培优课 反比例函数、对勾函数
1.已知集合A＝x｜y＝，B＝y｜y＝，C＝（x，y）｜y＝，则下列结论正确的是（ ）
A.A＝B B.A＝C C.B＝C D.A＝B＝C
2.函数g（x）＝x＋的单调递减区间为（ ）
A.（－3，0）∪（0，3） B.（－3，3）
C.（－3，0）和（0，3） D.（－∞，－3）和（3，＋∞）
3.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（千帕）是气球体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的解析式为（ ）
A.p＝96V（V＞0） B.p＝－（V＞0）
C.p＝（V＞0） D.p＝（V＞0）
4.函数f（x）＝（x∈R）的值域是（ ）
A.（0，1） B.（0，1] C.[0，1） D.[0，1]
5.设函数f（x）＝（x＜0），则函数f（x）（ ）
A.有最小值2－1 B.有最大值2－1
C.有最小值－2－1 D.有最大值－2－1
6.已知a，b，c∈R且a＋b＋c＝0，a＞b＞c，则的取值范围是（ ）
A.[2，＋∞） B.（－∞，－2] C.（－，－2］ D.（2，］
7.（多选）已知函数y＝，则下列结论中正确的是（ ）
A.其图象经过点（3，1） B.其图象分别位于第一、三象限
C.当x＞0时，y随x的增大而减小 D.当x＞1时，y＞3
8.（多选）下列函数中，满足对任意x1，x2∈（1，＋∞），有＜0的是（ ）
A.f（x）＝x＋ B.f（x）＝ C.f（x）＝1＋ D.f（x）＝－x－
9.（多选）已知函数f（x）＝x＋（a＞0）在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a的值可以是（ ）
A.4 B.12 C.6－4 D.6＋4
10. x∈[1，2]，使关于x的不等式x2－ax＋4≥0成立，则实数a的取值范围为 .
11.设a＞0，函数f（x）＝x＋在区间（0，a]上的最小值为m，在区间[a，＋∞）上的最小值为n.若mn＝320，则a的值为 .
12.作出函数y＝的图象，并写出函数的单调区间和值域.
13.参考f（x）＝x＋的图象及性质，你能画出函数f（x）＝x－的图象，并写出它的性质吗？（单调性需证明）
培优课 反比例函数、对勾函数
1.A ∵函数y＝的定义域为A＝x｜y＝＝{x｜x≠0}，值域为B＝y｜y＝＝{y｜y≠0}，又集合A，B都是数集，C是点集，∴A＝B.
2.C 由对勾函数的图象与性质知，g（x）＝x＋在（－3，0）和（0，3）上单调递减.故选C.
3.D 因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设p＝（k≠0），由题图可知，点（1.5，64）在函数图象上，所以64＝，解得k＝96，故p＝（V＞0）.
4.B 因为1＋x2≥1，所以0＜≤1，所以函数f（x）＝的值域是（0，1]，故选B.
5.D 因为x＜0，所以f（x）＝＝2x＋－1＝－（－2x＋）－1≤－2－1＝－2－1，当且仅当－2x＝，即x＝－时，等号成立，所以f（x）max＝－2－1.故选D.
6.C 由a＋b＋c＝0，a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，b＝－a－c，则a＞－a－c＞c，则－2＜＜－，令t＝，则－2＜t＜－，所以＝＋＝t＋（－2＜t＜－），又f（t）＝t＋在（－2，－1）上单调递增，在（－1，－）上单调递减，所以f（t）max＝f（－1）＝－1＋＝－2，又f（－2）＝－2＋＝－，f（－）＝－＋＝－，则－＜f（t）≤－2，即－＜≤－2，故选C.
7.ABC 反比例函数y＝，当x＝3时，y＝1，故A正确；因为y＝分子大于0，所以图象在第一、三象限，故B正确；反比例函数在第一、三象限上都单调递减，所以C正确；因为在（0，＋∞）上，y＝单调递减，所以当x＞1时，0＜y＜3，所以D错误.故选A、B、C.
8.CD 对任意x1，x2∈（1，＋∞），有＜0，则函数在区间（1，＋∞）上单调递减.对于A，f（x）＝x＋，由对勾函数的图象与性质可知不满足题意，故A不满足题意；对于B，f（x）＝，根据复合函数的单调性知，函数在区间（1，＋∞）上单调递增，故B不满足题意；对于C，f（x）＝1＋，函数在区间（1，＋∞）上单调递减，故C满足题意；对于D，f（x）＝－x－，显然函数在区间（1，＋∞）上单调递减，故D满足题意.
9.AD 由对勾函数的性质，可得f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增.
①当≤2，即0＜a≤4时，f（x）在[2，4]上单调递增，f（x）max－f（x）min＝f（4）－f（2）＝4＋－2－＝2－＝1，解得a＝4；
②当≥4，即a≥16时，f（x）在[2，4]上单调递减，f（x）max－f（x）min＝f（2）－f（4）＝2＋－4－＝－2＝1，解得a＝12（舍去）；
③当2＜＜4，即4＜a＜16时，f（x）在[2，）上单调递减，在（，4]上单调递增，f（x）min＝f（）＝2，f（x）max＝f（2）或f（4）.当f（x）max＝f（2）时，f（x）max－f（x）min＝f（2）－f（）＝2＋－2＝1，解得＝2＋或＝2－（舍去），则a＝6＋4，经验证，符合题意.当f（x）max＝f（4）时，f（x）max－f（x）min＝f（4）－f（）＝4＋－2＝1，解得＝6或＝2，即a＝36（舍去）或a＝4（舍去）.综上，a的值为4或6＋4.
10.（－∞，5] 解析：当x∈[1，2]时，由x2－ax＋4≥0得，a≤x＋.令f（x）＝x＋，则f（x）在[1，2]上单调递减.所以当x∈[1，2]时，f（x）∈[4，5]. x∈[1，2]，x2－ax＋4≥0成立，即a≤f（x）max＝5，故实数a的取值范围为（－∞，5].
11.4或16 解析：易知x∈（0，＋∞），所以f（x）＝x＋≥2＝16，当且仅当x＝，即x＝8时取等号，当0＜a＜8时，则n＝f（8）＝16，由mn＝320知m＝20，而函数f（x）在（0，a]上单调递减，则m＝f（a）＝a＋，即a＋＝20，解得a＝4或a＝16（舍去）；当a≥8时，则m＝f（8）＝16，由mn＝320知n＝20，而函数f（x）在[a，＋∞）上单调递增，则n＝f（a）＝a＋，即a＋＝20，解得a＝4（舍去）或a＝16.综上，a的值为4或16.
12.解：y＝＝1＋，图象如图所示.
函数在（－∞，2）和（2，＋∞）上单调递减.
因为≠0，所以1＋≠1.
故函数的单调递减区间为（－∞，2）和（2，＋∞），无单调递增区间.
值域为（－∞，1）∪（1，＋∞）.
13.解：图象如图所示.
其性质如下：
（1）定义域：{x｜x≠0}；
（2）值域：R；
（3）奇偶性：奇函数；
（4）单调性：函数f（x）在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝x1－－（x2－）＝（x1－x2）（1＋），
因为0＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，
又1＋＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增；
同理可知，函数f（x）在区间（－∞，0）上单调递增.
2 / 2函数性质的综合问题
题型一 函数图象的对称性
【例1】 定义在R上的偶函数y＝f（x），其图象关于点（，0）对称，且x∈[0，1]时，f（x）＝－x＋，则f（）＝（ ）
A.－1 B.0 C.1 D.
通性通法
1.函数图象关于直线对称
y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 y＝f（x）的图象的对称轴
f（a＋x）＝f（a－x） 直线x＝a
f（x）＝f（a－x） 直线x＝
f（a＋x）＝f（b－x） 直线x＝
2.函数图象关于点对称
y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 y＝f（x）的图象的对称中心
f（a－x）＝－f（a＋x） （a，0）
f（x）＝－f（a－x） （，0）
f（a＋x）＝－f（b－x） （，0）
f（a＋x）＋f（b－x）＝c （，）
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）的定义域为R，若f（1－x）为奇函数，f（x－1）为偶函数.设f（－2）＝1，则f（2）＝（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.2
2.已知图象开口向上的二次函数f（x），对任意x∈R，都满足f（－x）＝f（x＋），若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A.（－∞，］ B.（1，］
C.［－，＋∞） D.（－∞，2]
题型二 函数性质的综合应用
【例2】 已知函数f（x）＝是定义在（－1，1）上的奇函数，且f（）＝.
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义法证明f（x）在（－1，1）上是增函数；
（3）解不等式：f（t－1）＋f（t）＜0.
通性通法
解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法
（1）图象法：根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论；
（2）性质法：根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题.
提醒 使用性质要规范，切不可自创性质.
【跟踪训练】
已知函数f（x）的定义域为（－2，2），函数g（x）＝f（x－1）＋f（3－2x）.
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g（x）≤0的解集.
培优课 函数性质的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 B ∵y＝f（x）的图象关于点（，0）对称，∴f（＋x）＋f（－x）＝0，即f（1＋x）＋f（－x）＝0.又∵y＝f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（1＋x）＋f（x）＝0，即f（1＋x）＝－f（x），∴f（）＝－f（）＝0.
跟踪训练
1.A ∵f（x－1）为偶函数，∴f（－x－1）＝f（x－1），∴f（x）图象关于直线x＝－1对称，∴f（－2）＝f（0）＝1；∵f（1－x）为奇函数，∴f（1＋x）＝－f（1－x），∴f（x）图象关于点（1，0）对称，∴f（2）＝－f（0）＝－1，故选A.
2.B 由f（－x）＝f（x＋），得函数f（x）图象的对称轴是直线x＝，又二次函数f（x）图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则解得1＜a≤.故选B.
【例2】 解：（1）根据题意得即
解得∴f（x）＝.
（2）证明：任取x1，x2∈（－1，1），且令x1＜x2，
f（x1）－f（x2）＝－
＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x1－x2＜0，1＋＞0，1＋＞0，1－x1x2＞0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（－1，1）上是增函数.
（3）f（t－1）＜－f（t）＝f（－t）.
∵f（x）在（－1，1）上是增函数，
∴解得0＜t＜.
∴不等式的解集为.
跟踪训练
解：（1）由题意可知
所以解得＜x＜，
故函数g（x）的定义域为（，）.
（2）由g（x）≤0，得f（x－1）＋f（3－2x）≤0，
所以f（x－1）≤－f（3－2x）.
因为f（x）为奇函数，所以f（x－1）≤f（2x－3）.
而f（x）在（－2，2）上是减函数，
所以解得＜x≤2.
所以不等式g（x）≤0的解集为（，2］.
2 / 2(共43张PPT)
培优课
函数性质的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数图象的对称性
【例1】 定义在R上的偶函数 y ＝ f （ x ），其图象关于点（ ，0）
对称，且 x ∈[0，1]时， f （ x ）＝－ x ＋ ，则 f （ ）＝（ ）
A. －1 B. 0
C. 1
解析： ∵ y ＝ f （ x ）的图象关于点（ ，0）对称，∴ f （ ＋ x ）
＋ f （ － x ）＝0，即 f （1＋ x ）＋ f （－ x ）＝0.又∵ y ＝ f （ x ）为偶
函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ），∴ f （1＋ x ）＋ f （ x ）＝0，即 f （1＋
x ）＝－ f （ x ），∴ f （ ）＝－ f （ ）＝0.
通性通法
1. 函数图象关于直线对称
y ＝ f （ x ）在定义域内恒满足的
条件 y ＝ f （ x ）的图象的对称轴
f （ a ＋ x ）＝ f （ a － x ） 直线 x ＝ a
f （ x ）＝ f （ a － x ）
f （ a ＋ x ）＝ f （ b － x ）
2. 函数图象关于点对称
y ＝ f （ x ）在定义域内恒满足的
条件 y ＝ f （ x ）的图象的对称中心
f （ a － x ）＝－ f （ a ＋ x ） （ a ，0）
f （ x ）＝－ f （ a － x ）
f （ a ＋ x ）＝－ f （ b － x ）
f （ a ＋ x ）＋ f （ b － x ）＝ c
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）的定义域为R，若 f （1－ x ）为奇函数， f （ x －
1）为偶函数.设 f （－2）＝1，则 f （2）＝（ ）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析： ∵ f （ x －1）为偶函数，∴ f （－ x －1）＝ f （ x －1），
∴ f （ x ）图象关于直线 x ＝－1对称，∴ f （－2）＝ f （0）＝1；
∵ f （1－ x ）为奇函数，∴ f （1＋ x ）＝－ f （1－ x ），∴ f （ x ）
图象关于点（1，0）对称，∴ f （2）＝－ f （0）＝－1，故选A.
2. 已知图象开口向上的二次函数 f （ x ），对任意 x ∈R，都满足 f （
－ x ）＝ f （ x ＋ ），若 f （ x ）在区间（ a ，2 a －1）上单调递
减，则实数 a 的取值范围为（ ）
D. （－∞，2]
解析： 由 f （ － x ）＝ f （ x ＋ ），得函数 f （ x ）图象的对称
轴是直线 x ＝ ，又二次函数 f （ x ）图象开口向上，若 f （ x ）在区
间（ a ，2 a －1）上单调递减，则解得1＜ a ≤ .故
选B.
题型二 函数性质的综合应用
【例2】 已知函数 f （ x ）＝ 是定义在（－1，1）上的奇函
数，且 f （ ）＝ .
（1）确定函数 f （ x ）的解析式；
解： 根据题意得即
解得∴ f （ x ）＝ .
（2）用定义法证明 f （ x ）在（－1，1）上是增函数；
解： 证明：任取 x1， x2∈（－1，1），且令 x1＜ x2，
f （ x1）－ f （ x2）＝ －
＝ .
∵－1＜ x1＜ x2＜1，
∴ x1－ x2＜0，1＋ ＞0，1＋ ＞0，1－ x1 x2＞0，
∴ f （ x1）－ f （ x2）＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2），
∴ f （ x ）在（－1，1）上是增函数.
（3）解不等式： f （ t －1）＋ f （ t ）＜0.
解： f （ t －1）＜－ f （ t ）＝ f （－ t ）.
∵ f （ x ）在（－1，1）上是增函数，
∴解得0＜ t ＜ .
∴不等式的解集为 .
通性通法
解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法
（1）图象法：根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论；
（2）性质法：根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决
求值和比较大小的问题.
提醒 使用性质要规范，切不可自创性质.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）的定义域为（－2，2），函数 g （ x ）＝ f （ x －1）
＋ f （3－2 x ）.
（1）求函数 g （ x ）的定义域；
解： 由题意可知
所以解得 ＜ x ＜ ，
故函数 g （ x ）的定义域为（ ， ）.
（2）若 f （ x ）为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式 g
（ x ）≤0的解集.
解： 由 g （ x ）≤0，得 f （ x －1）＋ f （3－2 x ）≤0，
所以 f （ x －1）≤－ f （3－2 x ）.
因为 f （ x ）为奇函数，所以 f （ x －1）≤ f （2 x －3）.
而 f （ x ）在（－2，2）上是减函数，
所以解得 ＜ x ≤2.
所以不等式 g （ x ）≤0的解集为（ ，2］.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，且 f （ x ）＝ f （4－ x ），
当－2≤ x ＜0时， f （ x ）＝ ，则 f （ ）＝（ ）
A. －2 D. 2
解析： ∵ f （ x ）＝ f （4－ x ），∴ f （ x ）的图象关于直线 x ＝
2对称，∴ f （ ）＝ f （ ）.又∵函数 f （ x ）为奇函数，∴ f （ ）
＝－ f （－ ）＝－（－2）＝2，即 f （ ）＝2.
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2. 已知定义在R上的奇函数 f （ x ），且当 x ∈[0，＋∞）时， f （ x ）
单调递增，则不等式 f （2 x ＋1）＋ f （1）≥0的解集是（ ）
A. （－∞，1） B. （－1，＋∞）
C. [－1，＋∞） D. （－∞，1]
解析： 因为函数 f （ x ）是奇函数，所以不等式 f （2 x ＋1）＋ f
（1）≥0等价于 f （2 x ＋1）≥ f （－1）.又当 x ≥0时，函数 f
（ x ）单调递增，所以函数 f （ x ）在R上为增函数，所以 f （2 x ＋
1）≥ f （－1）等价于2 x ＋1≥－1，解得 x ≥－1.
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3. 已知函数 f （ x ）在区间（0，2）上单调递减，又函数 y ＝ f （ x ＋
2）是偶函数，那么 f （ x ）（ ）
A. 在区间（2，4）上单调递减
B. 在区间（2，4）上单调递增
C. 在区间（－2，0）上单调递减
D. 在区间（－2，0）上单调递增
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解析： ∵函数 y ＝ f （ x ＋2）是偶函数，∴函数 y ＝ f （ x ＋2）
关于 y 轴对称，即函数 y ＝ f （ x ）关于 x ＝2对称，∵函数 f （ x ）在
（0，2）上单调递减，∴函数 f （ x ）在（2，4）上单调递增.函数
在（－2，0）的单调性无法确定.故选B.
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4. 若定义在R上的函数 f （ x ）满足：对任意 x1， x2∈R，有 f （ x1＋
x2）＝ f （ x1）＋ f （ x2）＋1，则下列说法一定正确的是（ ）
A. f （ x ）－1为奇函数 B. f （ x ）－1为偶函数
C. f （ x ）＋1为奇函数 D. f （ x ）＋1为偶函数
解析： ∵对任意 x1， x2∈R，有 f （ x1＋ x2）＝ f （ x1）＋ f
（ x2）＋1，令 x1＝ x2＝0，得 f （0）＝－1.令 x1＝ x ， x2＝－ x ，得
f （0）＝ f （ x ）＋ f （－ x ）＋1.∴ f （ x ）＋1＝－ f （－ x ）－1＝
－[ f （－ x ）＋1]，∴ f （ x ）＋1为奇函数.
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5. 设定义在R上的奇函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，且 f
（1）＝0，则不等式 x [ f （ x ）－ f （－ x ）]＜0的解集为（ ）
A. { x ｜－1＜ x ＜0或 x ＞1}
B. { x ｜ x ＜－1或0＜ x ＜1}
C. { x ｜ x ＜－1或 x ＞1}
D. { x ｜－1＜ x ＜0或0＜ x ＜1}
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解析： ∵奇函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调
递增， f （－ x ）＝－ f （ x ）， x [ f （ x ）－ f （－
x ）]＜0，∴ xf （ x ）＜0，又 f （1）＝0，∴ f
（－1）＝0，从而有函数 f （ x ）的大致图象如图
所示.则不等式 x [ f （ x ）－ f （－ x ）]＜0的解集
为{ x ｜－1＜ x ＜0或0＜ x ＜1}.
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6. 设函数 f （ x ）的定义域为R， f （ x ＋1）为奇函数， f （ x ＋2）为
偶函数，当 x ∈[1，2]时， f （ x ）＝ ax2＋ b .若 f （0）＋ f （3）＝
6，则 f （ ）＝（ ）
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解析： ∵ f （ x ＋1）为奇函数，∴ f （ x ）
的图象关于点（1，0）成中心对称， f （1）
＝0.∵ f （ x ＋2）为偶函数，∴ f （ x ）的
图象关于直线 x ＝2成轴对称，∴ f （0）＝
－ f （2）， f （3）＝ f （1）＝0.又∵ f （0）
＋ f （3）＝6，∴ f （0）＝6， f （2）＝－6.
如图所示.又当 x ∈[1，2]时， f （ x ）＝ ax2＋ b ，∴∴∴当 x ∈[1，2]时， f （ x ）＝－2 x2
＋2，∴ f （ ）＝ f （－ ）＝－ f （ ）＝－ f （ ）＝－（－2×
＋2）＝ .
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7. （多选）已知定义在R上的函数 f （ x ），若函数 f （ x ）在（0，＋
∞）上单调递增，且 f （ x ）＞1，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 f （ x ）是奇函数，则 f （ x ）的值域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）
B. 若 f （ x ）是偶函数，则 f （ x ）的值域为（1，＋∞）
C. 若 f （ x ）是奇函数，则 f （ x ）在（－∞，0）上单调递增
D. 若 f （ x ）是偶函数，则 f （ x ）在（－∞，0）上单调递减
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解析： 当 f （ x ）是定义在R上的奇函数时， f （0）＝0，即0
在值域内，故A错误；若 f （ x ）是奇函数，因为函数 f （ x ）在
（0，＋∞）上单调递增，所以 f （ x ）在（－∞，0）上单调递
增，故C正确；当 f （ x ）是定义在R上的偶函数时， f （ x ）的图象
关于 y 轴对称，因为函数 f （ x ）在（0，＋∞）上的值域为（1，＋
∞），但在 x ＝0时的函数值不确定，故B错误；若 f （ x ）是偶函
数，因为函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，则 f （ x ）在（－
∞，0）上单调递减，故D正确.故选C、D.
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8. （多选）函数 f （ x ）的图象关于点 P （ a ， b ）成中心对称图形的
充要条件是函数 y ＝ f （ x ＋ a ）－ b 为奇函数，则下列函数有对称
中心的是（ ）
A. f （ x ）＝ x B. f （ x ）＝ x3－3 x2
C. f （ x ）＝ x4＋ x2
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解析： ∵函数 y ＝ f （ x ＋ a ）－ b 为奇函数，∴ f （－ x ＋
a ）－ b ＝－ f （ x ＋ a ）＋ b ，即 f （ x ＋ a ）＋ f （－ x ＋ a ）＝2 b .
对于A，由 f （ x ＋ a ）＋ f （－ x ＋ a ）＝2 b 得 a ＝ b ，∴对于任意
的 a ＝ b ， P （ a ， b ）都是其对称中心，故A满足题意；对于B， f
（ x ）＝ x3－3 x2＝（ x －1）3－3 x ＋1＝（ x －1）3－3（ x －1）－
2，∴ f （ x ＋1）＝ x3－3 x －2，∴ f （ x ＋1）＋2＝ x3－3 x 是奇函
数，∴ P （1，－2）为其对称中心，故B满足题意；对于C，
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∵ f （ x ）＝ x4＋ x2是偶函数，图象关于 y 轴对称，且 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，其图象大致如图①所示，故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；对于D， f （ x ）＝ 的图象如图②所示.其图象关于（1，0）对称.
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9. （多选）已知函数 f （ x ）对 x ∈R，都有 f （－ x ）＝－ f （ x ），
f （2－ x ）＝ f （ x ），且 f （1）＝1，则（ ）
A. f （ x ）的图象关于直线 x ＝2对称
B. f （ x ）的图象关于点（－2，0）中心对称
C. f （6）＝0
D. f （5）＝－1
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解析： 因为 f （－ x ）＝－ f （ x ），所以 f （ x ）为奇函数，又
因为 f （2－ x ）＝ f （ x ），所以 f （ x ）关于 x ＝1对称，所以 f （2
－ x ）＝－ f （－ x ），令 x 等价于－ x ，所以 f （2＋ x ）＝－ f
（ x ），再令 x 等价于 x ＋2，所以 f （ x ）＝ f （ x ＋4），由 f （ x ）
＝ f （ x ＋4）， f （－ x ）＝－ f （ x ）可得：－ f （－ x ）＝ f （ x ＋
4），所以 f （ x ）的图象关于（2，0）对称，故A不正确；又因为 f
（ x ）的图象关于（2，0）对称，且 f （ x ）＝ f （ x ＋4），所以 f
（ x ）的图象关于点（－2，0）中心对称，故B正确；令 f （2－
x ）＝ f （ x ）中 x ＝0，可得 f （2）＝0，所以 f （6）＝ f （2）＝
0，故C正确； f （5）＝ f （1）＝1，故D不正确.故选B、C.
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10. 已知偶函数 f （ x ）和奇函数 g （ x ）的定义域都是（－4，4），
且在（－4，0]上的图象如图所示，则关于 x 的不等式 f （ x ）· g
（ x ）＜0的解集是 .
（－4，－2）∪（0，2）
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解析：设 h （ x ）＝ f （ x ） g （ x ），则 h （－ x ）＝ f （－ x ）· g
（－ x ）＝－ f （ x ） g （ x ）＝－ h （ x ），所以 h （ x ）是奇函
数，由图象可知，当－4＜ x ＜－2时， f （ x ）＞0， g （ x ）＜0，
即 h （ x ）＜0，当0＜ x ＜2时， f （ x ）＜0， g （ x ）＞0，即 h
（ x ）＜0，所以 h （ x ）＜0的解集为（－4，－2）∪（0，2）.
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11. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ x －1）＜ f （2 x ＋
1），则 x 的取值范围为 .
解析：若 x ＞0，则－ x ＜0， f （－ x ）＝（－ x ）2＋2 x ＝ x2＋2 x
＝ f （ x ），同理可得，当 x ＜0时， f （－ x ）＝ f （ x ），且 x ＝0
时， f （0）＝0，所以 f （ x ）是偶函数.因为当 x ＞0时，函数 f
（ x ）单调递增，所以不等式 f （ x －1）＜ f （2 x ＋1）等价于｜ x
－1｜＜｜2 x ＋1｜，整理得 x （ x ＋2）＞0，解得 x ＞0或 x ＜－2.
（－∞，－2）∪（0，＋∞）
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12. 已知函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，当 x ＜0时， f （ x ）＝1
＋ .
（1）求 f （2）的值；
解： 根据题意，得函数 f （ x ）为奇函数，
当 x ＜0时， f （ x ）＝1＋ ，
则 f （2）＝－ f （－2）＝－（1＋ ）＝－ .
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（2）用定义法判断 y ＝ f （ x ）在区间（－∞，0）上的单调性；
解： 根据题意得，当 x ＜0时， f （ x ）＝1＋ .
在（－∞，0）上任取 x1， x2，且 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝（1＋ ）－（1＋ ）＝
－ ＝ .
又由 x1－1＜0， x2－1＜0， x2－ x1＞0，
可得 f （ x1）－ f （ x2）＞0，即 f （ x1）＞ f （ x2）.
由定义可知，函数 y ＝ f （ x ）在区间（－∞，0）上单调递减.
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（3）求当 x ＞0时， f （ x ）的解析式.
解： 当 x ＞0时，－ x ＜0，则 f （－ x ）＝1－ ，
由函数 f （ x ）为奇函数知 f （ x ）＝－ f （－ x ），
所以 f （ x ）＝－1＋ ＝－ .
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13. 已知函数 f （ x ）＝ x2－ mx （ m ＞0）在区间[0，2]上的最小值为
g （ m ）.
（1）求函数 g （ m ）的解析式；
解： 因为 f （ x ）＝ x2－ mx ＝（ x － ）2－ （ m ＞0），
所以当0＜ ≤2，即0＜ m ≤4时， g （ m ）＝ f （ ）＝－ .
当 m ＞4时，函数 f （ x ）＝（ x － ）2－ 在区间[0，2]上
单调递减，此时 g （ m ）＝ f （2）＝4－2 m .
综上可知， g （ m ）＝
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（2）定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数 h （ x ）为偶函
数，且当 x ＞0时， h （ x ）＝ g （ x ）.若 h （ t ）＞ h
（4），求实数 t 的取值范围.
解：因为当 x ＞0时， h （ x ）＝ g （ x ），
所以当 x ＞0时， h （ x ）＝
易知函数 h （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，
因为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数 h （ x ）为
偶函数，且 h （ t ）＞ h （4），所以0＜｜ t ｜＜4，
解得－4＜ t ＜0或0＜ t ＜4.
综上所述，实数 t 的取值范围为（－4，0）∪（0，4）.
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