(共51张PPT)
2.1
等式性质与不等式性质
新课程标准解读 核心素养
1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 数学抽象
2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不
等式的性质 逻辑推理
第1课时
不等关系与比较大小
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
（1）如图，某城市的楼房有高、有矮，有的高度相同；
（2）我们经常看到如下标志：
【问题】 它们的含义是什么？量与量之间的关系有哪些？
知识点一 不等关系与不等式
常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高
于，超过 小于，低
于，少于 大于等于，
至少，不低
于 小于等于，
至多，不超
过
符号 语言 ＞ ＜ ≥ ≤
知识点二 实数大小比较的基本事实
文字表示 符号表示
如果 a － b 是正数，那么
a － b ＞0
如果 a － b 等于0，那么 a － b ＝0
如果 a － b 是负数，那么
a － b ＜0
a ＞
b
a ＞ b
a ＝ b
a ＝ b
a ＜
b
a ＜ b
提醒 （1）利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化
为完全平方的形式或多个因式的积的形式；（2）对于两个正值，也
可采用作商的方法，比较商与1的大小；（3）对于某些问题也可采用
取中间值的方法比较大小.
知识点三 重要不等式
一般地， a ， b ∈R，有 a2＋ b2≥ ，当且仅当 时，
等号成立.
2 ab
a ＝ b
1. 某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该
桥，应使车货总质量 T （单位：吨）不超过40，则用不等式表示为
（ ）
A. T ＜40 B. T ＞40
C. T ≤40 D. T ≥40
解析： 限重就是不超过，可以直接建立不等式 T ≤40.
2. 已知 a ∈R， p ＝（ a －1）（ a －3）， q ＝（ a －2）2，则 p 与 q 的
大小关系为（ ）
A. p ＞ q B. p ≥ q
C. p ＜ q D. p ≤ q
解析： 因为 p ＝（ a －1）（ a －3）， q ＝（ a －2）2，所以 p －
q ＝（ a －1）（ a －3）－（ a －2）2＝ a2－4 a ＋3－（ a2－4 a ＋
4）＝－1＜0.所以 p ＜ q .
3. 已知 x ， y ∈R，且 x2＋ y2＝4，则 xy 的最大值是 .
解析：∵ x2＋ y2≥2 xy 且 x2＋ y2＝4，∴2 xy ≤4，即 xy ≤2，∴ xy 的
最大值为2.
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 用不等式（组）表示不等关系
【例1】 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超
过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的 A 型汽车和 B 型
汽车，根据需要， A 型汽车至少买5辆， B 型汽车至少买6辆，写出满
足上述所有不等关系的不等式（组）.
解：设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、 y 辆，则
通性通法
用不等式（组）表示不等关系的步骤
（1）审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大
于等；
（2）适当地设未知数表示变量；
（3）用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.
提醒 此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关
系，如由变量的实际意义限制的范围.
【跟踪训练】
李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划
从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元.设 x 个月后他至
少有400元，则可以用于计算所需要的月数 x 的不等式是
.
解析：由题意知， x 个月后所存的钱数为（30 x ＋60）元，由于存的
钱数不少于400元，故不等式为30 x ＋60≥400.
30 x ＋
60≥400
题型二 比较两数（式）的大小
【例2】 已知 x ≤1，比较3 x3与3 x2－ x ＋1的大小.
解：3 x3－（3 x2－ x ＋1）＝（3 x3－3 x2）＋（ x －1）＝
3 x2（ x －1）＋（ x －1）＝（3 x2＋1）（ x －1）.
由 x ≤1得 x －1≤0，而3 x2＋1＞0，
∴（3 x2＋1）（ x －1）≤0，
∴3 x3≤3 x2－ x ＋1.
通性通法
作差法比较大小的步骤
提醒 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判号”是目的，“变形”是关键.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方
法、有理化法等.
【跟踪训练】
比较2 x2＋5 x ＋3与 x2＋4 x ＋2的大小.
解：（2 x2＋5 x ＋3）－（ x2＋4 x ＋2）＝ x2＋ x ＋1＝ ＋ .
∵ ≥0，∴ ＋ ≥ ＞0，
∴（2 x2＋5 x ＋3）－（ x2＋4 x ＋2）＞0，
∴2 x2＋5 x ＋3＞ x2＋4 x ＋2.
题型三 不等关系的实际应用
【例3】 某单位组织职工去北京旅游，需包车前往.甲车队说：“如
果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属
团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的，试
根据单位职工的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
解：设该单位职工有 n 人（ n ∈N*），全票价为 x （ x ＞0）元，坐甲
车队的车需花 y1元，坐乙车队的车需花 y2元.
由题意，得 y1＝ x ＋ x （ n －1）＝ x ＋ nx ， y2＝ nx .
因为 y1－ y2＝ x ＋ nx － nx ＝ x － nx
＝ x ，
当 n ＝5时， y1＝ y2；
当 n ＞5时， y1＜ y2；
当 n ＜5时， y1＞ y2.
所以，当该单位职工有5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车
队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠.
通性通法
1. “最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后
把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论.
2. 与不等式有关的实际应用问题，解答时要注意最后将数学结论再转
化到实际问题中去，得出解决问题的方案.
【跟踪训练】
某公司有20名技术人员，计划开发 A ， B 两类共50件电子器件，每
类每件所需人员和预计产值如下：
电子器件种类 每件需要人员数 每件产值
（万元/件）
A 类 7.5
B 类 6
今制订计划欲使总产值最高，则 A 类电子器件应开发 件，最高
产值为 万元.
解析：设应开发 A 类电子器件 x 件，则开发 B 类电子器件（50－ x ）
件.根据题意，得 ＋ ≤20，解得 x ≤20.由题意，得总产值 y ＝
7.5 x ＋6（50－ x ）＝300＋1.5 x ≤330，当且仅当 x ＝20时， y 取最大
值330.所以欲使总产值最高， A 类电子器件应开发20件，最高产值为
330万元.
20
330
1. 实数 x 大于 ，用不等式表示为（ ）
解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即
“＞”，∴
3. 不等式 a2＋4≥4 a 中，等号成立的条件为 .
解析：令 a2＋4＝4 a ，则 a2－4 a ＋4＝0，即（ a －2）2＝0，∴
a ＝2.
4. 已知 a ， b ∈R， x ＝ a3－ b ， y ＝ a2 b － a ，试比较 x 与 y 的大小.
解：因为 x － y ＝ a3－ b － a2 b ＋ a ＝ a2（ a － b ）＋ a － b ＝（ a －
b ）（ a2＋1），
所以当 a ＞ b 时， x － y ＞0， x ＞ y ；
当 a ＝ b 时， x － y ＝0， x ＝ y ；
当 a ＜ b 时， x － y ＜0， x ＜ y .
a ＝2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程
中，同一车道上的车间距 d 不得小于10 m，用不等式表示为（ ）
A. v ≤120（km/h）或 d ≥10 （m）
C. v ≤120（km/h）
D. d ≥10（m）
解析： 最大限速与车距是同时的，故选B.
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2. 设 a ＝3 x2－ x ＋1， b ＝2 x2＋ x ，则（ ）
A. a ＞ b B. a ＜ b
C. a ≥ b D. a ≤ b
解析： a － b ＝（3 x2－ x ＋1）－（2 x2＋ x ）＝ x2－2 x ＋1＝（ x
－1）2≥0，所以 a ≥ b .
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3. 已知 a ＞0， b ＞0， M ＝ ＋ ， N ＝ ，则（ ）
A. M ＞ N B. M ＝ N
C. M ＜ N D. 不能确定
解析： 易知 M ＞0， N ＞0，因为 M2－ N2＝（ ＋ ）2－
（ ）2＝2 ＞0，所以 M ＞ N .
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4. 在开山爆破时，已知导火索燃烧的速度为每秒0.5 cm，人跑开的速
度为每秒4 m，距爆破点150 m以外（含150 m）为安全区.为使导
火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度 x （单位：cm）应满
足的不等式为（ ）
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解析： 由题意知，导火索从点燃到燃尽所需时间为 s，人在
此时间内跑的路程为（ 4× ） m，则应满足的不等式为4×
≥150，故选D.
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5. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 某人月收入 x 不高于2 000元可表示为“ x ＜2 000”
B. 小明的体重为 x kg，小华的体重为 y kg，则小明比小华重可表示为
“ x ＞ y ”
C. 某变量 x 至少为 a 可表示为“ x ≥ a ”
D. 某变量 y 不超过 a 可表示为“ y ≤ a ”
解析： 对于A， x 应满足 x ≤2 000，故A错；B、C、D正确.
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6. （多选）下面列出的几种不等关系中，正确的为（ ）
A. x 与2的和是非负数，可表示为“ x ＋2＞0”
B. △ ABC 的两边之和大于第三边，记三边分别为 a ， b ， c ，则可表示为“ a ＋ b ＞ c 、 b ＋ c ＞ a 且 a ＋ c ＞ b ”
C. 若某天的温度为 t ，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤ t ≤13 ℃”
D. 完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人工资预算不超过20 000元.设木工 x 人，
瓦工 y 人，则上述问题用不等关系可表示为“400 x ＋500 y ≤20
000”
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解析： 对于A中， x 与2的和是非负数，应表示为“ x ＋
2≥0”，所以A错误；对于B中，根据三角形的性质，两边之和大
于第三边，所以B正确；对于C中，最低温度为7 ℃，最高温度为
13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤ t ≤13 ℃”，所以C正
确；对于D中，请木工共需支付400 x 元，请瓦工共需支付500 y
元，可得共需支付工资（400 x ＋500 y ）元，又工人工资预算不超
过20 000元，故400 x ＋500 y ≤20 000，所以D正确.故选B、C、D.
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7. 某商品包装上标有重量500±1克，若用 x 表示商品的重量，则该商
品的重量用不等式表示为 .
解析：由题意知，该商品重量用不等式表示为499≤ x ≤501.
499≤ x ≤501
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8. 已知 P ＝ a2－4 a ＋3， Q ＝－4 a ＋1，则 P 与 Q 的大小关系为
.
解析：∵ P － Q ＝（ a2－4 a ＋3）－（－4 a ＋1）＝ a2－4 a ＋3＋4
a －1＝ a2＋2.∵ a2≥0，∴ a2＋2＞0，即 P － Q ＞0，∴ P ＞ Q .
P ＞
Q
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9. 将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为 x m，若两段
绳子长度之差不小于1 m，则 x 所满足的不等关系为 .
解析：由题意，可知另一段绳子的长度为（5－ x ）m.因为两段绳
子的长度之差不小于1 m，所以即
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10. 已知 a ＞0， b ＞0，求证：（ a2＋ b2）2≥4 a2 b2，当且仅当 a ＝ b
时等号成立.
证明：（ a2＋ b2）2－4 a2 b2＝ a4＋ b4＋2 a2 b2－4 a2 b2＝ a4＋ b4－2
a2 b2＝（ a2－ b2）2≥0，当且仅当 a2＝ b2时取等号.
又 a ＞0， b ＞0，∴（ a2＋ b2）2≥4 a2 b2，当且仅当 a ＝ b 时等号
成立.
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11. 四位好朋友在一次聚会上，按照各自的爱好选择了形状不同、内
空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们
约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为
h1， h2， h3， h4，则它们的大小关系正确的是（ ）
A. h2＞ h1＞ h4 B. h1＞ h2＞ h3
C. h3＞ h2＞ h4 D. h2＞ h4＞ h1
解析： 根据四个杯的形状分析易知 h2＞ h1＞ h4， h2＞ h3＞ h4.
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12. 若 a ＜0， b ＜0，则 p ＝ ＋ 与 q ＝ a ＋ b 的大小关系为（ ）
A. p ＜ q B. p ≤ q
C. p ＞ q D. p ≥ q
解析： 根据题意，得 p － q ＝ ＋ － a － b ＝ ＋
＝（ b2－ a2）· ＝ ＝ .因为
a ＜0， b ＜0，所以 a ＋ b ＜0， ab ＞0.若 a ＝ b ，则 p － q ＝0，此
时 p ＝ q ；若 a ≠ b ，则 p － q ＜0，此时 p ＜ q .综上所述， p ≤ q .
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13. 已知 a ， b ∈R，若 ab ＝1，则 a2＋ b2的最小值是 ，当且仅当
a ＝ b ＝ 时取得最小值.
解析：由重要不等式得 a2＋ b2≥2 ab ＝2，当且仅当 a ＝ b ＝±1时
等号成立.
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14. （1）已知 a ， b ∈R， a ＋ b ＞0，试比较 a3＋ b3与 ab2＋ a2 b
的大小；
解： 因为 a ＋ b ＞0，（ a － b ）2≥0，
所以 a3＋ b3－ ab2－ a2 b ＝ a3－ a2 b ＋ b3－ ab2＝ a2（ a － b ）
＋ b2（ b － a ）＝（ a － b ）（ a2－ b2）＝（ a － b ）·（ a －
b ）（ a ＋ b ）＝（ a － b ）2（ a ＋ b ）≥0，
所以 a3＋ b3≥ ab2＋ a2 b .
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（2）已知 a ≥1，试比较 M ＝ － 和 N ＝ － 的
大小.
解： 因为 a ≥1，
所以 M ＝ － ＞0， N ＝ － ＞0，
所以 ＝ ＝ .
因为 ＋ ＞ ＋ ＞0，
所以 ＜1，所以 M ＜ N .
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（ a2＋
b2）＞ ab
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解析：由题图可知，题图①广告牌的面积 S1＝ （ a2＋ b2），题图
②广告牌的面积 S2＝ ab ，观察题图得 S1＞ S2，即 （ a2＋ b2）＞
ab .
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16. 有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售.现在每个商
场都推出了促销政策：到甲商场买一件衬衣优惠4元，买两件每件
优惠8元，买三件每件优惠12元，……依此类推，直至减到半价为
止；乙商场则一律按原价7折酬宾.某单位欲为每位员工购买一件
该衬衣，问：到哪个商场购买比较合算？
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解：设该单位共需购买 x 件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付
款 y 元， z 元.
依题意，有 y ＝
z ＝80×70% x ＝56 x （ x ≥1， x ∈Z）.
若1≤ x ≤10， x ∈Z，则 y － z ＝（80－4 x ） x －56 x ＝4 x （6－ x ）.
当1≤ x ≤5， x ∈Z时，6－ x ＞0，∴ y － z ＞0，即 y ＞ z ；
当 x ＝6时， y － z ＝0，即 y ＝ z ；
当7≤ x ≤10， x ∈Z时，6－ x ＜0，∴ y － z ＜0，即 y ＜ z .
若 x ＞10， x ∈Z，则 y － z ＝40 x －56 x ＝－16 x .
∵－16 x ＜0，∴ y ＜ z .
综上，若单位人数不超过5人，到乙商场购买合算；若单位人数恰
为6人，到甲、乙商场购买一样合算；若单位人数超过6人，到甲
商场购买更合算.
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谢 谢 观 看！2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与比较大小
1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为（ ）
A.v≤120（km/h）或d≥10 （m）
B.
C.v≤120（km/h）
D.d≥10（m）
2.设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（ ）
A.a＞b B.a＜b
C.a≥b D.a≤b
3.已知a＞0，b＞0，M＝＋，N＝，则（ ）
A.M＞N B.M＝N
C.M＜N D.不能确定
4.在开山爆破时，已知导火索燃烧的速度为每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，距爆破点150 m以外（含150 m）为安全区.为使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：cm）应满足的不等式为（ ）
A.4×＜150 B.4×＞150
C.4×≤150 D.4×≥150
5.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B.小明的体重为x kg，小华的体重为y kg，则小明比小华重可表示为“x＞y”
C.某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≤a”
6.（多选）下面列出的几种不等关系中，正确的为（ ）
A.x与2的和是非负数，可表示为“x＋2＞0”
B.△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b＞c、b＋c＞a且a＋c＞b”
C.若某天的温度为t，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”
D.完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人工资预算不超过20 000元.设木工x人，瓦工y人，则上述问题用不等关系可表示为“400x＋500y≤20 000”
7.某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为 .
8.已知P＝a2－4a＋3，Q＝－4a＋1，则P与Q的大小关系为 .
9.将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为 .
10.已知a＞0，b＞0，求证：（a2＋b2）2≥4a2b2，当且仅当a＝b时等号成立.
11.四位好朋友在一次聚会上，按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（ ）
A.h2＞h1＞h4 B.h1＞h2＞h3
C.h3＞h2＞h4 D.h2＞h4＞h1
12.若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为（ ）
A.p＜q B.p≤q
C.p＞q D.p≥q
13.已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是 ，当且仅当a＝b＝ 时取得最小值.
14.（1）已知a，b∈R，a＋b＞0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小；
（2）已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小.
15.如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为 .
16.有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售.现在每个商场都推出了促销政策：到甲商场买一件衬衣优惠4元，买两件每件优惠8元，买三件每件优惠12元，……依此类推，直至减到半价为止；乙商场则一律按原价7折酬宾.某单位欲为每位员工购买一件该衬衣，问：到哪个商场购买比较合算？
第1课时 不等关系与比较大小
1.B 最大限速与车距是同时的，故选B.
2.C a－b＝（3x2－x＋1）－（2x2＋x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以a≥b.
3.A 易知M＞0，N＞0，因为M2－N2＝（＋）2－（）2＝2＞0，所以M＞N.
4.D 由题意知，导火索从点燃到燃尽所需时间为 s，人在此时间内跑的路程为（ 4×） m，则应满足的不等式为4×≥150，故选D.
5.BCD 对于A，x应满足x≤2 000，故A错；B、C、D正确.
6.BCD 对于A中，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，所以A错误；对于B中，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，所以B正确；对于C中，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”，所以C正确；对于D中，请木工共需支付400x元，请瓦工共需支付500y元，可得共需支付工资（400x＋500y）元，又工人工资预算不超过20 000元，故400x＋500y≤20 000，所以D正确.故选B、C、D.
7.499≤x≤501 解析：由题意知，该商品重量用不等式表示为499≤x≤501.
8.P＞Q 解析：∵P－Q＝（a2－4a＋3）－（－4a＋1）＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.∵a2≥0，∴a2＋2＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.
9. 解析：由题意，可知另一段绳子的长度为（5－x）m.因为两段绳子的长度之差不小于1 m，所以即
10.证明：（a2＋b2）2－4a2b2＝a4＋b4＋2a2b2－4a2b2＝a4＋b4－2a2b2＝（a2－b2）2≥0，当且仅当a2＝b2时取等号.
又a＞0，b＞0，∴（a2＋b2）2≥4a2b2，当且仅当a＝b时等号成立.
11.A 根据四个杯的形状分析易知h2＞h1＞h4，h2＞h3＞h4.
12.B 根据题意，得p－q＝＋－a－b＝＋＝（b2－a2）·＝＝.因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q；若a≠b，则p－q＜0，此时p＜q.综上所述，p≤q.
13.2 ±1 解析：由重要不等式得a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝±1时等号成立.
14.解：（1）因为a＋b＞0，（a－b）2≥0，
所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2（a－b）＋b2（b－a）＝（a－b）·（a2－b2）＝（a－b）·（a－b）（a＋b）＝（a－b）2（a＋b）≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
（2）因为a≥1，
所以M＝－＞0，N＝－＞0，
所以＝＝.
因为＋＞＋＞0，
所以＜1，所以M＜N.
15.（a2＋b2）＞ab 解析：由题图可知，题图①广告牌的面积S1＝（a2＋b2），题图②广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1＞S2，即（a2＋b2）＞ab.
16.解：设该单位共需购买x件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付款y元，z元.
依题意，
有y＝
z＝80×70%x＝56x（x≥1，x∈Z）.
若1≤x≤10，x∈Z，则y－z＝（80－4x）x－56x＝4x（6－x）.
当1≤x≤5，x∈Z时，6－x＞0，∴y－z＞0，即y＞z；
当x＝6时，y－z＝0，即y＝z；
当7≤x≤10，x∈Z时，6－x＜0，∴y－z＜0，即y＜z.
若x＞10，x∈Z，则y－z＝40x－56x＝－16x.
∵－16x＜0，∴y＜z.
综上，若单位人数不超过5人，到乙商场购买合算；若单位人数恰为6人，到甲、乙商场购买一样合算；若单位人数超过6人，到甲商场购买更合算.
2 / 2第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
新课程标准解读 核心素养
1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 数学抽象
2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 逻辑推理
第1课时 不等关系与比较大小
（1）如图，某城市的楼房有高、有矮，有的高度相同；
（2）我们经常看到如下标志：
【问题】 它们的含义是什么？量与量之间的关系有哪些？
知识点一 不等关系与不等式
常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过
符号 语言 ＞ ＜ ≥ ≤
知识点二 实数大小比较的基本事实
文字表示 符号表示
如果a－b是正数，那么 a－b＞0
如果a－b等于0，那么 a－b＝0
如果a－b是负数，那么 a－b＜0
提醒 （1）利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式；（2）对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小；（3）对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小.
知识点三 重要不等式
一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥ ，当且仅当 时，等号成立.
1.某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总质量T（单位：吨）不超过40，则用不等式表示为（ ）
A.T＜40 B.T＞40
C.T≤40 D.T≥40
2.已知a∈R，p＝（a－1）（a－3），q＝（a－2）2，则p与q的大小关系为（ ）
A.p＞q B.p≥q
C.p＜q D.p≤q
3.已知x，y∈R，且x2＋y2＝4，则xy的最大值是 .
题型一 用不等式（组）表示不等关系
【例1】 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）.
通性通法
用不等式（组）表示不等关系的步骤
（1）审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等；
（2）适当地设未知数表示变量；
（3）用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.
提醒 此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围.
【跟踪训练】
李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是 .
题型二 比较两数（式）的大小
【例2】 已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小.
通性通法
作差法比较大小的步骤
提醒 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判号”是目的，“变形”是关键.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.
【跟踪训练】
比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小.
题型三 不等关系的实际应用
【例3】 某单位组织职工去北京旅游，需包车前往.甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位职工的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
通性通法
1.“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论.
2.与不等式有关的实际应用问题，解答时要注意最后将数学结论再转化到实际问题中去，得出解决问题的方案.
【跟踪训练】
某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
电子器件种类 每件需要人员数 每件产值 （万元/件）
A类 7.5
B类 6
今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发 件，最高产值为 万元.
1.实数x大于，用不等式表示为（ ）
A.x＜ B.x≤
C.x＞ D.x≥
2.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示为 .
3.不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为 .
4.已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小.
第1课时 不等关系与比较大小
【基础知识·重落实】
知识点二
a＞b a＞b a＝b a＝b a＜b a＜b
知识点三
2ab a＝b
自我诊断
1.C 限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.
2.C 因为p＝（a－1）（a－3），q＝（a－2）2，所以p－q＝（a－1）（a－3）－（a－2）2＝a2－4a＋3－（a2－4a＋4）＝－1＜0.所以p＜q.
3.2 解析：∵x2＋y2≥2xy且x2＋y2＝4，∴2xy≤4，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
跟踪训练
30x＋60≥400 解析：由题意知，x个月后所存的钱数为（30x＋60）元，由于存的钱数不少于400元，故不等式为30x＋60≥400.
【例2】 解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x3－3x2）＋（x－1）＝3x2（x－1）＋（x－1）＝（3x2＋1）（x－1）.
由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴（3x2＋1）（x－1）≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.
跟踪训练
解：（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＝x2＋x＋1＝＋.
∵≥0，∴＋≥＞0，
∴（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
【例3】 解：设该单位职工有n人（n∈N*），全票价为x（x＞0）元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元.
由题意，得y1＝x＋x（n－1）＝x＋nx，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋nx－nx＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2.
所以，当该单位职工有5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠.
跟踪训练
20 330 解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件（50－x）件.根据题意，得＋≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6（50－x）＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元.
随堂检测
1.C
2. 解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“＞”，∴
3.a＝2 解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，即（a－2）2＝0，∴a＝2.
4.解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2（a－b）＋a－b＝（a－b）（a2＋1），
所以当a＞b时，x－y＞0，x＞y；
当a＝b时，x－y＝0，x＝y；
当a＜b时，x－y＜0，x＜y.
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