3.3 幂函数
1.下列函数为幂函数的是（ ）
A.y＝2x4 B.y＝2x3－1
C.y＝ D.y＝x2
2.若f（x）＝，则函数f（4x－3）的定义域为（ ）
A.R B.
C. D.
3.函数f（x）＝xa＋b，不论a为何值，f（x）的图象均过点（m，0），则实数b的值为（ ）
A.－1 B.1
C.2 D.3
4.
如图所示，曲线C1和C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（ ）
A.n＜m＜0 B.m＜n＜0
C.n＞m＞0 D.m＞n＞0
5.（多选）已知幂函数f（x）＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A.f（－2）＞f（1）
B.f（－2）＜f（1）
C.f（－2）＝f（－1）
D.若｜a｜＞｜b｜＞0，则f（a）＜f（b）
6.（多选）下列说法中正确的有（ ）
A.y＝x0的图象是一条直线
B.幂函数的图象不过第四象限
C.若函数y＝的定义域是{x｜x＞2}，则它的值域是
D.若幂函数的图象过点（4，2），则它的单调递增区间是[0，＋∞）
7.幂函数y＝的定义域为 ；其奇偶性是 .
8.已知幂函数f（x）＝xα的部分对应值如表：
x 1
f（x） 1
则f（x）的单调递增区间是 .
9.已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是 .
10.比较下列各组数的大小：
（1）和3.；
（2）和；
（3）4.和3..
11.在同一坐标系内，函数y＝xa（a≠0）和y＝ax－的图象可能是（ ）
12.已知函数f（x）＝，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（ ）
A.f（a）＜f（b）＜f（）＜f（）
B.f（）＜f（）＜f（b）＜f（a）
C.f（a）＜f（b）＜f（）＜f（）
D.f（）＜f（a）＜f（）＜f（b）
13.有四个幂函数：①f（x）＝x－1；②f（x）＝x－2；③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
（1）是偶函数；（2）值域是{y｜y∈R，且y≠0}；（3）在（－∞，0）上单调递增.
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是 （填序号）.
14.已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点A.
（1）求实数a的值；
（2）用定义法证明f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减.
15.（多选）已知幂函数f（x）＝（m，n∈N*，m，n互质），下列关于f（x）的结论正确的是（ ）
A.m，n是奇数时，f（x）是奇函数
B.m是偶数，n是奇数时，f（x）是偶函数
C.m是奇数，n是偶数时，f（x）是偶函数
D.0＜＜1时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减
16.已知幂函数f（x）＝（m∈N*）.
（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围.
3.3 幂函数
1.D 结合幂函数的形式可知D正确.故选D.
2.D 易知f（x）＝的定义域为（0，＋∞），则4x－3∈（0，＋∞），即x∈，故选D.
3.A ∵幂函数y＝xa过定点（1，1），∴f（x）＝xa＋b过定点（1，1＋b），结合已知条件可知1＋b＝0，则b＝－1.
4.A 由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故m＜0，n＜0.由幂函数图象的特点知n＜m，故n＜m＜0.
5.BD 幂函数f（x）＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则n＝－2，则f（x）＝，f（－x）＝f（x），且 f（x）在（0，＋∞）上单调递减，于是有f（－2）＝f（2）＜f（1）＝f（－1），则A错误，B正确，C错误；若｜a｜＞｜b｜＞0，则f（｜a｜）＜f（｜b｜），即f（a）＜f（b）成立，故D正确.故选B、D.
6.BD A选项，因为函数y＝x0的定义域为{x｜x≠0}，所以图象不是一条直线，A错误；B选项，若x＞0，则xα不可能小于0，B正确；C选项，当x＞2时，函数y＝的值域为，C错误；D选项，设幂函数为y＝xα，因为幂函数的图象过点（4，2），所以2＝4α，解得α＝，则y＝＝，故单调递增区间是[0，＋∞），D正确.故选B、D.
7.（－∞，＋∞） 偶函数 解析：因为y＝＝，所以函数的定义域为（－∞，＋∞），且为偶函数.
8.[0，＋∞） 解析：因为f＝，所以＝，即α＝，所以f（x）＝的单调递增区间是[0，＋∞）.
9.（－∞，0） 解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，所以y＝xα在（0，＋∞）上单调递减，故α＜0.
10.解：（1）函数y＝在（0，＋∞）上单调递减，又3＜3.2，所以＞3..
（2）＝，＝，函数y＝在（0，＋∞）上单调递增，而＞，所以＞.
（3）4.＞＝1，0＜3.＜＝1，
所以4.＞3..
11.C 选项A中，幂函数的指数a＜0，则函数y＝ax－应为减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数a＞1，则函数y＝ax－应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a＜0，则－＞0，函数y＝ax－与y轴交点的纵坐标应为正，D错误.
12.C 因为函数f（x）＝在（0，＋∞）上单调递增，又0＜a＜b＜1＜＜，故f（a）＜f（b）＜f（）＜f（）.
13.② 解析：对于函数①，f（x）＝x－1是一个奇函数，值域是{y｜y∈R，且y≠0}，在（－∞，0）上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f（x）＝x－2是一个偶函数，其值域是{y｜y∈R，且y＞0}，在（－∞，0）上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件.
14.解：（1）∵f（x）＝xa的图象经过点A，＝，即2－a＝，解得a＝－.
（2）证明：由（1）得f（x）＝，任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x2）－f（x1）＝－＝－＝
＝.
∵x2＞x1＞0，∴x1－x2＜0，且（＋）＞0，
∴f（x2）－f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），
∴f（x）＝在区间（0，＋∞）上单调递减.
15.AB f（x）＝＝，当m，n是奇数时，f（x）是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，f（x）是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，f（x）在x＜0时无意义，故C中的结论错误；当0＜＜1时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故D中的结论错误.故选A、B.
16.解：（1）∵m2＋m＝m（m＋1）（m∈N*），而m与m＋1中必有一个为偶数，∴m2＋m为偶数，
∴函数f（x）＝（m∈N*）的定义域为[0，＋∞），并且该函数在[0，＋∞）上是增函数.
（2）∵函数f（x）经过点（2，），
∴＝，即m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2，
又∵m∈N*，∴m＝1，f（x）＝.
又∵f（2－a）＞f（a－1），
∴解得1≤a＜.
故函数f（x）经过点（2，）时，m＝1，满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围为［1，）.
2 / 23.3 幂函数
新课程标准解读 核心素养
1.了解幂函数的概念 数学抽象
2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的图象，理解它们的变化规律 直观想象、逻辑推理
我们以前学过函数y＝x，y＝x2，y＝.
【问题】 （1）这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？
（2）你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
提醒 对幂函数的再理解：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量x，指数α为常数；③项数只有一项.
知识点二 五个常见幂函数的图象与性质
1.五个常见幂函数的图象
2.五个常见幂函数的性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞） （－∞，0）∪ （0，＋∞）
值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y｜y∈R且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇
单调性 增 x∈（0，＋∞）增； x∈（－∞，0）减 增 增 x∈（0，＋∞）减； x∈（－∞，0）减
公共点 都经过点
提醒 对于幂函数y＝xα（α为常数）有以下结论：
（1）当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递增；（2）当α＜0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递减；（3）幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.
【想一想】
1.任意的一次函数和二次函数都是幂函数吗？
2.幂函数的图象为什么不过第四象限？
1.若幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（3）＝（ ）
A. B. C.3 D.9
2.已知f（x）＝（m＋1）xm＋2是幂函数，则m＝ .
3.函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是 .
题型一 幂函数的概念
【例1】 （1）在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝（x＋1）2，y＝3x中，幂函数的个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
（2）若f（x）＝（m2－4m－4）xm是幂函数，则m＝ .
通性通法
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.
【跟踪训练】
（多选）下列函数中是幂函数的是（ ）
A.y＝ B.y＝4x2
C.y＝2x＋1 D.y＝
题型二 幂函数的图象及应用
【例2】 如图是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取，2，－2，－这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为（ ）
A.2，，－，－2 B.－2，－，，2
C.－，－2，2， D.2，，－2，－
通性通法
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在（0，1）上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；在（1，＋∞）上，指数越大，幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）；
（2）依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于y＝x－1或y＝或y＝x3）来判断.
【跟踪训练】
若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则（ ）
A.－1＜n＜0＜m＜1
B.n＜－1，0＜m＜1
C.－1＜n＜0，m＞1
D.n＜－1，m＞1
题型三 幂函数的性质及应用
角度1 比较幂值的大小
【例3】 比较下列各组数的大小：
（1）和3.；
（2）－和－.
通性通法
比较幂值大小的2种方法
角度2 解简单不等式
【例4】 若幂函数f（x）过点（2，8），则满足不等式f（a－3）＞f（1－a）的实数a的取值范围是 .
通性通法
利用幂函数的性质解不等式的步骤
（1）确定可以利用的幂函数；
（2）借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；
（3）解不等式（组）求参数范围时，注意分类讨论思想的应用.
【跟踪训练】
1.（多选）已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的α的值为（ ）
A.－1 B.1 C.2 D.3
2.已知幂函数y＝（m2＋m－5），当x∈（0，＋∞）时，y随x的增大而减小，则实数m的值为 .
1.在函数y＝x－4，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，＋∞）上单调递减的是（ ）
A.y＝x－2 B.y＝x－1
C.y＝x2 D.y＝
3.幂函数f（x）的图象过点（2，m），且f（m）＝16，则实数m＝ .
4.比较下列各组数的大小：
（1），；
（2），.
3.3 幂函数
【基础知识·重落实】
知识点一
y＝xα x α
知识点二
2.（1，1）
想一想
1.提示：不一定.例如y＝2x－5，y＝x2＋2x分别为一次函数和二次函数，但它们都不是幂函数.
2.提示：因为当x＞0时，xα＞0，因此幂函数的图象不过第四象限.
自我诊断
1.B 设幂函数y＝f（x）＝xα，其图象经过点（2，），则2α＝，解得α＝.∴f（x）＝＝，∴f（3）＝.故选B.
2.0 解析：∵函数f（x）＝（m＋1）xm＋2是幂函数，∴m＋1＝1，即m＝0.
3.－ 解析：易知函数y＝x－3＝在[－4，－2]上单调递减，所以当x＝－2时，ymin＝（－2）－3＝＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B （2）5或－1 解析：（1）根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
（2）因为f（x）是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
跟踪训练
AD 幂函数是形如y＝xα（α为常数）的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝－的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是4，不是幂函数；易知C不是幂函数.
【例2】 A 法一 曲线C1，C2过点（0，0），（1，1），且在第一象限内单调递增，所以n＞0，n为，2，显然C1对应y＝x2，C2对应y＝.C3，C4过点（1，1），且在第一象限内单调递减，所以n＜0，n为－2，－，显然C3对应y＝，C4对应y＝x－2.
法二 取x＝2，分别代入y1＝x2，y2＝，y3＝，y4＝x－2，可求得y1＝4，y2＝，y3＝，y4＝，比较得y1＞y2＞y3＞y4，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为2，，－，－2.
跟踪训练
B 由图象知，y＝xm在（0，＋∞）上单调递增，所以m＞0，由于y＝xm的图象增长的越来越慢，所以m＜1，y＝xn在（0，＋∞）上单调递减，所以n＜0，又当x＞1时，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，所以n＜－1.
【例3】 解：（1）∵函数y＝在（0，＋∞）上单调递减，又3＜3.1，∴＞3..
（2）－＝－，函数y＝在（0，＋∞）上单调递增.
又＞，∴＞，即－＜－.
【例4】 （2，＋∞） 解析：设幂函数为f（x）＝xα，因为其图象过点（2，8），所以2α＝8，解得α＝3，所以f（x）＝x3.因为f（x）＝x3在R上为增函数，所以由f（a－3）＞f（1－a），得a－3＞1－a，解得a＞2.所以满足不等式f（a－3）＞f（1－a）的实数a的取值范围是（2，＋∞）.
跟踪训练
1.BD 当α＝－1时，y＝x－1＝为奇函数，但值域为{y｜y≠0}，不满足条件；当α＝1时，y＝x为奇函数，值域为R，满足条件；当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为{y｜y≥0}，不满足条件；当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R，满足条件.故选B、D.
2.2 解析：∵y＝（m2＋m－5）是幂函数，∴m2＋m－5＝1，即（m－2）（m＋3）＝0，∴m＝2或m＝－3.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈（0，＋∞）时，y随x的增大而减小；当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈（0，＋∞）时，y随x的增大而减小，故舍去.∴实数m的值为2.
随堂检测
1.B 函数y＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα（α是常数）的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1（x≠0）不相等，所以y＝1不是幂函数.
2.A 所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间（0，＋∞）上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间（0，＋∞）上单调递减，符合题意.故选A.
3.4或 解析：设f（x）＝xα，则2α＝m，mα＝（2α）α＝＝16，所以α2＝4，所以α＝±2，所以m＝4或.
4.解：（1）由幂函数y＝在（0，＋∞）上单调递增，得＜.
（2）由幂函数y＝在（0，＋∞）上单调递减，得（ ＜（ .
4 / 4(共62张PPT)
3.3 幂函数
新课程标准解读 核心素养
1.了解幂函数的概念 数学抽象
直观想象、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们以前学过函数 y ＝ x ， y ＝ x2， y ＝ .
【问题】 （1）这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？
（2）你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析
式改写成统一的形式吗？
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量，
是常数.
提醒 对幂函数的再理解：① xα的系数为1；② xα的底数是自变量
x ，指数α为常数；③项数只有一项.
y ＝ xα
x
α
知识点二 五个常见幂函数的图象与性质
1. 五个常见幂函数的图象
2. 五个常见幂函数的性质
幂函数 y ＝ x y ＝ x2 y ＝ x3 y ＝ x－1
定义域 R R R [0，＋
∞） （－∞，0）∪
（0，＋∞）
值域 R [0，＋
∞） R [0，＋
∞） { y ｜ y ∈R
且 y ≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
幂函数 y ＝ x y ＝ x2 y ＝ x3 y ＝ x－1
单调性 增 x ∈（0，＋∞）增； x ∈（－∞， 0）减 增 增 x ∈（0，＋∞）
减； x ∈（－
∞，0）减
公共点 都经过点 提醒 对于幂函数 y ＝ xα（α为常数）有以下结论：
（1，1）
（1）当α＞0时， y ＝ xα在（0，＋∞）上单调递增；（2）当α＜
0时， y ＝ xα在（0，＋∞）上单调递减；（3）幂函数在第一
象限内指数的变化规律：在直线 x ＝1的右侧，图象从上到
下，相应的幂指数由大变小.
【想一想】
1. 任意的一次函数和二次函数都是幂函数吗？
提示：不一定.例如 y ＝2 x －5， y ＝ x2＋2 x 分别为一次函数和二次
函数，但它们都不是幂函数.
2. 幂函数的图象为什么不过第四象限？
提示：因为当 x ＞0时， xα＞0，因此幂函数的图象不过第四象限.
1. 若幂函数 y ＝ f （ x ）的图象经过点（2， ），则 f （3）＝
（ ）
C. 3 D. 9
解析： 设幂函数 y ＝ f （ x ）＝ xα，其图象经过点（2， ），
则2α＝ ，解得α＝ .∴ f （ x ）＝ ＝ ，∴ f （3）＝ .故
选B.
2. 已知 f （ x ）＝（ m ＋1） xm＋2是幂函数，则 m ＝ .
解析：∵函数 f （ x ）＝（ m ＋1） xm＋2是幂函数，∴ m ＋1＝1，即
m ＝0.
3. 函数 y ＝ x－3在区间[－4，－2]上的最小值是 .
解析：易知函数 y ＝ x－3＝ 在[－4，－2]上单调递减，所以当 x
＝－2时， ymin＝（－2）－3＝ ＝－ .
0
－
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 幂函数的概念
【例1】 （1）在函数 y ＝ x－2， y ＝2 x2， y ＝（ x ＋1）2， y ＝3 x
中，幂函数的个数为（ B ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 根据幂函数定义可知，只有 y ＝ x－2是幂函数，所以选B.
（2）若 f （ x ）＝（ m2－4 m －4） xm 是幂函数，则 m ＝ .
解析： 因为 f （ x ）是幂函数，所以 m2－4 m －4＝1，即 m2
－4 m －5＝0，解得 m ＝5或 m ＝－1.
5或－1
通性通法
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y ＝ xα（α为
常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）
指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.
【跟踪训练】
（多选）下列函数中是幂函数的是（ ）
B. y ＝4 x2
C. y ＝2 x ＋1
解析： 幂函数是形如 y ＝ xα（α为常数）的函数，A是α＝－1
的情形，D是α＝－ 的情形，所以A和D都是幂函数；B中 x2的系数
是4，不是幂函数；易知C不是幂函数.
题型二 幂函数的图象及应用
【例2】 如图是幂函数 y ＝ xn 的部分图象，已知 n 取 ，2，－2，－
这四个值，则与曲线 C1， C2， C3， C4相对应的 n 依次为（ ）
解析： 法一 曲线 C1， C2过点（0，0），（1，1），且在第一象
限内单调递增，所以 n ＞0， n 为 ，2，显然 C1对应 y ＝ x2， C2对应 y
＝ . C3， C4过点（1，1），且在第一象限内单调递减，所以 n ＜0，
n 为－2，－ ，显然 C3对应 y ＝ ， C4对应 y ＝ x－2.
法二 取 x ＝2，分别代入 y1＝ x2， y2＝ ， y3＝ ， y4＝ x－2，可求
得 y1＝4， y2＝ ， y3＝ ， y4＝ ，比较得 y1＞ y2＞ y3＞ y4，则与曲
线 C1， C2， C3， C4相对应的 n 依次为2， ，－ ，－2.
通性通法
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在（0，1）上，
指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴（简记为指大图低）；在
（1，＋∞）上，指数越大，幂函数图象越远离 x 轴（简记为指
大图高）；
（2）依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第
一象限内的图象（类似于 y ＝ x－1或 y ＝ 或 y ＝ x3）来判断.
【跟踪训练】
若幂函数 y ＝ xm 与 y ＝ xn 在第一象限内的图象如图所示，则（ ）
A. －1＜ n ＜0＜ m ＜1 B. n ＜－1，0＜ m ＜1
C. －1＜ n ＜0， m ＞1 D. n ＜－1， m ＞1
解析： 由图象知， y ＝ xm 在（0，＋∞）上单调递增，所以 m ＞
0，由于 y ＝ xm 的图象增长的越来越慢，所以 m ＜1， y ＝ xn 在（0，＋
∞）上单调递减，所以 n ＜0，又当 x ＞1时， y ＝ xn 的图象在 y ＝ x－1
的下方，所以 n ＜－1.
题型三 幂函数的性质及应用
角度1 比较幂值的大小
【例3】 比较下列各组数的大小：
（1） 和3. ；
解： ∵函数 y ＝ 在（0，＋∞）上单调递减，又3＜
3.1，∴ ＞3. .
（2）－ 和－ .
解： － ＝－ ，函数 y ＝ 在（0，＋∞）上单
调递增.
又 ＞ ，∴ ＞ ，即－ ＜－ .
通性通法
比较幂值大小的2种方法
角度2 解简单不等式
【例4】 若幂函数 f （ x ）过点（2，8），则满足不等式 f （ a －3）
＞ f （1－ a ）的实数 a 的取值范围是 .
解析：设幂函数为 f （ x ）＝ xα，因为其图象过点（2，8），所以2α
＝8，解得α＝3，所以 f （ x ）＝ x3.因为 f （ x ）＝ x3在R上为增函
数，所以由 f （ a －3）＞ f （1－ a ），得 a －3＞1－ a ，解得 a ＞2.所
以满足不等式 f （ a －3）＞ f （1－ a ）的实数 a 的取值范围是（2，＋
∞）.
（2，＋∞）
通性通法
利用幂函数的性质解不等式的步骤
（1）确定可以利用的幂函数；
（2）借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变
量的大小关系；
（3）解不等式（组）求参数范围时，注意分类讨论思想的应用.
【跟踪训练】
1. （多选）已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数 y ＝ xα的值域为R，
且为奇函数的α的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. 2 D. 3
解析： 当α＝－1时， y ＝ x－1＝ 为奇函数，但值域为
{ y ｜ y ≠0}，不满足条件；当α＝1时， y ＝ x 为奇函数，值域
为R，满足条件；当α＝2时， y ＝ x2为偶函数，值域为{ y ｜ y
≥0}，不满足条件；当α＝3时， y ＝ x3为奇函数，值域为R，
满足条件.故选B、D.
2. 已知幂函数 y ＝（ m2＋ m －5） ，当 x ∈（0，＋∞）
时， y 随 x 的增大而减小，则实数 m 的值为 .
解析：∵ y ＝（ m2＋ m －5） 是幂函数，∴ m2＋ m －5＝
1，即（ m －2）（ m ＋3）＝0，∴ m ＝2或 m ＝－3.当 m ＝2时， m2
－2 m －3＝－3， y ＝ x－3是幂函数，且满足当 x ∈（0，＋∞）时，
y 随 x 的增大而减小；当 m ＝－3时， m2－2 m －3＝12， y ＝ x12是幂
函数，但不满足当 x ∈（0，＋∞）时， y 随 x 的增大而减小，故舍
去.∴实数 m 的值为2.
2
1. 在函数 y ＝ x－4， y ＝3 x2， y ＝ x2＋2 x ， y ＝1中，幂函数的个数为
（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 函数 y ＝ x－4为幂函数；函数 y ＝3 x2中 x2的系数不是1，
所以它不是幂函数；函数 y ＝ x2＋2 x 不是 y ＝ xα（α是常数）的形
式，所以它不是幂函数；函数 y ＝1与 y ＝ x0＝1（ x ≠0）不相等，
所以 y ＝1不是幂函数.
2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，＋∞）上单调递减的是
（ ）
A. y ＝ x－2 B. y ＝ x－1
C. y ＝ x2
解析： 所给选项都是幂函数，其中 y ＝ x－2和 y ＝ x2是偶函数，
y ＝ x－1和 y ＝ 不是偶函数，故排除选项B、D，又 y ＝ x2在区间
（0，＋∞）上单调递增，不合题意， y ＝ x－2在区间（0，＋∞）
上单调递减，符合题意.故选A.
3. 幂函数 f （ x ）的图象过点（2， m ），且 f （ m ）＝16，则实数 m
＝ .
解析：设 f （ x ）＝ xα，则2α＝ m ， mα＝（2α）α＝ ＝16，所
以α2＝4，所以α＝±2，所以 m ＝4或 .
4或
4. 比较下列各组数的大小：
（1） ， ；
解： 由幂函数 y ＝ 在（0，＋∞）上单调递增，得
＜ .
（2） ， .
解： 由幂函数 y ＝ 在（0，＋∞）上单调递减，得
（ ＜（ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列函数为幂函数的是（ ）
A. y ＝2 x4 B. y ＝2 x3－1
D. y ＝ x2
解析： 结合幂函数的形式可知D正确.故选D.
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2. 若 f （ x ）＝ ，则函数 f （4 x －3）的定义域为（ ）
A. R
解析： 易知 f （ x ）＝ 的定义域为（0，＋∞），则4 x －3∈
（0，＋∞），即 x ∈ ，故选D.
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3. 函数 f （ x ）＝ xa ＋ b ，不论 a 为何值， f （ x ）的图象均过点（ m ，
0），则实数 b 的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. 2 D. 3
解析： ∵幂函数 y ＝ xa 过定点（1，1），∴ f （ x ）＝ xa ＋ b 过
定点（1，1＋ b ），结合已知条件可知1＋ b ＝0，则 b ＝－1.
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4. 如图所示，曲线 C1和 C2分别是函数 y ＝ xm 和 y ＝ xn 在第一象限内的
图象，则下列结论正确的是（ ）
A. n ＜ m ＜0 B. m ＜ n ＜0
C. n ＞ m ＞0 D. m ＞ n ＞0
解析： 由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故 m
＜0， n ＜0.由幂函数图象的特点知 n ＜ m ，故 n ＜ m ＜0.
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5. （多选）已知幂函数 f （ x ）＝ xn ， n ∈{－2，－1，1，3}的图象关
于 y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A. f （－2）＞ f （1）
B. f （－2）＜ f （1）
C. f （－2）＝ f （－1）
D. 若｜ a ｜＞｜ b ｜＞0，则 f （ a ）＜ f （ b ）
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解析： 幂函数 f （ x ）＝ xn ， n ∈{－2，－1，1，3}的图象关
于 y 轴对称，则 n ＝－2，则 f （ x ）＝ ， f （－ x ）＝ f （ x ），且
f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，于是有 f （－2）＝ f （2）＜ f
（1）＝ f （－1），则A错误，B正确，C错误；若｜ a ｜＞｜ b ｜
＞0，则 f （｜ a ｜）＜ f （｜ b ｜），即 f （ a ）＜ f （ b ）成立，故
D正确.故选B、D.
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6. （多选）下列说法中正确的有（ ）
A. y ＝ x0的图象是一条直线
B. 幂函数的图象不过第四象限
D. 若幂函数的图象过点（4，2），则它的单调递增区间是[0，＋
∞）
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解析： A选项，因为函数 y ＝ x0的定义域为{ x ｜ x ≠0}，所以
图象不是一条直线，A错误；B选项，若 x ＞0，则 xα不可能小于
0，B正确；C选项，当 x ＞2时，函数 y ＝ 的值域为
，C错误；D选项，设幂函数为 y ＝ xα，因为幂函数的图象过点
（4，2），所以2＝4α，解得α＝ ，则 y ＝ ＝ ，故单调递增
区间是[0，＋∞），D正确.故选B、D.
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7. 幂函数 y ＝ 的定义域为 ；其奇偶性是
.
解析：因为 y ＝ ＝ ，所以函数的定义域为（－∞，＋∞），
且为偶函数.
（－∞，＋∞）
偶函
数
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8. 已知幂函数 f （ x ）＝ xα的部分对应值如表：
x 1
f （ x ） 1
则 f （ x ）的单调递增区间是 .
解析：因为 f ＝ ，所以 ＝ ，即α＝ ，所以 f （ x ）＝
的单调递增区间是[0，＋∞）.
[0，＋∞）
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9. 已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是 .
解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，所以 y ＝ xα在（0，＋
∞）上单调递减，故α＜0.
（－∞，0）
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10. 比较下列各组数的大小：
（1） 和3. ；
解： 函数 y ＝ 在（0，＋∞）上单调递减，又3＜
3.2，所以 ＞3. .
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（2） 和 ；
解： ＝ ， ＝ ，函数 y ＝ 在
（0，＋∞）上单调递增，而 ＞ ，所以 ＞ .
（3）4. 和3. .
解： 4. ＞ ＝1，0＜3. ＜ ＝1，
所以4. ＞3. .
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11. 在同一坐标系内，函数 y ＝ xa （ a ≠0）和 y ＝ ax － 的图象可能是
（ ）
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解析： 选项A中，幂函数的指数 a ＜0，则函数 y ＝ ax － 应为
减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数 a ＞1，则函数 y ＝ ax －
应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数 a ＜0，则－ ＞
0，函数 y ＝ ax － 与 y 轴交点的纵坐标应为正，D错误.
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12. 已知函数 f （ x ）＝ ，若0＜ a ＜ b ＜1，则下列各式中正确的是
（ ）
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解析： 因为函数 f （ x ）＝ 在（0，＋∞）上单调递增，又0
＜ a ＜ b ＜1＜ ＜ ，故 f （ a ）＜ f （ b ）＜ f （ ）＜ f （ ）.
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13. 有四个幂函数：① f （ x ）＝ x－1；② f （ x ）＝ x－2；③ f （ x ）＝
x3；④ f （ x ）＝ .某同学研究了其中的一个函数，并给出这个
函数的三个性质：
（1）是偶函数；（2）值域是{ y ｜ y ∈R，且 y ≠0}；（3）在
（－∞，0）上单调递增.
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究
的函数是 （填序号）.
②
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解析：对于函数①， f （ x ）＝ x－1是一个奇函数，值域是
{ y ｜ y ∈R，且 y ≠0}，在（－∞，0）上单调递减，所以三
个性质中有两个不正确；对于函数②， f （ x ）＝ x－2是一个
偶函数，其值域是{ y ｜ y ∈R，且 y ＞0}，在（－∞，0）上
单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可
判断③④中函数不符合条件.
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14. 已知幂函数 f （ x ）＝ xa 的图象经过点 A .
（1）求实数 a 的值；
解： ∵ f （ x ）＝ xa 的图象经过点 A ，
＝ ，即2－ a ＝ ，解得 a ＝－ .
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（2）用定义法证明 f （ x ）在区间（0，＋∞）上单调递减.
解： 证明：由（1）得 f （ x ）＝ ，任取 x1， x2∈
（0，＋∞），且 x1＜ x2，
则 f （ x2）－ f （ x1）＝ － ＝ － ＝ ＝
.
∵ x2＞ x1＞0，∴ x1－ x2＜0，且 （ ＋ ）＞0，
∴ f （ x2）－ f （ x1）＜0，即 f （ x2）＜ f （ x1），
∴ f （ x ）＝ 在区间（0，＋∞）上单调递减.
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15. （多选）已知幂函数 f （ x ）＝ （ m ， n ∈N*， m ， n 互质），
下列关于 f （ x ）的结论正确的是（ ）
A. m ， n 是奇数时， f （ x ）是奇函数
B. m 是偶数， n 是奇数时， f （ x ）是偶函数
C. m 是奇数， n 是偶数时， f （ x ）是偶函数
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解析： f （ x ）＝ ＝ ，当 m ， n 是奇数时， f （ x ）是
奇函数，故A中的结论正确；当 m 是偶数， n 是奇数时， f （ x ）
是偶函数，故B中的结论正确；当 m 是奇数， n 是偶数时， f
（ x ）在 x ＜0时无意义，故C中的结论错误；当0＜ ＜1时， f
（ x ）在（0，＋∞）上单调递增，故D中的结论错误.故选A、B.
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16. 已知幂函数 f （ x ）＝ （ m ∈N*）.
（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的
单调性；
解： ∵ m2＋ m ＝ m （ m ＋1）（ m ∈N*），而 m 与 m
＋1中必有一个为偶数，∴ m2＋ m 为偶数，
∴函数 f （ x ）＝ （ m ∈N*）的定义域为[0，
＋∞），并且该函数在[0，＋∞）上是增函数.
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（2）若函数 f （ x ）经过点（2， ），试确定 m 的值，并求满
足条件 f （2－ a ）＞ f （ a －1）的实数 a 的取值范围.
解： ∵函数 f （ x ）经过点（2， ），
∴ ＝ ，即 m2＋ m ＝2，解得 m ＝1或 m ＝－2，
又∵ m ∈N*，∴ m ＝1， f （ x ）＝ .
又∵ f （2－ a ）＞ f （ a －1），∴解得1≤ a
＜ .
故函数 f （ x ）经过点（2， ）时， m ＝1，满足条件 f （2
－ a ）＞ f （ a －1）的实数 a 的取值范围为［1， ）.
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谢 谢 观 看！
