(共60张PPT)
2.2 基本不等式
新课程标准解读 核心素养
逻辑推理
2.利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的
不等式 数学运算、逻辑推
理
3.会用基本不等式求解实际应用题 数学建模
第1课时 基本不等式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名
数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来
像一个风车.
【问题】 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
知识点一 基本不等式
如果 a ＞0， b ＞0，有 ≤ ，当且仅当 时，等号成
立.通常称不等式 ≤ 为基本不等式.其中， 叫做正数 a ，
b 的 ， 叫做正数 a ， b 的 .
基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何
平均数.
a ＝ b
算术平均数
几何平均数
不小于
【想一想】
“当且仅当 a ＝ b 时，等号成立”的含义是什么？
提示：一方面是当 a ＝ b 时取等号，即 a ＝ b ＝ ；另一方面
是仅当 a ＝ b 时取等号，即 ＝ a ＝ b .
提醒 基本不等式的常见变形：① a ＋ b ≥2 ；② ab ≤ ≤
（其中 a ＞0， b ＞0，当且仅当 a ＝ b 时等号成立）.
知识点二 基本不等式与最值
已知 x ， y 都是正数，则
提醒 利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相
等”：①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积
为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.
x ＝ y
2
x ＝ y
S2
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ≥0， b ≥0
B. a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ， b ∈R
解析： 根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选
B、C.
2. 若 x ＞0，则 y ＝ ＋ x 的最小值为 .
解析：∵ x ＞0， ＞0，∴ y ＝ x ＋ ≥2 ＝4，当且仅当 x ＝
，即 x ＝2时，等号成立，故 ymin＝4.
4
3. 已知0＜ x ＜1，则 x （1－ x ）的最大值为 ，此时 x ＝ .
解析：因为0＜ x ＜1，所以1－ x ＞0，所以 x （1－ x ）≤
＝ ＝ ，当且仅当 x ＝1－ x ，即 x ＝ 时等号成
立，即当 x ＝ 时， x （1－ x ）取得最大值 .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对基本不等式的理解
【例1】 给出下面三个推导过程：
①∵ a ， b 为正实数，∴ ＋ ≥2 ＝2；
②∵ a ∈R， a ≠0，∴ ＋ a ≥2 ＝4；
③∵ x ， y ∈R， xy ＜0，∴ ＋ ＝－［（－ ）＋ ］≤－2
＝－2.
其中正确的推导为（ ）
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
解析： ①∵ a ， b 为正实数，∴ ， 为正实数，符合基本不等式
的条件，故①的推导正确.②∵ a ∈R， a ≠0，不符合基本不等式的条
件，∴ ＋ a ≥2 ＝4是错误的.③由 xy ＜0，得 ， 均为负数，
但在推导过程中将整体 ＋ 提出负号后，－ ，－ 均变为正数，符
合基本不等式的条件，故③正确.
通性通法
利用基本不等式判断命题真假的步骤
第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件；
第二步：应用基本不等式；
第三步：检验等号是否成立.
【跟踪训练】
下列不等式中正确的是（ ）
D. a2＋ b2≥4 ab
解析： 对于选项A，符合基本不等式的三个条件“一正，二定，
三相等”，故A正确；对于选项B，忽视了验证等号成立的条件，即 x
＝ ，则 x ＝1，不满足 x ≥2，故B错误；对于C，当 a ＞0， b ＞0时，
≤ ，当且仅当 a ＝ b 时取等号，故C错误；对于D，由基本不
等式得 a2＋ b2≥2 ab ，当且仅当 a ＝ b 时取等号，故D错误.故选A.
题型二 直接应用基本不等式求最值
【例2】 （1）若 x ＞0，求 y ＝4 x ＋ 的最小值；
解： ∵ x ＞0，∴由基本不等式得 y ＝4 x ＋ ≥2 ＝2
＝12，
当且仅当4 x ＝ ，即 x ＝ 时等号成立，
∴ y ＝4 x ＋ 的最小值为12.
（2）设0＜ x ＜ ，求函数 y ＝4 x （3－2 x ）的最大值.
解： ∵0＜ x ＜ ，∴3－2 x ＞0，
∴ y ＝4 x （3－2 x ）＝2[2 x （3－2 x ）]≤2 ＝ .
当且仅当2 x ＝3－2 x ，即 x ＝ 时取“＝”.
∴ y 的最大值为 .
【母题探究】
（变条件、变设问）若 x ＜0，求 y ＝4 x ＋ 的最大值.
解：∵ x ＜0，∴－ x ＞0，
∴（－4 x ）＋ ≥2 ＝12，
∴ y ＝4 x ＋ ＝－（－4 x ＋ ）≤－12，
当且仅当－4 x ＝－ ，即 x ＝－ 时等号成立，
故原式的最大值为－12.
通性通法
利用基本不等式求最值的策略
【跟踪训练】
1. 已知 x ＞0， y ＞0，且 x ＋ y ＝18，则 xy 的最大值为（ ）
A. 80 B. 77
C. 81 D. 82
解析： ∵ x ＞0， y ＞0， x ＋ y ＝18，∴ x ＋ y ≥2 ，∴ xy ≤
＝81，当且仅当 x ＝ y ＝9时等号成立，∴ xy 有最大值81.
2. 的最小值是 2 .
解析： ＝｜ a ｜＋ ≥2 ＝2 ，当且仅
当｜ a ｜＝ ，即 a ＝± 时，取等号.
2
题型三 变形应用基本不等式求最值
角度1 构造法求最值
【例3】 （1）当 x ＞0时， y ＝ 的最小值为 ；
解析： 当 x ＞0时， ＝ ＋ ＋ ≥2 ＋ ＝ ，
当且仅当 x ＝2时等号成立，
所以当 x ＞0时， y ＝ 的最小值为 .
（2）当 x ＞3时， y ＝2 x ＋ 的最小值为 .
解析： 因为 x ＞3，所以2 x －6＞0，所以 y ＝2 x ＋ ＝
（2 x －6）＋ ＋6≥2 ＋6＝2×2＋6＝
10，当且仅当2 x －6＝ ，即 x ＝4时取等号.所以 y ＝2 x ＋
的最小值是10.
10
通性通法
构造法求最值的策略
将已知数学表达式变形，构造出符合基本不等式条件的形式（和
或积为定值）.解题时应对照已知和所求的式子进行适当的“拆项、
添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.
角度2 巧用“1”的代换求最值
【例4】 已知 a ＞0， b ＞0，且 ＋ ＝1，求 a ＋ b 的最小值.
解：∵ a ＞0， b ＞0， ＋ ＝1，
∴ a ＋ b ＝ （ a ＋ b ）＝1＋16＋ ＋ ≥17＋2 ＝17
＋2×4＝25.
当且仅当 ＝ ，即 b2＝16 a2时，等号成立.
由解得
故当 a ＝5， b ＝20时， a ＋ b 取得最小值25.
通性通法
1的代换就是指凑出1，使要求的式子通过变形后达到运用基本不
等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形.
【跟踪训练】
1. （2024·福州月考）已知 x ＞2，则 x ＋ 的最小值为 .
解析：∵ x ＞2，∴ x －2＞0，∴ x ＋ ＝（ x －2）＋ ＋2≥2
＋2＝6.当且仅当 x －2＝ ，即 x ＝4时等号成
立，∴ x ＋ 的最小值为6.
6
2. 已知 a ＞0， b ＞0，且2 a ＋ b ＝1，求 ＋ 的最小值.
解： ＋ ＝ （2 a ＋ b ）＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，
当且仅当 ＝ ，即 a ＝ b ＝ 时，等号成立.所以 ＋ 的最小值
为9.
1. 下列结论正确的是（ ）
解析： 选项A不满足“取等号时的条件”，故不正确；选项C不
满足“各项必须为正”，故不正确；选项D不满足“积为定值”，
故不正确.
2. 已知 x ＜0，则 x ＋ －2有（ ）
A. 最大值0 B. 最小值0
C. 最大值－4 D. 最小值－4
解析： ∵ x ＜0，∴－ x ＞0，∴ x ＋ －2＝－［（－ x ）＋
］－2≤－2－2＝－4.当且仅当－ x ＝－ ，即 x ＝－1时
“＝”成立.∴ x ＋ －2（ x ＜0）有最大值－4.
3. 若0＜2 x ＜3，则（3－2 x ） x 的最大值为（ ）
C. 2
解析： ∵0＜2 x ＜3，∴3－2 x ＞0， x ＞0，∴（3－2 x ） x ＝
（3－2 x ）·2 x ≤ ＝ ，当且仅当3－2 x ＝2 x ，即 x ＝
时取等号，∴（3－2 x ） x 的最大值为 .
4. 若 x ＞1，求函数 y ＝ 的最小值.
解：因为 x ＞1，所以 x －1＞0，所以 y ＝ ＝ ＝ x ＋1＋
＝ x －1＋ ＋2≥2＋2＝4.当且仅当 ＝ x －1，即 x ＝2时，等
号成立，所以当 x ＝2时， y 的最小值为4.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 不等式（ x －2 y ）＋ ≥2成立的前提条件为（ ）
A. x ≥2 y B. x ＞2 y
C. x ≤2 y D. x ＜2 y
解析： 因为不等式成立的前提条件是 x －2 y 和 均为正数，
所以 x －2 y ＞0，即 x ＞2 y ，故选B.
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2. 下列各式中最小值为2的是（ ）
解析： A中， y ＝ t ＋ ≥2，当且仅当 t ＝1时等号成立，又 t ＞
1，所以等号取不到；B中， y ＝ ＋ ≥2，当且仅当 t ＝1时等号
成立；C中， y ＝ t ＋ ＝ t －1＋ ＋1≥3；D中， y ＝ t ＋ ＋
1≥3.
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3. 已知 x ＞0， y ＞0，若 xy ＝3，则 x ＋ y 的最小值为（ ）
A. 3 B. 2
D. 1
解析： 由于 x ＞0， y ＞0， xy ＝3，所以 x ＋ y ≥2 ＝2
，当且仅当 x ＝ y ＝ 时等号成立.所以 x ＋ y 的最小值为2
.故选C.
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4. 若 a ， b 都是正数，则 的最小值为（ ）
A. 5 B. 7
C. 9 D. 13
解析： 因为 a ， b 都是正数，所以 ＝5＋ ＋
≥5＋2 ＝9（当且仅当 b ＝2 a 时等号成立）.故选C.
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5. （多选）已知实数 a ， b ，下列不等式一定成立的是（ ）
D. 2（ a2＋ b2）≥（ a ＋ b ）2
解析： 当 a ＜0， b ＜0时， ≥ 不成立，故A不符合题
意；当 a ＜0时， a ＋ ≥2不成立，故B不符合题意；｜ ＋ ｜
＝｜ ｜＋｜ ｜≥2，当且仅当 a ＝± b 时，等号成立，故C符合
题意；∵2（ a2＋ b2）－（ a ＋ b ）2＝ a2＋ b2－2 ab ＝（ a － b ）
2≥0，∴2（ a2＋ b2）≥（ a ＋ b ）2，故D符合题意.故选C、D.
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6. （多选）若 a ， b ∈R，且 ab ＞0，则下列不等式恒成立的是（ ）
解析： 对于A、C，当 a ＜0， b ＜0时，不等式不成立，故A、
C不符合题意；对于B， a2＋ ≥2 ＝8，当且仅当 a2＝ ，
即 a ＝±2时等号成立，故B符合题意；对于D，∵ ab ＞0，∴ ＞
0， ＞0，∴ ＋ ≥2 ＝2，当且仅当 a ＝ b 时等号成立，故D
符合题意.
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7. 已知 x ＞0， y ＞0，且满足 ＋ ＝1，则 xy 的最大值为 ，取
得最大值时 y 的值为 .
解析：因为 x ＞0， y ＞0，且1＝ ＋ ≥2 ，所以 xy ≤3.当且仅
当 ＝ ＝ ，即 x ＝ ， y ＝2时取等号.
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8. 若 a ＞0，且 a ＋ b ＝0，则 a － ＋1的最小值为 .
解析：由 a ＋ b ＝0， a ＞0，得 b ＝－ a ，－ ＝ ＞0，所以 a －
＋1＝ a ＋ ＋1≥3，当且仅当 a ＝1， b ＝－1时取等号.
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9. 已知 x ＞ ，则函数 y ＝ x －1＋ 的最小值为 .
解析：由 x ＞ 得 x － ＞0，则函数 y ＝ x －1＋ ＝ x － ＋
＋ ≥2 ＋ ＝2＋ ＝ ，当且仅当
即 x ＝ 时，等号成立，此时函数取得最小值 .
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10. （1）已知 x ＞0，求 y ＝2－ x － 的最大值；
解： ∵ x ＞0，∴ x ＋ ≥4.
∴ y ＝2－ ≤2－4＝－2.
当且仅当 x ＝ （ x ＞0），即 x ＝2时取等号，
∴ ymax＝－2.
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（2）已知0＜ x ＜ ，求 y ＝ x （1－2 x ）的最大值.
解： ∵0＜ x ＜ ，∴1－2 x ＞0，
∴ y ＝ x （1－2 x ）＝ ×2 x （1－2 x ）≤ × ＝
× ＝ ，
当且仅当2 x ＝1－2 x ，即 x ＝ 时取等号，
故 y ＝ x （1－2 x ）的最大值为 .
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11. 已知 x ＞0， y ＞0，且 x ＋2 y ＝4，则（1＋ x ）（1＋2 y ）的最大
值为（ ）
A. 16 B. 9
C. 4 D. 36
解析： （1＋ x ）（1＋2 y ）≤［ ］2＝
（ ）2＝9，当且仅当1＋ x ＝1＋2 y ，即 x ＝2， y ＝1时，等
号成立，故所求最大值为9.
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12. （多选）设正实数 a ， b 满足 a ＋ b ＝1，则（ ）
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解析： 对于A， ＋ ＝ （ a ＋ b ）＝ ＋ ＋2≥2
＋2＝4，当且仅当 a ＝ b ＝ 时等号成立，故A正确；对于
B，0＜ ≤ （ a ＋ b ）＝ ×1＝ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时等号
成立，故B错误；对于C，∵（ ＋ ）2＝ a ＋ b ＋2 ＝2
＋1≤ a ＋ b ＋1＝2，∴ ＋ ≤ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时
等号成立，故C正确；对于D，∵ a2＋ b2≥2 ab ，∴2（ a2＋ b2）≥ a2＋ b2＋2 ab ＝（ a ＋ b ）2＝1，∴ a2＋ b2≥ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时等号成立，故D错误.故选A、C.
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13. 已知 x ， y 为正实数，3 x ＋2 y ＝10，则 W ＝ ＋ 的最大值
为 .
解析：∵ x ， y 为正实数，3 x ＋2 y ＝10，∴ W2＝3 x ＋2 y ＋2
≤10＋（3 x ＋2 y ）＝20，当且仅当3 x ＝2 y ，3 x ＋2 y ＝
10，即 x ＝ ， y ＝ 时，等号成立.∴ W ≤2 ，即 W 的最大值为
2 .
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14. 已知 x ， y 都是正数.
（1）若 xy ＝4，求 ＋ 的最小值；
解： ∵ xy ＝4，且 x ＞0， y ＞0，
∴ ＋ ≥2 ＝2 ＝ ，
当且仅当 x ＝2 ， y ＝ 时取等号，
即 ＋ 的最小值为 .
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（2）若 x ＋2 y ＝3，求 ＋ 的最小值.
解： ∵ x ＋2 y ＝3，∴ ＋ ＝1，
∴ ＋ ＝ ＝ ＋ ＋ ＋ ≥1＋2
＝1＋ ，
当且仅当 ＝ ，即 x ＝3 －3， y ＝3－ 时取等号，
∴ ＋ 的最小值为1＋ .
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15. 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法
研究代数问题）成了后世西方数学家处理问
题的重要依据，通过这一方法，很多代数公
理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称为“无字证明”.如图所示， AB 是半圆 O 的直径，点 C 是 AB 上一点（不同于 A ， B ， O ），点 D 在半圆 O 上，且 CD ⊥ AB ， CE ⊥ OD 于点 E ，设 AC ＝ a ， BC ＝ b ，则该图形可以完成的“无字证明”为（ ）
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解析： 由 AC ＝ a ， BC ＝ b ，可得半圆 O 的半径 DO ＝ ，
易得 DC ＝ ＝ ， DE ＝ ＝ .∵ DE ＜ DC ＜
DO ，∴ ＜ ＜ （ a ＞0， b ＞0， a ≠ b ）.故选D.
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16. 是否存在正实数 a 和 b ，同时满足下列条件：① a ＋ b ＝10；②
＋ ＝1（ x ＞0， y ＞0）且 x ＋ y 的最小值为18，若存在，求出
a ， b 的值；若不存在，说明理由.
解：因为 ＋ ＝1，
所以 x ＋ y ＝（ x ＋ y ） ＝ a ＋ b ＋ ＋ ≥ a ＋ b ＋2
＝（ ＋ ）2，又 x ＋ y 的最小值为18，所以（ ＋ ）2＝18.
由得或
故存在实数 a ＝2， b ＝8或 a ＝8， b ＝2满足条件.
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谢 谢 观 看！2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（ ）
A.x≥2y B.x＞2y
C.x≤2y D.x＜2y
2.下列各式中最小值为2的是（ ）
A.y＝t＋（t＞1） B.y＝＋
C.y＝t＋（t＞1） D.y＝t＋＋1（t＞0）
3.已知x＞0，y＞0，若xy＝3，则x＋y的最小值为（ ）
A.3 B.2
C.2 D.1
4.若a，b都是正数，则的最小值为（ ）
A.5 B.7
C.9 D.13
5.（多选）已知实数a，b，下列不等式一定成立的是（ ）
A.≥ B.a＋≥2
C.｜＋｜≥2 D.2（a2＋b2）≥（a＋b）2
6.（多选）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.a＋≥4 B.a2＋≥8
C.＋＞ D.＋≥2
7.已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为 ，取得最大值时y的值为 .
8.若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为 .
9.已知x＞，则函数y＝x－1＋的最小值为 .
10.（1）已知x＞0，求y＝2－x－的最大值；
（2）已知0＜x＜，求y＝x（1－2x）的最大值.
11.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则（1＋x）（1＋2y）的最大值为（ ）
A.16 B.9
C.4 D.36
12.（多选）设正实数a，b满足a＋b＝1，则（ ）
A.＋的最小值为4
B.的最小值为
C.＋的最大值为
D.a2＋b2的最大值为
13.已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝＋的最大值为 .
14.已知x，y都是正数.
（1）若xy＝4，求＋的最小值；
（2）若x＋2y＝3，求＋的最小值.
15.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点（不同于A，B，O），点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为（ ）
A.≤（a＞0，b＞0）
B.＜（a＞0，b＞0，a≠b）
C.≤（a＞0，b＞0）
D.＜＜（a＞0，b＞0，a≠b）
16.是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1（x＞0，y＞0）且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由.
第1课时 基本不等式
1.B 因为不等式成立的前提条件是x－2y和均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B.
2.B A中，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立，又t＞1，所以等号取不到；B中，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；C中，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3；D中，y＝t＋＋1≥3.
3.C 由于x＞0，y＞0，xy＝3，所以x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时等号成立.所以x＋y的最小值为2.故选C.
4.C 因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9（当且仅当b＝2a时等号成立）.故选C.
5.CD 当a＜0，b＜0时，≥不成立，故A不符合题意；当a＜0时，a＋≥2不成立，故B不符合题意；｜＋｜＝｜｜＋｜｜≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立，故C符合题意；∵2（a2＋b2）－（a＋b）2＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，故D符合题意.故选C、D.
6.BD 对于A、C，当a＜0，b＜0时，不等式不成立，故A、C不符合题意；对于B，a2＋≥2＝8，当且仅当a2＝，即a＝±2时等号成立，故B符合题意；对于D，∵ab＞0，∴＞0，＞0，∴＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故D符合题意.
7.3 2 解析：因为x＞0，y＞0，且1＝＋≥2，所以xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号.
8.3 解析：由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－＝＞0，所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号.
9. 解析：由x＞得x－＞0，则函数y＝x－1＋＝x－＋＋≥2＋＝2＋＝，当且仅当即x＝时，等号成立，此时函数取得最小值.
10.解：（1）∵x＞0，∴x＋≥4.
∴y＝2－≤2－4＝－2.
当且仅当x＝（x＞0），即x＝2时取等号，
∴ymax＝－2.
（2）∵0＜x＜，∴1－2x＞0，
∴y＝x（1－2x）＝×2x（1－2x）≤×＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取等号，
故y＝x（1－2x）的最大值为.
11.B （1＋x）（1＋2y）≤［］2＝（）2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立，故所求最大值为9.
12.AC 对于A，＋＝（a＋b）＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，0＜≤（a＋b）＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，∵（＋）2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，∴＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2＝1，∴a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D错误.故选A、C.
13.2 解析：∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋（3x＋2y）＝20，当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立.∴W≤2，即W的最大值为2.
14.解：（1）∵xy＝4，且x＞0，y＞0，
∴＋≥2＝2＝，
当且仅当x＝2，y＝时取等号，
即＋的最小值为.
（2）∵x＋2y＝3，∴＋＝1，
∴＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋，
当且仅当＝，即x＝3－3，y＝3－时取等号，
∴＋的最小值为1＋.
15.D 由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝，易得DC＝＝，DE＝＝.∵DE＜DC＜DO，∴＜＜（a＞0，b＞0，a≠b）.故选D.
16.解：因为＋＝1，
所以x＋y＝（x＋y）＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝（＋）2，
又x＋y的最小值为18，所以（＋）2＝18.
由
得或
故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件.
2 / 22.2 基本不等式
新课程标准解读 核心素养
1.知道基本不等式≤（a＞0，b＞0）的几何背景，能结合具体实例解释基本不等式成立的条件 逻辑推理
2.利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式 数学运算、逻辑推理
3.会用基本不等式求解实际应用题 数学建模
第1课时 基本不等式
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.
【问题】 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
知识点一 基本不等式
如果a＞0，b＞0，有≤，当且仅当 时，等号成立.通常称不等式≤为基本不等式.其中，叫做正数a，b的 ，叫做正数a，b的 .
基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.
【想一想】
“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？
提醒 基本不等式的常见变形：①a＋b≥2；②ab≤≤（其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立）.
知识点二 基本不等式与最值
已知x，y都是正数，则
（1）如果积xy等于定值P，那么当 时，和x＋y有最小值 ；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当 时，积xy有最大值 .
提醒 利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等”：①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.
1.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0
B.a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R
C.a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0
D.a＋b≥2成立的条件是ab＞0
2.若x＞0，则y＝＋x的最小值为 .
3.已知0＜x＜1，则x（1－x）的最大值为 ，此时x＝ .
题型一 对基本不等式的理解
【例1】 给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－［（－）＋］≤－2＝－2.
其中正确的推导为（ ）
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
通性通法
利用基本不等式判断命题真假的步骤
第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件；
第二步：应用基本不等式；
第三步：检验等号是否成立.
【跟踪训练】
下列不等式中正确的是（ ）
A.当x＞0时，x2＋≥2
B.当x≥2时，x＋的最小值为2
C.≥
D.a2＋b2≥4ab
题型二 直接应用基本不等式求最值
【例2】 （1）若x＞0，求y＝4x＋的最小值；
（2）设0＜x＜，求函数y＝4x（3－2x）的最大值.
【母题探究】
（变条件、变设问）若x＜0，求y＝4x＋的最大值.
通性通法
利用基本不等式求最值的策略
【跟踪训练】
1.已知x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为（ ）
A.80 B.77
C.81 D.82
2.的最小值是 .
题型三 变形应用基本不等式求最值
角度1 构造法求最值
【例3】 （1）当x＞0时，y＝的最小值为 ；
（2）当x＞3时，y＝2x＋的最小值为 .
通性通法
构造法求最值的策略
将已知数学表达式变形，构造出符合基本不等式条件的形式（和或积为定值）.解题时应对照已知和所求的式子进行适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.
角度2 巧用“1”的代换求最值
【例4】 已知a＞0，b＞0，且＋＝1，求a＋b的最小值.
通性通法
1的代换就是指凑出1，使要求的式子通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形.
【跟踪训练】
1.（2024·福州月考）已知x＞2，则x＋的最小值为 .
2.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求＋的最小值.
1.下列结论正确的是（ ）
A.当x＞0且x≠1时，x＋≥2
B.当x＞0时，＋≥2
C.当x≠0时，x＋的最小值为2
D.当x＞0时，x＋的最小值为2
2.已知x＜0，则x＋－2有（ ）
A.最大值0 B.最小值0
C.最大值－4 D.最小值－4
3.若0＜2x＜3，则（3－2x）x的最大值为（ ）
A. B.
C.2 D.
4.若x＞1，求函数y＝的最小值.
第1课时 基本不等式
【基础知识·重落实】
知识点一
a＝b 算术平均数 几何平均数 不小于
想一想
提示：一方面是当a＝b时取等号，即a＝b ＝；另一方面是仅当a＝b时取等号，即＝ a＝b.
知识点二
（1）x＝y 2 （2）x＝y S2
自我诊断
1.BC 根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C.
2.4 解析：∵x＞0，＞0，∴y＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，故ymin＝4.
3. 解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立，即当x＝时，x（1－x）取得最大值.
【典型例题·精研析】
【例1】 B ①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确.②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的.③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确.
跟踪训练
A 对于选项A，符合基本不等式的三个条件“一正，二定，三相等”，故A正确；对于选项B，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝1，不满足x≥2，故B错误；对于C，当a＞0，b＞0时，≤，当且仅当a＝b时取等号，故C错误；对于D，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，故D错误.故选A.
【例2】 解：（1）∵x＞0，∴由基本不等式得y＝4x＋≥2＝2＝12，
当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，
∴y＝4x＋ 的最小值为12.
（2）∵0＜x＜，∴3－2x＞0，
∴y＝4x（3－2x）＝2[2x（3－2x）]≤2＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取“＝”.
∴y的最大值为.
母题探究
解：∵x＜0，∴－x＞0，
∴（－4x）＋≥2＝12，
∴y＝4x＋＝－（－4x＋）≤－12，
当且仅当－4x＝－，即x＝－时等号成立，
故原式的最大值为－12.
跟踪训练
1.C ∵x＞0，y＞0，x＋y＝18，∴x＋y≥2，∴xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，∴xy有最大值81.
2.2 解析：＝｜a｜＋≥2＝2，当且仅当｜a｜＝，即a＝±时，取等号.
【例3】 （1） （2）10 解析：（1）当x＞0时，＝＋＋≥2＋＝，当且仅当x＝2时等号成立，
所以当x＞0时，y＝的最小值为.
（2）因为x＞3，所以2x－6＞0，所以y＝2x＋＝（2x－6）＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10，当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号.所以y＝2x＋的最小值是10.
【例4】 解：∵a＞0，b＞0，＋＝1，
∴a＋b＝（a＋b）＝1＋16＋＋≥17＋2＝17＋2×4＝25.
当且仅当＝，即b2＝16a2时，等号成立.
由解得
故当a＝5，b＝20时，a＋b取得最小值25.
跟踪训练
1.6 解析：∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋＝（x－2）＋＋2≥2＋2＝6.当且仅当x－2＝，即x＝4时等号成立，∴x＋的最小值为6.
2.解：＋＝（2a＋b）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立.所以＋的最小值为9.
随堂检测
1.B 选项A不满足“取等号时的条件”，故不正确；选项C不满足“各项必须为正”，故不正确；选项D不满足“积为定值”，故不正确.
2.C ∵x＜0，∴－x＞0，∴x＋－2＝－［（－x）＋］－2≤－2－2＝－4.当且仅当－x＝－，即x＝－1时“＝”成立.∴x＋－2（x＜0）有最大值－4.
3.D ∵0＜2x＜3，∴3－2x＞0，x＞0，∴（3－2x）x＝（3－2x）·2x≤＝，当且仅当3－2x＝2x，即x＝时取等号，∴（3－2x）x的最大值为.
4.解：因为x＞1，所以x－1＞0，所以y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立，所以当x＝2时，y的最小值为4.
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