要使M∩N的“长度”最小，需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最少，所以所求最小值为＋－1＝.
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培优课
集合的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 集合的综合运算
【例1】 已知集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜ x ≥1}， C ＝
{ x ｜ x ＞ m －2}.
（1）求 A ∪ B ；
解： ∵集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜ x ≥1}，
∴ A ∪ B ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}∪{ x ｜ x ≥1}＝{ x ｜ x ＞－1}.
（2）若 ，求实数 m 的取值范围.
请从① A C ；② A ∩ C ≠ ；③ C R A . 这三个条件中选一个
填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解： 若选择①，由 A C ，得 m －2≤－1，即 m ≤1，
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≤1}.
若选择②，由 A ∩ C ≠ ，得 m －2＜3，即 m ＜5，
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ＜5}.
若选择③，由 C R A ，且 R A ＝{ x ｜ x ≤－1或 x ≥3}，得 m －
2≥3，即 m ≥5，
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≥5}.
通性通法
集合的综合运算的常用解法
（1）定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借
助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察
求解；
（2）数轴法：集合是用不等式（组）给出的，运算时可先将不等式
在数轴中表示出来，然后借助数轴求解.
【跟踪训练】
设全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤3}， B ＝{ x ｜2＜ x ＜4}， C ＝
{ x ｜ a ≤ x ≤ a ＋1， a ∈R}.
（1）分别求 A ∩ B ， A ∪（ UB ）；
解： A ∩ B ＝{ x ｜2＜ x ≤3}， UB ＝{ x ｜ x ≤2或 x ≥4}，
A ∪（ UB ）＝{ x ｜ x ≤3或 x ≥4}.
（2）若 B ∩ C ＝ C ，求实数 a 的取值范围.
解： 由 B ∩ C ＝ C 可得 C B ，由题可得 C ≠ ，
所以解得2＜ a ＜3，即实数 a 的取值范围为{ a ｜2
＜ a ＜3}.
题型二 集合的综合应用
【例2】 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出
19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售
出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.求该网店：
（1）第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？
解： 设第一天售出的商品为集合 A ，则 A
中有19个元素，第二天售出的商品为集合 B ，
则 B 中有13个元素.由于前两天都售出的商品有3种，则 A ∩ B 中有3个元素.Venn图如图所示，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16（种）.
（2）这三天售出的商品最少有多少种？
解： 由（1）知，前两天售出的商品为19＋13－3＝29
（种），当第三天售出的18种商品都是前两天售出的商品时，
这三天售出的商品种类最少，售出的商品最少为29种.
通性通法
解决此类以生活实际为背景的集合问题，通常是先将各种对象用
不同的集合表示，再借助Venn图直观分析各集合中的元素个数，最后
转化为实际问题求解.
【跟踪训练】
某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至
多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，
15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小
组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人.
解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成
的集合分别为 A ， B ， C ，同时参加数学和化
学小组的有 x 人，由题意可得如图所示的Venn
图，由题意可得（26－6－ x ）＋6＋（15－4－
6）＋4＋（13－4－ x ）＋ x ＝36，解得 x ＝8.
即同时参加数学和化学小组的有8人.
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题型三 集合中的创新性问题
角度1 集合的新定义问题
【例3】 若集合 A 具有以下性质：
（1）0∈ A ，1∈ A ；
（2）若 x ∈ A ， y ∈ A ，则 x － y ∈ A ，且 x ≠0时， ∈ A .
则称集合 A 是“好集”.下列结论正确的个数是（ ）
①由－1，0，1组成的集合 B 是“好集”；
②有理数集Q是“好集”；
③设集合 A 是“好集”，若 x ∈ A ， y ∈ A ，则 x ＋ y ∈ A .
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： ①集合 B 不是“好集”，假设集合 B 是“好集”，因
为－1∈ B ，1∈ B ，－1－1＝－2 B ，这与－2∈ B 矛盾.②有理
数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的 x ∈Q， y
∈Q，有 x － y ∈Q，且 x ≠0时， ∈Q，所以有理数集Q是“好
集”.③因为集合 A 是“好集”，所以0∈ A ，若 x ∈ A ， y ∈
A ，则0－ y ∈ A ，即－ y ∈ A ，所以 x －（－ y ）∈ A ，即 x ＋ y
∈ A .
通性通法
解答集合新定义问题的关键是认真阅读题目，准确理解题目中的
新定义，依照新定义中某些限定条件，联系所学过的知识找出解题的
突破口.
【跟踪训练】
设全集 U ＝{1，2，3}，集合 A ， B （ A ≠ B ）都是 U 的子集，若 A
∩ B ＝{1}，则称 A ， B 为“理想配集”，记作（ A ， B ），（ A ，
B ）和（ B ， A ）是相同的“理想配集”，则这样的“理想配集”
（ A ， B ）有（ ）
A. 3种 B. 4种
C. 7种 D. 8种
解析： 由 A ∩ B ＝{1}可知，1这个元素在集合 A 和 B 中，且 A ≠
B ，则集合 A ， B 可能是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，所以讨
论满足条件的集合 A 和 B 可能的情况.因为（ A ， B ）和（ B ， A ）是
相同的“理想配集”，所以集合 A ， B 的可能情况有：① A ＝{1}， B
＝{1，2}；② A ＝{1}， B ＝{1，3}；③ A ＝{1}， B ＝{1，2，3}；④
A ＝{1，2}， B ＝{1，3}.所以这样的（ A ， B ）有4种.
角度2 集合的新运算问题
【例4】 定义集合运算： A ☉ B ＝{ z ｜ z ＝ xy （ x ＋ y ）， x ∈ A ， y
∈ B }.设集合 A ＝{0，1}， B ＝{2，3}，则集合 A ☉ B 的所有元素之和
为（ ）
A. 0 B. 6
C. 12 D. 18
解析： 当 x ＝0， y ＝2时， z ＝ xy （ x ＋ y ）＝0；当 x ＝0， y ＝3
时， z ＝ xy （ x ＋ y ）＝0；当 x ＝1， y ＝2时， z ＝ xy （ x ＋ y ）＝2×3
＝6；当 x ＝1， y ＝3时， z ＝ xy （ x ＋ y ）＝3×4＝12.综上所述， A ☉
B 所有元素之和为0＋6＋12＝18.
通性通法
有关集合“新运算”的问题，在理解运算法则的基础上，试图去
寻求运算规律，并进行推理.
【跟踪训练】
设集合 M ＝ x m ≤ x ≤ m ＋ ， N ＝{ x n － ≤ x ≤ n }，且 M ， N 都
是集合{ x ｜0≤ x ≤1}的子集，如果把 b － a 称为集合{ x ｜ a ≤ x ≤ b ，
a ， b ∈R}的“长度”，那么集合 M ∩ N 的“长度”的最小值是
（ ）
解析： 由题意可知，集合 M ， N 都是
由数轴上0～1这一段上的点所对应的实数
组成的集合（如图所示），且集合 M ， N
的“长度”分别为 ， ，因此要使 M ∩ N的“长度”最小，需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最少，所以所求最小值为 ＋ －1＝ .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 M ＝{ x ｜ x ∈ A 且 x B }，若集合 A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝
{2，4，6}，则 M ＝（ ）
A. {1，3，5，6} B. {1，3，5}
C. {2，4} D. {6}
解析： 由题得 M ＝{1，3，5}.故选B.
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2. 已知全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜ x ＜－1或 x ＞4}， B ＝{ x ｜－2≤ x
≤3}，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A. { x ｜－2≤ x ＜4} B. { x ｜ x ≤3或 x ≥4}
C. { x ｜－2≤ x ≤－1} D. { x ｜－1≤ x ≤3}
解析： 由题意得，阴影部分所表示的集合为（ UA ）∩ B ＝
{ x ｜－1≤ x ≤4}∩{ x ｜－2≤ x ≤3}＝{ x ｜－1≤ x ≤3}.
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3. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游
泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢
足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例是（ ）
A. 62% B. 56%
C. 46% D. 42%
解析： 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生
占该中学学生总数的比例为 x ，用Venn图表
示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，则（60%－ x ）＋（82%－ x ）＋ x ＝96%，解得 x ＝46%.
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4. 已知集合 A ＝{0，1，2}，则集合 B ＝{ x － y ｜ x ∈ A ， y ∈ A }中元
素的个数是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
解析： x ＝0， y ＝0，1，2时， x － y ＝0，－1，－2； x ＝1， y
＝0，1，2时， x － y ＝1，0，－1； x ＝2， y ＝0，1，2时， x － y
＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知集合 B 中的元素为－2，
－1，0，1，2，共5个.
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5. 若集合 P ＝{ x ｜3＜ x ≤22}，非空集合 Q ＝{ x ｜2 a ＋1≤ x ＜3 a －
5}，则能使 Q （ P ∩ Q ）成立的所有实数 a 的取值范围为（ ）
A. 1＜ a ＜9 B. 1≤ a ≤9
C. 6≤ a ＜9 D. 6＜ a ≤9
解析： ∵ Q （ P ∩ Q ），∴ P ∩ Q ＝ Q ， Q P ，
∴解得6＜ a ≤9，故选D.
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6. 给定集合 S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于 x ∈ S ，如果 x ＋1
S ， x －1 S ，那么 x 是 S 的一个“好元素”.由 S 的3个元素构成的
所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）
A. 6个 B. 12个
C. 9个 D. 5个
解析： 要不含“好元素”，说明这三个数必须是连续的，故不
含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，
5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个，故选A.
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7. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜ x ＜2}， B ＝{ x ｜3－2 x ＞0}，则
（ ）
B. A ∩ B ＝
C. A ∪ B ＝R D. A ∪ B ＝{ x ｜ x ＜2}
解析： 因为集合 A ＝{ x ｜ x ＜2}， B ＝{ x ｜3－2 x ＞0}＝
，因此 A ∩ B ＝ ， A ∪ B ＝{ x ｜ x ＜2}.故选
A、D.
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8. （多选）已知集合 A ， B 均为R的子集，若 A ∩ B ＝ ，则（ ）
A. A R B B. R A B
C. A ∪ B ＝R D. （ R A ）∪（ R B ）＝R
解析： Venn图如图所示，由图可得 A R
B ，故A正确； B R A ，故B错误； A ∪ B
R，故C错误；（ R A ）∪（ R B ）＝ R（ A ∩
B ）＝R. 故选A、D.
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9. （多选）若集合 A ＝{0，1，2， x }， B ＝{1， x2}， A ∪ B ＝ A ，则
满足条件的实数 x 的值为（ ）
A. 0 B. 1
解析： 由 A ∪ B ＝ A ，所以 B A . 又 A ＝{0，1，2， x }， B
＝{1， x2}，所以 x2＝0，或 x2＝2，或 x2＝ x . x2＝0时，集合 A 不符
合集合元素的互异性，所以 x2≠0. x2＝2时， x ＝－ 或 x ＝ ，
符合题意. x2＝ x 时，得 x ＝0或 x ＝1，集合 A 均不符合集合元素的
互异性，所以 x2≠ x .故选C、D.
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10. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”.对
于集合 A ＝{－1，2}， B ＝{ x ｜ ax2＝2， a ≥0}，若这两个集合
构成“鲸吞”，则 a 的值为 .
解析：当 a ＝0时， B ＝ ，显然 B A ，符合题意；当 a ≠0时，显
然集合 B 中元素是两个互为相反数的实数，而集合 A 中的两个元
素不互为相反数，所以集合 B 、 A 之间不存在子集关系，不符合
题意，故答案为0.
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11. 某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了
田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加
的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数
为 .
解析：由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名
参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的
同学共有7＋8＋12＝27人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有
参加的人数为50－27＝23.
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解： M ＝ ，
由 ＝ ，得 a ＝4，由 ＝1，得 a ＝1.
当 a ＝4时， M ＝ ，此时 M N ，不合题意；
当 a ＝1时， M ＝{－1，1}，满足题意.
综上，实数 a 的值为1.
12. 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个
集合“相交”.对于集合 M ＝{ x ｜ ax2－1＝0， a ＞0}， N ＝
，若 M 与 N “相交”，求实数 a 的值.
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13. 已知 A ＝{ x ｜ x2－2 x －8＝0}， B ＝{ x ｜ x2＋ ax ＋ a2－12＝0}.若
B ∪ A ≠ A ，求实数 a 的取值范围.
解：若 B ∪ A ＝ A ，则 B A . 又 A ＝{ x ｜ x2－2 x －8＝0}＝{－2，
4}，∴集合 B 有以下三种情况：
①当 B ＝ 时，Δ＝ a2－4（ a2－12）＜0，即 a2＞16，∴ a ＜－4或
a ＞4；
②当 B 是单元素集时，Δ＝ a2－4（ a2－12）＝0，∴ a ＝－4或 a ＝
4，若 a ＝－4，则 B ＝{2} A ；若 a ＝4，则 B ＝{－2} A ；
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③当 B ＝{－2，4}时，－2，4是方程 x2＋ ax ＋ a2－12＝0的两实
根，∴∴ a ＝－2.
综上可得， B ∪ A ＝ A 时， a 的取值范围为{ a ｜ a ＜－4或 a ＝－2
或 a ≥4}.
∴ B ∪ A ≠ A 时，实数 a 的取值范围为{ a ｜－4≤ a ＜4，且 a ≠－
2}.
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1.已知M＝{x｜x∈A且x B}，若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，则M＝（ ）
A.{1，3，5，6} B.{1，3，5}
C.{2，4} D.{6}
2.已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞4}，B＝{x｜－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A.{x｜－2≤x＜4} B.{x｜x≤3或x≥4}
C.{x｜－2≤x≤－1} D.{x｜－1≤x≤3}
3.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例是（ ）
A.62% B.56%
C.46% D.42%
4.已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y｜x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A.1 B.3
C.5 D.9
5.若集合P＝{x｜3＜x≤22}，非空集合Q＝{x｜2a＋1≤x＜3a－5}，则能使Q （P∩Q）成立的所有实数a的取值范围为（ ）
A.1＜a＜9 B.1≤a≤9
C.6≤a＜9 D.6＜a≤9
6.给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1 S，x－1 S，那么x是S的一个“好元素”.由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）
A.6个 B.12个
C.9个 D.5个
7.（多选）已知集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}，则（ ）
A.A∩B＝{x｜x＜} B.A∩B＝
C.A∪B＝R D.A∪B＝{x｜x＜2}
8.（多选）已知集合A，B均为R的子集，若A∩B＝ ，则（ ）
A.A RB B. RA B
C.A∪B＝R D.（ RA）∪（ RB）＝R
9.（多选）若集合A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x的值为（ ）
A.0 B.1
C.－ D.
10.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”.对于集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”，则a的值为 .
11.某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 .
12.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x｜ax2－1＝0，a＞0}，N＝，若M与N“相交”，求实数a的值.
13.已知A＝{x｜x2－2x－8＝0}，B＝{x｜x2＋ax＋a2－12＝0}.若B∪A≠A，求实数a的取值范围.
培优课 集合的综合问题
1.B 由题得M＝{1，3，5}.故选B.
2.D 由题意得，阴影部分所表示的集合为（ UA）∩B＝{x｜－1≤x≤4}∩{x｜－2≤x≤3}＝{x｜－1≤x≤3}.
3.C 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，则（60%－x）＋（82%－x）＋x＝96%，解得x＝46%.
4.C x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知集合B中的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.
5.D ∵Q （P∩Q），∴P∩Q＝Q，Q P，∴解得6＜a≤9，故选D.
6.A 要不含“好元素”，说明这三个数必须是连续的，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个，故选A.
7.AD 因为集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}＝，因此A∩B＝，A∪B＝{x｜x＜2}.故选A、D.
8.AD Venn图如图所示，由图可得A RB，故A正确；B RA，故B错误；A∪B R，故C错误；（ RA）∪（ RB）＝ R（A∩B）＝R.故选A、D.
9.CD 由A∪B＝A，所以B A.又A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，所以x2＝0，或x2＝2，或x2＝x.x2＝0时，集合A不符合集合元素的互异性，所以x2≠0.x2＝2时，x＝－或x＝，符合题意.x2＝x时，得x＝0或x＝1，集合A均不符合集合元素的互异性，所以x2≠x.故选C、D.
10.0 解析：当a＝0时，B＝ ，显然B A，符合题意；当a≠0时，显然集合B中元素是两个互为相反数的实数，而集合A中的两个元素不互为相反数，所以集合B、A之间不存在子集关系，不符合题意，故答案为0.
11.23 解析：由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的同学共有7＋8＋12＝27人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为50－27＝23.
12.解：M＝，
由＝，得a＝4，由＝1，得a＝1.
当a＝4时，M＝，此时M N，不合题意；
当a＝1时，M＝{－1，1}，满足题意.
综上，实数a的值为1.
13.解：若B∪A＝A，则B A.又A＝{x｜x2－2x－8＝0}＝{－2，4}，∴集合B有以下三种情况：
①当B＝ 时，Δ＝a2－4（a2－12）＜0，即a2＞16，∴a＜－4或a＞4；
②当B是单元素集时，Δ＝a2－4（a2－12）＝0，∴a＝－4或a＝4，若a＝－4，则B＝{2} A；若a＝4，则B＝{－2} A；
③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两实根，
∴∴a＝－2.
综上可得，B∪A＝A时，a的取值范围为{a｜a＜－4或a＝－2或a≥4}.
∴B∪A≠A时，实数a的取值范围为{a｜－4≤a＜4，且a≠－2}.
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