(共55张PPT)
第2课时
等式性质与不等式性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表
示这一现象.
【问题】 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？
知识点一 等式的性质
性质1 如果 a ＝ b ，那么 ；
性质2 如果 a ＝ b ， b ＝ c ，那么 ；
性质3 如果 a ＝ b ，那么 ；
性质4 如果 a ＝ b ，那么 ；
性质5 如果 a ＝ b ， c ≠0，那么 .
提醒 （1）性质1、2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递
性；（2）性质3、4、5反映了等式在运算中保持的不变性.
b ＝ a
a ＝ c
a ± c ＝ b ± c
ac ＝ bc
＝
知识点二 不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a ＞ b b a 可逆
2 传递性 a ＞ b ， b ＞ c a ＞ c 不可逆
3 可加性 a ＞ b a ＋ c b ＋ c 可逆
＜
＞
性质 别名 性质内容 注意
4 可乘性 ac bc c 的
符号
ac bc
5 同向可加性 a ＋ c b ＋ d 同向
＞
＜
＞
性质 别名 性质内容 注意
6 同向同正 可乘性 ac bd 同向
同正
7 可乘方性 a ＞ b ＞0 an bn （ n ∈N， n ≥2） 同正
＞
＞
提醒 （1）若 a ＞ b ＞0，则0＜ ＜ ；若 a ＜ b ＜0，则0＞ ＞ ；
（2）不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算.
1. （多选）已知 a ＜ b ，那么下列式子中，正确的是（ ）
A. 4 a ＜4 b B. －4 a ＜－4 b
C. a ＋4＜ b ＋4 D. a －4＜ b －4
2. 已知 a ＞ b ， c ＞ d ，且 c ， d 均不为0，那么下列不等式一定成立的
是（ ）
A. ad ＞ bc B. ac ＞ bd
C. a － c ＞ b － d D. a ＋ c ＞ b ＋ d
解析： 令 a ＝2， b ＝－2， c ＝3， d ＝－6，可排除A、B、C.
由不等式的性质5知，D一定成立.
3. 利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.
（1）若2 x －3＝－5，则2 x ＝ ， x ＝ ；
解析： 根据等式的性质3，等式两边同加3，得2 x ＝－
2.再根据等式的性质5，等式两边同除以2，得 x ＝－1.
（2）若5 x ＋2＝2 x －4，则3 x ＝ ， x ＝ .
解析： 根据等式的性质3，等式两边同减（2 x ＋2），
得3 x ＝－6.再根据等式的性质5，等式两边同除以3，得 x ＝
－2.
－2
－1
－6
－2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用不等式的性质判断命题的真假
【例1】 （多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A. 0＞ a ＞ b a2＞ b2
B. a2＞ b2 a ＞ b ＞0
C. 若 a ＜ b ＜0，则 a2＞ ab ＞ b2
D. 若 a ＞ b ， ＞ ，则 a ＞0， b ＜0
解析： 对于A，由0＞ a ＞ b 可知，0＜－ a ＜－ b ，则由性质7可
知，（－ b ）2＞（－ a ）2，即 b2＞ a2，故A为假命题；对于B，性质7
不具有可逆性，故B为假命题；对于C，由可得 a2＞ ab .因为
所以 ab ＞ b2，从而有 a2＞ ab ＞ b2，故C为真命题；对于D，
由 ＞ ，可知 － ＝ ＞0.因为 a ＞ b ，所以 b － a ＜0，于是 ab
＜0.又因为 a ＞ b ，所以 a ＞0， b ＜0，故D为真命题.
通性通法
利用不等式的性质判断命题真假的2种方法
（1）直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性
质证明；对于假命题只需举出一个反例即可；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条
件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代
表性.
【跟踪训练】
1. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，则 ac ＞ bd
B. 若 ac ＞ bc ，则 a ＜ b
C. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，则 a － c ＞ b － d
D. 若 ＜ ，则 a ＜ b
解析： 选项A中，当 a ＞ b ＞0， c ＞ d ＞0时， ac ＞ bd 成立，但
是当 a ， c 均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当 c ＜0时，
ac ＞ bc 可推出 a ＜ b .当 c ＞0时， ac ＞ bc 可推出 a ＞ b ，故B不正
确；选项C中，由 a ＞ b ， c ＞ d ，可得 a － d ＞ b － c ，故C不正
确；选项D中，式子 ＜ 成立，显然 c ≠0，所以 c2＞0，根据不
等式的性质：不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与
原不等式的不等号同向，显然有 a ＜ b 成立，故D正确.故选D.
2. （多选）已知 ＜ ＜0，则下列结论正确的是（ ）
A. a ＜ b B. ab ＞ a ＋ b
C. ｜ a ｜＜｜ b ｜ D. ab ＞ b2
解析： 由 ＜ ＜0可得 b ＜ a ＜0，显然选项A不正确；因为 b
＜ a ＜0，所以 ab ＞0， a ＋ b ＜0，所以 ab ＞ a ＋ b ，故选项B正
确；因为 b ＜ a ＜0，所以｜ b ｜＞｜ a ｜，故选项C正确；因为 b ＜
a ＜0，所以 b ＜0， a － b ＞0，可得 ab － b2＝ b （ a － b ）＜0，即
ab ＜ b2，故选项D不正确.故选B、C.
题型二 利用不等式的性质证明不等式
【例2】 已知 c ＞ a ＞ b ＞0，求证： ＞ .
证明：因为 a ＞ b ＞0 － a ＜－ b c － a ＜ c － b .
因为 c ＞ a ＞ b ＞0，所以0＜ c － a ＜ c － b .
上式两边同乘 ，得 ＞ ＞0.
又因为 a ＞ b ＞0，所以 ＞ .
通性通法
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
（1）利用不等式的性质可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在
理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并在解题中灵活准确
地加以应用；
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立
的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与
法则.
【跟踪训练】
已知 a ＞ b ＞0，求证： ＞ .
证明：∵ a ＞ b ＞0，∴ ＞ ＞0. ①
又∵ a ＞ b ＞0，两边同乘正数 ，得 ＞ ＞0. ②
由①②得 ＞ .
题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】 已知1＜ a ＜4，2＜ b ＜8，试求2 a ＋3 b 与 a － b 的取值
范围.
解：∵1＜ a ＜4，2＜ b ＜8，∴2＜2 a ＜8，6＜3 b ＜24.
∴8＜2 a ＋3 b ＜32.∵2＜ b ＜8，∴－8＜－ b ＜－2.
又∵1＜ a ＜4，∴1＋（－8）＜ a ＋（－ b ）＜4＋（－2），
即－7＜ a － b ＜2.
故2 a ＋3 b 的取值范围是{2 a ＋3 b ｜8＜2 a ＋3 b ＜32}， a － b 的取值
范围是{ a － b ｜－7＜ a － b ＜2}.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，求 的取值范围.
解：∵2＜ b ＜8，
∴ ＜ ＜ ，而1＜ a ＜4，
∴1× ＜ a · ＜4× ，即 ＜ ＜2.
故 的取值范围是{ ｜ ＜ ＜2}.
通性通法
利用不等式的性质求范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等
式的性质进行运算，求得待求的范围；
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是
等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩
大其范围.
【跟踪训练】
已知－2＜ a ≤3，1≤ b ＜2，求下列代数式的取值范围：
（1） a ＋ b ；
解： 由－2＜ a ≤3，1≤ b ＜2，得－1＜ a ＋ b ＜5.
所以 a ＋ b 的取值范围是{ a ＋ b ｜－1＜ a ＋ b ＜5}.
（2）2 a －3 b .
解： 由－2＜ a ≤3，得－4＜2 a ≤6. ①
由1≤ b ＜2得，－6＜－3 b ≤－3. ②
由①＋②得，－10＜2 a －3 b ≤3.
所以2 a －3 b 的取值范围是{2 a －3 b ｜－10＜2 a －3 b ≤3}.
1. 与 a ＞ b 等价的不等式是（ ）
A. ｜ a ｜＞｜ b ｜ B. a2＞ b2
C. ＞1 D. a3＞ b3
解析： 可利用赋值法.令 a ＝1， b ＝－2，满足 a ＞ b ，但｜ a ｜
＜｜ b ｜， a2＜ b2， ＝－ ＜1，故A、B、C都不正确.
2. 已知 a ， b ， c ∈R，则下列命题正确的是（ ）
A. a ＞ b ac2＞ bc2 B. ＞ a ＞ b
C. ＞ D. a ＞ b ＞0 ＞
解析： 当 c ＝0时，A不成立；当 c ＜0时，B不成立； ab ＜
0， a ＞ b ＜ ，即 ＞ ，C成立；当 a ＞ b ＞0时， ＜
，D不成立.
3. 若2＜ a ＜5，3＜ b ＜10，则 a －2 b 的取值范围为
.
解析：由3＜ b ＜10得－20＜－2 b ＜－6，又因为2＜ a ＜5，所以－
18＜ a －2 b ＜－1.
{ a －2 b ｜－18
＜ a －2 b ＜－1}
4. （1）已知 a ＞ b ， c ＜ d ，求证： a － c ＞ b － d ；
证明：因为 a ＞ b ， c ＜ d ，所以 a ＞ b ，－ c ＞－ d .则 a
－ c ＞ b － d .
（2）已知 a ＞ b ， ab ＞0，求证： ＜ .
证明：因为 ab ＞0，所以 ＞0.
又因为 a ＞ b ，所以 a · ＞ b · ，
即 ＞ ，因此 ＜ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如果 a ＜0， b ＞0，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
A. ＜ B. ＜
C. a2＜ b2 D. ｜ a ｜＞｜ b ｜
解析： ∵ a ＜0， b ＞0，∴ ＜0， ＞0，∴ ＜ .
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2. 设 a ＜ b ＜0，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A. ＞ B. ac ＜ bc
C. ｜ a ｜＞－ b D. ＞
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解析： 对于A，因为 a ＜ b ＜0，所以 ＞0，将 a ＜ b 两边同乘
，则 ＞ ，故选项A中不等式一定成立；对于B，只有当 c ＞0
时，选项B中不等式成立，其余情况不成立，则选项B中不等式不
一定成立；对于C，｜ a ｜＝－ a ＞－ b ，则选项C中不等式一定成
立；对于D，由－ a ＞－ b ＞0，可得 ＞ ，则选项D中不等
式一定成立.故选B.
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3. 设 a ， b ∈R，若 a ＋｜ b ｜＜0，则下列不等式中正确的是（ ）
A. a － b ＞0 B. a3＋ b3＞0
C. a2－ b2＜0 D. a ＋ b ＜0
解析： 本题可采用特殊值法，取 a ＝－2， b ＝1，则 a － b ＜
0， a3＋ b3＜0， a2－ b2＞0， a ＋ b ＝－1＜0.故A、B、C错误，D
正确.
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4. 若 a ， b ， m 都是正数，则不等式 ＞ 成立的条件是（ ）
A. a ＞ b B. b ＞ a
C. a ＞ m D. m ＞ b
解析： ＞ － ＞0 － ＝
＞0，因为 a ， b ， m 都是正数，所以要想使不等式成
立，只需 b － a ＞0，即 b ＞ a .
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5. （多选）已知 a ， b ， c ， d 均为实数，则下列命题正确的是
（ ）
A. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，则 ac ＞ bd
B. 若 ab ＞0， bc － ad ＞0，则 － ＞0
C. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，则 a － d ＞ b － c
D. 若 a ＞ b ， c ＞ d ＞0，则 ＞
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解析： 若 a ＞0＞ b ，0＞ c ＞ d ，则 ac ＜ bd ，故A错；若 ab ＞
0， bc － ad ＞0，则 ＞0，化简得 － ＞0，故B对；若 c ＞
d ，则－ d ＞－ c ，又 a ＞ b ，则 a － d ＞ b － c ，故C对；若 a ＝－
1， b ＝－2， c ＝2， d ＝1，则 ＝－1， ＝－1， ＝ ＝－1，故
D错.故选B、C.
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6. （多选）若 x ＞1＞ y ，则下列不等式一定成立的有（ ）
A. x －1＞1－ y B. x －1＞ y －1
C. x － y ＞1－ y D. 1－ x ＞ y － x
解析： x －1－（1－ y ）＝ x ＋ y －2，无法判断它与0的大小
关系，任取特殊值 x ＝2， y ＝－1得 x －1－（1－ y ）＜0，故选项A
中不等式不一定成立； x －1－（ y －1）＝ x － y ＞0，故选项B中不
等式一定成立； x － y －（1－ y ）＝ x －1＞0，故选项C中不等式一
定成立；1－ x －（ y － x ）＝1－ y ＞0，故选项D中不等式一定成
立.故选B、C、D.
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7. 不等式 a ＞ b 和 ＞ 同时成立的条件是 .
解析：若 a ， b 同号，则 a ＞ b ＜ ，故需 a ， b 异号且 a ＞ b .
a ＞0＞ b
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8. 设 a ， b ， c 是任意实数，能够说明“若 c ＜ b ＜ a 且 ac ＜0，则 ab
＜ ac ”是假命题的一组整数 a ， b ， c 的值依次为
.
解析：若 c ＜ b ＜ a 且 ac ＜0，则 a ＞0， c ＜0，则取 a ＝1， b ＝0，
c ＝－1，则满足条件 ac ＜0，但 ab ＜ ac 不成立.
1，0，－1（答
案不唯一）
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9. 若－10＜ a ＜ b ＜8，则 a ＋ b 的取值范围是
，｜ a ｜＋ b 的取值范围是 .
解析：①当 a ≥0时，0≤ a ＜8，0＜ b ＜8，故0＜ a ＋ b ＜16，而｜
a ｜＋ b ＝ a ＋ b ，所以0＜｜ a ｜＋ b ＜16.
②当 a ＜0时，－10＜ a ＜0，故0＜｜ a ｜＝－ a ＜10，又－10＜ b
＜8，所以－20＜ a ＋ b ＜8，－10＜｜ a ｜＋ b ＜18，又 a ＜ b ，所
以｜ a ｜＋ b ＞0，所以0＜｜ a ｜＋ b ＜18.综上， a ＋ b 的取值范围
是－20＜ a ＋ b ＜16，｜ a ｜＋ b 的取值范围是0＜｜ a ｜＋ b ＜18.
－20＜ a ＋ b ＜
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0＜｜ a ｜＋ b ＜18
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10. 若 bc － ad ≥0， bd ＞0，求证： ≤ .
证明：因为 bc － ad ≥0，所以 bc ≥ ad ，所以 bc ＋ bd ≥ ad ＋ bd ，
即 b （ c ＋ d ）≥ d （ a ＋ b ），又 bd ＞0，所以 ＞0，两边同乘
以 得， ≤ .
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11. 若 a ， b ， c ∈R且 a ＞ b ＞ c ，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A. ac2＞ bc2 B. a2＞ b2＞ c2
C. ＜ D. a ＋ b ＞2 c
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解析： 对于A，当 c2＝0时，可得 ac2＝ bc2，所以 ac2＞ bc2不一
定成立；对于B，例如 a ＝1， b ＝－2， c ＝－3，此时 a2＜ b2＜
c2，所以 a2＞ b2＞ c2不一定成立；对于C，例如 a ＝1， b ＝－2
时，可得 ＞ ，所以 ＜ 不一定成立；对于D，由 a ＞ c ， b ＞
c ，根据不等式的性质，可得 a ＋ b ＞2 c ，所以不等式 a ＋ b ＞2 c
一定成立.故选D.
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12. （多选）下列命题中正确的是（ ）
A. a ， b ∈R，｜ a －2｜＋（ b ＋1）2≤0
B. a ∈R， x ∈R，使得 ax ＞2
C. ab ≠0是 a2＋ b2≠0的充要条件
D. 若 a ≥ b ＞0，则 ≥
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解析： 对于选项A，当 a ＝2， b ＝－1时，｜ a －2｜＋（ b
＋1）2≤0，故A正确；对于选项B，当 a ＝0时， ax ＞2不成立，
故B错误；对于选项C，当 ab ≠0时， a2＋ b2≠0成立；当 a2＋
b2≠0时，如 a ＝1， b ＝0，此时 ab ＝0，故 ab ≠0不成立，即“ ab
≠0”是“ a2＋ b2≠0”的充分不必要条件，故C错误；对于选项
D，当 a ≥ b ＞0时， ≥ 等价于 a ＋ ab ≥ b ＋ ab ，显然成
立，所以D正确.故选A、D.
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13. 已知－1≤ a ＋ b ≤1，1≤ a －2 b ≤3，则 a ＋3 b 的取值范围为
.
解析：设 a ＋3 b ＝λ1（ a ＋ b ）＋λ2（ a －2 b ）＝（λ1＋λ2） a
＋（λ1－2λ2） b ，则解得由已知得－
≤ （ a ＋ b ）≤ ，－2≤－ （ a －2 b ）≤－ .上面两式相
加，得－ ≤ a ＋3 b ≤1.
－
≤ a ＋3 b ≤1
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14. 已知：3＜ a ＋ b ＜4，0＜ b ＜1，求下列各式的取值范围：
（1） a ；
解： ∵3＜ a ＋ b ＜4，0＜ b ＜1，∴－1＜－ b ＜0，
∴2＜ a ＋ b ＋（－ b ）＜4，即2＜ a ＜4.
∴ a 的取值范围是{ a ｜2＜ a ＜4}.
解： ∵0＜ b ＜1，∴－1＜－ b ＜0.
又∵2＜ a ＜4，∴1＜ a － b ＜4.
∴ a － b 的取值范围是{ a － b ｜1＜ a － b ＜4}.
（2） a － b ；
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解： ∵0＜ b ＜1，∴ ＞1，
又∵2＜ a ＜4，∴ ＞2.
∴ 的取值范围是{ ｜ ＞2}.
（3） .
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15. 已知三个不等式：① ab ＞0；② ＞ ；③ bc ＞ ad .若以其中
的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成 个
正确命题.
解析：①② ③，③① ②，②③ ①.由②得 ＞0，又由③
得 bc － ad ＞0，所以 ab ＞0 ①.同理可证①② ③成立；③①
②成立.所以可以组成3个正确命题.
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16. 下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对
吗？如果不对，请指出错误的原因.
甲：因为－6＜ a ＜8，－4＜ b ＜2，所以－2＜ a － b ＜6.
乙：因为2＜ b ＜3，所以 ＜ ＜ ，又因为－6＜ a ＜8，所以－2
＜ ＜4.
丙：因为2＜ a － b ＜4，所以－4＜ b － a ＜－2.又因为－2＜ a ＋ b
＜2，所以0＜ a ＜3，－3＜ b ＜0，所以－3＜ a ＋ b ＜3.
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解：甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相
减，甲同学对同向不等式求差是错误的.
乙同学做的不对，因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方
向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在题中只知道－6
＜ a ＜8，不明确 a 值的正负，故不能将 ＜ ＜ 与－6＜ a ＜8两
边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘.
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丙同学做的不对，同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.
丙同学将2＜ a － b ＜4与－2＜ a ＋ b ＜2两边相加得0＜ a ＜3，又将－4
＜ b － a ＜－2与－2＜ a ＋ b ＜2两边相加得出－3＜ b ＜0，又将该式与
0＜ a ＜3两边相加得出－3＜ a ＋ b ＜3，多次使用了这种转化，导致了
a ＋ b 范围的扩大.
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谢 谢 观 看！第2课时 等式性质与不等式性质
1.如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
A.＜ B.＜
C.a2＜b2 D.｜a｜＞｜b｜
2.设a＜b＜0，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A.＞ B.ac＜bc
C.｜a｜＞－b D.＞
3.设a，b∈R，若a＋｜b｜＜0，则下列不等式中正确的是（ ）
A.a－b＞0 B.a3＋b3＞0
C.a2－b2＜0 D.a＋b＜0
4.若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是（ ）
A.a＞b B.b＞a
C.a＞m D.m＞b
5.（多选）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B.若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0
C.若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
D.若a＞b，c＞d＞0，则＞
6.（多选）若x＞1＞y，则下列不等式一定成立的有（ ）
A.x－1＞1－y B.x－1＞y－1
C.x－y＞1－y D.1－x＞y－x
7.不等式a＞b和＞同时成立的条件是 .
8.设a，b，c是任意实数，能够说明“若c＜b＜a且ac＜0，则ab＜ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 .
9.若－10＜a＜b＜8，则a＋b的取值范围是 ，｜a｜＋b的取值范围是 .
10.若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
11.若a，b，c∈R且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.ac2＞bc2 B.a2＞b2＞c2
C.＜ D.a＋b＞2c
12.（多选）下列命题中正确的是（ ）
A. a，b∈R，｜a－2｜＋（b＋1）2≤0
B. a∈R， x∈R，使得ax＞2
C.ab≠0是a2＋b2≠0的充要条件
D.若a≥b＞0，则≥
13.已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，则a＋3b的取值范围为 .
14.已知：3＜a＋b＜4，0＜b＜1，求下列各式的取值范围：
（1）a；（2）a－b；（3）.
15.已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成 个正确命题.
16.下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.
甲：因为－6＜a＜8，－4＜b＜2，所以－2＜a－b＜6.
乙：因为2＜b＜3，所以＜＜，又因为－6＜a＜8，所以－2＜＜4.
丙：因为2＜a－b＜4，所以－4＜b－a＜－2.又因为－2＜a＋b＜2，所以0＜a＜3，－3＜b＜0，所以－3＜a＋b＜3.
第2课时 等式性质与不等式性质
1.A ∵a＜0，b＞0，∴＜0，＞0，∴＜.
2.B 对于A，因为a＜b＜0，所以＞0，将a＜b两边同乘，则＞，故选项A中不等式一定成立；对于B，只有当c＞0时，选项B中不等式成立，其余情况不成立，则选项B中不等式不一定成立；对于C，｜a｜＝－a＞－b，则选项C中不等式一定成立；对于D，由－a＞－b＞0，可得＞，则选项D中不等式一定成立.故选B.
3.D 本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b＜0，a3＋b3＜0，a2－b2＞0，a＋b＝－1＜0.故A、B、C错误，D正确.
4.B ＞ －＞0 －＝＞0，因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a.
5.BC 若a＞0＞b，0＞c＞d，则ac＜bd，故A错；若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得－＞0，故B对；若c＞d，则－d＞－c，又a＞b，则a－d＞b－c，故C对；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错.故选B、C.
6.BCD x－1－（1－y）＝x＋y－2，无法判断它与0的大小关系，任取特殊值x＝2，y＝－1得x－1－（1－y）＜0，故选项A中不等式不一定成立；x－1－（y－1）＝x－y＞0，故选项B中不等式一定成立；x－y－（1－y）＝x－1＞0，故选项C中不等式一定成立；1－x－（y－x）＝1－y＞0，故选项D中不等式一定成立.故选B、C、D.
7.a＞0＞b 解析：若a，b同号，则a＞b ＜，故需a，b异号且a＞b.
8.1，0，－1（答案不唯一） 解析：若c＜b＜a且ac＜0，则a＞0，c＜0，则取a＝1，b＝0，c＝－1，则满足条件ac＜0，但ab＜ac不成立.
9.－20＜a＋b＜16 0＜｜a｜＋b＜18
解析：①当a≥0时，0≤a＜8，0＜b＜8，故0＜a＋b＜16，而｜a｜＋b＝a＋b，所以0＜｜a｜＋b＜16.
②当a＜0时，－10＜a＜0，故0＜｜a｜＝－a＜10，又－10＜b＜8，所以－20＜a＋b＜8，－10＜｜a｜＋b＜18，又a＜b，所以｜a｜＋b＞0，所以0＜｜a｜＋b＜18.综上，a＋b的取值范围是－20＜a＋b＜16，｜a｜＋b的取值范围是0＜｜a｜＋b＜18.
10.证明：因为bc－ad≥0，所以bc≥ad，所以bc＋bd≥ad＋bd，即b（c＋d）≥d（a＋b），又bd＞0，所以＞0，两边同乘以得，≤.
11.D 对于A，当c2＝0时，可得ac2＝bc2，所以ac2＞bc2不一定成立；对于B，例如a＝1，b＝－2，c＝－3，此时a2＜b2＜c2，所以a2＞b2＞c2不一定成立；对于C，例如a＝1，b＝－2时，可得＞，所以＜不一定成立；对于D，由a＞c，b＞c，根据不等式的性质，可得a＋b＞2c，所以不等式a＋b＞2c一定成立.故选D.
12.AD 对于选项A，当a＝2，b＝－1时，｜a－2｜＋（b＋1）2≤0，故A正确；对于选项B，当a＝0时，ax＞2不成立，故B错误；对于选项C，当ab≠0时，a2＋b2≠0成立；当a2＋b2≠0时，如a＝1，b＝0，此时ab＝0，故ab≠0不成立，即“ab≠0”是“a2＋b2≠0”的充分不必要条件，故C错误；对于选项D，当a≥b＞0时，≥等价于a＋ab≥b＋ab，显然成立，所以D正确.故选A、D.
13.－≤a＋3b≤1 解析：设a＋3b＝λ1（a＋b）＋λ2（a－2b）＝（λ1＋λ2）a＋（λ1－2λ2）b，则解得由已知得－≤（a＋b）≤，－2≤－（a－2b）≤－.上面两式相加，得－≤a＋3b≤1.
14.解：（1）∵3＜a＋b＜4，0＜b＜1，
∴－1＜－b＜0，
∴2＜a＋b＋（－b）＜4，即2＜a＜4.
∴a的取值范围是{a｜2＜a＜4}.
（2）∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.
又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4.
∴a－b的取值范围是{a－b｜1＜a－b＜4}.
（3）∵0＜b＜1，∴＞1，
又∵2＜a＜4，∴＞2.
∴的取值范围是{｜＞2}.
15.3 解析：①② ③，③① ②，②③ ①.由②得＞0，又由③得bc－ad＞0，所以ab＞0 ①.同理可证①② ③成立；③① ②成立.所以可以组成3个正确命题.
16.解：甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的.
乙同学做的不对，因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在题中只知道－6＜a＜8，不明确a值的正负，故不能将＜＜与－6＜a＜8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘.
丙同学做的不对，同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.丙同学将2＜a－b＜4与－2＜a＋b＜2两边相加得0＜a＜3，又将－4＜b－a＜－2与－2＜a＋b＜2两边相加得出－3＜b＜0，又将该式与0＜a＜3两边相加得出－3＜a＋b＜3，多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大.
2 / 2第2课时 等式性质与不等式性质
在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.
【问题】 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？
知识点一 等式的性质
性质1 如果a＝b，那么 ；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么 ；
性质3 如果a＝b，那么 ；
性质4 如果a＝b，那么 ；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么 .
提醒 （1）性质1、2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性；（2）性质3、4、5反映了等式在运算中保持的不变性.
知识点二 不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a＞b b a 可逆
2 传递性 a＞b，b＞c a＞c 不可逆
3 可加性 a＞b a＋c b＋c 可逆
4 可乘性 ac bc c的 符号
ac bc
5 同向可加性 a＋c b＋d 同向
6 同向同正 可乘性 ac bd 同向 同正
7 可乘方性 a＞b＞0 an bn （n∈N，n≥2） 同正
提醒 （1）若a＞b＞0，则0＜＜；若a＜b＜0，则0＞＞；（2）不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算.
1.（多选）已知a＜b，那么下列式子中，正确的是（ ）
A.4a＜4b B.－4a＜－4b
C.a＋4＜b＋4 D.a－4＜b－4
2.已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A.ad＞bc B.ac＞bd
C.a－c＞b－d D.a＋c＞b＋d
3.利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.
（1）若2x－3＝－5，则2x＝ ，x＝ ；
（2）若5x＋2＝2x－4，则3x＝ ，x＝ .
题型一 利用不等式的性质判断命题的真假
【例1】 （多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A.0＞a＞b a2＞b2
B.a2＞b2 a＞b＞0
C.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
D.若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
通性通法
利用不等式的性质判断命题真假的2种方法
（1）直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于假命题只需举出一个反例即可；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
【跟踪训练】
1.下列命题中，正确的是（ ）
A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B.若ac＞bc，则a＜b
C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
D.若＜，则a＜b
2.（多选）已知＜＜0，则下列结论正确的是（ ）
A.a＜b B.ab＞a＋b
C.｜a｜＜｜b｜ D.ab＞b2
题型二 利用不等式的性质证明不等式
【例2】 已知c＞a＞b＞0，求证：＞.
通性通法
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
（1）利用不等式的性质可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并在解题中灵活准确地加以应用；
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
【跟踪训练】
已知a＞b＞0，求证：＞.
题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】 已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，求的取值范围.
通性通法
利用不等式的性质求范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围；
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其范围.
【跟踪训练】
已知－2＜a≤3，1≤b＜2，求下列代数式的取值范围：
（1）a＋b；
（2）2a－3b.
1.与a＞b等价的不等式是（ ）
A.｜a｜＞｜b｜ B.a2＞b2
C.＞1 D.a3＞b3
2.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是（ ）
A.a＞b ac2＞bc2
B.＞ a＞b
C. ＞
D.a＞b＞0 ＞
3.若2＜a＜5，3＜b＜10，则a－2b的取值范围为 .
4.（1）已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d；
（2）已知a＞b，ab＞0，求证：＜.
第2课时 等式性质与不等式性质
【基础知识·重落实】
知识点一
b＝a a＝c a±c＝b±c ac＝bc ＝
知识点二
＜ ＞ ＞ ＜ ＞ ＞ ＞
自我诊断
1.ACD
2.D 令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A、B、C.由不等式的性质5知，D一定成立.
3.（1）－2 －1 （2）－6 －2
解析：（1）根据等式的性质3，等式两边同加3，得2x＝－2.再根据等式的性质5，等式两边同除以2，得x＝－1.
（2）根据等式的性质3，等式两边同减（2x＋2），得3x＝－6.再根据等式的性质5，等式两边同除以3，得x＝－2.
【典型例题·精研析】
【例1】 CD 对于A，由0＞a＞b可知，0＜－a＜－b，则由性质7可知，（－b）2＞（－a）2，即b2＞a2，故A为假命题；对于B，性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，由可得a2＞ab.因为所以ab＞b2，从而有a2＞ab＞b2，故C为真命题；对于D，由＞，可知－＝＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0，故D为真命题.
跟踪训练
1.D 选项A中，当a＞b＞0，c＞d＞0时，ac＞bd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当c＜0时，ac＞bc可推出a＜b.当c＞0时，ac＞bc可推出a＞b，故B不正确；选项C中，由a＞b，c＞d，可得a－d＞b－c，故C不正确；选项D中，式子＜成立，显然c≠0，所以c2＞0，根据不等式的性质：不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然有a＜b成立，故D正确.故选D.
2.BC 由＜＜0可得b＜a＜0，显然选项A不正确；因为b＜a＜0，所以ab＞0，a＋b＜0，所以ab＞a＋b，故选项B正确；因为b＜a＜0，所以｜b｜＞｜a｜，故选项C正确；因为b＜a＜0，所以b＜0，a－b＞0，可得ab－b2＝b（a－b）＜0，即ab＜b2，故选项D不正确.故选B、C.
【例2】 证明：因为a＞b＞0 －a＜－b c－a＜c－b.
因为c＞a＞b＞0，所以0＜c－a＜c－b.
上式两边同乘，得＞＞0.
又因为a＞b＞0，所以＞.
跟踪训练
证明：∵a＞b＞0，∴＞＞0. ①
又∵a＞b＞0，两边同乘正数，得＞＞0. ②
由①②得＞.
【例3】 解：∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，∴1＋（－8）＜a＋（－b）＜4＋（－2），
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是{2a＋3b｜8＜2a＋3b＜32}，a－b的取值范围是{a－b｜－7＜a－b＜2}.
母题探究
解：∵2＜b＜8，
∴＜＜，而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.
故的取值范围是{｜＜＜2}.
跟踪训练
解：（1）由－2＜a≤3，1≤b＜2，得－1＜a＋b＜5.
所以a＋b的取值范围是{a＋b｜－1＜a＋b＜5}.
（2）由－2＜a≤3，得－4＜2a≤6. ①
由1≤b＜2得，－6＜－3b≤－3. ②
由①＋②得，－10＜2a－3b≤3.
所以2a－3b的取值范围是{2a－3b｜－10＜2a－3b≤3}.
随堂检测
1.D 可利用赋值法.令a＝1，b＝－2，满足a＞b，但｜a｜＜｜b｜，a2＜b2，＝－＜1，故A、B、C都不正确.
2.C 当c＝0时，A不成立；当c＜0时，B不成立；ab＜0，a＞b ＜，即＞，C成立；当a＞b＞0时，＜，D不成立.
3.{a－2b｜－18＜a－2b＜－1}
解析：由3＜b＜10得－20＜－2b＜－6，又因为2＜a＜5，所以－18＜a－2b＜－1.
4.证明：（1）因为a＞b，c＜d，所以a＞b，－c＞－d.则a－c＞b－d.
（2）因为ab＞0，所以＞0.
又因为a＞b，所以a·＞b·，
即＞，因此＜.
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