第2课时 函数的最大（小）值
1.下列函数在[1，4]上最大值为3的是（ ）
A.y＝＋2 B.y＝3x－2
C.y＝x2 D.y＝1－x
2.若函数f（x）＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为（ ）
A.10 B.10或20
C.20 D.无法确定
3.已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f（x）的最小值为－2，则f（x）的最大值为（ ）
A.1 B.0
C.－1 D.2
4.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A.[1，＋∞） B.[0，2]
C.（－∞，2] D.[1，2]
5.（多选）若x∈R，f（x）是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f（x）（ ）
A.最大值为2 B.最大值为1
C.最小值为－1 D.无最小值
6.（多选）已知函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1]上单调递减，则函数g（x）＝在区间（0，1]上一定（ ）
A.有最大值 B.有最小值
C.单调递增 D.单调递减
7.函数y＝的最小值为 ，最大值为 .
8.已知长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时，面积S最大，此时x的值为 .
9.已知一次函数f（x）＝（4a－2）x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则实数a的值为 .
10.画出函数y＝－x（｜x－2｜－2），x∈[－1，5]的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值.
11.函数f（x）＝的最大值是（ ）
A. B.
C. D.
12.（多选）已知函数f（x）＝，则该函数（ ）
A.最大值为
B.最大值为
C.没有最小值
D.在区间（1，2）上单调递增
13.函数y＝－的最大值为 .
14.某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x（不低于进价，单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
（1）确定x与y的一个一次函数关系式y＝f（x）（注明函数的定义域）；
（2）若日销售利润为P元，根据（1）中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润.
15.若函数f（x）＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m（ ）
A.与a有关，且与b有关
B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关
D.与a无关，但与b有关
16.在① x∈[－2，2]，② x∈[1，3]这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.
已知函数f（x）＝x2＋ax＋4.
（1）当a＝－2时，求函数f（x）在区间[－2，2]上的值域；
（2）若 ，f（x）≥0，求实数a的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
第2课时 函数的最大（小）值
1.A B、C在[1，4]上均单调递增，A、D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，即可求得最值.故选A.
2.C 当k＝0时，不符合题意；当k＞0时，f（x）＝在[2，4]上单调递减，∴f（x）min＝f（4）＝＝5，∴k＝20，符合题意；当k＜0时，f（x）＝在[2，4]上单调递增，f（x）min＝f（2）＝＝5，∴k＝10，又∵k＜0，∴k＝10舍去.综上知k＝20.
3.A ∵f（x）＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，∴其最小值为f（0）＝a＝－2，∴其最大值为f（1）＝3＋a＝1.
4.D f（x）＝（x－1）2＋2，∵f（x）min＝2，f（x）max＝3，且f（1）＝2，f（0）＝f（2）＝3，∴1≤m≤2.
5.BD 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示.根据题意，图中实线部分即为函数f（x）的图象.当x＝1时，f（x）取得最大值.且f（x）max＝1，由图象知f（x）无最小值，故选B、D.
6.BD 二次函数f（x）＝x2－2ax＋a图象的对称轴为直线x＝a，因为函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1]上单调递减，所以a≥1.g（x）＝x＋－2a，该函数在（0，）上单调递减，而a≥1，所以当x∈（0，1]时，函数g（x）单调递减，且有最小值，为g（1）＝1－a.故选B、D.
7.－5 0 解析：由题意可知，当x∈[－3，－1]时，ymin＝－2；当x∈（－1，4]时，ymin＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0.
8.1 解析：由题意得，S＝（4＋x）·＝－x2＋x＋12＝－（x－1）2＋，∵解得0＜x＜6，∴当x＝1时，S取得最大值.
9.2或－ 解析：当4a－2＞0时，f（x）在[－2，1]上单调递增，∴∴则a＝2；当4a－2＜0时，f（x）在[－2，1]上单调递减，∴∴则a＝－.综上所述，a＝2或a＝－.
10.解：原函数化为y＝
在平面直角坐标系内作出图象，如图.
观察图象得，函数y＝－x（｜x－2｜－2）的单调递减区间是[－1，0]，[2，5]，单调递增区间是（0，2），
当x＝2时，ymax＝4，当x＝5时，ymin＝－5，
所以原函数最大值为4，最小值为－5.
11.C 因为1－x（1－x）＝x2－x＋1＝（x－）2＋≥，所以≤.故f（x）的最大值为.
12.AD f（x）＝＝1＋x＋≥1＋2＝3，当且仅当x＝1时等号成立， x1，x2∈且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）·，x1－x2＜0，当≤x1＜x2＜1时，有1－＜0，故f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在上单调递减且值域为；当1＜x1＜x2＜2时，有1－＞0，故f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在（1，2）上单调递增且值域为.所以函数f（x）的最大值为.故选A、D.
13.1 解析：由可得x≥0，
y＝－
＝
＝.因为y＝＋在[0，＋∞）上是增函数，所以y＝在[0，＋∞）上是减函数，所以当x＝0时，y＝取最大值1，故函数y＝－的最大值为1.
14.解：（1）因为f（x）是一次函数，所以设f（x）＝ax＋b（a≠0），
由题中表格可得解得
所以y＝f（x）＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54].
（2）由题意得，P＝（x－30）y＝（x－30）·（162－3x）＝－3x2＋252x－4 860＝－3（x－42）2＋432，x∈[30，54].
所以当x＝42时，Pmax＝432，即当销售单价为42元时，能获得最大的日销售利润.
15.B f（x）＝（x＋）2－＋b.①当0≤－≤1时，f（x）min＝m＝f（－）＝－＋b，f（x）max＝M＝max{f（0），f（1）}＝max{b，1＋a＋b}，故M－m＝max{，1＋a＋}，与a有关，与b无关；②当－＜0时，f（x）在[0，1]上单调递增，故M－m＝f（1）－f（0）＝1＋a，与a有关，与b无关；③当－＞1时，f（x）在[0，1]上单调递减，故M－m＝f（0）－f（1）＝－1－a，与a有关，与b无关.综上所述，M－m与a有关，但与b无关.
16.解：（1）∵当a＝－2时，f（x）＝x2－2x＋4＝（x－1）2＋3，
∴f（x）在[－2，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，
∴f（x）min＝f（1）＝3，f（x）max＝f（－2）＝12，
∴函数f（x）在区间[－2，2]上的值域为[3，12].
（2）选择条件①.
若a≥4，则函数f（x）在区间[－2，2]上单调递增，
∴f（x）min＝f（－2）＝8－2a≥0，解得a≤4，
又a≥4，∴a＝4.
若－4＜a＜4，则函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴f（x）min＝f＝4－≥0，解得－4≤a≤4，∴－4＜a＜4.
若a≤－4，则函数f（x）在区间[－2，2]上单调递减，
∴f（x）min＝f（2）＝8＋2a≥0，解得a≥－4，
又a≤－4，∴a＝－4.
综上所述，实数a的取值范围为[－4，4].
选择条件②.
∵ x∈[1，3]，f（x）≥0，
∴f（x）max≥0，即max{f（1），f（3）}≥0，
∴f（1）≥0或f（3）≥0，解得a≥－5或a≥－，∴a≥－5.
故实数a的取值范围为[－5，＋∞）.
2 / 2第2课时 函数的最大（小）值
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线.
【问题】 （1）该天的最高气温和最低气温分别是多少？
（2）设该天某时刻的气温为f（x），则f（x）在哪个范围内变化？
（3）从函数图象上看，气温的最大值（最小值）在什么时刻取得？
知识点 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足：
x∈D，都有 x∈D，都有
x0∈D，使得
结论 称M是函数y＝f（x）的最大值 称M是函数y＝f（x）的最小值
几何 意义 f（x）图象上最高点的 f（x）图象上最低点的
提醒 （1）并不是所有的函数都有最大（小）值，比如y＝x，x∈R；（2）一个函数至多有一个最大（小）值；（3）研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性；（4）对于定义域内的任意x都满足f（x）≤M（f（x）≥M）成立，那么M不一定是函数f（x）的最大（小）值，只有定义域内存在一点x0，使f（x0）＝M时，M才是函数的最大（小）值，否则不是.比如f（x）＝－x2≤3成立，但3不是f（x）的最大值，0才是它的最大值.
1.已知函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则该函数的最小值、最大值分别是（ ）
A.－1，0 B.0，2
C.－1，2 D.，2
2.函数f（x）＝－2x＋1（x∈[－2，2]）的最小值、最大值分别为（ ）
A.3，5 B.－3，5
C.1，5 D.5，－3
3.已知函数f（x）＝在区间[1，2]上的最大值为A，最小值为B，求A－B的值.
题型一 图象法求函数的最值
【例1】 已知函数f（x）＝求f（x）的最大值、最小值.
通性通法
用图象法求最值的3步骤
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝求函数f（x）的最大值、最小值.
题型二 利用单调性求函数的最值
【例2】 已知函数f（x）＝.
（1）用定义证明f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增；
（2）求该函数在区间[2，4]上的最大值与最小值.
通性通法
函数的最大（小）值与单调性的关系
（1）若函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），则f（x）在区间[a，b]上的最小（大）值是f（a），最大（小）值是f（b）；
（2）若函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），在区间[b，c]上单调递减（增），则f（x）在区间[a，c]上的最大（小）值是f（b），最小（大）值是f（a）与f（c）中较小（大）的一个.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝.
（1）证明：函数f（x）在上单调递减；
（2）求函数f（x）在[1，5]上的最值.
题型三 二次函数的最值
【例3】 已知函数f（x）＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f（x）的最小值.
通性通法
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x＝m为例，x∈[a，b].
（1）最小值：f（x）min＝
（2）最大值：f（x）max＝
当开口向下时，可用类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
【跟踪训练】
设二次函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为0，求a的值.
题型四 实际应用中的最值问题
【例4】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N*）件.当x≤20时，年销售总收入为（33x－x2）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.（年利润＝年销售总收入－年总投资）
（1）求y（万元）与x（件）的函数解析式；
（2）当该工厂的年产量为多少件时所得年利润最大？最大年利润是多少？
通性通法
求解实际问题的4步骤
【跟踪训练】
某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为 万元.
1.函数y＝x＋的值域是（ ）
A.[0，＋∞） B.[2，＋∞）
C.[4，＋∞） D.[，＋∞）
2.函数y＝的最大值是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为 .
4.用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 m.
第2课时 函数的最大（小）值
【基础知识·重落实】
知识点
f（x）≤M f（x）≥M f（x0）＝M 纵坐标 纵坐标
自我诊断
1.C 由题图可知，f（x）的最大值为f（1）＝2，f（x）的最小值为f（－2）＝－1.
2.B 因为f（x）＝－2x＋1在[－2，2]上单调递减，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.
3.解：因为f（x）＝在[1，2]上单调递减，
所以A＝f（1）＝1，B＝f（2）＝，
则A－B＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：作出函数f（x）的图象，如图.
由图象可知，当x＝±1时，f（x）取最大值为f（1）＝f（－1）＝1.
当x＝0时，f（x）取最小值为f（0）＝0，
故f（x）的最大值为1，最小值为0.
跟踪训练
解：作出f（x）的图象如图.
由图象可知，当x＝2时，f（x）取最大值为2；
当x＝时，f（x）取最小值为－.
所以f（x）的最大值为2，最小值为－.
【例2】 解：（1） x1，x2∈[1，＋∞），且x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）＝－＝.
∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，（x1＋1）·（x2＋1）＞0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增.
（2）由（1）知函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，
∴f（x）max＝f（4）＝＝，f（x）min＝f（2）＝＝.
跟踪训练
解：（1）证明：设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2＞x1＞，则
f（x1）－f（x2）＝－＝.
由于x2＞x1＞，
所以x2－x1＞0，且（2x1－1）·（2x2－1）＞0，
所以f（x1）－f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）＝在区间上单调递减.
（2）由（1）知，函数f（x）在[1，5]上单调递减，
因此，函数f（x）＝在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即最大值为f（1）＝3，最小值为f（5）＝.
【例3】 解：f（x）＝x2－2ax＋2＝（x－a）2＋2－a2，x∈[－1，1].
当a≥1时，函数f（x）的图象如图①中实线所示，
函数f（x）在区间[－1，1]上单调递减，最小值为f（1）＝3－2a；
当－1＜a＜1时，函数f（x）的图象如图②中实线所示，
函数f（x）在区间[－1，a）上单调递减，在区间（a，1]上单调递增，最小值为f（a）＝2－a2；
当a≤－1时，函数f（x）的图象如图③中实线所示，
函数f（x）在区间[－1，1]上单调递增，最小值为f（－1）＝3＋2a.
综上所述，f（x）min＝
跟踪训练
解：∵y＝x2－2x＝（x－1）2－1，
∴对称轴为直线x＝1.
∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，故应进行讨论，
当－2＜a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，
则当x＝a时，y取最小值，即ymin＝a2－2a，
∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2（舍去）.
当a＞1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，
则当x＝1时，y取最小值，即ymin＝－1，不合题意.
综上可知a＝0.
【例4】 解：（1）当0＜x≤20时，y＝（33x－x2）－x－100＝－x2＋32x－100；
当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝（x∈N*）.
（2）当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－（x－16）2＋156，当x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时所得年利润最大，最大年利润为156万元.
即当该工厂年产量为16件时所得年利润最大，最大年利润为156万元.
跟踪训练
120 解析：设该公司在甲地销售x辆，则在乙地销售（15－x）辆，两地销售的利润之和为y万元，y＝－x2＋21x＋2（15－x）＝－x2＋19x＋30.由题意知∴0≤x≤15，且x∈Z.当x＝－＝9.5时，y值最大，∵x∈Z，∴取x＝9或x＝10.当x＝9时，y＝120，当x＝10时，y＝120.
综上可知，公司能获得的最大利润为120万元.
随堂检测
1.B 函数y＝x＋在[2，＋∞）上是增函数，所以其最小值为2，其值域为[2，＋∞）.
2.C 当x＜1时，函数y＝x＋3单调递增，有y＜4，无最大值；当x≥1时，函数y＝－x＋6单调递减，在x＝1处取得最大值5.所以该函数的最大值为5.
3.±2 解析：由题意知a≠0，当a＞0时，有（2a＋1）－（a＋1）＝2，解得a＝2；当a＜0时，有（a＋1）－（2a＋1）＝2，解得a＝－2，综上知a＝±2.
4.3 解析：设隔墙长度为x m，场地面积为S m2，则S＝x·＝12x－2x2＝－2（x－3）2＋18.所以当x＝3时，S有最大值.
4 / 4(共63张PPT)
第2课时
函数的最大（小）值
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠
气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线.
【问题】 （1）该天的最高气温和最低气温分别是多少？
（2）设该天某时刻的气温为 f （ x ），则 f （ x ）在哪个范围内变化？
（3）从函数图象上看，气温的最大值（最小值）在什么时刻取得？
知识点 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数 y ＝ f （ x ）的定义域为 D ，如果存在实数 M
满足： x ∈ D ，都有 x ∈ D ，都有
x0∈ D ，使得 f （ x ）≤ M
f （ x ）≥ M
f （ x0）＝ M
最大值 最小值
结论 称 M 是函数 y ＝ f （ x ）的
最大值 称 M 是函数 y ＝ f （ x ）的最小
值
几何 意义 f （ x ）图象上最高点
的 f （ x ）图象上最低点的
纵坐标
纵坐
标
提醒 （1）并不是所有的函数都有最大（小）值，比如 y ＝ x ， x
∈R；（2）一个函数至多有一个最大（小）值；（3）研究函数最值
需先研究函数的定义域和单调性；（4）对于定义域内的任意 x 都满足
f （ x ）≤ M （ f （ x ）≥ M ）成立，那么 M 不一定是函数 f （ x ）的最
大（小）值，只有定义域内存在一点 x0，使 f （ x0）＝ M 时， M 才是
函数的最大（小）值，否则不是.比如 f （ x ）＝－ x2≤3成立，但3不
是 f （ x ）的最大值，0才是它的最大值.
1. 已知函数 y ＝ f （ x ）在[－2，2]上的图象如图所示，则该函数的最
小值、最大值分别是（ ）
A. －1，0 B. 0，2
C. －1，2
解析： 由题图可知， f （ x ）的最大值为 f （1）＝2， f （ x ）的
最小值为 f （－2）＝－1.
2. 函数 f （ x ）＝－2 x ＋1（ x ∈[－2，2]）的最小值、最大值分别为
（ ）
A. 3，5 B. －3，5
C. 1，5 D. 5，－3
解析： 因为 f （ x ）＝－2 x ＋1在[－2，2]上单调递减，所以当
x ＝2时，函数的最小值为－3.当 x ＝－2时，函数的最大值为5.
3. 已知函数 f （ x ）＝ 在区间[1，2]上的最大值为 A ，最小值为 B ，
求 A － B 的值.
解：因为 f （ x ）＝ 在[1，2]上单调递减，
所以 A ＝ f （1）＝1， B ＝ f （2）＝ ，
则 A － B ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 图象法求函数的最值
【例1】 已知函数 f （ x ）＝求 f （ x ）的最大值、
最小值.
解：作出函数 f （ x ）的图象，如图.
由图象可知，当 x ＝±1时， f （ x ）取最大值为 f
（1）＝ f （－1）＝1.
当 x ＝0时， f （ x ）取最小值为 f （0）＝0，
故 f （ x ）的最大值为1，最小值为0.
通性通法
用图象法求最值的3步骤
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝求函数 f （ x ）的最大值、
最小值.
解：作出 f （ x ）的图象如图.
由图象可知，当 x ＝2时， f （ x ）取最大值为2；
当 x ＝ 时， f （ x ）取最小值为－ .
所以 f （ x ）的最大值为2，最小值为－ .
题型二 利用单调性求函数的最值
【例2】 已知函数 f （ x ）＝ .
（1）用定义证明 f （ x ）在区间[1，＋∞）上单调递增；
解： x1， x2∈[1，＋∞），且 x1＜ x2，则
f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ .
∵1≤ x1＜ x2，∴ x1－ x2＜0，（ x1＋1）（ x2＋1）＞0，
∴ f （ x1）－ f （ x2）＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2），
故函数 f （ x ）在区间[1，＋∞）上单调递增.
（2）求该函数在区间[2，4]上的最大值与最小值.
解： 由（1）知函数 f （ x ）在区间[2，4]上单调递增，
∴ f （ x ）max＝ f （4）＝ ＝ ， f （ x ）min＝ f （2）＝
＝ .
通性通法
函数的最大（小）值与单调性的关系
（1）若函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上单调递增（减），则 f （ x ）在
区间[ a ， b ]上的最小（大）值是 f （ a ），最大（小）值是 f
（ b ）；
（2）若函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上单调递增（减），在区间[ b ，
c ]上单调递减（增），则 f （ x ）在区间[ a ， c ]上的最大（小）值是 f
（ b ），最小（大）值是 f （ a ）与 f （ c ）中较小（大）的一个.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ .
（1）证明：函数 f （ x ）在 上单调递减；
解： 证明：设 x1， x2是区间 上的任意两个实
数，且 x2＞ x1＞ ，则
f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ .
由于 x2＞ x1＞ ，所以 x2－ x1＞0，且（2 x1－1）·（2 x2－1）＞0，
所以 f （ x1）－ f （ x2）＞0，
所以函数 f （ x ）＝ 在区间 上单调递减.
即 f （ x1）＞ f （ x2），
（2）求函数 f （ x ）在[1，5]上的最值.
解： 由（1）知，函数 f （ x ）在[1，5]上单调递减，
因此，函数 f （ x ）＝ 在区间[1，5]的两个端点上分别取得
最大值与最小值，
即最大值为 f （1）＝3，最小值为 f （5）＝ .
题型三 二次函数的最值
【例3】 已知函数 f （ x ）＝ x2－2 ax ＋2， x ∈[－1，1]，求函数 f
（ x ）的最小值.
解： f （ x ）＝ x2－2 ax ＋2＝（ x － a ）2＋2－ a2， x ∈[－1，1].
当 a ≥1时，函数 f （ x ）的图象如图①中实线所示，
函数 f （ x ）在区间[－1，1]上单调递减，最小值为 f （1）＝3－2 a ；
当－1＜ a ＜1时，函数 f （ x ）的图象如图②中实线所示，
函数 f （ x ）在区间[－1， a ）上单调递减，在区间（ a ，1]上单调递
增，最小值为 f （ a ）＝2－ a2；
当 a ≤－1时，函数 f （ x ）的图象如图③中实线所示，函数 f （ x ）在区间[－1，1]上单调递增，最小值为 f （－1）＝3＋2 a .综上所述， f （ x ）min＝
通性通法
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为 x ＝ m 为例， x ∈[ a ，
b ].
（1）最小值： f （ x ）min＝
（2）最大值： f （ x ）max＝
当开口向下时，可用类似方法进行讨论，其实质是讨论对
称轴与区间的位置关系.
【跟踪训练】
设二次函数 y ＝ x2－2 x ， x ∈[－2， a ]，若函数的最小值为0，求 a
的值.
解：∵ y ＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1，
∴对称轴为直线 x ＝1.
∵ x ＝1不一定在区间[－2， a ]内，故应进行讨论，
当－2＜ a ≤1时，函数在[－2， a ]上单调递减，
则当 x ＝ a 时， y 取最小值，即 ymin＝ a2－2 a ，
∴ a2－2 a ＝0，∴ a ＝0或 a ＝2（舍去）.
当 a ＞1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1， a ]上单调递增，
则当 x ＝1时， y 取最小值，即 ymin＝－1，不合题意.
综上可知 a ＝0.
题型四 实际应用中的最值问题
【例4】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每
生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为 x （ x ∈N*）件.当 x
≤20时，年销售总收入为（33 x － x2）万元；当 x ＞20时，年销售总收
入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元.
（年利润＝年销售总收入－年总投资）
（1）求 y （万元）与 x （件）的函数解析式；
解： 当0＜ x ≤20时， y ＝（33 x － x2）－ x －100＝－ x2＋
32 x －100；
当 x ＞20时， y ＝260－100－ x ＝160－ x .
故 y ＝（ x ∈N*）.
（2）当该工厂的年产量为多少件时所得年利润最大？最大年利润是
多少？
解： 当0＜ x ≤20时， y ＝－ x2＋32 x －100＝－（ x －16）2
＋156，当 x ＝16时， ymax＝156.而当 x ＞20时，160－ x ＜140，
故 x ＝16时所得年利润最大，最大年利润为156万元.
即当该工厂年产量为16件时所得年利润最大，最大年利润为156
万元.
通性通法
求解实际问题的4步骤
【跟踪训练】
某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分
别为 L1＝－ x2＋21 x 和 L2＝2 x ，其中 x 为销售量（单位：辆）.若该公
司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为 万元.
120
解析：设该公司在甲地销售 x 辆，则在乙地销售（15－ x ）辆，两地
销售的利润之和为 y 万元， y ＝－ x2＋21 x ＋2（15－ x ）＝－ x2＋19 x
＋30.由题意知∴0≤ x ≤15，且 x ∈Z. 当 x ＝－
＝9.5时， y 值最大，∵ x ∈Z，∴取 x ＝9或 x ＝10.当 x ＝9时， y ＝
120，当 x ＝10时， y ＝120.
综上可知，公司能获得的最大利润为120万元.
1. 函数 y ＝ x ＋ 的值域是（ ）
A. [0，＋∞） B. [2，＋∞）
C. [4，＋∞）
解析： 函数 y ＝ x ＋ 在[2，＋∞）上是增函数，所以其
最小值为2，其值域为[2，＋∞）.
2. 函数 y ＝的最大值是（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 当 x ＜1时，函数 y ＝ x ＋3单调递增，有 y ＜4，无最大
值；当 x ≥1时，函数 y ＝－ x ＋6单调递减，在 x ＝1处取得最大值
5.所以该函数的最大值为5.
3. 若函数 y ＝ ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数 a
的值为 .
解析：由题意知 a ≠0，当 a ＞0时，有（2 a ＋1）－（ a ＋1）＝2，
解得 a ＝2；当 a ＜0时，有（ a ＋1）－（2 a ＋1）＝2，解得 a ＝－
2，综上知 a ＝±2.
4. 用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的
面积最大，则隔墙的长度为 m.
解析：设隔墙长度为 x m，场地面积为 S m2，则 S ＝ x · ＝12 x
－2 x2＝－2（ x －3）2＋18.所以当 x ＝3时， S 有最大值.
±2
3
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列函数在[1，4]上最大值为3的是（ ）
B. y ＝3 x －2
C. y ＝ x2 D. y ＝1－ x
解析： B、C在[1，4]上均单调递增，A、D在[1，4]上均单调
递减，代入端点值，即可求得最值.故选A.
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2. 若函数 f （ x ）＝ 在区间[2，4]上的最小值为5，则 k 的值为
（ ）
A. 10 B. 10或20
C. 20 D. 无法确定
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解析： 当 k ＝0时，不符合题意；当 k ＞0时， f （ x ）＝ 在[2，
4]上单调递减，∴ f （ x ）min＝ f （4）＝ ＝5，∴ k ＝20，符合题
意；当 k ＜0时， f （ x ）＝ 在[2，4]上单调递增， f （ x ）min＝ f
（2）＝ ＝5，∴ k ＝10，又∵ k ＜0，∴ k ＝10舍去.综上知 k ＝20.
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3. 已知函数 f （ x ）＝－ x2＋4 x ＋ a ， x ∈[0，1]，若 f （ x ）的最小值
为－2，则 f （ x ）的最大值为（ ）
A. 1 B. 0
C. －1 D. 2
解析： ∵ f （ x ）＝－ x2＋4 x ＋ a 在[0，1]上单调递增，∴其最
小值为 f （0）＝ a ＝－2，∴其最大值为 f （1）＝3＋ a ＝1.
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4. 已知函数 y ＝ x2－2 x ＋3在闭区间[0， m ]上有最大值3，最小值2，
则 m 的取值范围是（ ）
A. [1，＋∞） B. [0，2]
C. （－∞，2] D. [1，2]
解析： f （ x ）＝（ x －1）2＋2，∵ f （ x ）min＝2， f （ x ）max
＝3，且 f （1）＝2， f （0）＝ f （2）＝3，∴1≤ m ≤2.
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5. （多选）若 x ∈R， f （ x ）是 y ＝2－ x2， y ＝ x 这两个函数中的较
小者，则 f （ x ）（ ）
A. 最大值为2 B. 最大值为1
C. 最小值为－1 D. 无最小值
解析： 在同一平面直角坐标系中画出函数
y ＝2－ x2， y ＝ x 的图象，如图所示.根据题
意，图中实线部分即为函数 f （ x ）的图象.当 x
＝1时， f （ x ）取得最大值.且 f （ x ）max＝1，
由图象知 f （ x ）无最小值，故选B、D.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）＝ x2－2 ax ＋ a 在区间（－∞，1]上单调
递减，则函数 g （ x ）＝ 在区间（0，1]上一定（ ）
A. 有最大值 B. 有最小值
C. 单调递增 D. 单调递减
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解析： 二次函数 f （ x ）＝ x2－2 ax ＋ a 图象的对称轴为直线 x
＝ a ，因为函数 f （ x ）＝ x2－2 ax ＋ a 在区间（－∞，1]上单调递
减，所以 a ≥1. g （ x ）＝ x ＋ －2 a ，该函数在（0， ）上单调
递减，而 a ≥1，所以当 x ∈（0，1]时，函数 g （ x ）单调递减，且
有最小值，为 g （1）＝1－ a .故选B、D.
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7. 函数 y ＝的最小值为 ，最大值
为 .
解析：由题意可知，当 x ∈[－3，－1]时， ymin＝－2；当 x ∈（－
1，4]时， ymin＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0.
－5
0
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8. 已知长为4，宽为3的矩形，当长增加 x ，且宽减少 时，面积 S 最
大，此时 x 的值为 .
解析：由题意得， S ＝（4＋ x ） ＝－ x2＋ x ＋12＝－ （ x
－1）2＋ ，∵解得0＜ x ＜6，∴当 x ＝1时， S 取得最
大值 .
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9. 已知一次函数 f （ x ）＝（4 a －2） x ＋3在[－2，1]上的最大值为
9，则实数 a 的值为 .
2或－
解析：当4 a －2＞0时， f （ x ）在[－2，1]上单调递增，
∴∴则 a ＝2；当4 a －2＜0时， f （ x ）在
[－2，1]上单调递减，∴∴
则 a ＝－ .综上所述， a ＝2或 a ＝－ .
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10. 画出函数 y ＝－ x （｜ x －2｜－2）， x ∈[－1，5]的图象，并根
据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值.
解：原函数化为 y ＝在平面直角坐标系内
作出图象，如图.
观察图象得，函数 y ＝－ x （｜ x －2｜－2）的单
调递减区间是[－1，0]，[2，5]，单调递增区间
是（0，2），
当 x ＝2时， ymax＝4，当 x ＝5时， ymin＝－5，
所以原函数最大值为4，最小值为－5.
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11. 函数 f （ x ）＝ 的最大值是（ ）
解析： 因为1－ x （1－ x ）＝ x2－ x ＋1＝（ x － ）2＋ ≥ ，
所以 ≤ .故 f （ x ）的最大值为 .
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12. （多选）已知函数 f （ x ）＝ ，则该函数
（ ）
C. 没有最小值
D. 在区间（1，2）上单调递增
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解析： f （ x ）＝ ＝1＋ x ＋ ≥1＋2 ＝3，当且
仅当 x ＝1时等号成立， x1， x2∈ 且 x1＜ x2，则 f （ x1）－ f
（ x2）＝（ x1－ x2）＋ ＝（ x1－ x2）· ， x1－ x2＜
0，当 ≤ x1＜ x2＜1时，有1－ ＜0，故 f （ x1）＞ f （ x2），即
函数 f （ x ）在 上单调递减且值域为 ；
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当1＜ x1＜ x2＜2时，有1－ ＞0，故 f （ x1）＜ f （ x2），即函数 f
（ x ）在（1，2）上单调递增且值域为 .所以函数 f （ x ）的最
大值为 .故选A、D.
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13. 函数 y ＝ － 的最大值为 .
解析：由可得 x ≥0， y ＝ － ＝
＝ .因为 y ＝ ＋ 在[0，
＋∞）上是增函数，所以 y ＝ 在[0，＋∞）上是减函
数，所以当 x ＝0时， y ＝ 取最大值1，故函数 y ＝
－ 的最大值为1.
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14. 某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该
商品销售单价 x （不低于进价，单位：元）与日销售量 y （单位：
件）之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
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（1）确定 x 与 y 的一个一次函数关系式 y ＝ f （ x ）（注明函数的
定义域）；
解： 因为 f （ x ）是一次函数，所以设 f （ x ）＝ ax ＋ b
（ a ≠0），
由题中表格可得解得
所以 y ＝ f （ x ）＝－3 x ＋162.
又 y ≥0，所以30≤ x ≤54，
故所求函数关系式为 y ＝－3 x ＋162， x ∈[30，54].
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（2）若日销售利润为 P 元，根据（1）中的关系式写出 P 关于 x 的
函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的
日销售利润.
解： 由题意得， P ＝（ x －30） y ＝（ x －30）（162－
3 x ）＝－3 x2＋252 x －4 860＝－3（ x －42）2＋432， x
∈[30，54].
所以当 x ＝42时， Pmax＝432，即当销售单价为42元时，能
获得最大的日销售利润.
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15. 若函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 在区间[0，1]上的最大值是 M ，最小
值是 m ，则 M － m （ ）
A. 与 a 有关，且与 b 有关 B. 与 a 有关，但与 b 无关
C. 与 a 无关，且与 b 无关 D. 与 a 无关，但与 b 有关
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解析： f （ x ）＝（ x ＋ ）2－ ＋ b .①当0≤－ ≤1时， f
（ x ）min＝ m ＝ f （－ ）＝－ ＋ b ， f （ x ）max＝ M ＝max{ f
（0）， f （1）}＝max{ b ，1＋ a ＋ b }，故 M － m ＝max{ ，1＋
a ＋ }，与 a 有关，与 b 无关；②当－ ＜0时， f （ x ）在[0，1]
上单调递增，故 M － m ＝ f （1）－ f （0）＝1＋ a ，与 a 有关，与
b 无关；③当－ ＞1时， f （ x ）在[0，1]上单调递减，故 M － m
＝ f （0）－ f （1）＝－1－ a ，与 a 有关，与 b 无关.
综上所述， M － m 与 a 有关，但与 b 无关.
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16. 在① x ∈[－2，2]，② x ∈[1，3]这两个条件中任选一个，补
充到下面问题的横线中，并求解该问题.
已知函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋4.
（1）当 a ＝－2时，求函数 f （ x ）在区间[－2，2]上的值域；
解： ∵当 a ＝－2时， f （ x ）＝ x2－2 x ＋4＝（ x
－1）2＋3，
∴ f （ x ）在[－2，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，
∴ f （ x ）min＝ f （1）＝3， f （ x ）max＝ f （－2）＝12，
∴函数 f （ x ）在区间[－2，2]上的值域为[3，12].
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（2）若 ， f （ x ）≥0，求实数 a 的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解： 选择条件①.
若 a ≥4，则函数 f （ x ）在区间[－2，2]上单调递增，
∴ f （ x ）min＝ f （－2）＝8－2 a ≥0，解得 a ≤4，
又 a ≥4，∴ a ＝4.
若－4＜ a ＜4，则函数 f （ x ）在区间 上单调递
减，在区间 上单调递增，
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∴ f （ x ）min＝ f ＝4－ ≥0，解得－4≤ a ≤4，∴－4
＜ a ＜4.
若 a ≤－4，则函数 f （ x ）在区间[－2，2]上单调递减，
∴ f （ x ）min＝ f （2）＝8＋2 a ≥0，解得 a ≥－4，
又 a ≤－4，∴ a ＝－4.
综上所述，实数 a 的取值范围为[－4，4].
选择条件②.
∵ x ∈[1，3]， f （ x ）≥0，
∴ f （ x ）max≥0，即max{ f （1）， f （3）}≥0，
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∴ f （1）≥0或 f （3）≥0，解得 a ≥－5或 a ≥－ ，∴ a ≥
－5.
故实数 a 的取值范围为[－5，＋∞）.
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