湘教版（2024）数学八年级上册课时训练3.1.1二次根式的概念及性质
一、二次根式的概念
1．（2024八下·衡阳开学考）下列各式中不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2016八下·宜昌期中）下列式子中：、、0、、、（a＞0）二次根式的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如果 是二次根式，那么a、b应满足的条件是 ．
二、二次根式有意义的条件
4．（2020八上·醴陵期末）当x为下列何值时，二次根式 有意义（ ）
A． B． C． D．
5．若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3
6．（2025七下·株洲期中）代数式的值为0时，的值为 ．
7．（2025九上·衡阳期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ．
8．（2025·娄底模拟）函数的自变量的取值范围是 ．
9．求下列式子有意义的x的取值范围
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
10．已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b=++4，求此三角形的周长．
三、二次根式的性质
11．的值等于（ ）
A．2 B．-2 C．- D．
12．下列各式中正确的是（ ）
A．=a B．=±a C．=﹣a D．=|a|
13．当a＞4时，的结果为（ ）
A．a﹣4 B．4﹣a C．﹣4﹣a D．4+a
14．如果=2-x，那么x取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
15．（2024八上·长沙期末）如图，数轴上点表示的数为，化简的值是 ．
16．已知，1≤x≤3，化简：= ．
17．已知a是实数，求﹣的值．
18．（2022八下·长沙开学考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A.被开方数x2+1>0，所以A是二次根式，故A不符合题意；
B.被开方数-9<0，所以B不是二次根式，故B符合题意；
C.被开方数5>0，所以C是二次根式，故C不符合同意；
D.被开方数（m-n）2≥0，所以D是二次根式，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．能熟记二次根式的定义（形如，其中a≥0的根式叫二次根式）是解此题的关键．
2．【答案】A
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：、（a＞0）是二次根式，共2个．
故选：A．
【分析】确定根指数为2，被开方数为非负数的根式即可．
3．【答案】a=2，b≥2
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：∵是二次根式，
∴a=2，b﹣2≥0．
∴b≥2．
故答案为；a=2，b≥2．
【分析】依据被开方数是非负数，根指数为2求解即可．
4．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得，2-x≥0，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
5．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：由有意义，
则满足3m﹣1≥0，解得m≥，
即m≥时，二次根式有意义．
则m能取的最小整数值是m=1．
故选B．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求解．
6．【答案】3
【知识点】二次根式的概念
7．【答案】5
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由可知，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【分析】
根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可解答．
8．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数有意义，
∴-x+1≥0，x2-1≠0，
解-x+1≥0得x≤1，
解x2-1≠0得x≠，
∴自变量的取值范围为x＜1且x≠-1.
故答案为：且．
【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式求解即可.
9．【答案】解：（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，
解得x＜．
所以x的取值范围是x＜．
（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数3﹣x≥0，解得x≤3；
分母x+2≠0，解得x≠﹣2．
所以x的取值范围是x≤3且x≠﹣2．
（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数x﹣3≥0，解得x≥3；
分母x﹣2≠0，解得x≠2．
因为大于或等于3的数中不包含2这个数，
所以x的取值范围是x≥3．
（4）根据题意得：﹣x2≥0，
∵x2≥0，
∴x2=0，
解得x=0．
∴x的取值范围是x=0；
（5）根据题意得：2x2+1≥0，
∵x2≥0，
∴2x2+1＞0，
故x的取值范围是任意实数；
（6）根据题意得：2x﹣3≥0，解得x≥；
2x﹣3≤0，解得x≤．
综上，可知x=．
∴x的取值范围是x=．
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】（1）（2）（3）根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知；
（4）（5）（6）根据二次根式的意义，被开方数是非负数可知．
10．【答案】解：∵、有意义，∴∴a=3，∴b=4，当a为腰时，三角形的周长为：3+3+4=10；当b为腰时，三角形的周长为：4+4+3=11．
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a的值，继而得出b的值，然后代入运算即可．
11．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】解：原式==2．
故选：A．
【分析】根据=|a|，进而求出即可．
12．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、当a＜0时，=﹣a，故选项错误；
B、表示算术平方根，故选项错误；
C、当a＞0时，=a，故选项错误；
D、正确．
故选D．
【分析】根据算术平方根的定义即可作出判断．
13．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵a＞4，
∴4﹣a＜0，
∴=a﹣4．
故选A．
【分析】先根据a＞4判断出4﹣a的符号，进而可得出结论．
14．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】解：∵=2﹣x，
∴x﹣2≤0，
解得x≤2．
故选A．
【分析】根据二次根式的被开方数是一个≥0的数，可得不等式，解即可．
15．【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据数轴可得：，
∴，
∴ ，
故答案为：5．
【分析】首先根据数轴判断a的取值范围，再根据a的取值范围化简二次根式即可.
16．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵1≤x≤3，
∴1﹣x≤0，x﹣3≤0，
∴=x﹣1+3﹣x=2，
故答案为：2．
【分析】由题意1≤x≤3，可以判断1﹣x≤0；x﹣3≤0，然后再直接开平方进行求解．
17．【答案】解：当a＜﹣1时，原式=﹣（a+1）﹣[﹣（a﹣1）]
=﹣a﹣1﹣（﹣a+1）
=﹣a﹣1+a﹣1
=﹣2，
当﹣1≤a＜1时，原式=a+1﹣[﹣（a﹣1）]
=a+1+a﹣1
=2a，
当a≥1时，原式=a+1﹣（a﹣1）
=a+1﹣a+1
=2．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质，要分类讨论，可得答案．
18．【答案】解：由题可得，a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a＜0，a+b＜0，b-a＞0，
∴
=|a|+|a+b|-|b-a|
=-a-a-b-b+a
=-a-2b.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据数轴可得a<0|b|，判断出a+b、b-a的正负，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，再合并合并同类项化简即可.
1 / 1湘教版（2024）数学八年级上册课时训练3.1.1二次根式的概念及性质
一、二次根式的概念
1．（2024八下·衡阳开学考）下列各式中不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A.被开方数x2+1>0，所以A是二次根式，故A不符合题意；
B.被开方数-9<0，所以B不是二次根式，故B符合题意；
C.被开方数5>0，所以C是二次根式，故C不符合同意；
D.被开方数（m-n）2≥0，所以D是二次根式，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．能熟记二次根式的定义（形如，其中a≥0的根式叫二次根式）是解此题的关键．
2．（2016八下·宜昌期中）下列式子中：、、0、、、（a＞0）二次根式的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：、（a＞0）是二次根式，共2个．
故选：A．
【分析】确定根指数为2，被开方数为非负数的根式即可．
3．如果 是二次根式，那么a、b应满足的条件是 ．
【答案】a=2，b≥2
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：∵是二次根式，
∴a=2，b﹣2≥0．
∴b≥2．
故答案为；a=2，b≥2．
【分析】依据被开方数是非负数，根指数为2求解即可．
二、二次根式有意义的条件
4．（2020八上·醴陵期末）当x为下列何值时，二次根式 有意义（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得，2-x≥0，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
5．若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：由有意义，
则满足3m﹣1≥0，解得m≥，
即m≥时，二次根式有意义．
则m能取的最小整数值是m=1．
故选B．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求解．
6．（2025七下·株洲期中）代数式的值为0时，的值为 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的概念
7．（2025九上·衡阳期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ．
【答案】5
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由可知，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【分析】
根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可解答．
8．（2025·娄底模拟）函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数有意义，
∴-x+1≥0，x2-1≠0，
解-x+1≥0得x≤1，
解x2-1≠0得x≠，
∴自变量的取值范围为x＜1且x≠-1.
故答案为：且．
【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式求解即可.
9．求下列式子有意义的x的取值范围
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】解：（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，
解得x＜．
所以x的取值范围是x＜．
（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数3﹣x≥0，解得x≤3；
分母x+2≠0，解得x≠﹣2．
所以x的取值范围是x≤3且x≠﹣2．
（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数x﹣3≥0，解得x≥3；
分母x﹣2≠0，解得x≠2．
因为大于或等于3的数中不包含2这个数，
所以x的取值范围是x≥3．
（4）根据题意得：﹣x2≥0，
∵x2≥0，
∴x2=0，
解得x=0．
∴x的取值范围是x=0；
（5）根据题意得：2x2+1≥0，
∵x2≥0，
∴2x2+1＞0，
故x的取值范围是任意实数；
（6）根据题意得：2x﹣3≥0，解得x≥；
2x﹣3≤0，解得x≤．
综上，可知x=．
∴x的取值范围是x=．
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】（1）（2）（3）根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知；
（4）（5）（6）根据二次根式的意义，被开方数是非负数可知．
10．已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b=++4，求此三角形的周长．
【答案】解：∵、有意义，∴∴a=3，∴b=4，当a为腰时，三角形的周长为：3+3+4=10；当b为腰时，三角形的周长为：4+4+3=11．
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a的值，继而得出b的值，然后代入运算即可．
三、二次根式的性质
11．的值等于（ ）
A．2 B．-2 C．- D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】解：原式==2．
故选：A．
【分析】根据=|a|，进而求出即可．
12．下列各式中正确的是（ ）
A．=a B．=±a C．=﹣a D．=|a|
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、当a＜0时，=﹣a，故选项错误；
B、表示算术平方根，故选项错误；
C、当a＞0时，=a，故选项错误；
D、正确．
故选D．
【分析】根据算术平方根的定义即可作出判断．
13．当a＞4时，的结果为（ ）
A．a﹣4 B．4﹣a C．﹣4﹣a D．4+a
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵a＞4，
∴4﹣a＜0，
∴=a﹣4．
故选A．
【分析】先根据a＞4判断出4﹣a的符号，进而可得出结论．
14．如果=2-x，那么x取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】解：∵=2﹣x，
∴x﹣2≤0，
解得x≤2．
故选A．
【分析】根据二次根式的被开方数是一个≥0的数，可得不等式，解即可．
15．（2024八上·长沙期末）如图，数轴上点表示的数为，化简的值是 ．
【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据数轴可得：，
∴，
∴ ，
故答案为：5．
【分析】首先根据数轴判断a的取值范围，再根据a的取值范围化简二次根式即可.
16．已知，1≤x≤3，化简：= ．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵1≤x≤3，
∴1﹣x≤0，x﹣3≤0，
∴=x﹣1+3﹣x=2，
故答案为：2．
【分析】由题意1≤x≤3，可以判断1﹣x≤0；x﹣3≤0，然后再直接开平方进行求解．
17．已知a是实数，求﹣的值．
【答案】解：当a＜﹣1时，原式=﹣（a+1）﹣[﹣（a﹣1）]
=﹣a﹣1﹣（﹣a+1）
=﹣a﹣1+a﹣1
=﹣2，
当﹣1≤a＜1时，原式=a+1﹣[﹣（a﹣1）]
=a+1+a﹣1
=2a，
当a≥1时，原式=a+1﹣（a﹣1）
=a+1﹣a+1
=2．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质，要分类讨论，可得答案．
18．（2022八下·长沙开学考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简.
【答案】解：由题可得，a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a＜0，a+b＜0，b-a＞0，
∴
=|a|+|a+b|-|b-a|
=-a-a-b-b+a
=-a-2b.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据数轴可得a<0|b|，判断出a+b、b-a的正负，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，再合并合并同类项化简即可.
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