(共64张PPT)
第2课时
基本不等式的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用基本不等式证明不等式
【例1】 已知 a ＞0， b ＞0， c ＞0，且 a ＋ b ＋ c ＝1.求证： ≥8.
证明：因为 a ＞0， b ＞0， c ＞0， a ＋ b ＋ c ＝1，
所以 －1＝ ＝ ≥ ，
同理 －1≥ ， －1≥ .
上述三个不等式两边均为正值，分别相乘，
得 ≥ · · ＝8.
当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 时，等号成立.
通性通法
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
（1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性
质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所求证的问题，其
特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
（2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意
使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成
基本不等式模型再使用.
【跟踪训练】
已知 a ， b ， c 为不全相等的正实数.求证： a ＋ b ＋ c ＞ ＋
＋ .
证明：因为 a ＞0， b ＞0， c ＞0，所以 a ＋ b ≥2 ， b ＋ c ≥2
， c ＋ a ≥2 .所以2（ a ＋ b ＋ c ）≥2（ ＋ ＋
），即 a ＋ b ＋ c ≥ ＋ ＋ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号
成立.由于 a ， b ， c 为不全相等的正实数，故等号不成立.所以 a ＋ b
＋ c ＞ ＋ ＋ .
题型二 基本不等式的实际应用
【例2】 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，
运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用
与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其他费用为每小时
800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时.
（1）请将该货轮从甲地到乙地的运输成本 y （元）表示为航行速度 x
（海里/时）的函数；
解： 由题意，每小时的燃料费用为0.5 x2元，从甲地到乙
地所用的时间为 小时，
则 y ＝0.5 x2· ＋800· ＝150· （0＜ x ≤50）.
（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速
度行驶？
解： 由（1）得 y ＝150 ≥300 ＝12 000，
当且仅当 x ＝ ，即 x ＝40时取等号.
故当货轮的航行速度为40海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地
的运输成本最少.
通性通法
利用基本不等式解决实际问题的步骤
【跟踪训练】
如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2（图
中阴影部分），上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白
部分面积的最小值是 dm2.
56
解析：设阴影部分的高为 x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积
为 y dm2.由题意，得 y ＝（ x ＋4）· －72＝8＋2 ≥8
＋2×2 ＝56.当且仅当 x ＝ ，即 x ＝12时等号成立.
题型三 基本不等式在几何中的应用
【例3】 如图所示，设矩形 ABCD （ AB ＞ BC ）的周长为24，把它
沿 AC 翻折，翻折后AB'交 DC 于点 P ，设 AB ＝ x .
（1）用 x 表示 DP ，并求出 x 的取值范围；
解： 矩形 ABCD （ AB ＞ BC ）的周长为24，
∵ AB ＝ x ，∴ AD ＝ － x ＝12－ x ，
∵ AB ＞ BC ＝ AD ，得 x ＞12－ x ，∴6＜ x ＜12，
在△ APC 中，∠ PAC ＝∠ PCA ，∴ AP ＝ PC ，从而得 DP ＝PB'，
∴ AP ＝AB'－PB'＝ AB － DP ＝ x － DP ，在Rt△ ADP 中，由勾股
定理得（12－ x ）2＋ DP2＝（ x － DP ）2，
∴ DP ＝12－ （6＜ x ＜12）.
（2）求△ ADP 面积的最大值及此时 x 的值.
解： 在Rt△ ADP 中， S△ ADP ＝ AD · DP ＝ （12－ x ）（12－ ）＝108－（6 x ＋ ）（6＜ x ＜12）.
∵6＜ x ＜12，∴6 x ＋ ≥2 ＝72 ，
当且仅当6 x ＝ ，即 x ＝6 时，等号成立.
∴ S△ ADP ＝108－（6 x ＋ ）≤108－72 ，
∴当 x ＝6 时，△ ADP 的面积取得最大值108－72 .
通性通法
利用基本不等式求几何中最值问题的思路
（1）依据题意设出变量，将所求量用所设变量表示；
（2）构造基本不等式模型，将其变形为满足基本不等式成立的形
式；
（3）数学运算求得最值，再返回到原几何问题中给出解答.
【跟踪训练】
如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛 AMPN ，
要求点 B 在 AM 上，点 D 在 AN 上，且对角线 MN 过点 C ，已知 AB ＝4
米， AD ＝3米，当 BM ＝ 米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小.
4
解析：设 BM ＝ x （ x ＞0），则由 DC ∥ AM 得 ＝ ，解得 ND
＝ ，∴矩形 AMPN 的面积为 S ＝（4＋ x ）（3＋ ）＝24＋3 x ＋
≥24＋2 ＝48，当且仅当3 x ＝ ，即 x ＝4时等号成立.∴当
BM ＝4米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小.
1. x ＞0，使得 ＋ x － a ≤0，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. a ＞2 B. a ≥2
C. a ＜2 D. a ≤2
解析： x ＞0，使得 ＋ x － a ≤0，等价于 x ＞0时 a ≥ ，∵ x ＋ ≥2 ＝2，当且仅当 x ＝1时等号成立，∴ a
≥2.
2. 用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积
为（ ）
A. 9 cm2 B. 16 cm2
C. 4 cm2 D. 5 cm2
解析： 设矩形模型的长和宽分别为 x ， y ，则 x ＞0， y ＞0，由
题意可得2（ x ＋ y ）＝8，所以 x ＋ y ＝4，所以矩形模型的面积 S ＝
xy ≤ ＝ ＝4，当且仅当 x ＝ y ＝2时，等号成立，所以当
矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.
3. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部
分），矩形花园面积的最大值为 .
400
解析：由题意设矩形花园的长为 x （ x ＞0），宽为
y （ y ＞0），矩形花园的面积为 xy ，根据题意作
图，如图，因为花园是矩形，则△ ADE ∽△ ABC ，
所以 ＝ ，又因为 AG ＝ BC ＝40，所以 AF ＝
DE ＝ x ， FG ＝ y ，所以 x ＋ y ＝40，由基本不等式x ＋ y ≥2 ，得 xy ≤400，当且仅当 x ＝ y ＝20时等号成立，此时矩形花园面积最大，最大值为400.
4. 已知 a ， b ， c ＞0，求证： ＋ ＋ ≥ a ＋ b ＋ c .
证明：∵ a ， b ， c ＞0，利用基本不等式可得 ＋ b ≥2 a ， ＋ c
≥2 b ， ＋ a ≥2 c ，
∴ ＋ ＋ ＋ a ＋ b ＋ c ≥2 a ＋2 b ＋2 c ，
∴ ＋ ＋ ≥ a ＋ b ＋ c ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立.
基本不等式的拓广
阅读下列材料：
二元基本不等式：设 a ， b 为正数，则 ≥ ，当且仅当 a ＝ b 时
等式成立.
证明：因为（ a ＋ b ）2－4 ab ＝（ a － b ）2≥0，所以（ a ＋ b ）2≥4
ab ，从而得 ≥ ，当且仅当 a ＝ b 时等式成立.
三元基本不等式：设 a ， b ， c 为正数，则 ≥ ，当且仅
当 a ＝ b ＝ c 时等式成立.
证明：设 d 为正数，由二元基本不等式，
得 ＝ ≥ ≥ ，当且仅当 a ＝
b ＝ c ＝ d 时，等式成立.
令 d ＝ ，即 a ＋ b ＋ c ＝3 d ，代入上述不等式，得 d ≥
，
由此推出 d3≥ abc ，因此 ≥ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等式
成立.
【问题探究】
1. 当满足什么条件时，可以利用三元基本不等式求 的最
小值？
提示：当 a ， b ， c 均为正数，且 a ， b ， c 能取到相等的值时，可
以利用三元基本不等式求 的最小值.
2. 利用上述结论证明：已知 a ， b ， c 均为正实数，求证：（ a ＋ b ＋
c ）· ≥9.
提示：∵ a ， b ， c 均为正实数，∴ a ＋ b ＋ c ≥3 ＞0， ＋
＋ ≥3 ＞0，
∴（ a ＋ b ＋ c ）· ≥3 ·3 ＝9，
当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立.
【迁移应用】
1. 利用上述结论求解：设 a ＞0， b ＞0， c ＞0， a ＋ b ＋ c ＝1，求（1
－ a ）（1－ b ）（1－ c ）的最大值.
解：因为 a ＞0， b ＞0， c ＞0， ≥ ，
所以 abc ≤ ，又因为 a ＋ b ＋ c ＝1，
所以0＜1－ a ＜1，0＜1－ b ＜1，0＜1－ c ＜1，
所以（1－ a ）（1－ b ）（1－ c ）≤ ＝ ，
当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 时，等号成立.
所以（1－ a ）（1－ b ）（1－ c ）的最大值为 .
2. 利用上述结论的推广求解：已知 a ， b ， c 均为正实数，求 · 的最小值.
解：∵
＝3＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ≥3＋6 ＝9，
当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立.
∴ 的最小值为9.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 文具店的某种商品的年进货量为1 000件，分若干次进货，每次进
货量相同，且所需运费为10元，运来的货物需租仓库存放，一年的
租金按一次进货量的一半来计算，每件2元.为使一年的运费和租金
最省，每次进货量应为（ ）
A. 20件 B. 500件
C. 100件 D. 250件
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解析： 设每次进货量为 x 件，一年的运费和租金总费用为 y 元.
由题意，得 y ＝10· ＋2· ＝ ＋ x ≥2 ＝200，当
且仅当 x ＝100时取等号.故为使一年的运费和租金最省，每次进货
量应为100件.
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2. 港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾
出行.刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有
降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃
油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是
（ ）
A. 采用第一种方案划算
B. 采用第二种方案划算
C. 两种方案一样
D. 无法确定
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解析： 假设第一次的油价为 m 元/升，第二次的油价为 n 元/升.
第一种方案的均价为 ＝ ≥ ；第二种方案的均价
为 ＝ ≤ .所以无论油价如何变化，第二种方案都
更划算.
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3. 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的
底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的
最低总造价是（ ）
A. 80元 B. 120元
C. 160元 D. 240元
解析： 设底面相邻两边的长分别为 x m， y m，总造价为 T 元，
则 xy ·1＝4 xy ＝4. T ＝4×20＋（2 x ＋2 y ）×1×10＝80＋20（ x
＋ y ）≥80＋20×2 ＝80＋20×4＝160（当且仅当 x ＝ y ＝2时
取等号）.故该容器的最低总造价是160元.故选C.
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4. 某工厂第一年产量为 A ，第二年的增长率为 a （ a ＞0），第三年的
增长率为 b （ b ＞0），这两年的平均增长率为 x （ x ＞0），则
（ ）
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解析： 由条件知 A （1＋ a ）（1＋ b ）＝ A （1＋ x ）2，所以（1
＋ x ）2＝（1＋ a ）（1＋ b ）≤ ，所以1＋ x
≤1＋ ，故 x ≤ .
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5. 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框
架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的
是（ ）
A. 6.5 m B. 6.8 m
C. 7 m D. 7.2 m
解析： 设两直角边分别为 a ， b ，直角三角形的框架的周长为
l ，则 ab ＝2，∴ ab ＝4， l ＝ a ＋ b ＋ ≥2 ＋ ＝
4＋2 ≈6.828（m），当且仅当 a ＝ b ＝2时等号成立.故C既够
用，浪费也最少.
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6. （多选）已知某出租车公司为升级服务水平，购入了一批豪华轿车
投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润 y （万元）
与运营年数 x 的关系为 y ＝－ x2＋12 x －25，则下列判断正确的是
（ ）
A. 车辆运营年数越多，利润越高
B. 车辆在第6年时，总利润最高
C. 车辆在前5年的平均利润最高
D. 车辆每年都能盈利
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解析： 由题意可知， y ＝－ x2＋12 x －25是开口向下的二次函
数，故A错误；对称轴 x ＝6，故B正确； ＝－ x ＋12－ ＝－（ x
＋ ）＋12≤－2 ＋12＝2，当且仅当 x ＝5时，等号成立，故C
正确；当 x ＝1时， y ＝－14，故D错误.
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7. 三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数
学表述为如图所示，则该图对“ a2＋ b2≥2 ab ”的几何解释为
.
大
正方形的面积不小于四个全等直角三角形的面积和，当且仅当 a ＝
b 时等号成立
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解析：由题图可知，四个直角三角形全等，且它们的直角边长分别
为 a ， b ，斜边长为 ，正方形 ABCD 的边长即为
，所以 S正方形 ABCD ＝ a2＋ b2，而四个全等直角三角形的面
积为4 S ＝4× ab ＝2 ab ，所以“ a2＋ b2≥2 ab ”的几何解释为大正
方形的面积不小于四个全等直角三角形的面积和，当且仅当 a ＝ b
时等号成立.
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8. 为教室消毒，向室内喷洒某消毒液，已知室内消毒液浓度 C （单
位：mg/L）随时间 t （单位：min）的变化关系为 C ＝ ，则经
过 min后室内消毒液浓度达到最大.
解析：由题意可得 t ＞0， C ＝ ＝ ≤ ＝2，当且仅当 t ＝
，即 t ＝5时取等号.
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解析：设两个正方形边长分别为 a ， b ，则由∠ B ＝∠ C ＝45°，
可得 a ＋ b ＝ BC ＝1，且 ≤ a ≤ ， ≤ b ≤ ， S ＝ a2＋ b2≥2×
＝ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时取等号.
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10. （1）已知 a ， b 都是正数，求证： ≥4；
证明： ∵ a ＞0， b ＞0，
∴ a ＋ ≥2 ＝2， b ＋ ≥2 ＝2.
由不等式的性质，得 ≥4，
当且仅当 a ＝1且 b ＝1时，等号成立.
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证明： 左边＝ ＋ －1＋ ＋ －1＋ ＋ －1＝
＋ ＋ －3.∵ a ， b ， c 为正数，
∴ ＋ ≥2（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）；
＋ ≥2（当且仅当 a ＝ c 时，等号成立）；
＋ ≥2（当且仅当 b ＝ c 时，等号成立）.
（2）已知 a ， b ， c 均为正数，求证： ＋ ＋
≥3.
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从而 ＋ ＋ ≥6（当且仅当 a ＝ b ＝ c
时，等号成立）.
∴ ＋ ＋ －3≥3，
即 ＋ ＋ ≥3（当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等
号成立）.
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11. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批
生产 x 件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为
1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，
每批应生产产品（ ）
A. 30件 B. 60件
C. 80件 D. 100件
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解析： 设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 y
元，则 y ＝ ＝ ＋ ≥2 ＝30，当且仅当 ＝
，即 x ＝60时等号成立，故每批应生产产品60件.故选B.
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12. 某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，其中 p ， q 为
正百分数，则提价幅度较大的一种是（ ）
A. 先提价 p ，后提价 q （ p ≠ q ）
B. 先提价 q ，后提价 p （ p ≠ q ）
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解析： 设提价前的价格为1，由题意可知，A、B选项的两次
提价后的价格均为（1＋ p ）（1＋ q ）；C选项的提价后的价格为
（1＋ ）2，D选项的提价后的价格为（1＋ ）2，
又∵ ＜ ，∴（1＋ p ）（1＋ q ）＜（1＋ ）2＜
（1＋ ）2，∴提价幅度较大的为D选项.
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13. 某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，
而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车
站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，
那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站 km处.
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解析：设仓库到车站的距离为 x ，每月土地费用为 y1，每月货物
的运输费用为 y2，由题意可设 y1＝ ， y2＝ k2 x ，把 x ＝10， y1＝2
与 x ＝10， y2＝8分别代入上式得 k1＝20， k2＝0.8，∴ y1＝ ， y2
＝0.8 x ，则两项费用之和为 y ＝ y1＋ y2＝0.8 x ＋ ≥2×4＝8，当
且仅当0.8 x ＝ ，即 x ＝5时等号成立.∴当仓库建在离车站5 km
处时两项费用之和最小.
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14. 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计
划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域
ABCD 修建一个羊驼养殖场，规定 ABCD 的每条边长均不超过20
米.如图所示，矩形 EFGH 为羊驼养殖区，且点 A ， B ， E ， F 四
点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设 AB ＝ x （单位：
米），养殖区域 EFGH 的面积为 S （单位：平方米）.
（1）将 S 表示为 x 的函数，并写出 x 的取值范围；
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解： 因为 AB ＝ x ，所以 AD ＝
， EF ＝ x －2，
FG ＝ －1，
所以 S ＝（ x －2）（ －1）＝102－ － x ，
因为0＜ x ≤20，0＜ ≤20，解得5≤ x ≤20，
所以 S ＝102－ － x ，5≤ x ≤20.
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（2）当 AB 为多长时， S 取得最大值？并求出此最大值.
解： S ＝102－ － x ≤102－2
＝102－20 ，
当且仅当 x ＝10 时，等号成立，经验
证，符合题意，
即当 AB ＝10 米时， S 取得最大值，
最大值为（102－20 ）平方米.
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15. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购
买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些
黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘
中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称
得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金（ ）
A. 大于10 g B. 大于等于10 g
C. 小于10 g D. 小于等于10 g
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解析： 由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为 a （ a ＞
0），右臂长为 b （ b ＞0），则 a ≠ b ，再设先称得黄金为 x g，后
称得黄金为 y g，则 bx ＝5 a ， ay ＝5 b ，∴ x ＝ ， y ＝ ，∴ x ＋
y ＝ ＋ ＝5（ ＋ ）≥5×2 ＝10，当且仅当 ＝ ，即 a
＝ b 时等号成立，但 a ≠ b ，等号不成立，即 x ＋ y ＞10，因此，
顾客购得的黄金大于10 g.
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16. 某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场
调查，当每套丛书售价定为 x 元时，销售量可达到（10－0.1 x ）
万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛
书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为
20元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，
比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价
－供货价格.
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解： ∵∴0＜ x ＜100，
y ＝ x －（20＋ ）＝ x － －20（0＜ x ＜100），
当 x ＝80时， y ＝80－ －20＝55（元），
此时销量为10－0.1×80＝2（万套），
总利润为2×55＝110（万元）.
（1）求每套丛书利润 y 与售价 x 的函数关系，并求出每套丛书售
价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？
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（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出
最大利润.
解： y ＝ x － －20，∵0＜ x ＜100，∴100－ x ＞0，
∴ y ＝－［ ＋（100－ x ）］＋80≤－2
＋80＝60，
当且仅当 ＝100－ x ，即 x ＝90时，等号成立.即每
套丛书售价定为90元时，每套丛书的利润最大，最大利
润为60元.
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谢 谢 观 看！第2课时 基本不等式的应用
1.文具店的某种商品的年进货量为1 000件，分若干次进货，每次进货量相同，且所需运费为10元，运来的货物需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元.为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为（ ）
A.20件 B.500件
C.100件 D.250件
2.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ）
A.采用第一种方案划算
B.采用第二种方案划算
C.两种方案一样
D.无法确定
3.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
4.某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a（a＞0），第三年的增长率为b（b＞0），这两年的平均增长率为x（x＞0），则（ ）
A.x＝ B.x≤
C.x＞ D.x≥
5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（ ）
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
6.（多选）已知某出租车公司为升级服务水平，购入了一批豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y（万元）与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是（ ）
A.车辆运营年数越多，利润越高
B.车辆在第6年时，总利润最高
C.车辆在前5年的平均利润最高
D.车辆每年都能盈利
7.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，则该图对“a2＋b2≥2ab”的几何解释为 .
8.为教室消毒，向室内喷洒某消毒液，已知室内消毒液浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：min）的变化关系为C＝，则经过 min后室内消毒液浓度达到最大.
9.从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为 .
10.（1）已知a，b都是正数，求证：≥4；
（2）已知a，b，c均为正数，求证：＋＋≥3.
11.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A.30件 B.60件
C.80件 D.100件
12.某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，其中p，q为正百分数，则提价幅度较大的一种是（ ）
A.先提价p，后提价q（p≠q）
B.先提价q，后提价p（p≠q）
C.分两次提价（p≠q）
D.分两次提价（p≠q）
13.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站 km处.
14.为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB＝x（单位：米），养殖区域EFGH的面积为S（单位：平方米）.
（1）将S表示为x的函数，并写出x的取值范围；
（2）当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值.
15.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金（ ）
A.大于10 g B.大于等于10 g
C.小于10 g D.小于等于10 g
16.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到（10－0.1x）万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格.
（1）求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润.
第2课时 基本不等式的应用
1.C 设每次进货量为x件，一年的运费和租金总费用为y元.由题意，得y＝10·＋2·＝＋x≥2＝200，当且仅当x＝100时取等号.故为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为100件.
2.B 假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为＝≥；第二种方案的均价为＝≤.所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算.
3.C 设底面相邻两边的长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4 xy＝4.T＝4×20＋（2x＋2y）×1×10＝80＋20（x＋y）≥80＋20×2＝80＋20×4＝160（当且仅当x＝y＝2时取等号）.故该容器的最低总造价是160元.故选C.
4.B 由条件知A（1＋a）（1＋b）＝A（1＋x）2，所以（1＋x）2＝（1＋a）（1＋b）≤，所以1＋x≤1＋，故x≤.
5.C 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828（m），当且仅当a＝b＝2时等号成立.故C既够用，浪费也最少.
6.BC 由题意可知，y＝－x2＋12x－25是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－（x＋）＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误.
7.大正方形的面积不小于四个全等直角三角形的面积和，当且仅当a＝b时等号成立 解析：由题图可知，四个直角三角形全等，且它们的直角边长分别为a，b，斜边长为，正方形ABCD的边长即为，所以S正方形ABCD＝a2＋b2，而四个全等直角三角形的面积为4S＝4×ab＝2ab，所以“a2＋b2≥2ab”的几何解释为大正方形的面积不小于四个全等直角三角形的面积和，当且仅当a＝b时等号成立.
8.5 解析：由题意可得t＞0，C＝＝≤＝2，当且仅当t＝，即t＝5时取等号.
9. 解析：设两个正方形边长分别为a，b，则由∠B＝∠C＝45°，可得a＋b＝BC＝1，且≤a≤，≤b≤，S＝a2＋b2≥2×＝，当且仅当a＝b＝时取等号.
10.证明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴a＋≥2＝2，b＋≥2＝2.
由不等式的性质，得（a＋）（b＋）≥4，
当且仅当a＝1且b＝1时，等号成立.
（2）左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋－3.
∵a，b，c为正数，
∴＋≥2（当且仅当a＝b时，等号成立）；
＋≥2（当且仅当a＝c时，等号成立）；
＋≥2（当且仅当b＝c时，等号成立）.
从而＋＋≥6（当且仅当a＝b＝c时，等号成立）.
∴＋＋（＋）－3≥3，
即＋＋≥3（当且仅当a＝b＝c时，等号成立）.
11.B 设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝＝＋≥2＝30，当且仅当＝，即x＝60时等号成立，故每批应生产产品60件.故选B.
12.D 设提价前的价格为1，由题意可知，A、B选项的两次提价后的价格均为（1＋p）·（1＋q）；C选项的提价后的价格为（1＋）2，D选项的提价后的价格为（1＋）2，又∵＜，∴（1＋p）（1＋q）＜（1＋）2＜（1＋）2，∴提价幅度较大的为D选项.
13.5 解析：设仓库到车站的距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，由题意可设y1＝，y2＝k2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝，y2＝0.8x，则两项费用之和为y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2×4＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立.∴当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小.
14.解：（1）因为AB＝x，所以AD＝，EF＝x－2，
FG＝－1，
所以S＝（x－2）（－1）＝102－－x，
因为0＜x≤20，0＜≤20，解得5≤x≤20，
所以S＝102－－x，5≤x≤20.
（2）S＝102－－x≤102－2＝102－20，
当且仅当x＝10时，等号成立，经验证，符合题意，
即当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为（102－20）平方米.
15.A 由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a（a＞0），右臂长为b（b＞0），则a≠b，再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，∴x＝，y＝，∴x＋y＝＋＝5（＋）≥5×2＝10，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y＞10，因此，顾客购得的黄金大于10 g.
16.解：（1）∵∴0＜x＜100，
y＝x－（20＋）＝x－－20（0＜x＜100），
当x＝80时，y＝80－－20＝55（元），
此时销量为10－0.1×80＝2（万套），
总利润为2×55＝110（万元）.
（2）y＝x－－20，
∵0＜x＜100，∴100－x＞0，
∴y＝－［＋（100－x）］＋80≤－2＋80＝60，
当且仅当＝100－x，即x＝90时，等号成立.即每套丛书售价定为90元时，每套丛书的利润最大，最大利润为60元.
2 / 3第2课时 基本不等式的应用
题型一 利用基本不等式证明不等式
【例1】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
通性通法
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
（1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所求证的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
（2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用.
【跟踪训练】
已知a，b，c为不全相等的正实数.求证：a＋b＋c＞＋＋.
题型二 基本不等式的实际应用
【例2】 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时.
（1）请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/时）的函数；
（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
通性通法
利用基本不等式解决实际问题的步骤
【跟踪训练】如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2（图中阴影部分），上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是 dm2.
题型三 基本不等式在几何中的应用
【例3】 如图所示，设矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB'交DC于点P，设AB＝x.
（1）用x表示DP，并求出x的取值范围；
（2）求△ADP面积的最大值及此时x的值.
通性通法
利用基本不等式求几何中最值问题的思路
（1）依据题意设出变量，将所求量用所设变量表示；
（2）构造基本不等式模型，将其变形为满足基本不等式成立的形式；
（3）数学运算求得最值，再返回到原几何问题中给出解答.
【跟踪训练】如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝ 米时，矩形花坛AMPN的面积最小.
1. x＞0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是（ ）
A.a＞2 B.a≥2
C.a＜2 D.a≤2
2.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A.9 cm2 B.16 cm2
C.4 cm2 D.5 cm2
3.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），矩形花园面积的最大值为 .
4.已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
基本不等式的拓广
阅读下列材料：
二元基本不等式：设a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立.
证明：因为（a＋b）2－4ab＝（a－b）2≥0，所以（a＋b）2≥4ab，从而得≥，当且仅当a＝b时等式成立.
三元基本不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立.
证明：设d为正数，由二元基本不等式，
得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立.
令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，
由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立.
【问题探究】
1.当满足什么条件时，可以利用三元基本不等式求的最小值？
2.利用上述结论证明：已知a，b，c均为正实数，求证：（a＋b＋c）·≥9.
【迁移应用】
1.利用上述结论求解：设a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝1，求（1－a）（1－b）（1－c）的最大值.
2.利用上述结论的推广求解：已知a，b，c均为正实数，求·的最小值.
第2课时 基本不等式的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正值，分别相乘，
得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
跟踪训练
证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2.所以2（a＋b＋c）≥2（＋＋），即a＋b＋c≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时等号成立.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立.所以a＋b＋c＞＋＋.
【例2】 解：（1）由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时，
则y＝0.5x2·＋800·＝150·（0＜x≤50）.
（2）由（1）得y＝150≥300＝12 000，
当且仅当x＝，即x＝40时取等号.
故当货轮的航行速度为40海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少.
跟踪训练
56 解析：设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积为y dm2.由题意，得y＝（x＋4）·－72＝8＋2≥8＋2×2＝56.当且仅当x＝，即x＝12时等号成立.
【例3】 解：（1）矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24，
∵AB＝x，∴AD＝－x＝12－x，
∵AB＞BC＝AD，得x＞12－x，
∴6＜x＜12，
在△APC中，∠PAC＝∠PCA，∴AP＝PC，从而得DP＝PB'，
∴AP＝AB'－PB'＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得（12－x）2＋DP2＝（x－DP）2，
∴DP＝12－（6＜x＜12）.
（2）在Rt△ADP中，S△ADP＝AD·DP＝（12－x）（12－）＝108－（6x＋）（6＜x＜12）.
∵6＜x＜12，∴6x＋≥2＝72，当且仅当6x＝，即x＝6时，等号成立.
∴S△ADP＝108－（6x＋）≤108－72，∴当x＝6时，△ADP的面积取得最大值108－72.
跟踪训练
4 解析：设BM＝x（x＞0），则由DC∥AM得＝，解得ND＝，∴矩形AMPN的面积为S＝（4＋x）（3＋）＝24＋3x＋≥24＋2＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立.∴当BM＝4米时，矩形花坛AMPN的面积最小.
随堂检测
1.B x＞0，使得＋x－a≤0，等价于x＞0时a≥，∵x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥2.
2.C 设矩形模型的长和宽分别为x，y，则x＞0，y＞0，由题意可得2（x＋y）＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.
3.400 解析：由题意设矩形花园的长为x（x＞0），宽为y（y＞0），矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE∽△ABC，所以＝，又因为AG＝BC＝40，所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，由基本不等式x＋y≥2，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20时等号成立，此时矩形花园面积最大，最大值为400.
4.证明：∵a，b，c＞0，利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
∴＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
拓视野 基本不等式的拓广
问题探究
1.提示：当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元基本不等式求的最小值.
2.提示：∵a，b，c均为正实数，∴a＋b＋c≥3＞0，＋＋≥3＞0，
∴（a＋b＋c）·≥3·3＝9，
当且仅当a＝b＝c时等号成立.
迁移应用
1.解：因为a＞0，b＞0，c＞0，≥，
所以abc≤，又因为a＋b＋c＝1，
所以0＜1－a＜1，0＜1－b＜1，0＜1－c＜1，
所以（1－a）（1－b）（1－c）≤＝，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
所以（1－a）（1－b）（1－c）的最大值为.
2.解：∵
＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋6＝9，
当且仅当a＝b＝c时等号成立.
∴的最小值为9.
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