3.2.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
1.已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b＝（ ）
A.－1 B.1
C.0 D.2
2.函数f（x）＝的图象关于（ ）
A.y轴对称 B.x轴对称
C.坐标原点对称 D.直线y＝x对称
3.若函数f（x）＝则f（x）（ ）
A.是偶函数
B.是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
4.已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－，若f（2）＋f（0）＝1，则f（－3）＝（ ）
A.－4 B.－3
C.－2 D.1
5.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B.图象关于y轴对称的函数是偶函数
C.奇函数的图象一定过坐标原点
D.偶函数的图象一定与y轴相交
6.（多选）下列给出的函数是奇函数的是（ ）
A.f（x）＝x4＋1
B.f（x）＝x－
C.f（x）＝
D.f（x）＝
7.若函数y＝（x－1）（x＋a）为偶函数，则a＝ .
8.已知函数f（x）是定义在[－3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x＞0时，f（x）的图象如图所示，那么f（x）的值域是 .
9.定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝x2－2x＋a，则a＝ ，f（－3）＝ .
10.判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x3＋x5；
（2）f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－1｜；
（3）f（x）＝.
11.已知函数f（x）＝为奇函数，则a＝（ ）
A.－1 B.1
C.0 D.±1
12.（多选）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的有（ ）
A.f（x）g（x）是偶函数
B.｜f（x）｜＋g（x）是偶函数
C.f（x）｜g（x）｜是奇函数
D.｜f（x）g（x）｜是奇函数
13.已知函数f（x）＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f（－3）＝－3，则f（3）＝ .
14.（1）如图①，给出奇函数y＝f（x）的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f（3）的值；
（2）如图②，给出偶函数y＝f（x）的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f（1）与f（3）的大小.
15.已知函数f（x）＝，若f（a）＝，则f（－a）＝ .
16.已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）＝1，g（1）＝2.
（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（2）判断f（x）＋g（x）的奇偶性；
（3）求函数f（x）＋g（x）在（0，2）上的最小值.
第1课时 函数奇偶性的概念
1.A 因为该奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，且奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b中一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋（－2）＝－1，故选A.
2.A ∵函数f（x）＝的定义域为{x｜x∈R，且x≠±1}关于原点对称，且f（－x）＝＝＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称.故选A.
3.B 作出函数f（x）的图象，如图所示，可以看出该图象关于原点对称，故f（x）为奇函数.
4.A 因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，又因为f（2）＋f（0）＝1，所以f（2）＝4－＝1，解得a＝6，所以f（x）＝2x－（x＞0），所以f（－3）＝－f（3）＝－（6－）＝－4.
5.AB 由奇函数、偶函数的性质，知A、B说法正确；对于C，如f（x）＝，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是奇函数，但它的图象不过原点，所以C说法错误；对于D，如f（x）＝，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以D说法错误.故选A、B.
6.BC f（x）＝x4＋1的定义域为R，f（－x）＝（－x）4＋1＝x4＋1＝f（x），所以f（x）是偶函数；f（x）＝x－的定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝（－x）－＝－（x－）＝－f（x），所以f（x）是奇函数；f（x）＝是定义在R上的分段函数，当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－（－x）2－（－x）＝－x2＋x＝－（x2－x）＝－f（x）；当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）2－（－x）＝x2＋x＝－（－x2－x）＝－f（x），且x＝0时，f（0）＝0，所以f（x）是奇函数；f（x）＝的定义域为{x｜x≠0且x≠－1}，不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数.故选B、C.
7.1 解析：∵函数y＝（x－1）（x＋a）＝x2＋（a－1）x－a为偶函数，∴x2－（a－1）x－a＝x2＋（a－1）x－a恒成立，∴a－1＝0，∴a＝1.
8.[－3，－1）∪（1，3] 解析：因为当0＜x≤3时，函数单调递增，由图象可知1＜f（x）≤3，由于函数f（x）是奇函数，所以当－3≤x＜0时，－3≤f（x）＜－1.
9.0 －3 解析：由定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝x2－2x＋a，可得f（0）＝a＝0.所以当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（－3）＝－f（3）＝－（32－2×3）＝－3.
10.解：（1）函数的定义域为R.∵f（－x）＝（－x）3＋（－x）5＝－（x3＋x5）＝－f（x），∴f（x）是奇函数.
（2）f（x）的定义域是R.∵f（－x）＝｜－x＋1｜＋｜－x－1｜＝｜x－1｜＋｜x＋1｜＝f（x），∴f（x）是偶函数.
（3）函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数.
11.A ∵函数f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），则有f（－1）＝－f（1），即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1（符合题意），故选A.
12.BC ∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴｜f（x）｜是偶函数，｜g（x）｜是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）g（x）为奇函数，f（x）｜g（x）｜为奇函数，｜f（x）g（x）｜为偶函数，故选项A、D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正确.故选B、C.
13.7 解析：令g（x）＝f（x）－2＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g（x）是奇函数，∴f（－3）＝g（－3）＋2＝－g（3）＋2，又f（－3）＝－3，∴g（3）＝5.又f（3）＝g（3）＋2，∴f（3）＝5＋2＝7.
14.解：（1）奇函数y＝f（x）在y轴左侧图象上任一点P（－x，f（－x））关于原点的对称点为P'（x，－f（－x）），图③为图①补充后的图象，易知f（3）＝－2.
（2）偶函数y＝f（x）在y轴左侧图象上任一点P（－x，f（－x））关于y轴的对称点为P'（x，f（－x）），图④为图②补充后的图象，易知f（1）＞f（3）.
15. 解析：根据题意，f（x）＝＝1＋，而h（x）＝是奇函数，故f（a）＝1＋h（a）＝，所以h（a）＝－，所以f（－a）＝1＋h（－a）＝1－h（a）＝1－（ －）＝.
16.解：（1）设f（x）＝k1x，g（x）＝（k1，k2≠0），则1＝f（1）＝k1，2＝g（1）＝k2，
∴f（x）＝x，g（x）＝.
（2）令h（x）＝f（x）＋g（x）＝x＋，
则其定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），
又h（－x）＝－x＋＝－（x＋）＝－h（x），
∴f（x）＋g（x）为奇函数.
（3）∵当x∈（0，2）时，f（x）＋g（x）＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝＞0，即x＝∈（0，2）时不等式等号成立，故f（x）＋g（x）在（0，2）上的最小值为2.
2 / 23.2.2 奇偶性
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 数学抽象
2.了解奇、偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用 直观想象、逻辑推理
第1课时 函数奇偶性的概念
生活因对称而美丽，下面的图形一定会给你美的感受吧.数学上也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性，如二次函数y＝x2的图象关于y轴对称，反比例函数y＝的图象关于原点对称.
【问题】 我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象的对称性反映了函数的什么性质呢？
知识点 函数的奇偶性
偶函数 奇函数
前提 函数f（x）的定义域为D， x∈D，都有
条件 f（－x）＝ f（－x）＝
定义域特征 关于 对称
图象特征 关于 对称 关于 对称
提醒 （1）函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）若奇函数在原点处有定义，则必有f（0）＝0；（3）若f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x），则f（x）既是奇函数又是偶函数.
【想一想】
奇、偶函数的定义域有什么特点？
1.下列函数为奇函数的是（ ）
A.y＝｜x｜ B.y＝3－x
C.y＝ D.y＝－x2＋14
2.若函数y＝f（x），x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为（ ）
A.－2 B.2
C.0 D.不能确定
3.若f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝2，则f（－3）＝ ，f（0）＝ .
题型一 判断函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝＋；
（3）f（x）＝；
（4）f（x）＝
通性通法
判断函数奇偶性的两种方法
（1）定义法
（2）图象法
提醒 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式.
【跟踪训练】
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x2（x2＋2）；
（2）f（x）＝
题型二 奇、偶函数的图象问题
【例2】 已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋2x.现已画出函数f（x）在y轴及其左侧的图象，如图所示.
（1）请补出函数y＝f（x）的完整图象；
（2）根据图象写出函数y＝f（x）的单调递增区间.
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
通性通法
巧用奇、偶函数的图象求解问题
（1）依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称；
（2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式等问题.
【跟踪训练】
已知奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.
（1）画出在区间[－5，0]上的图象；
（2）写出使f（x）＜0的x的取值范围.
题型三 利用函数奇偶性求值
【例3】 （1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝ ，b＝ ；
（2）已知函数f（x）＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝ .
通性通法
利用奇偶性求值的常见类型
（1）求参数值：若解析式含参数，则根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数；
（2）求函数值：利用f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
【跟踪训练】
1.已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x2－x，则f（－1）＝ .
2.已知函数f（x）＝是奇函数，则a＝ .
1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）
2.如图，给出奇函数y＝f（x）的部分图象，则f（－2）＋f（－1）＝（ ）
A.－2 B.2
C.1 D.0
3.（多选）下列函数是奇函数的是（ ）
A.y＝x（x∈[0，1]） B.y＝3x2
C.y＝ D.y＝x｜x｜
4.已知函数y＝f（x）为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是 .
第1课时 函数奇偶性的概念
【基础知识·重落实】
知识点
－x∈D f（x） －f（x） 原点 y轴 原点
想一想
提示：由于f（x）和f（－x）须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称.
自我诊断
1.C A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.故选C.
2.B 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.
3.－2 0 解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－3）＝－f（3）＝－2，f（0）＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）f（x）的定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称.∵f（－x）＝＝－f（x），∴f（x）为奇函数.
（2）∵函数f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f（x）＝0，又∵f（－x）＝－f（x），f（－x）＝f（x），
∴f（x）既是奇函数又是偶函数.
（3）∵函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，不关于原点对称，
∴f（x）是非奇非偶函数.
（4）f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当x＞0时，－x＜0，
f（－x）＝1－（－x）＝1＋x＝f（x）；
当x＜0时，－x＞0，
f（－x）＝1＋（－x）＝1－x＝f（x）.
综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数.
跟踪训练
解：（1）∵x∈R，关于原点对称，
又∵f（－x）＝（－x）2[（－x）2＋2]＝x2（x2＋2）＝f（x），
∴f（x）为偶函数.
（2）因函数f（x）＝画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f（x）是奇函数.
【例2】 解：（1）由题意完整函数图象如图：
（2）由图可知，函数的单调递增区间为（－1，0），（1，＋∞）.
母题探究
解：（1）由题意作出函数图象如图所示.
（2）由图可知，单调递增区间为（－1，1）.
跟踪训练
解：（1）因为函数f（x）是奇函数，所以y＝f（x）在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f（x）在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.
（2）由图象知，使f（x）＜0的x的取值范围为（－2，0）∪（2，5）.
【例3】 （1） 0 （2）0 解析：（1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函数f（x）＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
（2）由奇函数定义有f（－x）＋f（x）＝0，得a（－x）2＋2（－x）＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
跟踪训练
1.－1 解析：因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（－1）＝－f（1）＝－（2×12－1）＝－1.
2.1 解析：因为f（x）为奇函数，所以f（－1）＋f（1）＝0，即（a－1）＋（－1＋1）＝0，故a＝1.
随堂检测
1.B 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.
2.A f（－2）＋f（－1）＝－f（2）－f（1）＝－－＝－2.
3.CD 利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f（－x）＝－f（x），排除选项B；选项C、D符合奇函数的定义.
4.0 解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
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3.2.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 数学抽象
2.了解奇、偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶
性的简单应用 直观想象、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
生活因对称而美丽，下面的图形一定会给你美的感受吧.数学上
也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性，如二次函数 y ＝ x2的图
象关于 y 轴对称，反比例函数 y ＝ 的图象关于原点对称.
【问题】 我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象
的对称性反映了函数的什么性质呢？
知识点 函数的奇偶性
偶函数 奇函数
前提 函数 f （ x ）的定义域为 D ， x ∈ D ，都有 条件 f （－ x ）＝ f （－ x ）＝
定义域特
征 关于 对称 图象特征 关于 对称 关于 对称
－ x ∈ D
f （ x ）
－ f （ x ）
原点
y 轴
原点
提醒 （1）函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）若奇函数在原点
处有定义，则必有 f （0）＝0；（3）若 f （－ x ）＝－ f （ x ），且 f
（－ x ）＝ f （ x ），则 f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
【想一想】
奇、偶函数的定义域有什么特点？
提示：由于 f （ x ）和 f （－ x ）须同时有意义，所以奇、偶函数的定
义域关于原点对称.
1. 下列函数为奇函数的是（ ）
A. y ＝｜ x ｜ B. y ＝3－ x
D. y ＝－ x2＋14
解析： A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函
数，而C项中函数为奇函数.故选C.
2. 若函数 y ＝ f （ x ）， x ∈[－2， a ]是偶函数，则 a 的值为（ ）
A. －2 B. 2
C. 0 D. 不能确定
解析： 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋ a ＝0，
所以 a ＝2.
3. 若 f （ x ）是定义在R上的奇函数， f （3）＝2，则 f （－3）＝
， f （0）＝ .
解析：因为 f （ x ）是定义在R上的奇函数，所以 f （－3）＝－ f
（3）＝－2， f （0）＝0.
－
2
0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 判断函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝ ；
解： f （ x ）的定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对
称.∵ f （－ x ）＝ ＝－ f （ x ），∴ f （ x ）为奇函数.
（2） f （ x ）＝ ＋ ；
解： ∵函数 f （ x ）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，
且 f （ x ）＝0，又∵ f （－ x ）＝－ f （ x ）， f （－ x ）＝ f
（ x ），∴ f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
（3） f （ x ）＝ ；
解： ∵函数 f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ≠1}，不关于原
点对称，∴ f （ x ）是非奇非偶函数.
（4） f （ x ）＝
解： f （ x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于
原点对称.当 x ＞0时，－ x ＜0，
f （－ x ）＝1－（－ x ）＝1＋ x ＝ f （ x ）；
当 x ＜0时，－ x ＞0，
f （－ x ）＝1＋（－ x ）＝1－ x ＝ f （ x ）.
综上可知，对于 x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有 f （－
x ）＝ f （ x ）， f （ x ）为偶函数.
通性通法
判断函数奇偶性的两种方法
（1）定义法
（2）图象法
提醒 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据 x
的范围取相应的函数解析式.
【跟踪训练】
判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝ x2（ x2＋2）；
解： ∵ x ∈R，关于原点对称，
又∵ f （－ x ）＝（－ x ）2[（－ x ）2＋2]＝ x2（ x2＋2）＝ f（ x ），
∴ f （ x ）为偶函数.
（2） f （ x ）＝
解： 因函数 f （ x ）＝
画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函
数 f （ x ）是奇函数.
题型二 奇、偶函数的图象问题
【例2】 已知函数 y ＝ f （ x ）是定义在R上的偶函数，且当 x ≤0时， f （ x ）＝ x2＋2 x .现已画出函数 f （ x ）在 y 轴及其左侧的图象，如图所示.
（1）请补出函数 y ＝ f （ x ）的完整图象；
解： 由题意完整函数图象如图：
（2）根据图象写出函数 y ＝ f （ x ）的单调递增区间.
解： 由图可知，函数的单调递增区间为（－1，0），（1，＋∞）.
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不
变，如何解答本题？
解：（1）由题意作出函数图象如图所示.
（2）由图可知，单调递增区间为（－1，1）.
通性通法
巧用奇、偶函数的图象求解问题
（1）依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于 y 轴
对称；
（2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较
大小及解不等式等问题.
【跟踪训练】
已知奇函数 f （ x ）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.
（1）画出在区间[－5，0]上的图象；
解： 因为函数 f （ x ）是奇函数，所以 y ＝
f （ x ）在[－5，5]上的图象关于原点对称.由 y
＝ f （ x ）在[0，5]上的图象，可知它在[－5，
0]上的图象，如图所示.
（2）写出使 f （ x ）＜0的 x 的取值范围.
解： 由图象知，使 f （ x ）＜0的 x 的取值范围为（－2，0）∪（2，5）.
题型三 利用函数奇偶性求值
【例3】 （1）若函数 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋3 a ＋ b 是偶函数，定义域
为[ a －1，2 a ]，则 a ＝ ， b ＝ ；
解析： 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a －1＝－2 a ，解得 a ＝ .又函数 f （ x ）＝ x2＋ bx ＋ b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 b ＝0.
0
（2）已知函数 f （ x ）＝ ax2＋2 x 是奇函数，则实数 a ＝ .
解析： 由奇函数定义有 f （－ x ）＋ f （ x ）＝0，得 a （－
x ）2＋2（－ x ）＋ ax2＋2 x ＝2 ax2＝0，故 a ＝0.
0
通性通法
利用奇偶性求值的常见类型
（1）求参数值：若解析式含参数，则根据 f （－ x ）＝－ f （ x ）或 f
（－ x ）＝ f （ x ）列式，比较系数利用待定系数法求解；若定
义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和
为0求参数；
（2）求函数值：利用 f （－ x ）＝－ f （ x ）或 f （－ x ）＝ f （ x ）求
解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
【跟踪训练】
1. 已知 f （ x ）是定义域为R的奇函数，当 x ≥0时， f （ x ）＝2 x2－
x ，则 f （－1）＝ .
解析：因为 f （ x ）是定义域为R的奇函数，所以 f （－1）＝－ f
（1）＝－（2×12－1）＝－1.
2. 已知函数 f （ x ）＝是奇函数，则 a ＝ .
解析：因为 f （ x ）为奇函数，所以 f （－1）＋ f （1）＝0，即（ a
－1）＋（－1＋1）＝0，故 a ＝1.
－1
1
1. 下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）
解析： 选项A中的图象关于原点或 y 轴均不对称，故排除；选
项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇
偶性，故排除；选项B中的图象关于 y 轴对称，其表示的函数是偶
函数.
2. 如图，给出奇函数 y ＝ f （ x ）的部分图象，则 f （－2）＋ f （－1）
＝（ ）
A. －2 B. 2
C. 1 D. 0
解析： f （－2）＋ f （－1）＝－ f （2）－ f （1）＝－ － ＝
－2.
3. （多选）下列函数是奇函数的是（ ）
A. y ＝ x （ x ∈[0，1]） B. y ＝3 x2
D. y ＝ x ｜ x ｜
解析： 利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除
选项A；又奇函数需满足 f （－ x ）＝－ f （ x ），排除选项B；选项
C、D符合奇函数的定义.
4. 已知函数 y ＝ f （ x ）为偶函数，其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f
（ x ）＝0的所有实根之和是 .
解析：由于偶函数的图象关于 y 轴对称，所以偶函数的图象与 x 轴
的交点也关于 y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在 x 轴的负半
轴上，另两个在 x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知一个奇函数的定义域为{－1，2， a ， b }，则 a ＋ b ＝（ ）
A. －1 B. 1 C. 0 D. 2
解析： 因为该奇函数的定义域为{－1，2， a ， b }，且奇函数
的定义域关于原点对称，所以 a 与 b 中一个等于1，一个等于－2，
所以 a ＋ b ＝1＋（－2）＝－1，故选A.
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2. 函数 f （ x ）＝ 的图象关于（ ）
A. y 轴对称 B. x 轴对称
C. 坐标原点对称 D. 直线 y ＝ x 对称
解析： ∵函数 f （ x ）＝ 的定义域为{ x ｜ x ∈R，且 x
≠±1}关于原点对称，且 f （－ x ）＝ ＝ ＝
f （ x ），∴函数 f （ x ）为偶函数，图象关于 y 轴对称.故选A.
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3. 若函数 f （ x ）＝则 f （ x ）（ ）
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 既不是奇函数又不是偶函数
解析： 作出函数 f （ x ）的图象，如图所示，可
以看出该图象关于原点对称，故 f （ x ）为奇函数.
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4. 已知 f （ x ）是R上的奇函数，且当 x ＞0时， f （ x ）＝2 x － ，若 f
（2）＋ f （0）＝1，则 f （－3）＝（ ）
A. －4 B. －3
C. －2 D. 1
解析： 因为 f （ x ）是R上的奇函数，所以 f （0）＝0，又因为 f
（2）＋ f （0）＝1，所以 f （2）＝4－ ＝1，解得 a ＝6，所以 f
（ x ）＝2 x － （ x ＞0），所以 f （－3）＝－ f （3）＝－（6－ ）
＝－4.
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5. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B. 图象关于 y 轴对称的函数是偶函数
C. 奇函数的图象一定过坐标原点
D. 偶函数的图象一定与 y 轴相交
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解析： 由奇函数、偶函数的性质，知A、B说法正确；对于
C，如 f （ x ）＝ ， x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是奇函
数，但它的图象不过原点，所以C说法错误；对于D，如 f （ x ）＝
， x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是偶函数，但它的图象不
与 y 轴相交，所以D说法错误.故选A、B.
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6. （多选）下列给出的函数是奇函数的是（ ）
A. f （ x ）＝ x4＋1
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解析： f （ x ）＝ x4＋1的定义域为R， f （－ x ）＝（－ x ）4＋
1＝ x4＋1＝ f （ x ），所以 f （ x ）是偶函数； f （ x ）＝ x － 的定义
域为{ x ｜ x ≠0}， f （－ x ）＝（－ x ）－ ＝－（ x － ）＝－ f
（ x ），所以 f （ x ）是奇函数； f （ x ）＝是定义
在R上的分段函数，当 x ＞0时，－ x ＜0， f （－ x ）＝－（－ x ）2
－（－ x ）＝－ x2＋ x ＝－（ x2－ x ）＝－ f （ x ）；当 x ＜0时，－ x
＞0， f （－ x ）＝（－ x ）2－（－ x ）＝ x2＋ x ＝－（－ x2－ x ）＝
－ f （ x ），且 x ＝0时， f （0）＝0，所以 f （ x ）是奇函数； f
（ x ）＝ 的定义域为{ x ｜ x ≠0且 x ≠－1}，不关于原点对
称，所以 f （ x ）是非奇非偶函数.故选B、C.
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7. 若函数 y ＝（ x －1）（ x ＋ a ）为偶函数，则 a ＝ .
解析：∵函数 y ＝（ x －1）（ x ＋ a ）＝ x2＋（ a －1） x － a 为偶函
数，∴ x2－（ a －1） x － a ＝ x2＋（ a －1） x － a 恒成立，∴ a －1
＝0，∴ a ＝1.
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8. 已知函数 f （ x ）是定义在[－3，0）∪（0，3]上的奇函数，当 x ＞
0时， f （ x ）的图象如图所示，那么 f （ x ）的值域是
.
[－3，－
1）∪（1，3]
解析：因为当0＜ x ≤3时，函数单调递增，由图象可知1＜ f （ x ）
≤3，由于函数 f （ x ）是奇函数，所以当－3≤ x ＜0时，－3≤ f
（ x ）＜－1.
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9. 定义在R上的奇函数 f （ x ）满足：当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2－2 x ＋
a ，则 a ＝ ， f （－3）＝ .
解析：由定义在R上的奇函数 f （ x ）满足：当 x ≥0时， f （ x ）＝
x2－2 x ＋ a ，可得 f （0）＝ a ＝0.所以当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2－2
x ，则 f （－3）＝－ f （3）＝－（32－2×3）＝－3.
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10. 判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝ x3＋ x5；
解： 函数的定义域为R. ∵ f （－ x ）＝（－ x ）3＋
（－ x ）5＝－（ x3＋ x5）＝－ f （ x ），∴ f （ x ）是奇函数.
（2） f （ x ）＝｜ x ＋1｜＋｜ x －1｜；
解： f （ x ）的定义域是R. ∵ f （－ x ）＝｜－ x ＋1｜
＋｜－ x －1｜＝｜ x －1｜＋｜ x ＋1｜＝ f （ x ），∴ f （ x ）
是偶函数.
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（3） f （ x ）＝ .
解： 函数 f （ x ）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，
＋∞），不关于原点对称，∴ f （ x ）是非奇非偶函数.
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11. 已知函数 f （ x ）＝为奇函数，则 a ＝（ ）
A. －1 B. 1
C. 0 D. ±1
解析： ∵函数 f （ x ）是奇函数，∴ f （－ x ）＝－ f （ x ），则
有 f （－1）＝－ f （1），即1＋ a ＝－ a －1，即2 a ＝－2，得 a ＝
－1（符合题意），故选A.
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12. （多选）设函数 f （ x ）， g （ x ）的定义域都为R，且 f （ x ）是
奇函数， g （ x ）是偶函数，则下列结论中正确的有（ ）
A. f （ x ） g （ x ）是偶函数
B. ｜ f （ x ）｜＋ g （ x ）是偶函数
C. f （ x ）｜ g （ x ）｜是奇函数
D. ｜ f （ x ） g （ x ）｜是奇函数
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解析： ∵ f （ x ）是奇函数， g （ x ）是偶函数，∴｜ f
（ x ）｜是偶函数，｜ g （ x ）｜是偶函数.根据一个奇函数与一
个偶函数的积是奇函数，可得 f （ x ） g （ x ）为奇函数， f
（ x ）｜ g （ x ）｜为奇函数，｜ f （ x ） g （ x ）｜为偶函数，故
选项A、D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选
项B正确.故选B、C.
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13. 已知函数 f （ x ）＝ x7－ ax5＋ bx3＋ cx ＋2，若 f （－3）＝－3，则 f
（3）＝ .
解析：令 g （ x ）＝ f （ x ）－2＝ x7－ ax5＋ bx3＋ cx ，则 g （ x ）是
奇函数，∴ f （－3）＝ g （－3）＋2＝－ g （3）＋2，又 f （－
3）＝－3，∴ g （3）＝5.又 f （3）＝ g （3）＋2，∴ f （3）＝5
＋2＝7.
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14. （1）如图①，给出奇函数 y ＝ f （ x ）的局部图象，试作出 y 轴右
侧的图象并求出 f （3）的值；
解： 奇函数 y＝ f （ x ）在 y 轴左侧图象上任一
点 P （－ x ， f （－ x ））关于原点的对称点为
P'（ x ，－ f （－ x ）），图③为图①补充后的
图象，易知 f （3）＝－2.
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（2）如图②，给出偶函数 y ＝ f （ x ）的局部图象，试作出 y 轴右
侧的图象并比较 f （1）与 f （3）的大小.解：（1）奇函数 y
＝ f （ x ）在 y 轴左侧图象上任一点 P （－ x ， f （－ x ））关
于原点的对称点为P'（ x ，－ f （－ x ）），图③为图①补充
后的图象，易知 f （3）＝－2.
解：偶函数 y ＝ f （ x ）在 y 轴左侧图象上任一点 P （－ x ，
f （－ x ））关于 y 轴的对称点为P'（ x ， f （－ x ）），图④
为图②补充后的图象，易知 f （1）＞ f （3）.
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15. 已知函数 f （ x ）＝ ，若 f （ a ）＝ ，则 f （－ a ）
＝ .
解析：根据题意， f （ x ）＝ ＝1＋ ，而 h （ x ）＝
是奇函数，故 f （ a ）＝1＋ h （ a ）＝ ，所以 h （ a ）＝－
，所以 f （－ a ）＝1＋ h （－ a ）＝1－ h （ a ）＝1－（ － ）＝ .
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16. 已知函数 f （ x ）是正比例函数，函数 g （ x ）是反比例函数，且 f
（1）＝1， g （1）＝2.
（1）求函数 f （ x ）和 g （ x ）的解析式；
解： 设 f （ x ）＝ k1 x ， g （ x ）＝ （ k1， k2≠0），
则1＝ f （1）＝ k1，2＝ g （1）＝ k2，
∴ f （ x ）＝ x ， g （ x ）＝ .
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（2）判断 f （ x ）＋ g （ x ）的奇偶性；
解： 令 h （ x ）＝ f （ x ）＋ g （ x ）＝ x ＋ ，
则其定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），
又 h （－ x ）＝－ x ＋ ＝－（ x ＋ ）＝－ h （ x ），
∴ f （ x ）＋ g （ x ）为奇函数.
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（3）求函数 f （ x ）＋ g （ x ）在（0，2）上的最小值.
解： ∵当 x ∈（0，2）时， f （ x ）＋ g （ x ）＝ x ＋
≥2 ＝2 ，
当且仅当 x ＝ ＞0，即 x ＝ ∈（0，2）时不等式等号成
立，故 f （ x ）＋ g （ x ）在（0，2）上的最小值为2 .
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谢 谢 观 看！
