2024-2025人教版（2019)高中数学必修一5.5 三角恒等变换 题型总结（含解析）

5．5 三角恒等变换题型总结
题型一：两角和与差的正（余）弦公式
【典例1-1】已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】化简等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】计算（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】将化简，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：两角和与差的正切公式
【典例2-1】已知角的终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（ ）
A． B．7 C． D．
【典例2-2】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（ ）
A． B． C．1 D．
【变式2-3】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】已知，则（ ）
A．－3 B．2 C．3 D．不存在
题型三：二倍角公式的简单应用
【典例3-1】已知，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【典例3-2】已知为钝角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】当时，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】若，则（ ）
A． B． C． D．
题型四：给角求值
【典例4-1】化简：（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】计算：（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】 ．
【变式4-3】求 .
【变式4-4】______.
题型五：给值求值
【典例5-1】若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【典例5-2】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】 已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】若，，则（ ）
A． B． C．5 D．
题型六：给值求角
【典例6-1】已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知，，且，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式6-3】已知，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
题型七：利用半角公式化简求值问题
【典例7-1】若，，则 ．
【典例7-2】利用半角公式，求 ．
【变式7-1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知，，则 ．
【变式7-2】（2024·高一·上海·阶段练习）设，化简的结果是 .
【变式7-3】（2024·高一·江苏南京·期末）已知，，则 .
【变式7-4】（2024·高一·全国·课后作业）已知，，则 .
题型八：三角恒等式的证明
【典例8-1】已知，且，求证：．
【典例8-2】已知，求证：．
【变式8-1】已知，求证：.
【变式8-2】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有
可见也可以表示成的三次多项式．
(1)利用上述结论，求的值；
(2)化简；并利用此结果求的值；
(3)已知方程在上有三个根，记为，求证：.
【变式8-3】已知，求证：．
【变式8-4】求证下列恒等式：
(1)； (2)
题型九：辅助角公式的应用
【典例9-1】函数的最大值与最小值之和为 ．
【典例9-2】若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是 .
【变式9-1】函数在区间上的最大值为 ．
【变式9-2】已知函数，则当时的最大值为 ．
【变式9-3】已知，当时，取得最大值，则 .
【变式9-4】已知关于的方程 在实数范围内有解，则 的最小值为 .
题型十：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
【典例10-1】已知．
(1)求函数的最小正周期T；
(2)求函数的单调增区间；
(3)当时，求函数的值域．
【典例10-2】已知函数，.
(1)求的单调递增区间和对称轴方程； (2)求不等式的解集.
【变式10-1】（2024·高一·山东·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的对称轴和对称中心；
(2)求函数在上的单调递增区间.
【变式10-2】已知函数，其中.
(1)若函数在区间内有且仅有3个零点，求的取值范围；
(2)当时，若对任意实数，存在实数，使成立，求实数的取值范围.
【变式10-3】已知函数
(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若，求的值．
题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明
【典例11-1】如图，在直角坐标系中，设单位圆O与x轴的非负半轴相交于点，以x轴的非负半轴为始边分别作任意角，，它们的终边分别与单位圆相交于点，．
(1)请在图中作出以x轴的非负半轴为始边时角的终边（与单位圆交于点P），并说明AP与的长度关系；
(2)根据第（1）问的发现，证明两角差的余弦公式；
(3)由两角差的余弦公式推导两角差的正弦公式．
【典例11-2】如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点以轴的非负半轴为始边作角它们的终边分别与单位圆相交于点连接若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.
(提示一：任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性)(提示二：平面上任意两点间的距离公式)
（1）完善上述探究过程；
（2）利用（1）中的结论解决问题：已知是第三象限角，求的值.
【变式11-1】如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，当时，以x轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点，．
（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；
（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：．
（附：平面上任意两点，间的距离公式
题型十二：三角恒等变换在实际问题中的应用
【典例12-1】如图，已知直线是之间的一定点，并且点到的距离分别是2，3，是直线上的动点，作，且使与直线交于点．则的面积的最小值是 ．
【典例12-2】如图，已知直线，A是，之间的一定点并且点A到，的距离分别为，，其中，，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C.设，则面积S关于角的函数解析式为 ；的最小值为 .
【变式12-1】（2024·四川达州·一模）已知正方形边长为两点分别为边上动点，，则的周长为 .
【变式12-2】如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．
(1)试求的取值范围；
(2)为何值时的值为最小，并求的最小值．
【变式12-3】如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为 .
【变式12-4】某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座“三线桥”连接三块陆地，如图1所示，点A、B是固定的，点C在右边河岸上.把右边河岸近似地看成直线l，如图2所示，经测量直线AB与直线l平行，A、B两点距离及点A、B到直线l的距离均为100米.为了节省成本和兼顾美观，某同学给出了以下设计方案，MA、MB、MC三条线在点M处相交，，，设.
(1)若时，求MC的长；
(2)①若变化时，求桥面长（的值）的最小值；
②你能给出更优的方案，使桥面长更小吗？如果能，给出你的设计方案，并说明理由.
5．5 三角恒等变换题型总结答案
题型一：两角和与差的正（余）弦公式
【典例1-1】已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，则，
所以.
故选：D
【典例1-2】（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
故选：A
【变式1-1】的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由
，
故选：C.
【变式1-2】化简等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
故选：A
【变式1-3】计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
故选：D．
【变式1-4】将化简，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
.
故选：B.
题型二：两角和与差的正切公式
【典例2-1】已知角的终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】B
【解析】角的终边经过点，则
将角的终边顺时针旋转后得到角，则.
故选：B.
【典例2-2】 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为角的终边经过点，
因为，
所以且，解得，
所以，则．
故选：D．
【变式2-1】的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
故选：C.
【变式2-2】（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】，
，
所以，
所以
故选：A
【变式2-3】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，即
故选：C
【变式2-4】已知，则（ ）
A．－3 B．2 C．3 D．不存在
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B.
题型三：二倍角公式的简单应用
【典例3-1】已知，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】.
故选：D.
【典例3-2】已知为钝角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，即，解得或.
因为为钝角，所以.
故.
故选：D.
【变式3-1】当时，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，
所以.
故选：C
【变式3-2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以.
故选：A.
【变式3-3】（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
故选：A.
【变式3-4】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可知，
即.
故选：D
题型四：给角求值
【典例4-1】化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
故选：A
【典例4-2】计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
，所以原式
故选：C
【变式4-1】若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得
.
故选：A.
【变式4-2】 ．
【答案】
【解析】原式，
故答案为：.
【变式4-3】求 .
【答案】/0.5
【解析】
故答案为：.
【变式4-4】______.
【答案】1
【解析】
故答案为：1
题型五：给值求值
【典例5-1】若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：C
【典例5-2】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，
则，
则.
故选：A
【变式5-1】（2024·高一·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得.
故选：B.
【变式5-2】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，则，
令，则
所以
故选：B.
【变式5-3】 已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，所以，
因为，所以，所以，
又，所以，且,
所以，且.
因为，所以，又，所以，
所以，
又，所以.
因为，所以，所以.
所以.
故选：A.
【变式5-4】若，，则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【解析】，
化简得，即，
整理得.
因为，所以.
整理得，又，即，
所以，即，进而，
于是.
故选：D.
题型六：给值求角
【典例6-1】已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
又，，
故，故，
故.
故选：C
【典例6-2】已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．
故选：D
【变式6-1】设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以．
因为，所以，
所以，则．
故选：B.
【变式6-2】已知，，且，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】因为所以则
所以
则，
因为，所以，
又则，
所以
故
因为所以
则.
故选：A.
【变式6-3】已知，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，
化简得：，
所以，
又由，可得，
所以，即，所以，
所以，又，所以，
所以.
故选：A
【变式6-4】若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，符号相同，
又，，，
由可得，
又，，，
所以，，
，
由，，得，，
故选：A．
题型七：利用半角公式化简求值问题
【典例7-1】若，，则 ．
【答案】
【解析】由，，得，
所以.
故答案为：
【典例7-2】利用半角公式，求 ．
【答案】
【解析】，
，
则．
故答案为：.
【变式7-1】已知，，则 ．
【答案】/
【解析】由可知，故．
故答案为：.
【变式7-2】设，化简的结果是 .
【答案】
【解析】，
因为，所以，
从而.
故答案为：.
【变式7-3】已知，，则 .
【答案】
【解析】，则，
由半角公式可得.
故答案为：
【变式7-4】已知，，则 .
【答案】
【解析】因为，，
所以，
所以.
故答案为：
题型八：三角恒等式的证明
【典例8-1】已知，且，求证：．
【解析】要证结论中等式成立，需证，
即证，
即证，
即证．
结合已知条件，故所证的等式成立．
【典例8-2】已知，求证：．
【解析】因为，所以．
即．
去分母，得．
又
，
所以，
即，
所以，
于是，
故．
【变式8-1】（2024·高一·上海·课后作业）已知，求证：.
【解析】左边，
右边，
因此，.
【变式8-2】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有
可见也可以表示成的三次多项式．
(1)利用上述结论，求的值；
(2)化简；并利用此结果求的值；
(3)已知方程在上有三个根，记为，求证：.
【解析】（1），所以，
因为，
因为，，
即，
因为，解得（舍）.
（2）
，
故
；
（3）证明：因为，故可令，
故由可得：．
由题意得：，因，故，
故，或，或，
即方程（*）的三个根分别为，，，
又，故，
于是，
.
【变式8-3】已知，求证：．
【解析】证明：因为，所以，
于是，
因为
，
所以，，
同理可得，
所以，从而，所以．
【变式8-4】求证下列恒等式：
(1)；
(2)
【解析】（1）.
（2）左边
,
原式得证.
题型九：辅助角公式的应用
【典例9-1】函数的最大值与最小值之和为 ．
【答案】/
【解析】函数的定义域为R，，
则，即，
解得，于是，
所以函数的最大值与最小值之和为.
故答案为：
【典例9-2】若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可知：与没有交点，
因为，
且，可得，
可知，所以实数k的取值范围是.
故答案为：.
【变式9-1】（2024·高一·江苏淮安·期中）函数在区间上的最大值为 ．
【答案】6
【解析】函数，
当时，，则当，即时，.
故答案为：6
【变式9-2】已知函数，则当时的最大值为 ．
【答案】
【解析】
，
因为，所以，
所以，
所以的最大值为.
故答案为：
【变式9-3】已知，当时，取得最大值，则 .
【答案】/
【解析】令，，其中为锐角，
则
，
因为当时，取得最大值，则，
所以，，
所以，，
，故.
故答案为：.
【变式9-4】已知关于的方程 在实数范围内有解，则 的最小值为 .
【答案】9
【解析】由题意得，解得，
故可设，，其中，
则原方程化为，
即，其中，（不可能同时取0），
显然，，则，
则，因为，，
所以，此时，，，
，，即，，
，.
所以，即它的最小值为9，
故答案为：9.
题型十：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
【典例10-1】已知．
(1)求函数的最小正周期T；
(2)求函数的单调增区间；
(3)当时，求函数的值域．
【解析】（1），
则；
（2）令，，得，
所以函数的单调增区间为；
（3）由，得，
所以，
所以函数的值域为．
【典例10-2】已知函数，.
(1)求的单调递增区间和对称轴方程；
(2)求不等式的解集.
【解析】（1）
.
令，.
解得，.
所以函数的单调递增区间为，；
由，得，，
所以，函数的对称轴方程，.
（2）由，得.
所以，.
解得，.
所以不等式的解集为：.
【变式10-1】（2024·高一·山东·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的对称轴和对称中心；
(2)求函数在上的单调递增区间.
【解析】（1），
由，得，
由，得，
所以的对称轴为，对称中心为；
（2），
由，得，
又，
当时，，当时，，
所以在上单调递增区间为和.
【变式10-2】已知函数，其中.
(1)若函数在区间内有且仅有3个零点，求的取值范围；
(2)当时，若对任意实数，存在实数，使成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意有：，
在内有且仅有3个零点，
方程在内恰有三个不相等的实数根，
即与直线在内恰有三个交点，
令，则，
则与直线在内恰有三个交点，
，解得，
故的取值范围为；
（2）当时，，
当时，，
，，
由题意，存在，使得，即成立，
，，
故实数的取值范围为.
【变式10-3】已知函数
(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若，求的值．
【解析】（1）由题知：
所以函数的最小正周期为．
因为在上，，为增函数，同理在上，为减函数 ,又，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
（2）由（1）可知，又因为，
所以，由，得，
从而．
所以
题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明
【典例11-1】如图，在直角坐标系中，设单位圆O与x轴的非负半轴相交于点，以x轴的非负半轴为始边分别作任意角，，它们的终边分别与单位圆相交于点，．
(1)请在图中作出以x轴的非负半轴为始边时角的终边（与单位圆交于点P），并说明AP与的长度关系；
(2)根据第（1）问的发现，证明两角差的余弦公式；
(3)由两角差的余弦公式推导两角差的正弦公式．
【解析】（1）作出以x轴的非负半轴为始边时角的终边如图所示：
作图原理如下：首先作平分，然后作关于对称的射线，最终作关于轴的射线即可得解.
由题意在同一个单位圆中，所以.
（2）由题意，
而即，
所以由勾股定理可得，
即，
所以.
（3）由题意
.
【典例11-2】如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点以轴的非负半轴为始边作角它们的终边分别与单位圆相交于点连接若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.
(提示一：任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性)(提示二：平面上任意两点间的距离公式)
（1）完善上述探究过程；
（2）利用（1）中的结论解决问题：已知是第三象限角，求的值.
【解析】（1），
，
整理得：；
（2）是第三象限角，
，，
.
【变式11-1】如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，当时，以x轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点，．
（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；
（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：．
（附：平面上任意两点，间的距离公式
【解析】（1）两角差的余弦公式为：.
证明：作角的终边与单位圆相交于点
连接，
若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.
根据圆的旋转对称性可知，与重合，
从而，所以.
根据两点间的距离公式，得
化简得.
当时，容易证明上式仍然成立.
（2）证明：由诱导公式可知，.
而
，
故.
即证结论.
题型十二：三角恒等变换在实际问题中的应用
【典例12-1】如图，已知直线是之间的一定点，并且点到的距离分别是2，3，是直线上的动点，作，且使与直线交于点．则的面积的最小值是 ．
【答案】6
【解析】设，则，
故，
所以，
所以，当，即时，面积的最小值为.
故答案为：6.
【典例12-2】如图，已知直线，A是，之间的一定点并且点A到，的距离分别为，，其中，，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C.设，则面积S关于角的函数解析式为 ；的最小值为 .
【答案】 12
【解析】∵，，，∴，，
∴，∴，，
∴.
∵，∴，即，∴当，
即时，取最小值，的最小值为.
故答案为：；12.
【变式12-1】已知正方形边长为两点分别为边上动点，，则的周长为 .
【答案】4
【解析】如图所示，设，，
所以，即，
由题意可得，，
所以，，
所以，
所以的周长为，
故答案为：4
【变式12-2】如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．
(1)试求的取值范围；
(2)为何值时的值为最小，并求的最小值．
【解析】（1）由图可知在中有在中有
由得，
（2）由，在中有
令，则，其中，
故且
当即时的周长
【变式12-3】 如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为 .
【答案】/
【解析】过点分别作分别垂直于点，
则，，又，
所以，所以，
所以平行四边形的面积和长方形的面积相等，
设，，
则，，，
所以，
所以四边形的面积，
所以
，
因为，所以，
故当即时，面积取得最大值为.
故答案为：.
【变式12-4】某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座“三线桥”连接三块陆地，如图1所示，点A、B是固定的，点C在右边河岸上.把右边河岸近似地看成直线l，如图2所示，经测量直线AB与直线l平行，A、B两点距离及点A、B到直线l的距离均为100米.为了节省成本和兼顾美观，某同学给出了以下设计方案，MA、MB、MC三条线在点M处相交，，，设.
(1)若时，求MC的长；
(2)①若变化时，求桥面长（的值）的最小值；
②你能给出更优的方案，使桥面长更小吗？如果能，给出你的设计方案，并说明理由.
【解析】（1）中，，，，
则，，点到的距离为，
所以米；
（2）①中，，，
设点到的距离为，
则，则，
则，
所以，
设，，
，，
所以，
所以，
当时，即时，取得最小值为米.
②当点是中垂线上，且时，桥面长更小，
证明：记，则，，
记，
因为，而，
当且仅当时等号成立，此时由最小值.