第二十四章 圆 专题 分类讨论思想在圆中的应用类型（含答案）

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第二十四章 圆
专题 分类讨论思想在圆中的应用类型
【高分秘籍】点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案不唯一.如：点可能在圆内，也可能在圆外或圆上；两条弦可能在某条直径的同侧，也可能在某条直径的异侧，一条弦(非直径)所对的圆周角可能是锐角，也可能是钝角等.因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论.
类型1 点与圆的位置关系不唯一
1.P为半径为12cm的⊙O上一点,Q为平面内一点,且PQ=10cm,求OQ的最值.
2.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为7，最小距离为3，求此圆的半径.
类型2 点在圆上的位置不唯一
3.已知A,B,C三点在⊙O上,OD⊥BC于点D,则∠BAC的度数为____________.
4.已知A,B是⊙O上的两点,如果∠AOB=60°，C是⊙O上不与点A，B重合的任意一点，求∠ACB的度数.
5.已知点P是⊙O外一点,PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C是⊙O上的任意一点(不与点A,B重合).若∠APB=50°,求∠ACB的度数.
类型3 圆心的位置不唯一
6.已知在⊙O的内接三角形ABC中,AB=AC,圆心O到BC的距离为6cm,⊙O的半径为10cm,求AB的长.
类型4 弦与弦的位置关系不唯一
7.如图,⊙O的直径为10,A,B,C,D是⊙O上四个动点,且AB=6,CD=8,若点E,F分别是弦AB，CD的中点，求线段EF的长度的取值范围.
类型5 点在直径上的位置不唯一
8.已知⊙O的直径AB=10,弦CD⊥AB于点M,若OM:OA=3:5,求弦AC的长.
类型6 弦所对的圆周角不唯一
9.如果圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为( )
A.30°或60° B.60° C.150° D.30°或150°
10.若圆的一条弦把圆分成度数比为2：7的两条弧，则该弦所对的圆周角的度数为______________.
类型7 直线与圆的位置关系不唯一
11.已知⊙O的直径为10,P为直线l上一点,OP=5,那么直线l与⊙O的位置关系是______________.
类型8 切线的位置不唯一
12.如图，已知直线l的解析式是并且与x轴、y轴分别交于A，B两点.一个半径为1.5的⊙C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位长度的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，求该圆运动的时间.
参考答案
1.【解】∵PQ=10cm,∴点Q在以P为圆心,10cm为半径的圆上，如图所示，
∴当O，P，Q三点在同一条直线上时，线段OQ有最值.
∴当点Q在⊙O内的Q 处时，OQ取最小值，为PQ =12-10=2(cm);
当点Q在⊙O外的Q 处时，OQ取最大值，为
综上,OQ的最小值为2cm,OQ的最大值为22cm.
2.【解】设⊙O的半径为r,
当点P在⊙O外时,
当点P在⊙O内时,
综上可知，此圆的半径为2或5.
3.40°或140°
4.【解】根据题意,当点C位于优弧AB上时,∠ACB=当点C位于劣弧AB上时,∠ACB=
综上,∠ACB的度数为30°或150°.
5.【解】如图,连接OA,OB.
PA,PB是⊙O的两条切线,PA⊥OA,PB⊥OB.∠OAP=∠OBP=90°.
当点C是优弧AB上一点(如图中点C )时,∠ACB=
当点C是劣弧AB上一点(如图中点C )时,∠ACB=
综上,∠ACB的度数为65°或115°.
6.【解】分两种情况：
(1)当圆心O在△ABC内时,如图①,连接AO并延长交BC于点D,连接OB.
易得AD⊥BC,OD=6cm,
(2)当圆心O在△ABC外时,如图②,连接OA交BC于点D,连接OB,
易得AD⊥BC,OD=6cm,∴AD=10-6=4(cm).
同(1)得
综上所述，AB的长为8cm或
7.【解】如图,连接OE,OF,OA,OC.
∵⊙O的直径为10,∴OA=OC=5.
∵点E,F分别是弦AB,CD的中点,AB=6,CD=8,
∴OE⊥AB,OF⊥CD,AE=AB=3,CF=
当AB∥CD时,E,O,F三点共线.当AB,CD位于圆心O的同侧时,线段EF最短,为;
当AB,CD位于圆心O的两侧时,线段EF最长,为OE+OF=7.综上,线段EF的长度的取值范围为1≤EF≤7.
8.【解】分两种情况：
(1)当点M在线段OB上时,如图①,连接OC.
∵AB=10,∴OA=OC=5.
∵OM:OA=3:5,∴OM=3.∴AM=OA+OM=8.
∵
(2)当点M在线段OA上时，如图②，连接OC，
同(1)可得OA=OC=5,OM=3,∴AM=
综上所述，弦AC的长为4或2
9.D 10.40°或140° 11.相切或相交
12.【解】当⊙C在直线上方与直线相切时，如图①，
设切点为D ,连接C D ,C A.
∵C(0,1.5),∴OC=1.5,∴C D =1.5.
在中,当y=0时,x=3;
当x=0时,y=-4.∴A(3,0),B(0,-4).∴OA=3,OB=4,
在Rt△OAB中，由勾股定理得
解得
∴⊙C运动的时间为3÷0.5=6(秒).
当⊙C在直线下方与直线相切时，如图②.设切点为D ,连接
解得
BC =1.5+4+2.5=8,∴⊙C运动的时间为8÷0.5=16(秒).
综上，⊙C运动的时间为6秒或16秒.
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