第二十四章 圆 专题 与切线有关的辅助线（含答案）

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第二十四章 圆
专题 与切线有关的辅助线
类型1 明公共点：连半径，证垂直
方法1 勾股定理逆定理法证垂直
1.如图,⊙O的直径AB=12,P是AB延长线上一点,且PB=4,C是⊙O上一点,PC=8.
求证：PC是⊙O的切线.
方法2 特殊角计算法证垂直
2.如图,以AB为直径的⊙O经过点P,C,且∠ACP=60°,D是AB延长线上一点,PA=PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由.
方法3 等角代换法证垂直
3.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,且AB⊥CD,垂足为E,BE=6,CD=4,在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD=2∠B.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)求⊙O的半径.
方法4 平行线性质法证垂直
4.如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E,连接BE,CE,过点E作EF∥BC,交CM于点D.求证:
(1)BE=CE;
(2)EF为⊙O的切线.
5.如图,AB是⊙O的直径,射线BC交⊙O于点D,E是劣弧AD上一点,且BE平分,过点E作EF⊥BC于点F,延长FE和BA的延长线交于点G.
(1)求证:GF是⊙O的切线;
(2)若AG=4,GE=8,求⊙O的半径和EF的长.
方法5 全等三角形法证垂直
6.如图,AB是⊙O的直径,AD和BC分别切⊙O于A,B两点,CD与⊙O有公共点E,且AD=DE.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AB=12,BC=4,求AD的长.
类型2 隐公共点：作垂直，证半径
方法6 角平分线性质法证半径
7.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于点E,∠ADC的平分线交AE于点O,以点O为圆心，OA长为半径的圆经过点B.
求证:CD与⊙O相切.
方法7 全等三角形法证半径
8.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB=CD,且AB是小圆的切线,切点为E.求证：CD是小圆的切线.
参考答案
1.【证明】连接OC.
∵⊙O的直径AB=12,∴OB=OC=6.
∵PB=4,∴PO=10.
∵在△POC中,
∴∠OCP=90°,即OC⊥PC.
又∵OC是⊙O的半径,∴PC是⊙O的切线.
2.【解】PD与⊙O相切.理由如下:连接PO.
由圆周角定理得∠AOP=2∠ACP=120°.
∵OA=OP,∴∠OAP=∠OPA=30°.
∵PA=PD,∴∠OAP=∠D=30°.∴∠OPD=180°-(∠OAP+∠OPA)-∠D=90°,
∴OP⊥PD.
又∵OP是⊙O的半径,∴PD与⊙O相切.
3.(1)【证明】连接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠BCO,∴∠AOC=∠B+∠BCO=2∠B.
∵AB⊥CD,∴∠CEO=90°,∴∠COE+∠OCE=90°.
∵∠FCD=2∠B,∴∠FCD=∠COE,∴∠FCD+∠OCE=90°,即∠OCF=90°,∴OC⊥CF.
∵OC是⊙O的半径,∴CF是⊙O的切线.
(2)【解】∵AB是直径,CD是弦,且AB⊥CD,
设⊙O的半径为R,则OC=OB=R,∴OE=6-R.
在Rt△COE中,由勾股定理得,
解得即⊙O的半径为
4.【证明】(1)∵四边形ACBE是圆内接四边形,∴易得∠EAM=∠EBC.
∵AE平分∠BAM,∴∠BAE=∠EAM.
又∵∠BAE=∠BCE,∴∠BCE=∠EAM.∴∠BCE=∠EBC.∴BE=CE.
(2)如图,连接EO并延长,交BC于点H,连接OB,OC.
∵OB=OC,EB=EC,∴直线EO垂直平分BC.∴EH⊥BC.
∵EF∥BC,∴EH⊥EF.
又∵OE是⊙O的半径,∴EF为⊙O的切线.
5.(1)【证明】如图,连接OE,
∵BE平分∠FBA,∴∠1=∠2.
∵OB=OE,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴OE∥BF.
∵BF⊥GF,∴OE⊥GF.
∵OE是⊙O的半径,∴GF是⊙O的切线.
(2)【解】设OA=OE=r,则OG=r+4,在Rt△GOE中,由(可得解得r=6,即⊙O的半径为6,∴OG=10.作EH⊥BG于H,如图.
由等面积法可得，
由角平分线的性质定理可得
6.(1)【证明】连接OD,OE.
∵AD切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,∴DA⊥AB.∴∠DAB=90°.
∵AD=ED,OA=OE,OD=OD,∴△ADO≌△EDO(SSS).∴∠OED=∠OAD=90°,∴OE⊥CD.
又∵OE是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线.
(2)【解】过点C作CH⊥AD于点H,则∠CHA=90°.
∵AB是⊙O的直径,AD和BC分别切⊙O于A,B两点,∴∠DAB=∠ABC=∠CHA=90°
∴四边形ABCH是矩形.∴CH=AB=12,AH=BC=4.∴DH=AD-AH=AD-4.
∵CD切⊙O于点E,CB切⊙O于点B,∴CE=CB=4.
又∵AD=DE,∴CD=AD+4.在Rt△CHD中,(
7.【证明】过点O作OH⊥CD于点H.
∵AE⊥BC,AD∥BC,∴OA⊥DA.
∵DO平分∠ADC,OH⊥DC,OA⊥DA,∴OH=OA,即OH为⊙O的半径.
∴CD与⊙O相切.
8.【证明】如图,连接OE,OA,OC,过点O作OF⊥CD于点F,则
∵AB与小圆相切于点E，
又∵AB=CD,∴AE=CF.
在Rt△AEO和Rt△CFO中,AE=CF,AO=CO,∴Rt△AEO≌Rt△CFO.
∴OE=OF,即OF是小圆的半径.∴CD是小圆的切线.
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