(共61张PPT)
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式
新课程标准解读 核心素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过
程，了解一元二次不等式的现实意义 数学抽象
2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并
能用集合表示一元二次不等式的解集 数学抽象、
数学运算
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式
与相应函数、方程的联系 直观想象
4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式
的模型，并加以解决 数学建模、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
给出下面四个不等式：
（1） x2－ x －6＞0；
（2） x2－ x －6≤0；
（3） x2－4 x ＋4≥0；
（4）2 x2＋ x ＋5＜0.
【问题】 这四个不等式的共同点是什么？
知识点一 一元二次不等式
定义 只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式
一般 形式 ax2＋ bx ＋ c ＞0或 ax2＋ bx ＋ c ＜0，其中 a ， b ， c 均为常数， a ≠0
未知数
2
提醒 对一元二次不等式的再理解：①一元，即只含一个未知数，其
他元素均为常数（或参数）；②二次，即未知数的最高次数必须为
2，且其系数不能为0；③整式不等式.
知识点二 二次函数的零点
一般地，对于二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ，我们把使
的实数 x 叫做二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的 .
提醒 零点不是点，只是函数的图象与 x 轴交点的横坐标.
ax2＋ bx ＋ c ＝
0
零点
知识点三 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y ＝ ax2＋ bx ＋ c
（ a ＞0）的图
象
ax2＋ bx ＋ c ＝0
（ a ＞0）的根 有两个不相等的
实数根 x1， x2
（ x1＜ x2） 没有实
数根
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋ bx ＋ c ＞0
（ a ＞0）的解
集 { x ｜ x ＜ x1，或
x ＞ x2} R
ax2＋ bx ＋ c ＜0
（ a ＞0）的解
集 { x ｜ x1＜ x ＜
x2}
提醒 三个“二次”关系的实质：① ax2＋ bx ＋ c ＝0的解 y ＝ ax2＋
bx ＋ c 的图象与 x 轴交点的横坐标（即二次函数的零点）；② ax2＋ bx
＋ c ＞0的解集 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象上的点（ x ， y ）在 x 轴上方
时，对应 x 的取值集合；③ ax2＋ bx ＋ c ＜0的解集 y ＝ ax2＋ bx ＋ c
的图象上的点（ x ， y ）在 x 轴下方时，对应 x 的取值集合.
1. 一元二次不等式（ x ＋2）（5－ x ）＞0的解集为（ ）
A. { x ｜ x ＜－2或 x ＞5} B. { x ｜ x ＜－5或 x ＞2}
C. { x ｜－2＜ x ＜5} D. { x ｜－5＜ x ＜2}
解析： 原一元二次不等式可化为（ x ＋2）（ x －5）＜0，解得
－2＜ x ＜5，所以原不等式的解集为{ x ｜－2＜ x ＜5}.故选C.
2. 函数 y ＝ x2－3 x ＋2与 x 轴交点的横坐标是 .
解析：由 x2－3 x ＋2＝0得 x1＝1， x2＝2，故函数 y ＝ x2－3 x ＋2与 x
轴交点的横坐标为1或2.
3. 不等式3 x2－2 x ＋1＞0的解集是 .
解析：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3
x2－2 x ＋1＞0的解集为R.
1或2
R
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
（1）2 x2＋5 x －3＜0；
解： Δ＝49＞0，方程2 x2＋5 x －3＝0的两根分别为 x1＝－3， x2＝ ，
作出函数 y ＝2 x2＋5 x －3的图象，如图①所示.
由图可得原不等式的解集为 .
（2）－3 x2＋6 x ≤2；
解：原不等式等价于3 x2－6 x ＋2≥0.Δ＝12＞0，解方程3 x2－6
x ＋2＝0，得 x1＝ ， x2＝ ，
作出函数 y ＝3 x2－6 x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等
式的解集为 .
（3）4 x2＋4 x ＋1＞0；
解： ∵Δ＝0，∴方程4 x2＋4 x ＋1＝0有两个相等的实数根 x1＝
x2＝－ .作出函数 y ＝4 x2＋4 x ＋1的图象如图③所示.
由图可得原不等式的解集为{ x ｜ x ≠－ }.
（4）－ x2＋6 x －10＞0.
解：原不等式可化为 x2－6 x ＋10＜0，
∵Δ＝－4＜0，
∴方程 x2－6 x ＋10＝0无实数根，
∴原不等式的解集为 .
通性通法
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准：通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系
数为正；
（2）判别式：对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算
对应方程的判别式；
（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程
无实根；
（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的
草图；
（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.
【跟踪训练】
1. 不等式－2 x2＋ x ＋3＜0的解集是（ ）
A. { x ｜ x ＜－1}
解析： 不等式－2 x2＋ x ＋3＜0可化为2 x2－ x －3＞0.因为Δ＝
（－1）2－4×2×（－3）＝25＞0，所以方程2 x2－ x －3＝0的两根
分别为 x1＝－1， x2＝ .又二次函数 y ＝2 x2－ x －3的图象开口向
上，所以不等式－2 x2＋ x ＋3＜0的解集是 .故
选D.
2. 解不等式－2＜ x2－3 x ≤10.
解：原不等式等价于不等式组&x2-3x＞-2， ①&x2-3x≤10.②
不等式①可化为 x2－3 x ＋2＞0，解得 x ＞2或 x ＜1.
不等式②可化为 x2－3 x －10≤0，解得－2≤ x ≤5.
故原不等式的解集为{ x ｜－2≤ x ＜1或2＜ x ≤5}.
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于 x 的不等式 ax2－（ a ＋1） x ＋1＜0（ a ＜1）.
解：①当 a ＝0时，原不等式即为－ x ＋1＜0，解得 x ＞1.
②当 a ＜0时，原不等式化为 （ x －1）＞0，解得 x ＜ 或
x ＞1.
③当0＜ a ＜1时，原不等式化为 （ x －1）＜0.解得1＜ x ＜ .
综上可知，当 a ＜0时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞1}；
当 a ＝0时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＞1}；
当0＜ a ＜1时，原不等式的解集为 .
通性通法
含参数的一元二次不等式的解法
【跟踪训练】
解关于 x 的不等式 x2＋（1－ a ） x － a ＜0.
解：方程 x2＋（1－ a ） x － a ＝0的两根分别为 x1＝－1， x2＝ a .又函
数 y ＝ x2＋（1－ a ） x － a 的图象开口向上，
所以，当 a ＜－1时，解不等式得 a ＜ x ＜－1；
当 a ＝－1时，此不等式无解；
当 a ＞－1时，解不等式得－1＜ x ＜ a .
综上可知，当 a ＜－1时，不等式的解集为{ x ｜ a ＜ x ＜－1}；
当 a ＝－1时，不等式的解集为 ；
当 a ＞－1时，不等式的解集为{ x ｜－1＜ x ＜ a }.
题型三 简单的分式不等式
【例3】 解下列不等式：
（1） ≥0；
解： 原不等式等价于
即∴－2≤ x ＜3.
∴原不等式的解集为{ x ｜－2≤ x ＜3}.
（2） ＞1.
解： 原不等式可化为 －1＞0，即 ＜0.
∴（6 x －4）（4 x －3）＜0，∴ ＜ x ＜ .
∴原不等式的解集为 .
通性通法
解分式不等式的策略
（1）对于形如 ＞0（＜0）的不等式可等价转化为 f （ x ） g
（ x ）＞0（＜0）来解决；对于形如 ≥0（≤0）的不等
式可等价转化为来解决；
（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分
（不要去分母），使不等号右边为零，然后再用上述方法转化
为整式不等式（组）求解.
【跟踪训练】
1. 不等式 ＜0的解集为 .
解析：原不等式可化为（ x ＋1）（2 x －1）＜0，∴－1＜ x ＜ ，
故原不等式的解集为 .
2. 不等式 ≥0的解集是{ x ｜－1≤ x ＜5}，则 a 的值为 .
解析：由于原不等式等价于因此结合不等
式解集知 a ＝5.
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1. 不等式 ≥0的解集为（ ）
A. { x ｜0＜ x ≤2} B. { x ｜－1＜ x ≤2}
C. { x ｜ x ＞－1} D. R
解析： ≥0 （ x ＋1）（ x －2）＜0或 x ＝2，解得－1＜ x
≤2，故选B.
2. （多选）下列不等式是一元二次不等式的是（ ）
D. x2＋1＜0
解析： 由于 x2＋ ＋1＜0， x2＋ ＋1＜0不符合一元二次不
等式的定义，只有 x2＋ x ＜－1， x2＋1＜0是一元二次不等式，
故选A、D.
3. 若0＜ m ＜1，则不等式（ x － m ）（ x － ）＜0的解集为
.
解析：∵0＜ m ＜1，∴ ＞1＞ m ，故原不等式的解集为{ x ｜ m ＜
x ＜ }.
{ x ｜ m
＜ x ＜ }
4. 解下列不等式：
（1） x （7－ x ）≥12；
解： 原不等式可化为 x2－7 x ＋12≤0.
因为方程 x2－7 x ＋12＝0的两根为 x1＝3， x2＝4.
所以原不等式的解集为{ x ｜3≤ x ≤4}.
（2） x2＞2（ x －1）.
解： 原不等式可以化为 x2－2 x ＋2＞0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，
所以方程 x2－2 x ＋2＝0无实数根，
又函数 y ＝ x2－2 x ＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下面四个不等式中解集为R的是（ ）
A. － x2＋ x ＋1≥0
C. x2＋6 x ＋10＞0 D. 2 x2－3 x ＋4＜0
解析： 利用“Δ”判断，在不等式 x2＋6 x ＋10＞0中，Δ＝62－
40＜0，∴该不等式的解集为R，其他可类似判断.故选C.
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2. 不等式 x2＋5 x ＞0的解集为（ ）
A. { x ｜ x ＜0或 x ＞5} B. { x ｜0＜ x ＜5}
C. { x ｜ x ＜－5或 x ＞0} D. { x ｜－5＜ x ＜0}
解析： 易得方程 x2＋5 x ＝0的两根分别为－5，0，由函数 y ＝ x2
＋5 x 的图象（图略）知，不等式 x2＋5 x ＞0的解集为{ x ｜ x ＜－5
或 x ＞0}.故选C.
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3. 不等式 x （4－ x ）＜3的解集为（ ）
A. { x ｜ x ＜1或 x ＞3} B. { x ｜ x ＜0或 x ＞4}
C. { x ｜1＜ x ＜3} D. { x ｜0＜ x ＜4}
解析： 不等式 x （4－ x ）＜3化为 x2－4 x ＋3＞0，即（ x －1）
（ x －3）＞0，解得 x ＜1或 x ＞3，故选A.
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4. 若 a ＞2，则关于 x 的不等式 ax2－（2＋ a ） x ＋2＞0的解集为
（ ）
解析： 由 ax2－（2＋ a ） x ＋2＞0，得（ x －1）·（ ax －2）＞
0.∵ a ＞2，∴0＜ ＜1，∴原不等式的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞1}.
故选A.
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5. （多选）关于实数 x 的不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0（ a ∈R）
的解集可能是（ ）
A. { x ｜ x ＜－1或 x ＞ a } B. R
C. { x ｜－1＜ x ＜ a } D. { x ｜ a ＜ x ＜－1}
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解析： 当 a ＞0时，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化为
（ x － a ）（ x ＋1）＞0，解得 x ＞ a 或 x ＜－1；当 a ＝0时，不等式
a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化为0＞0，此时不等式的解集为 ；当
－1＜ a ＜0时，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化为（ x － a ）
（ x ＋1）＜0，解得－1＜ x ＜ a ；当 a ＝－1时，不等式 a （ x －
a ）（ x ＋1）＞0可化为（ x ＋1）2＜0，此时不等式的解集为 ；当
a ＜－1时，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化为（ x － a ）（ x
＋1）＜0，解得 a ＜ x ＜－1.故A、C、D都有可能，B不可能.
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6. （多选）已知关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋3＞0，关于此不等式的解
集有下列结论，其中正确的是（ ）
A. 不等式的解集可以是{ x ｜ x ＞3}
B. 不等式的解集可以是R
C. 不等式的解集可以是
D. 不等式的解集可以是{ x ｜－1＜ x ＜3}
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解析： 选项A，假设结论成立，则无解，故选
项A错误；选项B，当 a ＝1， b ＝0时，不等式 x2＋3＞0恒成立，则
解集是R，故选项B正确；选项C，若不等式的解集是 ，则 a ＜0且
Δ＝ b2－12 a ≤0，而 a ＜0时，Δ＝ b2－12 a ＞0，所以不等式的解集
不可能是 ，故选项C错误；选项D，假设结论成立，则
解得符合题意，故选项D正确.故选
B、D.
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7. 不等式（ x －1）2＜ x ＋5的解集为 .
解析：原不等式可化为 x2－3 x －4＜0，即（ x ＋1）·（ x －4）＜
0，故其解集为{ x ｜－1＜ x ＜4}.
{ x ｜－1＜ x ＜4}
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8. 已知 x ＝1在不等式 k2 x2－6 kx ＋8≥0的解集内，则 k 的取值范围
是 .
解析： x ＝1在不等式 k2 x2－6 kx ＋8≥0的解集内，把 x ＝1代入不等
式得 k2－6 k ＋8≥0，解得 k ≥4或 k ≤2.
{ k ｜ k ≥4或 k ≤2}
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9. 二次函数 y ＝ x2－4 x ＋3的零点为 .
解析：由零点的定义知，令 x2－4 x ＋3＝0，得 x ＝1或 x ＝3，故函
数 y ＝ x2－4 x ＋3的零点为1和3.
1和3
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10. 解下列不等式：
（1）4（2 x2－2 x ＋1）＞ x （4－ x ）；
解： 由原不等式得8 x2－8 x ＋4＞4 x － x2.
∴原不等式等价于9 x2－12 x ＋4＞0.
解方程9 x2－12 x ＋4＝0，得 x1＝ x2＝ .
结合二次函数 y ＝9 x2－12 x ＋4的图象知，原不等式的解集
为 .
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（2）0≤ x2－2 x －3＜5.
解： 由 x2－2 x －3≥0得 x ≤－1或 x ≥3；
由 x2－2 x －3＜5得－2＜ x ＜4.
∴－2＜ x ≤－1或3≤ x ＜4.
∴原不等式的解集为{ x ｜－2＜ x ≤－1或3≤ x ＜4}.
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11. 已知二次函数 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 的零点为－2和1，则关于 x 的不等
式 x2＋ bx － c ＞0的解集为（ ）
A. { x ｜ x ＜－1或 x ＞2} B. { x ｜－1＜ x ＜2}
C. { x ｜－2＜ x ＜1} D. { x ｜ x ＜－2或 x ＞1}
解析： 因为二次函数 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 的零点为－2和1，所以
－2和1为方程－ x2＋ bx ＋ c ＝0的两根，所以由根与系数的关系得
－2＋1＝ b ，－2×1＝－ c ，解得 b ＝－1， c ＝2，所以关于 x 的
不等式 x2＋ bx － c ＞0即 x2－ x －2＞0，即（ x －2）·（ x ＋1）＞
0，所以不等式的解集为{ x ｜ x ＜－1或 x ＞2}.故选A.
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12. 不等式 ≥1的解集是（ ）
解析： 不等式 ≥1，移项得 －1≥0，即 ≤0，可化
为解得 ≤ x ＜2，则原不等式的解集
为{ x ｜ ≤ x ＜2}.
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13. 关于 x 的不等式（ mx －1）（ x －2）＞0，若此不等式的解集为
{ x ｜ ＜ x ＜2}，则 m 的取值范围是 .
解析：由题意知 m ＜0，∵不等式（ mx －1）（ x －2）＞0的解集
为{ x ｜ ＜ x ＜2}，∴方程（ mx －1）（ x －2）＝0的两个实数根
为 和2，且解得 m ＜0，∴ m 的取值范围是{ m ｜ m ＜
0}.
{ m ｜ m ＜0}
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14. 解关于 x 的不等式 x2－ ax －2 a2＜0（ a ∈R）.
解：原不等式可化为（ x －2 a ）（ x ＋ a ）＜0.
对应的一元二次方程的根为 x1＝2 a ， x2＝－ a .
①当 a ＞0时， x1＞ x2，
不等式的解集为{ x ｜－ a ＜ x ＜2 a }；
③当 a ＜0时， x1＜ x2，不等式的解集为{ x ｜2 a ＜ x ＜－ a }.
综上，当 a ＞0时，不等式的解集为{ x ｜－ a ＜ x ＜2 a }；
当 a ＝0时，不等式的解集为 ；
当 a ＜0时，不等式的解集为{ x ｜2 a ＜ x ＜－ a }.
②当 a ＝0时，原不等式化为 x2＜0，解集为 ；
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15. 若关于 x 的不等式 x2－（ a ＋1） x ＋ a ＜0的解集中，恰有3个整
数，则实数 a 的取值范围是 .
解析：原不等式可等价为（ x － a ）（ x －1）＜0，不等式解集中
恰有3个整数，当 a ＞1时，4＜ a ≤5；当 a ＝1时，不等式无解，
不符合题意；当 a ＜1时，－3≤ a ＜－2.所以实数 a 的取值范围是
{ a ｜－3≤ a ＜－2或4＜ a ≤5}.
{ a ｜－3≤ a ＜－2或4＜ a ≤5}
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16. 重新考查不等式5 x2－10 x ＋4.8＜0，不等式的左边可分解因式为
（ x －1.2）（5 x －4）.根据实数乘法的符号法则，问题可归结为
求一元一次不等式组①和②的两个
解集的并集.不等式组①的解集为0.8＜ x ＜1.2，不等式组②无
解，从而不等式5 x2－10 x ＋4.8＜0的解集为{ x ｜0.8＜ x ＜1.2}.
试用上述方法解下面的不等式：
（1）（2 x －3）（ x ＋1）＞0；
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解： 由（2 x －3）（ x ＋1）＞0，
得或
解得 x ＞ 或 x ＜－1，
所以原不等式的解集为 .
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（2）（1－ x ）（2＋ x ）≥0；
解： 由（1－ x ）（2＋ x ）≥0，
得或
解得－2≤ x ≤1，
所以原不等式的解集为{ x ｜－2≤ x ≤1}.
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（3） ＜0；
解： 由 ＜0，得或
解得－3＜ x ＜1，
所以原不等式的解集为{ x ｜－3＜ x ＜1}.
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（4） ≤0.
解：（4）由 ≤0，得或
解得 x ＜－4或 x ≥ ，
所以原不等式的解集为 .
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谢 谢 观 看！2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
1.下面四个不等式中解集为R的是（ ）
A.－x2＋x＋1≥0
B.x2－2x＋5＞0
C.x2＋6x＋10＞0
D.2x2－3x＋4＜0
2.不等式x2＋5x＞0的解集为（ ）
A.{x｜x＜0或x＞5}
B.{x｜0＜x＜5}
C.{x｜x＜－5或x＞0}
D.{x｜－5＜x＜0}
3.不等式x（4－x）＜3的解集为（ ）
A.{x｜x＜1或x＞3}
B.{x｜x＜0或x＞4}
C.{x｜1＜x＜3}
D.{x｜0＜x＜4}
4.若a＞2，则关于x的不等式ax2－（2＋a）x＋2＞0的解集为（ ）
A.{x｜x＜或x＞1}
B.{x｜＜x＜1}
C.{x｜x＞或x＜1}
D.{x｜1＜x＜}
5.（多选）关于实数x的不等式a（x－a）（x＋1）＞0（a∈R）的解集可能是（ ）
A.{x｜x＜－1或x＞a} B.R
C.{x｜－1＜x＜a} D.{x｜a＜x＜－1}
6.（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ）
A.不等式的解集可以是{x｜x＞3}
B.不等式的解集可以是R
C.不等式的解集可以是
D.不等式的解集可以是{x｜－1＜x＜3}
7.不等式（x－1）2＜x＋5的解集为 .
8.已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是 .
9.二次函数y＝x2－4x＋3的零点为 .
10.解下列不等式：
（1）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）；
（2）0≤x2－2x－3＜5.
11.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的零点为－2和1，则关于x的不等式x2＋bx－c＞0的解集为（ ）
A.{x｜x＜－1或x＞2}
B.{x｜－1＜x＜2}
C.{x｜－2＜x＜1}
D.{x｜x＜－2或x＞1}
12.不等式≥1的解集是（ ）
A. B.
C. D.
13.关于x的不等式（mx－1）（x－2）＞0，若此不等式的解集为{x｜＜x＜2}，则m的取值范围是 .
14.解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0（a∈R）.
15.若关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是 .
16.重新考查不等式5x2－10x＋4.8＜0，不等式的左边可分解因式为（x－1.2）（5x－4）.根据实数乘法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组①和②的两个解集的并集.不等式组①的解集为0.8＜x＜1.2，不等式组②无解，从而不等式5x2－10x＋4.8＜0的解集为{x｜0.8＜x＜1.2}.试用上述方法解下面的不等式：
（1）（2x－3）（x＋1）＞0；
（2）（1－x）（2＋x）≥0；
（3）＜0；
（4）≤0.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
1.C 利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10＞0中，Δ＝62－40＜0，∴该不等式的解集为R，其他可类似判断.故选C.
2.C 易得方程x2＋5x＝0的两根分别为－5，0，由函数y＝x2＋5x的图象（图略）知，不等式x2＋5x＞0的解集为{x｜x＜－5或x＞0}.故选C.
3.A 不等式x（4－x）＜3化为x2－4x＋3＞0，即（x－1）（x－3）＞0，解得x＜1或x＞3，故选A.
4.A 由ax2－（2＋a）x＋2＞0，得（x－1）·（ax－2）＞0.∵a＞2，∴0＜＜1，∴原不等式的解集为{x｜x＜或x＞1}.故选A.
5.ACD 当a＞0时，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化为（x－a）（x＋1）＞0，解得x＞a或x＜－1；当a＝0时，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化为0＞0，此时不等式的解集为 ；当－1＜a＜0时，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化为（x－a）·（x＋1）＜0，解得－1＜x＜a；当a＝－1时，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化为（x＋1）2＜0，此时不等式的解集为 ；当a＜－1时，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化为（x－a）（x＋1）＜0，解得a＜x＜－1.故A、C、D都有可能，B不可能.
6.BD 选项A，假设结论成立，则无解，故选项A错误；选项B，当a＝1，b＝0时，不等式x2＋3＞0恒成立，则解集是R，故选项B正确；选项C，若不等式的解集是 ，则a＜0且Δ＝b2－12a≤0，而a＜0时，Δ＝b2－12a＞0，所以不等式的解集不可能是 ，故选项C错误；选项D，假设结论成立，则解得符合题意，故选项D正确.故选B、D.
7.{x｜－1＜x＜4} 解析：原不等式可化为x2－3x－4＜0，即（x＋1）·（x－4）＜0，故其解集为{x｜－1＜x＜4}.
8.{k｜k≥4或k≤2} 解析：x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
9.1和3 解析：由零点的定义知，令x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，故函数y＝x2－4x＋3的零点为1和3.
10.解：（1）由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
（2）由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；
由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4.
∴－2＜x≤－1或3≤x＜4.
∴原不等式的解集为{x｜－2＜x≤－1或3≤x＜4}.
11.A 因为二次函数y＝－x2＋bx＋c的零点为－2和1，所以－2和1为方程－x2＋bx＋c＝0的两根，所以由根与系数的关系得－2＋1＝b，－2×1＝－c，解得b＝－1，c＝2，所以关于x的不等式x2＋bx－c＞0即x2－x－2＞0，即（x－2）·（x＋1）＞0，所以不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞2}.故选A.
12.B 不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，可化为解得≤x＜2，则原不等式的解集为{x｜≤x＜2}.
13.{m｜m＜0} 解析：由题意知m＜0，∵不等式（mx－1）（x－2）＞0的解集为{x｜＜x＜2}，∴方程（mx－1）（x－2）＝0的两个实数根为和2，且解得m＜0，∴m的取值范围是{m｜m＜0}.
14.解：原不等式可化为（x－2a）（x＋a）＜0.
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，
x2＝－a.
①当a＞0时，x1＞x2，
不等式的解集为{x｜－a＜x＜2a}；
②当a＝0时，原不等式化为x2＜0，解集为 ；
③当a＜0时，x1＜x2，不等式的解集为{x｜2a＜x＜－a}.
综上，当a＞0时，不等式的解集为{x｜－a＜x＜2a}；
当a＝0时，不等式的解集为 ；
当a＜0时，不等式的解集为{x｜2a＜x＜－a}.
15.{a｜－3≤a＜－2或4＜a≤5}
解析：原不等式可等价为（x－a）（x－1）＜0，不等式解集中恰有3个整数，当a＞1时，4＜a≤5；当a＝1时，不等式无解，不符合题意；当a＜1时，－3≤a＜－2.所以实数a的取值范围是{a｜－3≤a＜－2或4＜a≤5}.
16.解：（1）由（2x－3）（x＋1）＞0，
得或
解得x＞或x＜－1，
所以原不等式的解集为x｜x＞或x＜－1.
（2）由（1－x）（2＋x）≥0，
得或
解得－2≤x≤1，
所以原不等式的解集为{x｜－2≤x≤1}.
（3）由＜0，
得或
解得－3＜x＜1，
所以原不等式的解集为{x｜－3＜x＜1}.
（4）由≤0，
得或
解得x＜－4或x≥，
所以原不等式的解集为x｜x＜－4或x≥.
2 / 22.3 二次函数与一元二次方程、不等式
新课程标准解读 核心素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义 数学抽象
2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集 数学抽象、数学运算
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 直观想象
4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决 数学建模、数学运算
给出下面四个不等式：
（1）x2－x－6＞0；
（2）x2－x－6≤0；
（3）x2－4x＋4≥0；
（4）2x2＋x＋5＜0.
【问题】 这四个不等式的共同点是什么？
知识点一 一元二次不等式
定义 只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0
提醒 对一元二次不等式的再理解：①一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数（或参数）；②二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0；③整式不等式.
知识点二 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的 .
提醒 零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标.
知识点三 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实 数根
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 {x｜x＜x1，或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2}
提醒 三个“二次”关系的实质：①ax2＋bx＋c＝0的解 y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标（即二次函数的零点）；②ax2＋bx＋c＞0的解集 y＝ax2＋bx＋c的图象上的点（x，y）在x轴上方时，对应x的取值集合；③ax2＋bx＋c＜0的解集 y＝ax2＋bx＋c的图象上的点（x，y）在x轴下方时，对应x的取值集合.
1.一元二次不等式（x＋2）（5－x）＞0的解集为（ ）
A.{x｜x＜－2或x＞5}
B.{x｜x＜－5或x＞2}
C.{x｜－2＜x＜5}
D.{x｜－5＜x＜2}
2.函数y＝x2－3x＋2与x轴交点的横坐标是 .
3.不等式3x2－2x＋1＞0的解集是 .
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
（1）2x2＋5x－3＜0；（2）－3x2＋6x≤2；
（3）4x2＋4x＋1＞0；（4）－x2＋6x－10＞0.
通性通法
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准：通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正；
（2）判别式：对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式；
（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根；
（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.
【跟踪训练】
1.不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是（ ）
A.{x｜x＜－1} B.
C. D.
2.解不等式－2＜x2－3x≤10.
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＜1）.
通性通法
含参数的一元二次不等式的解法
【跟踪训练】
解关于x的不等式x2＋（1－a）x－a＜0.
题型三 简单的分式不等式
【例3】 解下列不等式：
（1）≥0；（2）＞1.
通性通法
解分式不等式的策略
（1）对于形如＞0（＜0）的不等式可等价转化为f（x）g（x）＞0（＜0）来解决；对于形如≥0（≤0）的不等式可等价转化为来解决；
（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使不等号右边为零，然后再用上述方法转化为整式不等式（组）求解.
【跟踪训练】
1.不等式＜0的解集为 .
2.不等式≥0的解集是{x｜－1≤x＜5}，则a的值为 .
1.不等式≥0的解集为（ ）
A.{x｜0＜x≤2} B.{x｜－1＜x≤2}
C.{x｜x＞－1} D.R
2.（多选）下列不等式是一元二次不等式的是（ ）
A.x2＋x＜－1 B.x2＋＋1＜0
C.x2＋＋1＜0 D.x2＋1＜0
3.若0＜m＜1，则不等式（x－m）（x－）＜0的解集为 .
4.解下列不等式：
（1）x（7－x）≥12；
（2）x2＞2（x－1）.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【基础知识·重落实】
知识点一
未知数 2
知识点二
ax2＋bx＋c＝0 零点
自我诊断
1.C 原一元二次不等式可化为（x＋2）·（x－5）＜0，解得－2＜x＜5，所以原不等式的解集为{x｜－2＜x＜5}.故选C.
2.1或2 解析：由x2－3x＋2＝0得x1＝1，x2＝2，故函数y＝x2－3x＋2与x轴交点的横坐标为1或2.
3.R 解析：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）Δ＝49＞0，方程2x2＋5x－3＝0的两根分别为x1＝－3，x2＝，
作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示.
由图可得原不等式的解集为{x｜－3＜x＜}.
（2）原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12＞0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，
作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为.
（3）∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示.
由图可得原不等式的解集为{x｜x≠－}.
（4）原不等式可化为x2－6x＋10＜0，
∵Δ＝－4＜0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实数根，
∴原不等式的解集为 .
跟踪训练
1.D 不等式－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0.因为Δ＝（－1）2－4×2×（－3）＝25＞0，所以方程2x2－x－3＝0的两根分别为x1＝－1，x2＝.又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，所以不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是.故选D.
2.解：原不等式等价于不等式组
不等式①可化为x2－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1.
不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.
故原不等式的解集为{x｜－2≤x＜1或2＜x≤5}.
【例2】 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1＜0，解得x＞1.
②当a＜0时，原不等式化为（x－1）＞0，解得x＜或x＞1.
③当0＜a＜1时，原不等式化为（x－1）＜0.解得1＜x＜.
综上可知，当a＜0时，原不等式的解集为{x｜x＜或x＞1}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x｜x＞1}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为.
跟踪训练
解：方程x2＋（1－a）x－a＝0的两根分别为x1＝－1，x2＝a.又函数y＝x2＋（1－a）x－a的图象开口向上，
所以，当a＜－1时，解不等式得a＜x＜－1；
当a＝－1时，此不等式无解；
当a＞－1时，解不等式得－1＜x＜a.
综上可知，当a＜－1时，不等式的解集为{x｜a＜x＜－1}；
当a＝－1时，不等式的解集为 ；
当a＞－1时，不等式的解集为{x｜－1＜x＜a}.
【例3】 解：（1）原不等式等价于
即∴－2≤x＜3.
∴原不等式的解集为{x｜－2≤x＜3}.
（2）原不等式可化为－1＞0，即＜0.
∴（6x－4）（4x－3）＜0，∴＜x＜.
∴原不等式的解集为.
跟踪训练
1. 解析：原不等式可化为（x＋1）（2x－1）＜0，∴－1＜x＜，故原不等式的解集为.
2.5 解析：由于原不等式等价于因此结合不等式解集知a＝5.
随堂检测
1.B ≥0 （x＋1）（x－2）＜0或x＝2，解得－1＜x≤2，故选B.
2.AD 由于x2＋＋1＜0，x2＋＋1＜0不符合一元二次不等式的定义，只有x2＋x＜－1，x2＋1＜0是一元二次不等式，故选A、D.
3.{x｜m＜x＜} 解析：∵0＜m＜1，∴＞1＞m，故原不等式的解集为{x｜m＜x＜}.
4.解：（1）原不等式可化为x2－7x＋12≤0.
因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4.
所以原不等式的解集为{x｜3≤x≤4}.
（2）原不等式可以化为x2－2x＋2＞0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，
所以方程x2－2x＋2＝0无实数根，
又函数y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
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