(共44张PPT)
培优课
不等式的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 三个“二次”间的关系
【例1】 已知关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜2＜ x ＜
3}，求关于 x 的不等式 cx2＋ bx ＋ a ＜0的解集.
解：由不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜2＜ x ＜3}可知 a ＜0，且2
和3是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根，
由根与系数的关系可知 ＝－5， ＝6，
所以 b ＝－5 a ， c ＝6 a ，
即6 ax2－5 ax ＋ a ＜0，又因为 a ＜0，
所以6 x2－5 x ＋1＞0，解得 x ＜ 或 x ＞ ，
所以不等式 cx2＋ bx ＋ a ＜0的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞ }.
通性通法
已知以 a ， b ， c 为参数的不等式（如 ax2＋ bx ＋ c ＞0）的解集，
求解其他不等式解集的步骤：
（1）根据解集来判断二次项系数的符号；
（2）根据根与系数的关系把 b ， c 用 a 表示出来并代入所要解的
不等式；
（3）约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
【跟踪训练】
已知关于 x 的不等式 x2＋ ax ＋ b ＜0的解集为{ x ｜1＜ x ＜2}，求关
于 x 的不等式 bx2＋ ax ＋1＞0的解集.
解：∵ x2＋ ax ＋ b ＜0的解集为{ x ｜1＜ x ＜2}，
∴ x1＝1和 x2＝2是方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的两根.
由一元二次方程根与系数的关系得
解得
代入所求不等式，得2 x2－3 x ＋1＞0.
由2 x2－3 x ＋1＞0，得（2 x －1）（ x －1）＞0，
∴ x ＜ 或 x ＞1.
∴ bx2＋ ax ＋1＞0的解集为 .
题型二 一元二次不等式恒成立问题
角度1 在R上恒成立问题
【例2】 已知不等式 kx2＋2 kx －（ k ＋2）＜0恒成立，求实数 k 的取
值范围.
解：当 k ＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意.
当 k ≠0时，令 y ＝ kx2＋2 kx －（ k ＋2），由 y ＜0恒成立，
∴其图象都在 x 轴的下方，即开口向下，且与 x 轴无交点.
∴解得－1＜ k ＜0.
综上，实数 k 的取值范围是{ k ｜－1＜ k ≤0}.
通性通法
一元二次不等式在R上的恒成立问题，转化为一元二次不等式解
集为R的情况，即
ax2＋ bx ＋ c ＞0（ a ≠0）恒成立
ax2＋ bx ＋ c ＜0（ a ≠0）恒成立
ax2＋ bx ＋ c ≥0（ a ≠0）恒成立
ax2＋ bx ＋ c ≤0（ a ≠0）恒成立
提醒 若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一
定要讨论二次项系数是否为0.
角度2 在给定范围上恒成立问题
【例3】 当1≤ x ≤2时，不等式 x2＋ mx ＋4＜0恒成立，求实数 m 的
取值范围.
解：令 y ＝ x2＋ mx ＋4，
∵ y ＜0在1≤ x ≤2上恒成立，
∴ y ＝0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，可得
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ＜－5}.
通性通法
在给定范围上恒成立问题的解题策略
（1）当 a ＞0时， ax2＋ bx ＋ c ＜0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立 y
＝ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β时的函数值同时小于0；
（2）当 a ＜0时， ax2＋ bx ＋ c ＞0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立 y
＝ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β时的函数值同时大于0.
【跟踪训练】
1. 若关于 x 的不等式 kx2＋3 kx ＋ k －2≤0的解集为R，则实数 k 的取值
范围是（ ）
解析： 当 k ＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；当 k ≠0时，需
满足 k ＜0且9 k2－4 k （ k －2）＝5 k2＋8 k ≤0，得－ ≤ k ＜0，综
上，实数 k 的取值范围是{ k ｜－ ≤ k ≤0}.
2. 若对任意的－1≤ x ≤2，都有 x2－2 x ＋ a ≤0（ a 为常数），则 a 的
取值范围是（ ）
A. a ≤－3 B. a ≤0
C. a ≥1 D. a ≤1
解析： 法一 令 f （ x ）＝ x2－2 x ＋ a ，则由题意，得
解得 a ≤－3，故选A.
法二 当－1≤ x ≤2时，不等式 x2－2 x ＋ a ≤0恒成立等价于 a ≤－ x2
＋2 x 恒成立，则由题意，得 a ≤（－ x2＋2 x ）min（－1≤ x ≤2）.而－
x2＋2 x ＝－（ x －1）2＋1，则当 x ＝－1时，（－ x2＋2 x ）min＝－3，
所以 a ≤－3，故选A.
题型三 一元二次不等式的实际应用
【例4】 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/
辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需
求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加
的比例为 x （0＜ x ＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75 x ，同时预
计年销售量增加的比例为0.6 x .已知年利润＝（出厂价－投入成本）
×年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式；
解： 由题意，得 y ＝[1.2×（1＋0.75 x ）－1×（1＋
x ）]×1 000×（1＋0.6 x ）（0＜ x ＜1），整理得 y ＝－60 x2＋
20 x ＋200（0＜ x ＜1）.
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比
例 x 应在什么范围内？
解： 要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式组，得0＜ x ＜ ，
所以为使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的
比例 x 的范围为 .
通性通法
解不等式应用题的步骤
【跟踪训练】
在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，两车驾
驶员发现情况不对时，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲
车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，且甲、乙两
种车型的刹车距离 s m与车速 x km/h之间分别有如下关系 s甲＝0.1 x甲＋
0.01 ， s乙＝0.05 x乙＋0.005 .问超速行驶谁应负主要责任？
解：由题意，列出不等式 s甲＝0.1 x甲＋0.01 ＞12，
s乙＝0.05 x乙＋0.005 ＞10，
分别求解，得 x甲＜－40或 x甲＞30，
x乙＜－50或 x乙＞40.
由于 x ＞0，从而得 x甲＞30， x乙＞40.
经比较，知乙车超过限速，故乙车驾驶员应负主要责任.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 若关于 x 的方程 x2＋（ m －1） x ＋ m2－2＝0的一个实数根小于－
1，另一个实数根大于1，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. { m ｜－2＜ m ＜2} B. { m ｜－2＜ m ＜0}
C. { m ｜－2＜ m ＜1} D. { m ｜0＜ m ＜1}
解析： 令 y ＝ x2＋（ m －1） x ＋ m2－2，由函数图象（图略）
知解得0＜ m ＜1，故选D.
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2. 关于 x 的不等式 x2－ mx ＋1＞0的解集为R，则实数 m 的取值范围是
（ ）
A. { m ｜0＜ m ＜4} B. { m ｜ m ＜－2或 m ＞2}
C. { m ｜－2≤ m ≤2} D. { m ｜－2＜ m ＜2}
解析： ∵不等式 x2－ mx ＋1＞0的解集为R，∴函数 y ＝ x2－ mx
＋1的图象在 x 轴上方，∴方程 x2－ mx ＋1＝0无实数解，∴Δ＜0，
即 m2－4＜0，解得－2＜ m ＜2，∴实数 m 的取值范围是{ m ｜－2
＜ m ＜2}.故选D.
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3. 对于任意 x ∈R， 都有意义，则 m 的取值范围是
（ ）
A. { m ｜ m ≥2} B. { m ｜0＜ m ≤2}
C. { m ｜0≤ m ≤2} D. { m ｜0≤ m ≤4}
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解析： 令 y ＝ ，当 m ＝0时，函数 y ＝ ，符
合题意；当 m ≠0时， mx2＋2 mx ＋2≥0恒成立，则即
解得0＜ m ≤2，综上，实数 m 的取值范围是
{ m ｜0≤ m ≤2}.
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4. 若关于 x 的不等式－ x2＋ mx －1≥0有解，则实数 m 的取值范围是
（ ）
A. { m ｜ m ≤－2或 m ≥2}
B. { m ｜－2≤ m ≤2}
C. { m ｜ m ＜－2或 m ＞2}
D. { m ｜－2＜ m ＜2}
解析： ∵关于 x 的不等式－ x2＋ mx －1≥0有解，且函数 y ＝－
x2＋ mx －1的图象开口向下，∴函数图象与 x 轴有交点，∴Δ＝ m2
－4≥0，解得 m ≥2或 m ≤－2.故选A.
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5. 若不等式 ax2－ x － c ＞0的解集为{ x ｜－2＜ x ＜1}，则函数 y ＝ ax2
－ x － c 的图象为（ ）
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解析： 因为不等式的解集为{ x ｜－2＜ x ＜1}，所以 a ＜0，排
除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B.
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6. 关于 x 的不等式 x2－2 ax －8 a2＜0（ a ＞0）的解集为{ x ｜ x1＜ x ＜
x2}，且 x2－ x1＝15，则 a ＝（ ）
解析： 由条件知 x1， x2为方程 x2－2 ax －8 a2＝0的两根，则 x1＋
x2＝2 a ， x1 x2＝－8 a2，故（ x2－ x1）2＝（ x1＋ x2）2－4 x1 x2＝（2
a ）2－4×（－8 a2）＝36 a2＝152，解得 a ＝ .故选A.
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7. （多选）已知关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜ x ＜－2
或 x ＞4}，则（ ）
A. a ＞0
B. 不等式 bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜ x ＜－4}
C. a ＋ b ＋ c ＞0
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解析： 因为关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜ x
＜－2或 x ＞4}，所以 a ＞0，A项正确；由题知－2和4是关于 x 的方
程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根，由根与系数的关系，得
则 b ＝－2 a ， c ＝－8 a ，则 a ＋ b ＋ c ＝－9 a ＜
0，C项错误；不等式 bx ＋ c ＞0即－2 ax －8 a ＞0，解得 x ＜－4，B
项正确；不等式 cx2－ bx ＋ a ＜0即－8 ax2＋2 ax ＋ a ＜0，即8 x2－2
x －1＞0，解得 x ＜－ 或 x ＞ ，D项正确.故选A、B、D.
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8. （多选）不等式 ax2－2 x ＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件
是（ ）
A. a ＜1 B. a ≤1
C. a ＜2 D. a ＜0
解析： 因为 ax2－2 x ＋1＜0的解集非空，显然当 a ≤0时恒成
立，又由解得0＜ a ＜1，综上， ax2－2 x ＋1＜0
的解集非空的充要条件为 a ＜1.由选项知 a ＜1的一个必要不充分条
件为B、C.
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9. （多选）若不等式 ≥ m 对任意实数 x 恒成立，则正整数 m
的值可能为（ ）
A. 3 B. 4
C. 1 D. 2
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解析： 因为 x2＋ x ＋1＞0对于任意实数 x 恒成立，所以不等式
≥ m 可化为3 x2＋2 x ＋2≥ m （ x2＋ x ＋1），即（3－ m ）
x2＋（2－ m ） x ＋2－ m ≥0.当 m ＝3时，不等式化为 x ＋1≤0，不
符合题意.当 m ≠3时，依题意，得
整理得
解得所以 m ≤2.又 m
∈N*，所以 m ＝1或2，故选C、D.
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10. 若不等式 x2＋（ m －3） x ＋ m ＜0无解，则实数 m 的取值范围
是 .
解析： x2＋（ m －3） x ＋ m ＜0无解，则Δ＝（ m －3）2－4 m ＝
m2－10 m ＋9≤0，解得1≤ m ≤9.
{ m ｜1≤ m ≤9}
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解析：由不等式 mx2－ mx －1＜0，得 m （ x2－ x ）＜1，因为 x
∈{ x ｜2≤ x ≤3}，所以 x2－ x ＞0，所以 m （ x2－ x ）＜1可化为 m
＜ ，因为 x2－ x ＝（ x － ）2－ ≤6，所以 ≥ ，所以 m
＜ .即 m 的取值范围是{ m ｜ m ＜ }.
{ m ｜ m ＜ }
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12. 已知函数 y ＝ mx2－ mx －6＋ m ，若对于1≤ m ≤3， y ＜0恒成立，
求实数 x 的取值范围.
解： y ＜0 mx2－ mx －6＋ m ＜0 （ x2－ x ＋1） m －6＜0.∵1≤
m ≤3，
∴ x2－ x ＋1＜ 恒成立，
∴ x2－ x ＋1＜ x2－ x －1＜0 ＜ x ＜ .
∴实数 x 的取值范围为{ x ｜ ＜ x ＜ }.
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13. 某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销
售18万个.
（1）据市场调查，若削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应
减少2 000个，要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器
每件售价最多为多少元？
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解： 设每件零售价为 x 元，由题意可得 x [18－0.2（ x
－15）]≥15×18，
即 x2－105 x ＋15×90≤0，∴（ x －15）（ x －90）≤0，
∴15≤ x ≤90.
故要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多
为90元.
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（2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销
售策略改革，并提高售价到 x 元.公司计划投入 x2万元作为
技改费用，投入30万元作为固定宣传费用.试问：技术革新
后，该削笔器的年销售量 t 至少达到多少万个时，才能使革
新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每
个削笔器售价.
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解： 由题意知 x ＞15， tx ≥15×18＋30＋ x2，
即 t ≥ ＋ .
∵ ＋ ≥2 ＝20，当且仅当 ＝ ，即 x ＝30时，
等号成立，∴ t ≥20，
因此，该削笔器的年销售量 t 至少达到20万个时，才能使革
新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削
笔器售价30元.
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谢 谢 观 看！培优课 不等式的综合问题
1.若关于x的方程x2＋（m－1）x＋m2－2＝0的一个实数根小于－1，另一个实数根大于1，则实数m的取值范围是（ ）
A.{m｜－2＜m＜2} B.{m｜－2＜m＜0}
C.{m｜－2＜m＜1} D.{m｜0＜m＜1}
2.关于x的不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A.{m｜0＜m＜4} B.{m｜m＜－2或m＞2}
C.{m｜－2≤m≤2} D.{m｜－2＜m＜2}
3.对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是（ ）
A.{m｜m≥2} B.{m｜0＜m≤2}
C.{m｜0≤m≤2} D.{m｜0≤m≤4}
4.若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是（ ）
A.{m｜m≤－2或m≥2} B.{m｜－2≤m≤2}
C.{m｜m＜－2或m＞2} D.{m｜－2＜m＜2}
5.若不等式ax2－x－c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为（ ）
6.关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a＝（ ）
A. B.
C. D.
7.（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞4}，则（ ）
A.a＞0
B.不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－4}
C.a＋b＋c＞0
D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜x＜－或x＞}
8.（多选）不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是（ ）
A.a＜1 B.a≤1
C.a＜2 D.a＜0
9.（多选）若不等式≥m对任意实数x恒成立，则正整数m的值可能为（ ）
A.3 B.4
C.1 D.2
10.若不等式x2＋（m－3）x＋m＜0无解，则实数m的取值范围是 .
11. x∈{x｜2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1＜0恒成立，则m的取值范围为 .
12.已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y＜0恒成立，求实数x的取值范围.
13.某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个.
（1）据市场调查，若削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2 000个，要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？
（2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到x元.公司计划投入x2万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，该削笔器的年销售量t至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价.
培优课 不等式的综合问题
1.D 令y＝x2＋（m－1）x＋m2－2，由函数图象（图略）知解得0＜m＜1，故选D.
2.D ∵不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，∴函数y＝x2－mx＋1的图象在x轴上方，∴方程x2－mx＋1＝0无实数解，∴Δ＜0，即m2－4＜0，解得－2＜m＜2，∴实数m的取值范围是{m｜－2＜m＜2}.故选D.
3.C 令y＝，当m＝0时，函数y＝，符合题意；当m≠0时，mx2＋2mx＋2≥0恒成立，则即解得0＜m≤2，综上，实数m的取值范围是{m｜0≤m≤2}.
4.A ∵关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，且函数y＝－x2＋mx－1的图象开口向下，∴函数图象与x轴有交点，∴Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.故选A.
5.B 因为不等式的解集为{x｜－2＜x＜1}，所以a＜0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B.
6.A 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝
－8a2，故（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2a）2－4×（－8a2）＝36a2＝152，解得a＝.故选A.
7.ABD 因为关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞4}，所以a＞0，A项正确；由题知－2和4是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得则b＝－2a，c＝－8a，则a＋b＋c＝－9a＜0，C项错误；不等式bx＋c＞0即－2ax－8a＞0，解得x＜－4，B项正确；不等式cx2－bx＋a＜0即－8ax2＋2ax＋a＜0，即8x2－2x－1＞0，解得x＜－或x＞，D项正确.故选A、B、D.
8.BC 因为ax2－2x＋1＜0的解集非空，显然当a≤0时恒成立，又由解得0＜a＜1，综上，ax2－2x＋1＜0的解集非空的充要条件为a＜1.由选项知a＜1的一个必要不充分条件为B、C.
9.CD 因为x2＋x＋1＞0对于任意实数x恒成立，所以不等式≥m可化为3x2＋2x＋2≥m（x2＋x＋1），即（3－m）x2＋（2－m）x＋2－m≥0.当m＝3时，不等式化为x＋1≤0，不符合题意.当m≠3时，依题意，得整理得解得所以m≤2.又m∈N*，所以m＝1或2，故选C、D.
10.{m｜1≤m≤9} 解析：x2＋（m－3）x＋m＜0无解，则Δ＝（m－3）2－4m＝m2－10m＋9≤0，解得1≤m≤9.
11.{m｜m＜} 解析：由不等式mx2－mx－1＜0，得m（x2－x）＜1，因为x∈{x｜2≤x≤3}，所以x2－x＞0，所以m（x2－x）＜1可化为m＜，因为x2－x＝（x－）2－≤6，所以≥，所以m＜.即m的取值范围是{m｜m＜}.
12.解：y＜0 mx2－mx－6＋m＜0 （x2－x＋1）m－6＜0.∵1≤m≤3，
∴x2－x＋1＜恒成立，
∴x2－x＋1＜ x2－x－1＜0 ＜x＜.
∴实数x的取值范围为{x｜＜x＜}.
13.解：（1）设每件零售价为x元，由题意可得x[18－0.2（x－15）]≥15×18，
即x2－105x＋15×90≤0，∴（x－15）·（x－90）≤0，∴15≤x≤90.
故要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为90元.
（2）由题意知x＞15，tx≥15×18＋30＋x2，
即t≥＋.
∵＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝30时，等号成立，∴t≥20，
因此，该削笔器的年销售量t至少达到20万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削笔器售价30元.
2 / 2不等式的综合问题
题型一 三个“二次”间的关系
【例1】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
通性通法
已知以a，b，c为参数的不等式（如ax2＋bx＋c＞0）的解集，求解其他不等式解集的步骤：
（1）根据解集来判断二次项系数的符号；
（2）根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
（3）约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
【跟踪训练】
已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x｜1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集.
题型二 一元二次不等式恒成立问题
角度1 在R上恒成立问题
【例2】 已知不等式kx2＋2kx－（k＋2）＜0恒成立，求实数k的取值范围.
通性通法
一元二次不等式在R上的恒成立问题，转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立
提醒 若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.
角度2 在给定范围上恒成立问题
【例3】 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值范围.
通性通法
在给定范围上恒成立问题的解题策略
（1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；
（2）当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
【跟踪训练】
1.若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是（ ）
A.k｜－≤k＜0 B.k｜－≤k＜0
C.k｜－≤k≤0 D.k｜－≤k≤0
2.若对任意的－1≤x≤2，都有x2－2x＋a≤0（a为常数），则a的取值范围是（ ）
A.a≤－3 B.a≤0
C.a≥1 D.a≤1
题型三 一元二次不等式的实际应用
【例4】 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
通性通法
解不等式应用题的步骤
【跟踪训练】
在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，两车驾驶员发现情况不对时，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，且甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系s甲＝0.1x甲＋0.01，s乙＝0.05x乙＋0.005.问超速行驶谁应负主要责任？
培优课 不等式的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系可知＝－5，＝6，
所以b＝－5a，c＝6a，
即6ax2－5ax＋a＜0，又因为a＜0，
所以6x2－5x＋1＞0，解得x＜或x＞，
所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为{x｜x＜或x＞}.
跟踪训练
解：∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x｜1＜x＜2}，
∴x1＝1和x2＝2是方程x2＋ax＋b＝0的两根.
由一元二次方程根与系数的关系得
解得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.
由2x2－3x＋1＞0，得（2x－1）（x－1）＞0，
∴x＜或x＞1.
∴bx2＋ax＋1＞0的解集为{x｜x＞1或x＜}.
【例2】 解：当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－（k＋2），由y＜0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
∴解得－1＜k＜0.
综上，实数k的取值范围是{k｜－1＜k≤0}.
【例3】 解：令y＝x2＋mx＋4，
∵y＜0在1≤x≤2上恒成立，
∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，可得
∴实数m的取值范围是{m｜m＜－5}.
跟踪训练
1.D 当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；当k≠0时，需满足k＜0且9k2－4k（k－2）＝5k2＋8k≤0，得－≤k＜0，综上，实数k的取值范围是{k｜－≤k≤0}.
2.A 法一 令f（x）＝x2－2x＋a，则由题意，得解得a≤－3，故选A.
法二 当－1≤x≤2时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤（－x2＋2x）min（－1≤x≤2）.而－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，则当x＝－1时，（－x2＋2x）min＝－3，所以a≤－3，故选A.
【例4】 解：（1）由题意，得y＝[1.2×（1＋0.75x）－1×（1＋x）]×1 000×（1＋0.6x）（0＜x＜1），整理得y＝－60x2＋20x＋200（0＜x＜1）.
（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式组，得0＜x＜，
所以为使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.
跟踪训练
解：由题意，列出不等式s甲＝0.1x甲＋0.01＞12，
s乙＝0.05x乙＋0.005＞10，
分别求解，得x甲＜－40或x甲＞30，
x乙＜－50或x乙＞40.
由于x＞0，从而得x甲＞30，x乙＞40.
经比较，知乙车超过限速，故乙车驾驶员应负主要责任.
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