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培优课
活用基本不等式求最值
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 常数代换法求最值
【例1】 （1）已知 x ＞0， y ＞0，且 x ＋3 y －5 xy ＝0，则3 x ＋4 y 的
最小值是（ B ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 9
解析： 由 x ＋3 y －5 xy ＝0，得 ＋ ＝5，所以3 x ＋4 y ＝
（ ＋ ）（3 x ＋4 y ）＝ （13＋ ＋ ）≥ （13＋2
）＝5，当且仅当 x ＝1， y ＝ 时，取等号.故选B.
（2） a ＞0， b ＞0，且 a ＋2 b ＝1，不等式 ＋ － m ≥0恒成立，
则实数 m 的取值范围为 .
解析： 因为 a ＋2 b ＝1，所以 ＋ ＝（ ＋ ）
（ a ＋ b ＋ b ）＝ ＋ ＋1＋ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2
＝ ＋2 ＝ ＋ ，当且仅当 ＝ ，即 a
＝（ －1） b 时，取等号，因为不等式 ＋ － m ≥0恒成
立，所以 m 小于等于 ＋ 的最小值，所以 m ≤ ＋ .
{ m ｜ m ≤ ＋ }
通性通法
常数代换法求最值的思路
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为
定值的式子，然后利用基本不等式求最值.
【跟踪训练】
1. 已知 a ＞0， b ＞0， ＋ ＝2，则 a ＋ b 的最小值为（ ）
解析： 因为 a ＞0， b ＞0，且 ＋ ＝2，所以 a ＋ b ＝ （ ＋
）（ a ＋ b ）＝ （3＋ ＋ ）≥ （3＋2 ）＝ ，当
且仅当 b ＝ a ，即 a ＝ ， b ＝ 时， a ＋ b 有最小值
.故选B.
2. 若 a ， b 是正实数，且 a ＋ b ＝1，则 ＋ 的最小值为 2 ＋
.
解析：因为 a ， b 是正实数，且 a ＋ b ＝1，所以 ＋ ＝ ＋
＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝（ ＋ ）·（ a ＋ b ）＝2＋ ＋ ＋1≥2
＋3＝2 ＋3，当且仅当时等号成立.
2 ＋
3
题型二 消元法求最值
【例2】 已知 x ＞0， y ＞0， x ＋2 y ＋2 xy ＝8，求 x ＋2 y 的最小值.
解：由 x ＋2 y ＋2 xy ＝8，可得 y ＝ ，
因为 x ＞0， y ＞0，所以0＜ x ＜8.
所以 x ＋2 y ＝ x ＋ ＝ x ＋ ＝ x ＋ －1＝ x ＋1＋ －2≥2
－2＝4，当且仅当 x ＋1＝ ，即 x ＝2时等号成立.
所以 x ＋2 y 的最小值为4.
通性通法
消元法求最值的思路
对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，
可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入
代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
5＋2
解析：由2 a ＋ b ＝ ab －1，得 a ＝ ，因为 a ＞0， b ＞0，所以 a ＝
＞0， b ＋1＞0，所以 b ＞2，所以 a ＋2 b ＝ ＋2 b ＝
＋2（ b －2）＋4＝2（ b －2）＋ ＋5≥2 ＋5＝5
＋2 ，当且仅当2（ b －2）＝ ，即 b ＝2＋ 时等号成立.所以 a
＋2 b 的最小值为5＋2 .
题型三 换元法求最值
【例3】 （1）已知 x ＞1，则 的最大值为 ；
解析： 令 x －1＝ t ，则 x ＝ t ＋1， t ＞0，则 ＝
＝ ＝ .∵ t ＋ ≥2 ，当且仅当 t ＝
时，“＝”成立，∴ ≤ ＝ ，∴ 的最大
值为 .
（2）已知 x ， y 为正实数，且 x ＋2 y ＝4，则 ＋ 的最小值
为 .
解析：设 x ＋2＝ a ，2 y ＋2＝ b ，则 a ＋ b ＝8，原式转化
为 ＋ ＝ a ＋ b ＋ ＋ －8＝ ＋ ＝ （ a ＋
b ）（ ＋ ）＝1＋ （ ＋ ）≥2，当且仅当 a ＝ b ＝4时取等
号，此时 x ＝2， y ＝1.故所求最小值为2.
2
通性通法
换元法求最值的思路
观察已知与所求的结构特点，通过配凑系数，合理的变换新元，
将问题转化为熟悉的模型，将问题明朗化，从而使问题得以解决.
【跟踪训练】
若 a ＞0， b ＞0，且 ＋ ＝1，则 a ＋2 b 的最小值为 ＋ .
＋
解析：设则所以 ＋ ＝1，因为 a ＋2 b ＝
＋2 y －2＝ ，又因为 x ＋3 y ＝（ x ＋3 y ）（ ＋ ）＝1＋
＋ ＋3≥2 ＋4＝4＋2 ，当且仅当时等号成
立，所以 a ＋2 b ≥ ＝ ＝ ＋ .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 a ＞0， b ＞0， ＋ ＝ ，则2 a ＋ b 的最小值为（ ）
A. 24 B. 30
C. 45 D. 54
解析： 由已知，可得6（ ＋ ）＝1，∴2 a ＋ b ＝6（ ＋ ）
（2 a ＋ b ）＝6（5＋ ＋ ）≥6×（5＋4）＝54，当且仅当 ＝
，即 a ＝ b ＝18时，等号成立.故选D.
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2. 若正数 x ， y 满足 x2＋ xy －2＝0，则3 x ＋ y 的最小值是（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 因为 x2＋ xy －2＝0，所以 y ＝ ＝ － x ，所以3 x ＋ y
＝3 x ＋ － x ＝2 x ＋ ≥4，当且仅当 x ＝1时，等号成立.所以3 x ＋
y 的最小值是4.
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3. 若 x ＞1，则 y ＝ 的最小值为（ ）
A. 8 B. 2
C. 6 D. 12
解析： 令 t ＝ x －1＞0，∴ x ＝ t ＋1，∴ y ＝ ＝
＝ t ＋ ＋2≥2 ＋2＝8，当且仅当 t ＝ ，即 t ＝3， x ＝4
时，等号成立，∴ ymin＝8.故选A.
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4. 已知 a ＞ b ＞ c ，则 与 的大小关系是
（ ）
D. 不确定
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解析： 因为 a ＞ b ＞ c ，所以 a － b ＞0， b － c ＞0，所以 ＝
≥ ，当且仅当 a － b ＝ b － c
时，等号成立.故选C.
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5. 若正数 x ， y 满足 x ＋4 y － xy ＝0，则 的最大值为（ ）
C. 1
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解析： ∵正数 x ， y 满足 x ＋4 y － xy ＝0，∴ y ＝ ＞0，解得
x ＞4，∴ ＝ ＝ ＝
≤ ＝ ，当且仅当 x －4＝ ，即 x ＝6时，等号成
立，∴ 的最大值为 .故选A.
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6. 若0＜ a ＜ ，则 ＋ 的最小值为（ ）
D. 4
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解析： 因为0＜ a ＜ ，所以1－2 a ＞0，所以 ＋ ＝（ ＋
）[2 a ＋（1－2 a ）]＝2＋ ＋ ＋1≥3＋2
＝3＋2 ，当且仅当 ＝ ，即 a ＝
时，等号成立，所以 ＋ 的最小值为3＋2 .故选A.
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7. （多选）已知 a ＞0， b ＞0， a ＋ b ＝1，对于代数式（1＋ ）（1
＋ ），下列说法正确的是（ ）
A. 最小值为9
B. 最大值为9
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解析： 原式＝1＋ ＋ ＋ ＝1＋ ＋ ＝1＋ ，
因为 ab ≤（ ）2＝ ，所以 ≥4.所以原式＝1＋ ≥9，
当且仅当 a ＝ b ＝ 时，等号成立.所以当 a ＝ b ＝ 时取得最小
值9.故选A、C.
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8. （多选）已知 a ＞0， b ＞0，且2 a ＋ b ＝1，则下列结论正确的是
（ ）
D. （ a ＋1）（ b ＋1）的最大值为2
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解析： ∵ a ＞0， b ＞0，且2 a ＋ b ＝1，∴由基本不等式可
得，1＝2 a ＋ b ≥2 ，解得 ab ≤ ，当且仅当2 a ＝ b ＝ ，即 a
＝ ， b ＝ 时等号成立，故A错误； ＋ ＝（ ＋ ）（2 a ＋ b ）
＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8，当且仅当 ＝ ，即 a ＝ ， b ＝
时取等号，故B正确；
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∵ a ＞0， b ＞0，且2 a ＋ b ＝1，∴1＝2 a ＋ b ≥2 ， ＋ ＞
0，∴（ ＋ ）2＝2 a ＋ b ＋2 ≤2 a ＋ b ＋2 a ＋ b ＝2，∴
＋ ≤ ，当且仅当2 a ＝ b ＝ ，即 a ＝ ， b ＝ 时等号成立，
∴ ＋ 的最大值为 ，故C正确；（ a ＋1）（ b ＋1）＝（ a ＋
2 a ＋ b ）（ b ＋2 a ＋ b ）＝2（3 a ＋ b ）（ a ＋ b ）＝2（3 a2＋4 ab ＋
b2）＝2[（2 a ＋ b ）2－ a2]＝2（1－ a2）＜2，故D错误.故选B、C.
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9. 已知正数 x ， y 满足 x ＋2 y ＝2，则 ＋ 的最小值为 .
解析：由于 x ＋2 y ＝2，所以 ＋ ＝ （ x ＋2 y ）·（ ＋ ）＝
（5＋ ＋ ）≥ （5＋2 ）＝ ，当且仅当 ＝ ，即 x
＝ y ＝ 时，等号成立，所以 ＋ 的最小值为 .
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10. 若实数 x ， y 满足 xy ＋3 x ＝3（0＜ x ＜ ），则 ＋ 的最小值
为 .
解析：∵实数 x ， y 满足 xy ＋3 x ＝3（0＜ x ＜ ），∴ x ＝ ，
∴0＜ ＜ ，解得 y ＞3.又 ＝ y ＋3，则 ＋ ＝ y ＋3＋
＝ y －3＋ ＋6≥2 ＋6＝8，当且仅当 y －3＝
，即 y ＝4， x ＝ 时，等号成立.∴ ＋ 的最小值为8.
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11. 已知 x ， y ＞0，则 ＋ 的最大值为 .
解析：设则因此 ＋ ＝
＋ ＝ － ＋ － ＝ －（ ＋ ），因为 ＋
≥2 ＝ ，当且仅当 ＝ ，即 a ＝2 b 时等号成立，所以
＋ ≤ － ＝ ，当且仅当 y ＝2 x 时等号成立.
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12. 已知 a ＞0， b ＞0，若 a ＋3 b ＝1，求 a2＋9 b2＋7 ab 的最大值.
解：∵ a ＞0， b ＞0， a ＋3 b ＝1，
∴ a2＋9 b2＋7 ab ＝（ a ＋3 b ）2＋ ab ＝1＋ · a ·3 b ，
∵ a ·3 b ≤ ＝ ，当且仅当 a ＝3 b ，即 a ＝ ， b ＝ 时，
等号成立，
∴ a2＋9 b2＋7 ab ≤1＋ × ＝ ，
∴ a2＋9 b2＋7 ab 的最大值是 .
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13. 已知 x ＞0， y ＞0，且 x ＋ y ＝2，求 的最小值.
解：因为 x ＋ y ＝2，
所以 ＝ ＝ ＝ （ ＋ ）.
因为 ＋ ＝ （ x ＋ y ）（ ＋ ）＝ （10＋ ＋ ）≥ （10＋
2 ）＝8，当且仅当 ＝ ，即 x ＝ ， y ＝ 时，等号成立，
所以 （ ＋ ）≥4，
即 ≥4，故 的最小值是4.
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1.已知a＞0，b＞0，＋＝，则2a＋b的最小值为（ ）
A.24 B.30
C.45 D.54
2.若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，则3x＋y的最小值是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.若x＞1，则y＝的最小值为（ ）
A.8 B.2
C.6 D.12
4.已知a＞b＞c，则与的大小关系是（ ）
A.＞ B.≥
C.≤ D.不确定
5.若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则的最大值为（ ）
A. B.
C.1 D.
6.若0＜a＜，则＋的最小值为（ ）
A.3＋2 B.3－2
C.4 D.4
7.（多选）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，对于代数式（1＋）（1＋），下列说法正确的是（ ）
A.最小值为9 B.最大值为9
C.当a＝b＝时取得最小值 D.当a＝b＝时取得最大值
8.（多选）已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A.ab的最小值为 B.＋的最小值为8
C.＋的最大值为 D.（a＋1）（b＋1）的最大值为2
9.已知正数x，y满足x＋2y＝2，则＋的最小值为 .
10.若实数x，y满足xy＋3x＝3（0＜x＜），则＋的最小值为 .
11.已知x，y＞0，则＋的最大值为 .
12.已知a＞0，b＞0，若a＋3b＝1，求a2＋9b2＋7ab的最大值.
13.已知x＞0，y＞0，且x＋y＝2，求的最小值.
培优课 活用基本不等式求最值
1.D 由已知，可得6（＋）＝1，∴2a＋b＝6（＋）（2a＋b）＝6（5＋＋）≥6×（5＋4）＝54，当且仅当＝，即a＝b＝18时，等号成立.故选D.
2.D 因为x2＋xy－2＝0，所以y＝＝－x，所以3x＋y＝3x＋－x＝2x＋≥4，当且仅当x＝1时，等号成立.所以3x＋y的最小值是4.
3.A 令t＝x－1＞0，∴x＝t＋1，∴y＝＝＝t＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当t＝，即t＝3，x＝4时，等号成立，∴ymin＝8.故选A.
4.C 因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立.故选C.
5.A ∵正数x，y满足x＋4y－xy＝0，∴y＝＞0，解得x＞4，∴＝＝＝≤＝，当且仅当x－4＝，即x＝6时，等号成立，∴的最大值为.故选A.
6.A 因为0＜a＜，所以1－2a＞0，所以＋＝（＋）[2a＋（1－2a）]＝2＋＋＋1≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，所以＋的最小值为3＋2.故选A.
7.AC 原式＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，因为ab≤（）2＝，所以≥4.所以原式＝1＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立.所以当a＝b＝时取得最小值9.故选A、C.
8.BC ∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴由基本不等式可得，1＝2a＋b≥2，解得ab≤，当且仅当2a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，故A错误；＋＝（＋）（2a＋b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故B正确；∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴1＝2a＋b≥2，＋＞0，∴（＋）2＝2a＋b＋2≤2a＋b＋2a＋b＝2，∴＋≤，当且仅当2a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，∴＋的最大值为，故C正确；（a＋1）（b＋1）＝（a＋2a＋b）（b＋2a＋b）＝2（3a＋b）（a＋b）＝2（3a2＋4ab＋b2）＝2[（2a＋b）2－a2]＝2（1－a2）＜2，故D错误.故选B、C.
9. 解析：由于x＋2y＝2，所以＋＝（x＋2y）·（＋）＝（5＋＋）≥（5＋2）＝，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立，所以＋的最小值为.
10.8 解析：∵实数x，y满足xy＋3x＝3（0＜x＜），∴x＝，∴0＜＜，解得y＞3.又＝y＋3，则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4，x＝时，等号成立.∴＋的最小值为8.
11. 解析：设则因此＋＝＋＝－＋－＝－（＋），因为＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝2b时等号成立，所以＋≤－＝，当且仅当y＝2x时等号成立.
12.解：∵a＞0，b＞0，a＋3b＝1，
∴a2＋9b2＋7ab＝（a＋3b）2＋ab＝1＋·a·3b，
∵a·3b≤＝，当且仅当a＝3b，即a＝，b＝时，等号成立，
∴a2＋9b2＋7ab≤1＋×＝，
∴a2＋9b2＋7ab的最大值是.
13.解：因为x＋y＝2，
所以＝＝＝（＋）.
因为＋＝（x＋y）（＋）＝（10＋＋）≥（10＋2）＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，
所以（＋）≥4，
即≥4，故的最小值是4.
1 / 1活用基本不等式求最值
题型一 常数代换法求最值
【例1】 （1）已知x＞0，y＞0，且x＋3y－5xy＝0，则3x＋4y的最小值是（ ）
A.4 B.5
C.6 D.9
（2）a＞0，b＞0，且a＋2b＝1，不等式＋－m≥0恒成立，则实数m的取值范围为 .
通性通法
常数代换法求最值的思路
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求最值.
【跟踪训练】
1.已知a＞0，b＞0，＋＝2，则a＋b的最小值为（ ）
A. B.
C.3－2 D.3＋2
2.若a，b是正实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为 .
题型二 消元法求最值
【例2】 已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值.
通性通法
消元法求最值的思路
对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
【跟踪训练】
已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为 .
题型三 换元法求最值
【例3】 （1）已知x＞1，则的最大值为 ；
（2）已知x，y为正实数，且x＋2y＝4，则＋的最小值为 .
通性通法
换元法求最值的思路
观察已知与所求的结构特点，通过配凑系数，合理的变换新元，将问题转化为熟悉的模型，将问题明朗化，从而使问题得以解决.
【跟踪训练】
若a＞0，b＞0，且＋＝1，则a＋2b的最小值为 .
培优课 活用基本不等式求最值
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B （2）{m｜m≤＋}
解析：（1）由x＋3y－5xy＝0，得＋＝5，所以3x＋4y＝（＋）（3x＋4y）＝（13＋＋）≥（13＋2）＝5，当且仅当x＝1，y＝时，取等号.故选B.
（2）因为a＋2b＝1，所以＋＝（＋）（a＋b＋b）＝＋＋1＋＝＋＋≥＋2＝＋2＝＋，当且仅当＝，即a＝（－1）b时，取等号，因为不等式＋－m≥0恒成立，所以m小于等于＋的最小值，所以m≤＋.
跟踪训练
1.B 因为a＞0，b＞0，且＋＝2，所以a＋b＝（＋）（a＋b）＝（3＋＋）≥（3＋2）＝，当且仅当b＝a，即a＝，b＝时，a＋b有最小值.故选B.
2.2＋3 解析：因为a，b是正实数，且a＋b＝1，所以＋＝＋＝＋＋＝＋＝（＋）·（a＋b）＝2＋＋＋1≥2＋3＝2＋3，当且仅当时等号成立.
【例2】 解：由x＋2y＋2xy＝8，可得y＝，
因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜8.
所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立.
所以x＋2y的最小值为4.
跟踪训练
5＋2 解析：由2a＋b＝ab－1，得a＝，因为a＞0，b＞0，所以a＝＞0，b＋1＞0，所以b＞2，所以a＋2b＝＋2b＝＋2（b－2）＋4＝2（b－2）＋＋5≥2＋5＝5＋2，当且仅当2（b－2）＝，即b＝2＋时等号成立.所以a＋2b的最小值为5＋2.
【例3】 （1） （2）2 解析：（1）令x－1＝t，则x＝t＋1，t＞0，则＝＝＝.∵t＋≥2，当且仅当t＝时，“＝”成立，∴≤＝，∴的最大值为.
（2）设x＋2＝a，2y＋2＝b，则a＋b＝8，原式转化为＋＝a＋b＋＋－8＝＋＝（a＋b）（＋）＝1＋（＋）≥2，当且仅当a＝b＝4时取等号，此时x＝2，y＝1.故所求最小值为2.
跟踪训练
＋ 解析：设则所以＋＝1，因为a＋2b＝＋2y－2＝，又因为x＋3y＝（x＋3y）（＋）＝1＋＋＋3≥2＋4＝4＋2，当且仅当时等号成立，所以a＋2b≥＝＝＋.
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