第二十四章 圆 专题 垂径定理模型的构建与应用（含答案）

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第二十四章 圆
专题 垂径定理模型的构建与应用
类型1 在网格中构建与应用
1.如图，直角坐标系中的点A(0，4),B(4,4),C(6,2),经过A,B,C三点的圆,圆心为M，则点M的坐标为( )
A.(1,-1) B.(1,0) C.(2,0) D.(2,1)
2.如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC外接圆的半径为_____________.
类型2 在坐标系中构建与应用
3.如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2),点A的坐标为(2,0),则点B的坐标为____________.
类型3 在与弦有关的图中构建与应用
4.已知⊙O的半径为2cm,弦AB的长为2cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
5.在⊙O中，半径为,弦AB=2,弦则∠BAC的度数为( )
A.75° B.15° C.75°或15° D.90°或60°
6.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点,连接OA,OP,求OP的长度范围.
7.如图，AB是⊙O内的一条弦.
(1)尺规作图(保留作图痕迹，标明字母)：作弦AB的垂直平分线EF,EF与AB交于点P(垂足为P),与⊙O交于点E,F(点E在弦AB的上方),连接OA,OB.
(2)在所作的图中,若AB=24,⊙O的半径为13,求PF的长.
类型4 在对称性图中构建与应用
8.如图,在△ABC中,⊙O是△ABC的外接圆.
请用圆规和无刻度的直尺画出⊙O，不写作法，保留作图痕迹；
(2)求⊙O的半径;
(3)若在同一平面内的⊙P也经过B，C两点，且PA=2，请直接写出⊙P的半径的长.
类型5 在圆弧图的实物中构建与应用
9.【问题情境】如图①，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，利用水的冲力旋转，当转过一定角度时，原先浸在水里的竹筒将提升到一定高度，从而使水流入木槽.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120s.
【问题设置】如图②，把筒车抽象为一个半径为的⊙O.筒车涉水宽度,筒车涉水深度(劣弧AB的中点到水面的距离)是0.6 m.筒车开始工作时，⊙O上C处的某盛水筒到水面AB的距离是0.9 m,经过85 s后,该盛水筒旋转到点D处.
【问题解决】
(1)求该筒车的半径；
(2)当盛水筒旋转至D处时，求它到水面AB的距离.
10.某市一大型地下横截面为圆形的排污管道突然爆裂，为了使人们的生活不受影响，相关部门组织专业人员抢修.爆裂后的管道横截面如图所示，经测量得出管道内水面宽AB为8米.
(1)请利用尺规作图的方法找到管道横截面的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)为了保证安全作业，经过紧急排污处理后，水面下降1米后的水面CD宽为6米，请求出此时水面的最大深度.
参考答案
1.C 2. 3.(6,0)
4.A【点拨】如图,连接OB,过O作OE⊥AB于点E,与⊙O相交于点F,
则OF=OB-2cm,由垂径定理得AE=EB=
∴在Rt△OEB中,
∴这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为EF=OF-OE=2-1=1(cm).
5.C【点拨】分别作OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别是D,E,连接OA,
∵半径为易知∠BAO=45°,∠CAO=30°.
①当弦AB,AC在圆心O的同侧时,∠BAC=∠BAO-
②当弦AB，AC在圆心O的异侧时,∠BAC=∠BAO+∠CAO=45°+30°=75°.
综上,∠BAC的度数为75°或15°.
6.【解】如图,作直径MN⊥弦AB,交AB于点D，由垂径定理，得
∵⊙O的直径为10cm,∴OA=5cm,∴由勾股定理，得
∴易得OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.
7.【解】(1)如图所示.
(2)由题意得OF=OA=13.
∵AB=24,EF是AB的垂直平分线,
12.
在Rt△APO中,根据勾股定理,得OP=
∴PF=PO+OF=5+13=18.
8.【解】(1)画⊙O如图①所示.
(2)如图②,过点A作AD⊥BC,垂足为D,连接OB,OC.
∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD垂直平分BC.
又∵OB=OC,∴点O在BC的垂直平分线上，即点O在AD上.
∵在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AB=2
设OA=OB=r,则OD=6-r.
在Rt△OBD中，根据勾股定理，得解得∴⊙O的半径为
(3)⊙P的半径的长为2
9.【解】(1)如图,过圆心O作OE⊥AB交AB于点E,交⊙O于点F,连接OA.
∵OE⊥AB,AB=3.6m,∴AE=BE=AB=1.8m.
∵OF=rm,EF=0.6m,∴OE=(r-0.6)m.
∵在Rt△OAE中,OA=rm,解得r=3.
∴该筒车的半径为3m.
(2)如图,过点C,D分别作CH⊥OF,DG⊥OF,交OF于点H,G.
由(1)知OF=OC=OD=3m,∴OE=OF-EF=3-0.6=2.4(m).
∵C到水面AB的距离是0.9m,即EH=0.9m,∴OH=OE-EH=2.4-0.9=1.5(m).
∴OH=OC.∴∠OCH=30°.∴∠COH=60°.
∴易得
10.【解】(1)如图①.
(2)如图②,过点O作OG⊥AB于点G,交CD和圆弧于点H,N,连接AO,OC.
由题意可得,GH=1米,AB∥CD,则NH的长即为所求水面的最大深度，∴OH⊥CD.
由题意得米，米,∠OHC=
在Rt△OAG和Rt△OCH中,(即
∵OA=OC,解得OG=3米.∴ON=OC=5米.
∴NH=ON-OG-GH=1米,即此时水面的最大深度为1米
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