第2课时 函数奇偶性的应用
1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A.y＝x2 B.y＝x5＋1
C.y＝ D.y＝x3
2.已知偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（ ）
A.f（π）＞f（－2）＞f（－3）
B.f（π）＞f（－3）＞f（－2）
C.f（π）＜f（－2）＜f（－3）
D.f（π）＜f（－3）＜f（－2）
3.若奇函数f（x）在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，则f（－3）＋2f（－6）＝（ ）
A.13 B.－13
C.5 D.－5
4.已知函数f（x）是奇函数，函数g（x）＝f（x）－2，则g（20）＋g（－20）＝（ ）
A.2 B.0
C.－2 D.－4
5.（多选）已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有（ ）
A.这个函数有两个单调递增区间
B.这个函数有三个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值－7
6.（多选）已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2＋x＋a－2，则（ ）
A.a＝2
B.f（2）＝2
C.f（x）是R上的增函数
D.f（－3）＝－12
7.已知f（x）为奇函数，g（x）＝f（x）＋9，g（－2）＝3，则f（2）＝ .
8.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是 .
9.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增.若f（－3）＝0，则＜0的解集为 .
10.已知f（x）是定义在（－1，1）上的奇函数，且f（x）在（－1，1）上是减函数，解不等式f（1－x）＋f（1－2x）＜0.
11.已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且f（－2）＝3，则满足f（2x－3）＜3的x的取值范围是（ ）
A.∪
B.
C.∪
D.
12.若函数y＝f（x）是奇函数，且函数F（x）＝af（x）＋bx＋2在（0，＋∞）上有最大值8，则函数y＝F（x）在（－∞，0）上有（ ）
A.最大值－8 B.最小值－8
C.最小值－6 D.最小值－4
13.若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝ .
14.已知f（x）是定义在R上的函数，设g（x）＝，h（x）＝.
（1）试判断 g（x）与h（x）的奇偶性；
（2）试判断g（x），h（x）与f（x）的关系；
（3）由此你能猜想出什么样的结论？
15.（多选）关于定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）＝x2＋2x，则下列说法正确的是（ ）
A.当x＜0时，f（x）＝x2－2x
B.函数f（x）在定义域R上为增函数
C.不等式f（3x－2）＜8的解集为
D.不等式f（x）－x2－x－1＜0恒成立
16.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0.
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；
（2）若f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，求实数m的取值范围.
第2课时 函数奇偶性的应用
1.D A选项，y＝x2是偶函数，故A错误；B选项，y＝x5＋1是非奇非偶函数，故B错误；C选项，y＝在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，故C错误；D选项，y＝x3既是奇函数又是增函数，故D正确.故选D.
2.B 因为f（x）为偶函数，所以f（－2）＝f（2），f（－3）＝f（3）.又当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，且π＞3＞2，所以f（π）＞f（3）＞f（2），即f（π）＞f（－3）＞f（－2）.故选B.
3.B 由f（x）在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，得f（3）＝－1，f（6）＝7.∵f（x）是奇函数，∴f（－3）＝－f（3）＝1，f（－6）＝－f（6）＝－7，∴f（－3）＋2f（－6）＝1＋2×（－7）＝－13.
4.D 根据题意，函数f（x）是奇函数，则f（x）＋f（－x）＝0，则g（x）＋g（－x）＝f（x）－2＋f（－x）－2＝0－4＝－4，则g（20）＋g（－20）＝－4，故选D.
5.BC 根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B、C.
6.ACD f（x）是R上的奇函数，故f（0）＝a－2＝0，得a＝2，故A正确.f（2）＝4＋2＝6，故B错误.当x≥0时，f（x）＝x2＋x在[0，＋∞）上单调递增，利用奇函数的对称性可知，f（x）在（－∞，0]上单调递增，故f（x）是R上的增函数，故C正确.f（－3）＝－f（3）＝－9－3＝－12，故D正确.故选A、C、D.
7.6 解析：∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）.∵g（x）＝f（x）＋9，∴g（－x）＝f（－x）＋9＝－f（x）＋9，∴f（x）＝9－g（－x）.∵g（－2）＝3，∴f（2）＝9－g（－2）＝9－3＝6.
8.f（－2）＜f（1）＜f（0） 解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，即（m－1）x2－6mx＋2＝（m－1）x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f（x）＝－x2＋2.∵f（x）的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞）上单调递减，∴f（2）＜f（1）＜f（0），又∵f（x）＝－x2＋2为偶函数，∴f（2）＝f（－2）.即f（－2）＜f（1）＜f（0）.
9.{x｜－3＜x＜0或x＞3} 解析：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增，∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减.∴f（3）＝f（－3）＝0.当x＞0时，由f（x）＜0，解得x＞3；当x＜0时，由f（x）＞0，解得－3＜x＜0.故所求解集为{x｜－3＜x＜0或x＞3}.
10.解：∵f（x）是定义在（－1，1）上的奇函数，
由f（1－x）＋f（1－2x）＜0，得
f（1－x）＜－f（1－2x），即f（1－x）＜f（2x－1）.
又∵f（x）在（－1，1）上是减函数，
∴解得0＜x＜，
∴原不等式的解集为x0＜x＜.
11.B 因为偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且f（－2）＝3，所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（2）＝3.因为f（2x－3）＜3，所以－2＜2x－3＜2，所以＜x＜.故选B.
12.D ∵y＝f（x）和y＝x都是奇函数，∴T（x）＝af（x）＋bx也为奇函数.又∵F（x）＝af（x）＋bx＋2在（0，＋∞）上有最大值8，∴T（x）＝af（x）＋bx在（0，＋∞）上有最大值6，∴T（x）＝af（x）＋bx在（－∞，0）上有最小值－6，∴F（x）＝af（x）＋bx＋2在（－∞，0）上有最小值－4.
13.－2x2＋4 解析：∵f（x）＝（x＋a）·（bx＋2a）＝bx2＋（2a＋ab）x＋2a2是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.若a＝0，则函数为f（x）＝bx2，当b为正数时，值域为[0，＋∞），不符合题意；当b为负数时，值域为（－∞，0]，不符合题意；当b＝0时，值域为{0}，不符合题意.若b＝－2，则函数为f（x）＝－2x2＋2a2.又∵值域为（－∞，4]，∴2a2＝4，∴f（x）＝－2x2＋4.
14.解：（1）∵g（－x）＝＝g（x），h（－x）＝＝－h（x），∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数.
（2）g（x）＋h（x）＝＋＝f（x）.
（3）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
15.AC 对于A，设x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝x2－2x，又f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x）＝x2－2x，即当x＜0时，f（x）＝x2－2x，故A中说法正确；对于B，当x≥0时，f（x）＝x2＋2x函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－1.所以当x≥0时，f（x）单调递增，由偶函数的图象关于y轴对称得，f（x）在（－∞，0）上为减函数，故B中说法错误；对于C，当x∈[0，＋∞）时，令f（x）＝x2＋2x＝8，解得x1＝2，x2＝－4（舍去），即f（2）＝8，所以不等式f（3x－2）＜8即f（3x－2）＜f（2），又f（x）在R上为偶函数，则｜3x－2｜＜2 0＜x＜，所以不等式的解集为，故C中说法正确；对于D，当x＜0时，f（x）＝x2－2x，f（x）－x2－x－1＝x2－2x－x2－x－1＝－3x－1不恒小于0.当x≥0时，f（x）＝x2＋2x，f（x）－x2－x－1＝x2＋2x－x2－x－1＝x－1不恒小于0，故D中说法错误.故选A、C.
16.解：（1）因为a＞b，所以a－b＞0，
由题意得＞0，
所以f（a）＋f（－b）＞0.
又f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（－b）＝－f（b），
所以f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）.
（2）由（1）知f（x）为R上的增函数，
因为f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，
所以f（1＋m）≥－f（3－2m），
即f（1＋m）≥f（2m－3），
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为（－∞，4].
2 / 2第2课时 函数奇偶性的应用
题型一 利用函数的奇偶性求解析式
角度1 定义法求函数解析式
【例1】 函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式.
通性通法
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
（2）利用已知区间上的解析式进行代入；
（3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）.
提醒 若函数f（x）的定义域内含0且为奇函数，则必有f（0）＝0，但若为偶函数，未必有f（0）＝0.
角度2 方程组法求函数解析式
【例2】 设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝，求函数f（x），g（x）的解析式.
通性通法
已知函数f（x），g（x）的组合运算与奇偶性，把x换为－x，构造方程组求解.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）为R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）＝x（x－1），则当x＞0时，f（x）＝ .
2.已知函数f（x）＝为奇函数，则g（x）＝ .
题型二 利用函数的单调性和奇偶性比较大小
【例3】 若对于任意实数x总有f（－x）＝f（x），且f（x）在区间（－∞，－1]上单调递增，则（ ）
A.f＜f（－1）＜f（2）
B.f（2）＜f＜f（－1）
C.f（2）＜f（－1）＜f
D.f（－1）＜f＜f（2）
通性通法
利用函数的奇偶性与单调性比较大小的方法
（1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
（2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
【跟踪训练】
1.已知f（x）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则f（－0.5），f（－1），f（0）的大小关系是（ ）
A.f（－0.5）＜f（0）＜f（－1）
B.f（－1）＜f（－0.5）＜f（0）
C.f（0）＜f（－0.5）＜f（－1）
D.f（－1）＜f（0）＜f（－0.5）
2.已知函数f（x）在[－5，5]上是偶函数，在[0，5]上是单调函数，且f（－4）＜f（－2），则下列不等式一定成立的是（ ）
A.f（－1）＜f（3） B.f（2）＜f（3）
C.f（－3）＜f（5） D.f（0）＞f（1）
题型三 利用函数的单调性和奇偶性解不等式
【例4】 已知定义在[－2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围.
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
通性通法
利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤
（1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
（2）由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式（组）的问题.
提醒 在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f（x）”的形式时，需转化为“f（x）”的形式，如0＝f（1），f（x－1）＜0，则f（x－1）＜f（1）.注意偶函数f（x）中结论f（x）＝f（｜x｜）的灵活运用.
【跟踪训练】
已知函数f（x）是定义在（－2，2）上的奇函数，又是增函数.解关于t的不等式f（t－1）＋f（2t－3）＜0.
1.已知函数f（x）＝为奇函数，则a＋b＝（ ）
A.－1 B.1
C.0 D.2
2.已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上单调递减，则f（－5）与f（3）的大小关系是 .
3.已知定义在R上的偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递增，若f（a）＞f（3），则实数a的取值范围是 .
4.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝2x－x2.求当x＜0时，f（x）的解析式.
第2课时 函数奇偶性的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：设x＜0，则－x＞0，
∴f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（－x）＝－f（x）＝x＋1，
∴当x＜0时，f（x）＝－x－1.
又x＝0时，f（0）＝0，
∴f（x）＝
【例2】 解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），
由f（x）＋g（x）＝， ①
用－x代替x，
得f（－x）＋g（－x）＝，
∴f（x）－g（x）＝， ②
（①＋②）÷2，得f（x）＝；
（①－②）÷2，得g（x）＝.
跟踪训练
1.x（x＋1） 解析：当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝－x（－x－1）＝x（x＋1），因为函数f（x）为R上的偶函数，故当x＞0时，f（x）＝f（－x）＝x（x＋1）.
2. 解析：因为函数f（x）＝为奇函数，所以f（0）＝g（0）＝0.设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1，所以f（x）＝g（x）＝－f（－x）＝－x2－1.综上可得g（x）＝
【例3】 B 由题意得，f（x）为偶函数，∴f（2）＝f（－2）.又f（x）在区间（－∞，－1]上单调递增，且－2＜－＜－1，∴f（2）＝f（－2）＜f＜f（－1），故选B.
跟踪训练
1.B ∵函数f（x）为奇函数，且f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，∴f（x）在R上是增函数，∴f（－1）＜f（－0.5）＜f（0）.
2.D 因为函数f（x）在[－5，5]上是偶函数，且f（－4）＜f（－2），所以f（4）＜f（2）.又f（x）在[0，5]上是单调函数.所以f（x）在[0，5]上单调递减，从而f（0）＞f（1），故选D.
【例4】 解：因为f（x）在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递减，所以f（x）在区间[－2，2]上是减函数.
又f（1－m）＜f（m），所以
即解得－1≤m＜.
故实数m的取值范围是.
母题探究
解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增，
原不等式可化为f（｜1－m｜）＜f（｜m｜），
故可得即
解得＜m≤2.故实数m的取值范围为.
跟踪训练
解：因为f（x）为（－2，2）上的奇函数，所以f（t－1）＋f（2t－3）＜0可化为f（t－1）＜f（3－2t），
又因为函数f（x）在（－2，2）上是增函数，所以－2＜t－1＜3－2t＜2，解得＜t＜，
所以关于t的不等式f（t－1）＋f（2t－3）＜0的解集为.
随堂检测
1.C 当x＜0时，－x＞0，∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）.即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1.故a＋b＝0.
2.f（－5）＜f（3） 解析：因为f（x）是偶函数，所以f（－5）＝f（5），因为f（x）在[2，6]上单调递减，所以f（5）＜f（3），即f（－5）＜f（3）.
3.（－3，3） 解析：由题意可知｜a｜＜3，解得－3＜a＜3.
4.解：当x＜0时，－x＞0，
于是f（－x）＝2（－x）－（－x）2＝－2x－x2.
因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（x）＝－f（－x）＝－（－2x－x2）＝2x＋x2，
即f（x）＝2x＋x2（x＜0）.
2 / 2(共52张PPT)
第2课时
函数奇偶性的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用函数的奇偶性求解析式
角度1 定义法求函数解析式
【例1】 函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，当 x ＞0时， f （ x ）＝
－ x ＋1，求 f （ x ）的解析式.
解：设 x ＜0，则－ x ＞0，∴ f （－ x ）＝－（－ x ）＋1＝ x ＋1，
又∵函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，
∴ f （－ x ）＝－ f （ x ）＝ x ＋1，
∴当 x ＜0时， f （ x ）＝－ x －1.
又 x ＝0时， f （0）＝0，
∴ f （ x ）＝
通性通法
如果已知函数的奇偶性和一个区间[ a ， b ]上的解析式，求关于
原点的对称区间[－ b ，－ a ]上的解析式，其解决思路为：
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式， x 就应在哪个区
间上设；
（2）利用已知区间上的解析式进行代入；
（3）利用 f （ x ）的奇偶性写出－ f （ x ）或 f （－ x ），从而解出 f
（ x ）.
提醒 若函数 f （ x ）的定义域内含0且为奇函数，则必有 f （0）
＝0，但若为偶函数，未必有 f （0）＝0.
角度2 方程组法求函数解析式
【例2】 设 f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，且 f （ x ）＋ g
（ x ）＝ ，求函数 f （ x ）， g （ x ）的解析式.
解：∵ f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ），
g （－ x ）＝－ g （ x ），
由 f （ x ）＋ g （ x ）＝ ， ①
用－ x 代替 x ，
得 f （－ x ）＋ g （－ x ）＝ ，
∴ f （ x ）－ g （ x ）＝ ， ②
（①＋②）÷2，得 f （ x ）＝ ；
（①－②）÷2，得 g （ x ）＝ .
通性通法
已知函数 f （ x ）， g （ x ）的组合运算与奇偶性，把 x 换为－ x ，
构造方程组求解.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）为R上的偶函数，且当 x ＜0时， f （ x ）＝ x （ x －
1），则当 x ＞0时， f （ x ）＝ .
解析：当 x ＞0时，－ x ＜0，则 f （－ x ）＝－ x （－ x －1）＝ x （ x
＋1），因为函数 f （ x ）为R上的偶函数，故当 x ＞0时， f （ x ）＝
f （－ x ）＝ x （ x ＋1）.
2. 已知函数 f （ x ）＝为奇函数，则 g （ x ）
＝ .
x （ x ＋1）
解析：因为函数 f （ x ）＝为奇函数，所以 f （0）
＝ g （0）＝0.设 x ＜0，则－ x ＞0， f （－ x ）＝（－ x ）2＋1＝ x2
＋1，所以 f （ x ）＝ g （ x ）＝－ f （－ x ）＝－ x2－1.综上可得 g
（ x ）＝
题型二 利用函数的单调性和奇偶性比较大小
【例3】 若对于任意实数 x 总有 f （－ x ）＝ f （ x ），且 f （ x ）在区
间（－∞，－1]上单调递增，则（ ）
解析： 由题意得， f （ x ）为偶函数，∴ f （2）＝ f （－2）.又 f
（ x ）在区间（－∞，－1]上单调递增，且－2＜－ ＜－1，∴ f
（2）＝ f （－2）＜ f ＜ f （－1），故选B.
通性通法
利用函数的奇偶性与单调性比较大小的方法
（1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
（2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转
化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
【跟踪训练】
1. 已知 f （ x ）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则 f （－
0.5）， f （－1）， f （0）的大小关系是（ ）
A. f （－0.5）＜ f （0）＜ f （－1）
B. f （－1）＜ f （－0.5）＜ f （0）
C. f （0）＜ f （－0.5）＜ f （－1）
D. f （－1）＜ f （0）＜ f （－0.5）
解析： ∵函数 f （ x ）为奇函数，且 f （ x ）在区间[0，＋∞）
上单调递增，∴ f （ x ）在R上是增函数，∴ f （－1）＜ f （－0.5）
＜ f （0）.
2. 已知函数 f （ x ）在[－5，5]上是偶函数，在[0，5]上是单调函
数，且 f （－4）＜ f （－2），则下列不等式一定成立的是
（ ）
A. f （－1）＜ f （3） B. f （2）＜ f （3）
C. f （－3）＜ f （5） D. f （0）＞ f （1）
解析： 因为函数 f （ x ）在[－5，5]上是偶函数，且 f （－
4）＜ f （－2），所以 f （4）＜ f （2）.又 f （ x ）在[0，5]上
是单调函数.所以 f （ x ）在[0，5]上单调递减，从而 f （0）＞
f （1），故选D.
题型三 利用函数的单调性和奇偶性解不等式
【例4】 已知定义在[－2，2]上的奇函数 f （ x ）在区间[0，2]上单
调递减，若 f （1－ m ）＜ f （ m ），求实数 m 的取值范围.
解：因为 f （ x ）在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调
递减，所以 f （ x ）在区间[－2，2]上是减函数.
又 f （1－ m ）＜ f （ m ），所以
即解得－1≤ m ＜ .
故实数 m 的取值范围是 .
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，
2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数 m 的取值范围.
解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调
递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增，
原不等式可化为 f （｜1－ m ｜）＜ f （｜ m ｜），
故可得即
解得 ＜ m ≤2.故实数 m 的取值范围为 .
（2）由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱
去”函数的对应法则“ f ”，转化为解不等式（组）的问题.
提醒 在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当
不等式一边没有写成“ f （ x ）”的形式时，需转化为“ f
（ x ）”的形式，如0＝ f （1）， f （ x －1）＜0，则 f （ x －
1）＜ f （1）.注意偶函数 f （ x ）中结论 f （ x ）＝ f （｜
x ｜）的灵活运用.
通性通法
利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤
（1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）是定义在（－2，2）上的奇函数，又是增函数.解
关于 t 的不等式 f （ t －1）＋ f （2 t －3）＜0.
解：因为 f （ x ）为（－2，2）上的奇函数，所以 f （ t －1）＋ f （2 t
－3）＜0可化为 f （ t －1）＜ f （3－2 t ），
又因为函数 f （ x ）在（－2，2）上是增函数，所以－2＜ t －1＜3－2 t
＜2，解得 ＜ t ＜ ，
所以关于 t 的不等式 f （ t －1）＋ f （2 t －3）＜0的解集为 .
1. 已知函数 f （ x ）＝为奇函数，则 a ＋ b ＝（ ）
A. －1 B. 1 C. 0 D. 2
解析： 当 x ＜0时，－ x ＞0，∵ f （ x ）为奇函数，∴ f （－
x ）＝－ f （ x ）.即 ax2－ bx ＝－ x2－ x ，∴ a ＝－1， b ＝1.故
a ＋ b ＝0.
2. 已知函数 y ＝ f （ x ）是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上单调递
减，则 f （－5）与 f （3）的大小关系是 .
解析：因为 f （ x ）是偶函数，所以 f （－5）＝ f （5），因为 f
（ x ）在[2，6]上单调递减，所以 f （5）＜ f （3），即 f （－5）＜
f （3）.
3. 已知定义在R上的偶函数 f （ x ）在（－∞，0]上单调递增，若 f
（ a ）＞ f （3），则实数 a 的取值范围是 .
解析：由题意可知｜ a ｜＜3，解得－3＜ a ＜3.
f （－5）＜ f （3）
（－3，3）
4. 已知 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且当 x ≥0时， f （ x ）＝2 x －
x2.求当 x ＜0时， f （ x ）的解析式.
解：当 x ＜0时，－ x ＞0，
于是 f （－ x ）＝2（－ x ）－（－ x ）2＝－2 x － x2.
因为 f （ x ）是定义在R上的奇函数，
所以 f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－（－2 x － x2）＝2 x ＋ x2，
即 f （ x ）＝2 x ＋ x2（ x ＜0）.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. y ＝ x2 B. y ＝ x5＋1
D. y ＝ x3
解析： A选项， y ＝ x2是偶函数，故A错误；B选项， y ＝ x5＋1
是非奇非偶函数，故B错误；C选项， y ＝ 在（－∞，0），（0，
＋∞）上单调递减，故C错误；D选项， y ＝ x3既是奇函数又是增函
数，故D正确.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 已知偶函数 f （ x ）的定义域为R，当 x ∈[0，＋∞）时， f （ x ）单
调递增，则 f （－2）， f （π）， f （－3）的大小关系是（ ）
A. f （π）＞ f （－2）＞ f （－3）
B. f （π）＞ f （－3）＞ f （－2）
C. f （π）＜ f （－2）＜ f （－3）
D. f （π）＜ f （－3）＜ f （－2）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 因为 f （ x ）为偶函数，所以 f （－2）＝ f （2）， f （－
3）＝ f （3）.又当 x ∈[0，＋∞）时， f （ x ）单调递增，且π＞3＞
2，所以 f （π）＞ f （3）＞ f （2），即 f （π）＞ f （－3）＞ f （－
2）.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 若奇函数 f （ x ）在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的
最大值为7，最小值为－1，则 f （－3）＋2 f （－6）＝（ ）
A. 13 B. －13 C. 5 D. －5
解析： 由 f （ x ）在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的
最大值为7，最小值为－1，得 f （3）＝－1， f （6）＝7.∵ f （ x ）
是奇函数，∴ f （－3）＝－ f （3）＝1， f （－6）＝－ f （6）＝－
7，∴ f （－3）＋2 f （－6）＝1＋2×（－7）＝－13.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 已知函数 f （ x ）是奇函数，函数 g （ x ）＝ f （ x ）－2，则 g
（20）＋ g （－20）＝（ ）
A. 2 B. 0
C. －2 D. －4
解析： 根据题意，函数 f （ x ）是奇函数，则 f （ x ）＋ f （－
x ）＝0，则 g （ x ）＋ g （－ x ）＝ f （ x ）－2＋ f （－ x ）－2＝0－
4＝－4，则 g （20）＋ g （－20）＝－4，故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上
的图象如图，则下列说法正确的有（ ）
A. 这个函数有两个单调递增区间
B. 这个函数有三个单调递减区间
C. 这个函数在其定义域内有最大值7
D. 这个函数在其定义域内有最小值－7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 根据偶函数在[0，7]上的图象及
其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如
图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增
区间，有三个单调递减区间，在其定义域内
有最大值7，最小值不是－7，故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）已知函数 f （ x ）是R上的奇函数，且当 x ≥0时， f （ x ）
＝ x2＋ x ＋ a －2，则（ ）
A. a ＝2 B. f （2）＝2
C. f （ x ）是R上的增函数 D. f （－3）＝－12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： f （ x ）是R上的奇函数，故 f （0）＝ a －2＝0，得 a
＝2，故A正确. f （2）＝4＋2＝6，故B错误.当 x ≥0时， f （ x ）＝
x2＋ x 在[0，＋∞）上单调递增，利用奇函数的对称性可知， f
（ x ）在（－∞，0]上单调递增，故 f （ x ）是R上的增函数，故C
正确. f （－3）＝－ f （3）＝－9－3＝－12，故D正确.故选A、
C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 已知 f （ x ）为奇函数， g （ x ）＝ f （ x ）＋9， g （－2）＝3，则 f
（2）＝ .
解析：∵ f （ x ）为奇函数，∴ f （－ x ）＝－ f （ x ）.∵ g （ x ）＝ f
（ x ）＋9，∴ g （－ x ）＝ f （－ x ）＋9＝－ f （ x ）＋9，∴ f
（ x ）＝9－ g （－ x ）.∵ g （－2）＝3，∴ f （2）＝9－ g （－2）
＝9－3＝6.
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 若 f （ x ）＝（ m －1） x2＋6 mx ＋2是偶函数，则 f （0）， f
（1）， f （－2）从小到大的排列是
.
解析：∵ f （ x ）是偶函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ）恒成立，即（ m
－1） x2－6 mx ＋2＝（ m －1） x2＋6 mx ＋2恒成立，∴ m ＝0，即 f
（ x ）＝－ x2＋2.∵ f （ x ）的图象开口向下，对称轴为 y 轴，在
[0，＋∞）上单调递减，∴ f （2）＜ f （1）＜ f （0），又∵ f
（ x ）＝－ x2＋2为偶函数，∴ f （2）＝ f （－2）.即 f （－2）＜ f
（1）＜ f （0）.
f （－2）＜ f （1）＜ f
（0）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 已知 f （ x ）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调
递增.若 f （－3）＝0，则 ＜0的解集为
.
解析：∵ f （ x ）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上
单调递增，∴ f （ x ）在区间（0，＋∞）上单调递减.∴ f （3）＝ f
（－3）＝0.当 x ＞0时，由 f （ x ）＜0，解得 x ＞3；当 x ＜0时，由
f （ x ）＞0，解得－3＜ x ＜0.故所求解集为{ x ｜－3＜ x ＜0或 x ＞
3}.
{ x ｜－3＜ x ＜0或
x ＞3}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 已知 f （ x ）是定义在（－1，1）上的奇函数，且 f （ x ）在（－
1，1）上是减函数，解不等式 f （1－ x ）＋ f （1－2 x ）＜0.
解：∵ f （ x ）是定义在（－1，1）上的奇函数，
由 f （1－ x ）＋ f （1－2 x ）＜0，得
f （1－ x ）＜－ f （1－2 x ），即 f （1－ x ）＜ f （2 x －1）.
又∵ f （ x ）在（－1，1）上是减函数，
∴解得0＜ x ＜ ，
∴原不等式的解集为 x 0＜ x ＜ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 已知偶函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增，且 f （－2）＝3，
则满足 f （2 x －3）＜3的 x 的取值范围是（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 因为偶函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增，且 f
（－2）＝3，所以 f （ x ）在（－∞，0）上单调递减，且 f
（2）＝3.因为 f （2 x －3）＜3，所以－2＜2 x －3＜2，所以
＜ x ＜ .故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 若函数 y ＝ f （ x ）是奇函数，且函数 F （ x ）＝ af （ x ）＋ bx ＋2
在（0，＋∞）上有最大值8，则函数 y ＝ F （ x ）在（－∞，0）
上有（ ）
A. 最大值－8 B. 最小值－8
C. 最小值－6 D. 最小值－4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： ∵ y ＝ f （ x ）和 y ＝ x 都是奇函数，∴ T （ x ）＝
af （ x ）＋ bx 也为奇函数.又∵ F （ x ）＝ af （ x ）＋ bx ＋2
在（0，＋∞）上有最大值8，∴ T （ x ）＝ af （ x ）＋ bx 在
（0，＋∞）上有最大值6，∴ T （ x ）＝ af （ x ）＋ bx 在（－
∞，0）上有最小值－6，∴ F （ x ）＝ af （ x ）＋ bx ＋2在
（－∞，0）上有最小值－4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. 若函数 f （ x ）＝（ x ＋ a ）（ bx ＋2 a ）（常数 a ， b ∈R）是偶函
数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式 f （ x ）＝
.
－
2 x2＋4
解析：∵ f （ x ）＝（ x ＋ a ）（ bx ＋2 a ）＝ bx2＋（2 a ＋ ab ） x
＋2 a2是偶函数，∴图象关于 y 轴对称，∴2 a ＋ ab ＝0，∴ a ＝0或
b ＝－2.若 a ＝0，则函数为 f （ x ）＝ bx2，当 b 为正数时，值域为
[0，＋∞），不符合题意；当 b 为负数时，值域为（－∞，0]，
不符合题意；当 b ＝0时，值域为{0}，不符合题意.若 b ＝－2，则
函数为 f （ x ）＝－2 x2＋2 a2.又∵值域为（－∞，4]，∴2 a2＝4，
∴ f （ x ）＝－2 x2＋4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 已知 f （ x ）是定义在R上的函数，设 g （ x ）＝ ，
h （ x ）＝ .
（1）试判断 g （ x ）与 h （ x ）的奇偶性；
解： ∵ g （－ x ）＝ ＝ g （ x ）， h （－
x ）＝ ＝－ h （ x ），∴ g （ x ）是偶函数， h
（ x ）是奇函数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）试判断 g （ x ）， h （ x ）与 f （ x ）的关系；
解： g （ x ）＋ h （ x ）＝ ＋
＝ f （ x ）.
（3）由此你能猜想出什么样的结论？
解： 如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个
函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. （多选）关于定义在R上的偶函数 f （ x ），当 x ≥0时， f （ x ）＝
x2＋2 x ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 x ＜0时， f （ x ）＝ x2－2 x
B. 函数 f （ x ）在定义域R上为增函数
D. 不等式 f （ x ）－ x2－ x －1＜0恒成立
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 对于A，设 x ＜0，则－ x ＞0，所以 f （－ x ）＝ x2－2
x ，又 f （ x ）是偶函数，所以 f （ x ）＝ f （－ x ）＝ x2－2 x ，即当
x ＜0时， f （ x ）＝ x2－2 x ，故A中说法正确；对于B，当 x ≥0
时， f （ x ）＝ x2＋2 x 函数 f （ x ）的图象的对称轴为直线 x ＝－1.
所以当 x ≥0时， f （ x ）单调递增，由偶函数的图象关于 y 轴对称
得， f （ x ）在（－∞，0）上为减函数，故B中说法错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于C，当 x ∈[0，＋∞）时，令 f （ x ）＝ x2＋2 x ＝8，解得 x1＝2，
x2＝－4（舍去），即 f （2）＝8，所以不等式 f （3 x －2）＜8即 f （3 x
－2）＜ f （2），又 f （ x ）在R上为偶函数，则｜3 x －2｜＜2 0＜ x
＜ ，所以不等式的解集为 ，故C中说法正确；对于D，
当 x ＜0时， f （ x ）＝ x2－2 x ， f （ x ）－ x2－ x －1＝ x2－2 x － x2－ x
－1＝－3 x －1不恒小于0.当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2＋2 x ， f （ x ）－ x2
－ x －1＝ x2＋2 x － x2－ x －1＝ x －1不恒小于0，故D中说法错误.故选
A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 设 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且对任意 a ， b ∈R，当 a ＋ b
≠0时，都有 ＞0.
（1）若 a ＞ b ，试比较 f （ a ）与 f （ b ）的大小关系；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解： 因为 a ＞ b ，所以 a － b ＞0，
由题意得 ＞0，
所以 f （ a ）＋ f （－ b ）＞0.
又 f （ x ）是定义在R上的奇函数，
所以 f （－ b ）＝－ f （ b ），
所以 f （ a ）－ f （ b ）＞0，即 f （ a ）＞ f （ b ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）若 f （1＋ m ）＋ f （3－2 m ）≥0，求实数 m 的取值范围.
解： 由（1）知 f （ x ）为R上的增函数，
因为 f （1＋ m ）＋ f （3－2 m ）≥0，
所以 f （1＋ m ）≥－ f （3－2 m ），
即 f （1＋ m ）≥ f （2 m －3），
所以1＋ m ≥2 m －3，所以 m ≤4.
所以实数 m 的取值范围为（－∞，4].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！
