3.4 函数的应用（一）
1.北京某快递公司邮寄重量在1 000克以内的包裹的费用标准如下表：
运送距离 x（km） 0＜x≤ 500 500＜ x≤1 000 1 000＜ x≤1 500 1 500＜ x≤2 000 …
邮费y（元） 5.00 6.00 7.00 8.00 …
如果某人在北京通过该快递公司邮寄900克的包裹到距该快递公司1 300 km的某地，那么他应付的邮费是（ ）
A.5.00元 B.6.00元
C.7.00元 D.8.00元
2.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f（t）的图象如图所示，则杯子的形状是（ ）
3.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨（ ）
A.820元 B.840元
C.860元 D.880元
4.某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f（x）的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为当日（ ）
A.上午10：00 B.中午12：00
C.下午4：00 D.下午6：00
5.（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.甲比乙先出发
B.甲和乙跑的路程一样多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
6.（多选）已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
重量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是（ ）
A.买小包装实惠
B.买大包装实惠
C.卖3小包比卖1大包盈利多
D.卖1大包比卖3小包盈利多
7.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝x∈N，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数.若面试人数为60，则该公司拟录用人数为 .
8.有一种密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理为：发送方根据加密密钥把明文转为密文（加密），接收方根据加密密钥把密文转为明文（解密）.现在已知加密密钥为y＝xα（α为常数），如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是 .
9.汽车从A地出发直达B地，途中经过C地，假设汽车匀速行驶，5 h后到达B地.汽车与C地的距离s（单位：km）关于时间t（单位：h）的函数关系如图所示，则汽车从A地到B地行驶的路程为 km.
10.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表所示：
x/元 130 150 165
y/件 70 50 35
如果日销售量y是关于销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
11.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A. B.
C. D.－1
12.（多选）某工厂八年来某种产品总产量y（即前x年年产量之和）与时间x（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ）
A.前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B.前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C.第三年后，这种产品停止生产
D.后五年总产量保持不变
13.某电商结合自己出售的商品，要购买3 000个高为2分米，体积为18立方分米的长方体纸质包装盒.经过市场调研，此类包装盒按面积计价，每平方分米的价格y（单位：元）与订购数量x（单位：个）之间满足y＝则该电商购入3 000个包装盒至少需要 元.（说明：每个纸盒计费面积为六个面的面积之和）
14.某游乐场每天的盈利额y（元）与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试解决下列问题.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，则每天至少需要卖出多少张门票？
15.根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f（t）与时间t满足关系f（t）＝（t∈N），销售量g（t）与时间t满足关系g（t）＝－t＋（0≤t≤40，t∈N）.则这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值为 .
16.某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4毫克/立方米时，它才能起到去污作用.
（1）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值.（精确到0.1，参考数据：≈1.4）
3.4 函数的应用（一）
1.C 当0＜x≤2 000时，邮费y与运送距离x之间的函数解析式为y＝∵1 300∈（1 000，1 500]，∴当x＝1 300时，y＝7，故选C.
2.A 从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，故选A.
3.C 设y＝kx＋b（k≠0），则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.解400＝－10x＋9 000，得x＝860（元）.
4.C 由图象知，当0≤x≤4时，设直线y＝k1x，把点（4，320）代入得k1＝80，所以y＝80x；当4＜x≤20时，设y＝f（x）＝k2x＋b，将点（4，320）和（20，0）代入得解得此时y＝f（x）＝－20x＋400，所以f（x）＝当0≤x≤4时，令80x≥240，得3≤x≤4，当4＜x≤20时，令y＝－20x＋400≥240，解得4＜x≤8，所以3≤x≤8，故第二次服药最迟的时间应为第一次服药8小时后，即当日下午4：00.
5.BD 由题图可知，甲和乙同时出发，故A不正确；因为s甲＝s乙，所以甲和乙跑的路程一样多，故B正确；因为甲和乙跑的路程一样多，但是甲用的时间比乙用的时间少，所以甲的速度大于乙的速度，故C不正确，D正确.故选B、D.
6.BD 大包装饼干300克8.4元，则平均每100克2.8元，小包装饼干100克3元，则买大包装饼干实惠，故B正确；卖1大包饼干盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3（元），卖1小包饼干盈利3－0.5－1.8＝0.7（元），则卖3小包饼干盈利0.7×3＝2.1（元），则卖1大包饼干比卖3小包饼干盈利多，故D正确.故选B、D.
7.25 解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意.故该公司拟录用25人.
8.9 解析：由题目可知加密密钥y＝xα（α为常数）是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值.由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝.由＝3，得x＝9.
9.500 解析：设汽车的速度为v km/h，则从A地到C地，s＝200－vt（0≤t≤2），又t＝2时，s＝0，∴2v＝200，解得v＝100.从C地到B地，s＝v（t－2）＝100（t－2）（2＜t≤5），∴t＝5时，s＝100×（5－2）＝300.200＋300＝500（km），故汽车从A地到B地行驶的路程为500 km.
10.解：设y＝ax＋b（a≠0），
则解得
所以y＝200－x.
当每件产品的销售价为x元时，每件产品的销售利润为（x－120）元，
设每天的销售利润为S元，则S＝（200－x）×（x－120）＝－x2＋320x－24 000＝－（x－160）2＋1 600，120＜x＜200，
所以当x＝160时，S取得最大值1 600.
所以要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为160元，此时每天的销售利润为1 600元.
11.D 设年平均增长率为x，则有（1＋p）·（1＋q）＝（1＋x）2，解得x＝－1.
12.ACD 由题图可知，在区间[0，3]上，总产量的增长速度越来越慢，所以年产量逐年减小，因此A正确，B错误.在[3，8]上，图象是水平线段，表明总产量保持不变，即年产量为0，因此C正确，D正确.故选A、C、D.
13.1 260 解析：设长方体包装盒的底面长为t（t＞0）分米，则宽为分米，故长方体包装盒的表面积S＝4t＋＋18（t＞0）.∵S＝4t＋＋18≥2＋18＝42，当且仅当4t＝，即t＝3时取等号，∴Smin＝42.当x＝3 000时，y＝0.01，∴总费用最少为42×3 000×0.01＝1 260（元）.
14.解：（1）当x∈[0，200]时，可设y＝k1x＋b1（k1≠0），
代入点（0，－1 000）和（200，1 000），解得k1＝10，b1＝－1 000，
所以y＝10x－1 000，x∈[0，200].
当x∈（200，300]时，可设y＝k2x＋b2（k2≠0），
代入点（200，500）和（300，2 000），解得k2＝15，b2＝－2 500，
所以y＝15x－2 500，x∈（200，300].
所以y＝
（2）若每天的盈利额超过1 000元，
则x∈（200，300]，所以y＝15x－2 500.
由15x－2 500＞1 000，解得x＞≈233.3，
故每天至少需要卖出234张门票.
15.176 解析：设日销售额为F（t）.
①当0≤t＜20，t∈N时，
F（t）＝＝－＋，故当t＝10或t＝11时，F（t）max＝176.
②当20≤t≤40，t∈N时，
F（t）＝（－t＋41）＝（t－42）2－，
故当t＝20时，F（t）max＝161.
综合①②知，当t＝10或t＝11时，日销售额最大，最大值为176.
16.解：（1）∵一次喷洒4个单位的去污剂，
∴浓度为4y＝
则当0≤x≤4时，由－4≥4，
解得x≥0，∴此时0≤x≤4.
当4＜x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8.
综上得0≤x≤8，
即若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达8天.
（2）设从第一次喷洒起，经过x（6≤x≤10）天后，
浓度y＝2（5－x）＋a［－1］＝（14－x）＋－a－4≥2－a－4＝8－a－4，
∵14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴4∈[4，8]，
故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4.
令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，
∴a的最小值为24－16≈1.6.
2 / 43.4 函数的应用（一）
新课程标准解读 核心素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具 数学抽象、数学建模
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律 数学建模、数学运算
随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：
年份 2021 2022 2023
销量/万辆 8 18 30
结合以上三年的销量及人们生活的需要，2024年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标.
【问题】 （1）在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？
（2）你认为该目标能够实现吗？
知识点 常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）
二次函 数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
分段函 数模型 f（x）＝
幂函数模型 f（x）＝axα＋b（a，b，α为常数，a≠0）
1.某公司市场营销人员的个人月收入y与其每月的销售量x呈一次函数关系，其图象如图所示.由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）
A.3 100元 B.3 000元
C.2 900元 D.2 800元
2.一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）
A.y＝20－x（0＜x＜10） B.y＝20－2x（0＜x＜20）
C.y＝40－x（0＜x＜10） D.y＝40－2x（0＜x＜20）
3.（多选）（2024·淄博月考）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下4个论断则一定正确的是（ ）
A.0点到3点只进水不出水
B.3点到4点不进水只出水
C.3点到4点总蓄水量降低
D.4点到6点不进水不出水
题型一 一次函数模型的应用
【例1】 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元？
通性通法
利用一次函数模型解决实际问题的2个注意点
（1）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法；
（2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数.
【跟踪训练】
商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店现推出两种优惠活动：
（1）买一只茶壶赠送一只茶杯；
（2）按购买总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若购买x只茶杯时总付款为y元，试分别建立两种优惠活动中y与x之间的函数解析式，并指出如果该顾客需购买茶杯40只，应选择哪种优惠活动？
题型二 二次函数模型的应用
【例2】 十一长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用（人工费，消耗费用等等）.受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加x元（x≥0且x为10的整数倍）.
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数解析式；
（3）一天订住多少个房间时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少元？
通性通法
构建函数模型解决实际问题的策略
（1）“求什么”就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务，通常表现为求函数值；
（2）“设什么”就是弄清楚这个问题中有哪些变化因素，找出变化的根源，通常设变化的根源为自变量；
（3）“列什么”就是从函数值出发逐步应用公式，用自变量与已知量表示函数值，直至求出函数解析式；
（4）“限制什么”就是指自变量应满足的限制条件，不仅要考虑自变量是否有意义，还要考虑用自变量表示的其他所有量是否有意义，另外还要考虑变量的实际含义，如整数解等.
【跟踪训练】
某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？
题型三 分段函数模型的应用
【例3】 中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C（x）（万元）.当年产量不足80台时，C（x）＝x2＋40x，当年产量不小于80台时，C（x）＝101x＋－2 180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润.
通性通法
应用分段函数时的三个注意点
（1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏（关键词：“段”）；
（2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集（关键词：定义域）；
（3）分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论（关键词：值域）.
【跟踪训练】
某市自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4 t时，每吨3元，当用水量超过4 t时，超过部分每吨4元.现甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x t，3x t.
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若甲、乙两户该月共交水费40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
题型四 幂函数模型的应用
【例4】 某家庭进行理财投资，根据市场长期收益率预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.
（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；
（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？
通性通法
幂函数模型应用的求解策略
（1）给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式；
（2）根据题意，直接列出相应的函数关系式.
【跟踪训练】
某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为y＝xa（a为常数），其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元.
1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）的函数关系用图象表示为图中的（ ）
2.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y（g/m3）与大气压强x（kPa）成正比例函数关系.当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数解析式为（ ）
A.y＝3x（x≥0） B.y＝3x
C.y＝x（x≥0） D.y＝x
3.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，且K（Q）＝40Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是 万元.
3.4 函数的应用（一）
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.B 设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0），函数图象过点（1，8 000），（2，13 000），则解得所以y＝5 000x＋3 000.当x＝0时，y＝3 000，所以营销人员没有销售量时的收入是3 000元.
2.A 由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，又20－x＞x，所以0＜x＜10.故选A.
3.AC 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，A正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错误，C正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：设每天从报社买进x（250≤x≤400）份报纸；每月所获利润是y元，则每月售出报纸共（20x＋10×250）份；每月退回报社报纸共10×（x－250）份.
依题意得y＝（0.40－0.24）×（20x＋10×250）－（0.24－0.08）×10（x－250）.
即y＝0.16（20x＋2 500）－0.16（10x－2 500），
化简得y＝1.6x＋800（250≤x≤400）.
∵此一次函数（y＝kx＋b，k≠0）的k＝1.6＞0，
∴y是一个增函数，再由250≤x≤400知当x＝400时，y取得最大值，此时y＝1.6×400＋800＝1 440（元）.
∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1 440元.
跟踪训练
解：设优惠活动（1），（2）对应的付款分别为y1元，y2元.
由优惠活动（1）得函数解析式为y1＝20×4＋5（x－4）＝5x＋60（x≥4，x∈N*）.
由优惠活动（2）得函数解析式为y2＝（20×4＋5x）×92%＝4.6x＋73.6（x≥4，x∈N*）.
当该顾客购买茶杯40只时，采用优惠活动（1）应付款y1＝5×40＋60＝260（元）；采用优惠活动（2）应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6（元）.由于y2＜y1，故应选择优惠活动（2）.
【例2】 解：（1）y＝50－x（0≤x≤160，且x是10的整数倍）.
（2）W＝（180＋x－20）＝－x2＋34x＋8 000（0≤x≤160，且x是10的整数倍）.
（3）由（2）得W＝－x2＋34x＋8 000＝－（x－170）2＋10 890，当x＜170时，W随x的增大而增大.
又0≤x≤160.
∴当x＝160时，Wmax＝10 880，此时y＝50－x＝34.
故一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10 880元.
跟踪训练
解：（1）根据题意，得y＝90－3（x－50），
化简得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）.
（2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润，所以w＝（－3x＋240）（x－40）＝－3x2＋360x－9 600（50≤x≤55，x∈N）.
（3）因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3（x－60）2＋1 200，
所以当x＜60时，w随x的增大而增大.
又50≤x≤55，x∈N，
所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最大利润是1 125元.
【例3】 解：（1）当0＜x＜80时，y＝100x－（x2＋40x）－500＝－x2＋60x－500；
当x≥80时，y＝100x－（101x＋－2 180）－500＝1 680－（x＋），
于是y＝
（2）由（1）可知当0＜x＜80时，y＝－（x－60）2＋1 300，
当x＝60时，y取得最大值为1 300，
当x≥80时，y＝1 680－（x＋）≤1 680－2＝1 500，
当且仅当x＝，即x＝90时，y取最大值为1 500，
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元.
跟踪训练
解：（1）当甲户用水量不超过4 t，即5x≤4时，乙户用水量也不超过4 t，y＝（5x＋3x）×3＝24x；
当甲户的用水量超过4 t而乙户的用水量不超过4 t，
即5x＞4且3x≤4时，
y＝4×3＋3x×3＋4×（5x－4）＝29x－4；
当甲、乙两户的用水量均超过4 t，即3x＞4时，
y＝4×3×2＋（5x－4）×4＋（3x－4）×4＝32x－8.
故y＝
（2）由于函数y＝f（x）在各段区间上均单调递增，
所以当x∈［0，］时，y≤f（ ）＝19.2＜40；
当x∈（ ，］时，y≤f（ ）＝34＜40.
故x∈（ ，＋∞），令32x－8＝40，解得x＝1.5，
所以5x＝7.5，甲户该月用水量为7.5 t，应付水费y1＝4×3＋（7.5－4）×4＝26（元）；
3x＝4.5，乙户该月用水量为4.5 t，应付水费y2＝4×3＋（4.5－4）×4＝14（元）.
【例4】 解：（1）设投资债券类产品、股票类产品的收益与投资额之间的函数关系式分别为f（x）＝k1x，g（x）＝k2，由题图知f（1）＝＝k1，g（1）＝＝k2，
∴f（x）＝x（x≥0），g（x）＝（x≥0）.
（2）设股票类产品投资x万元，则债券类产品投资（20－x）万元，总收益为y万元.
依题意得y＝f（20－x）＋g（x）＝＋＝－（－2）2＋3（0≤x≤20），
∴当＝2，即x＝4时，收益最大，此时ymax＝3.
即股票类产品投资4万元，债券类产品投资16万元时获得最大收益，最大收益是3万元.
跟踪训练
125 解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xa中，得3a＝27，解得a＝3，故函数解析式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.
随堂检测
1.B 由题意h＝20－5t，0≤t≤4.结合图象知应选B.
2.A 由题意设y＝kx（k≠0），将（36，108）代入解析式可得k＝3，故y＝3x，考虑到含氧量不可能为负，可知x≥0.
3.2 500 解析：L（Q）＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－（Q－300）2＋2 500，当Q＝300时，L（Q）取得最大值，最大值为2 500万元.
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3.4 函数的应用（一）
新课程标准解读 核心素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律
的重要数学语言和工具 数学抽象、
数学建模
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实
问题的变化规律 数学建模、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.
下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：
年份 2021 2022 2023
销量/万辆 8 18 30
结合以上三年的销量及人们生活的需要，2024年初，该汽车销售
公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标.
【问题】 （1）在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用
什么方式获取直观信息？
（2）你认为该目标能够实现吗？
知识点 常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ， b 为常数， a ≠0）
二次函数模型 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ， b ， c 为常数， a ≠0）
分段函数模型 f （ x ）＝
幂函数模型 f （ x ）＝ axα＋ b （ a ， b ，α为常数， a ≠0）
1. 某公司市场营销人员的个人月收入 y 与其每月的销售量 x 呈一次函
数关系，其图象如图所示.由图中给出的信息可知，营销人员没有
销售量时的收入是（ ）
A. 3 100元 B. 3 000元
C. 2 900元 D. 2 800元
解析： 设一次函数的解析式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），函数图象
过点（1，8 000），（2，13 000），则解得
所以 y ＝5 000 x ＋3 000.当 x ＝0时， y ＝3 000，所以
营销人员没有销售量时的收入是3 000元.
2. 一个矩形的周长是40，矩形的长 y 关于宽 x 的函数解析式为
（ ）
A. y ＝20－ x （0＜ x ＜10）
B. y ＝20－2 x （0＜ x ＜20）
C. y ＝40－ x （0＜ x ＜10）
D. y ＝40－2 x （0＜ x ＜20）
解析： 由题意可知2 y ＋2 x ＝40，即 y ＝20－ x ，又20－ x ＞ x ，
所以0＜ x ＜10.故选A.
3. （多选）（2024·淄博月考）一水池有两个进水口，一个出水口，
每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池
的蓄水量如图丙所示.给出以下4个论断则一定正确的是（ ）
A. 0点到3点只进水不出水 B. 3点到4点不进水只出水
C. 3点到4点总蓄水量降低 D. 4点到6点不进水不出水
解析： 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的 ，所以0点
到3点不出水，A正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出
水，总蓄水量降低，B错误，C正确；4点到6点也可能两个进水口
进水，一个出水口出水，D错误.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 一次函数模型的应用
【例1】 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价
格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.
在一个月（以30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每
天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报
刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最
大，每月最多可获利多少元？
解：设每天从报社买进 x （250≤ x ≤400）份报纸；每月所获利润
是 y 元，则每月售出报纸共（20 x ＋10×250）份；每月退回报社
报纸共10×（ x －250）份.
依题意得 y ＝（0.40－0.24）×（20 x ＋10×250）－（0.24－
0.08）×10（ x －250）.
即 y ＝0.16（20 x ＋2 500）－0.16（10 x －2 500），
化简得 y ＝1.6 x ＋800（250≤ x ≤400）.
∵此一次函数（ y ＝ kx ＋ b ， k ≠0）的 k ＝1.6＞0，
∴ y 是一个增函数，再由250≤ x ≤400知当 x ＝400时， y 取得最
大值，此时 y ＝1.6×400＋800＝1 440（元）.
∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1
440元.
通性通法
利用一次函数模型解决实际问题的2个注意点
（1）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法；
（2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负
时，一次函数为减函数.
【跟踪训练】
商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该
商店现推出两种优惠活动：
（1）买一只茶壶赠送一只茶杯；
解：设优惠活动（1），
（2）按购买总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若购买 x 只
茶杯时总付款为 y 元，试分别建立两种优惠活动中 y 与 x 之间的
函数解析式，并指出如果该顾客需购买茶杯40只，应选择哪种
优惠活动？
解：设优惠活动（2）对应的付款分别为 y1元， y2元.
由优惠活动（1）得函数解析式为 y1＝20×4＋5（ x －4）＝5 x ＋
60（ x ≥4， x ∈N*）.
由优惠活动（2）得函数解析式为 y2＝（20×4＋5 x ）×92%＝
4.6 x ＋73.6（ x ≥4， x ∈N*）.
当该顾客购买茶杯40只时，采用优惠活动（1）应付款 y1＝
5×40＋60＝260（元）；采用优惠活动（2）应付款 y2＝
4.6×40＋73.6＝257.6（元）.由于 y2＜ y1，故应选择优惠活动
（2）.
题型二 二次函数模型的应用
【例2】 十一长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房
间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每
增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每
天支出20元的各种费用（人工费，消耗费用等等）.受市场调控，每
个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加 x 元（ x
≥0且 x 为10的整数倍）.
（1）设一天订住的房间数为 y ，直接写出 y 与 x 的函数解析式及自变
量 x 的取值范围；
解： y ＝50－ x （0≤ x ≤160，且 x 是10的整数倍）.
（2）设宾馆一天的利润为 W 元，求 W 与 x 的函数解析式；
解： W ＝ （180＋ x －20）＝－ x2＋34 x ＋8
000（0≤ x ≤160，且 x 是10的整数倍）.
（3）一天订住多少个房间时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多
少元？
解： 由（2）得 W ＝－ x2＋34 x ＋8 000＝－ （ x －
170）2＋10 890，当 x ＜170时， W 随 x 的增大而增大.
又0≤ x ≤160.
∴当 x ＝160时， Wmax＝10 880，此时 y ＝50－ x ＝34.
故一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是
10 880元.
通性通法
构建函数模型解决实际问题的策略
（1）“求什么”就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务，通常
表现为求函数值；
（2）“设什么”就是弄清楚这个问题中有哪些变化因素，找出变化
的根源，通常设变化的根源为自变量；
（3）“列什么”就是从函数值出发逐步应用公式，用自变量与已知
量表示函数值，直至求出函数解析式；
（4）“限制什么”就是指自变量应满足的限制条件，不仅要考虑自
变量是否有意义，还要考虑用自变量表示的其他所有量是否有
意义，另外还要考虑变量的实际含义，如整数解等.
【跟踪训练】
某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50
元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均
每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天的销售量 y （箱）与销售单价 x （元）之间的函数解
析式；
解： 根据题意，得 y ＝90－3（ x －50），
化简得 y ＝－3 x ＋240（50≤ x ≤55， x ∈N）.
（2）求该批发商平均每天的销售利润 w （元）与销售单价 x （元）之
间的函数解析式；
解： 因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售
量×每箱销售利润，所以 w ＝（－3 x ＋240）（ x －40）＝－3 x2
＋360 x －9 600（50≤ x ≤55， x ∈N）.
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大
利润是多少？
解： 因为 w ＝－3 x2＋360 x －9 600＝－3（ x －60）2＋1 200，
所以当 x ＜60时， w 随 x 的增大而增大.
又50≤ x ≤55， x ∈N，
所以当 x ＝55时， w 有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最
大利润是1 125元.
题型三 分段函数模型的应用
【例3】 中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带
一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备
的年固定成本为500万元，每生产 x 台需要另投入成本 C （ x ）（万
元）.当年产量不足80台时， C （ x ）＝ x2＋40 x ，当年产量不小于80
台时， C （ x ）＝101 x ＋ －2 180，若每台设备售价为100万元，
通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
（1）求年利润 y （万元）关于年产量 x （台）的函数解析式；
解： 当0＜ x ＜80时， y ＝100 x －（ x2＋40 x ）－500＝－
x2＋60 x －500；
当 x ≥80时， y ＝100 x －（101 x ＋ －2 180）－500＝1 680
－（ x ＋ ），
于是 y ＝
（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利
润最大？并求出这个最大利润.
解： 由（1）可知当0＜ x ＜80时， y ＝－ （ x －60）2＋1 300，
当 x ＝60时， y 取得最大值为1 300，
当 x ≥80时， y ＝1 680－（ x ＋ ）≤1 680－2 ＝1 500，
当且仅当 x ＝ ，即 x ＝90时， y 取最大值为1 500，
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产
中所获利润最大，最大利润为1 500万元.
通性通法
应用分段函数时的三个注意点
（1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏（关键词：
“段”）；
（2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集（关键
词：定义域）；
（3）分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论
（关键词：值域）.
【跟踪训练】
某市自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4 t时，每吨3
元，当用水量超过4 t时，超过部分每吨4元.现甲、乙两户共交水费 y
元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5 x t，3 x t.
（1）求 y 关于 x 的函数关系式；
解： 当甲户用水量不超过4 t，即5 x ≤4时，乙户用水量也
不超过4 t， y ＝（5 x ＋3 x ）×3＝24 x ；
当甲户的用水量超过4 t而乙户的用水量不超过4 t，
即5 x ＞4且3 x ≤4时，
y ＝4×3＋3 x ×3＋4×（5 x －4）＝29 x －4；
当甲、乙两户的用水量均超过4 t，即3 x ＞4时，
y ＝4×3×2＋（5 x －4）×4＋（3 x －4）×4＝32 x －8.
故 y ＝
（2）若甲、乙两户该月共交水费40元，分别求出甲、乙两户该月的
用水量和水费.
解： 由于函数 y ＝ f （ x ）在各段区间上均单调递增，
所以当 x ∈［0， ］时， y ≤ f （ ）＝19.2＜40；
当 x ∈（ ， ］时， y ≤ f （ ）＝34 ＜40.
故 x ∈（ ，＋∞），令32 x －8＝40，解得 x ＝1.5，
所以5 x ＝7.5，甲户该月用水量为7.5 t，应付水费 y1＝4×3＋
（7.5－4）×4＝26（元）；
3 x ＝4.5，乙户该月用水量为4.5 t，应付水费 y2＝4×3＋（4.5
－4）×4＝14（元）.
题型四 幂函数模型的应用
【例4】 某家庭进行理财投资，根据市场长期收益率预测，投资债
券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收
益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分
别为0.125万元和0.5万元（如图）.
（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；
解： 设投资债券类产品、股票类产品的收益与投资额之间的函
数关系式分别为 f （ x ）＝ k1 x ， g （ x ）＝ k2 ，由题图知 f （1）＝ ＝ k1， g （1）＝ ＝ k2，∴ f （ x ）＝ x （ x ≥0）， g （ x ）＝ （ x ≥0）.
（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金
能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？
解： 设股票类产品投资 x 万元，则债券类产品投资（20－ x ）
万元，总收益为 y 万元.依题意得 y ＝ f （20－ x ）＋ g
（ x ）＝ ＋ ＝－ （ －2）2＋3（0≤ x ≤20），
∴当 ＝2，即 x ＝4时，收益最大，此时 ymax＝3.
即股票类产品投资4万元，债券类产品投资16万元时获得最大收
益，最大收益是3万元.
通性通法
幂函数模型应用的求解策略
（1）给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函
数关系式；
（2）根据题意，直接列出相应的函数关系式.
【跟踪训练】
某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入 x （万元）与药
品利润 y （万元）存在的关系为 y ＝ xa （ a 为常数），其中 x 不超过5
万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年
投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元.
解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入 y ＝
xa 中，得3 a ＝27，解得 a ＝3，故函数解析式为 y ＝ x3.所以当 x ＝5
时， y ＝125.
125
1. 一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度 h
（cm）与燃烧时间 t （h）的函数关系用图象表示为图中的
（ ）
解析： 由题意 h ＝20－5 t ，0≤ t ≤4.结合图象知应选B.
2. 随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下
降，且含氧量 y （g/m3）与大气压强 x （kPa）成正比例函数关系.
当 x ＝36 kPa时， y ＝108 g/m3，则 y 与 x 的函数解析式为（ ）
A. y ＝3 x （ x ≥0） B. y ＝3 x
C. y ＝ x （ x ≥0） D. y ＝ x
解析： 由题意设 y ＝ kx （ k ≠0），将（36，108）代入解析式
可得 k ＝3，故 y ＝3 x ，考虑到含氧量不可能为负，可知 x ≥0.
3. 某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位
产品，成本增加10万元.又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，
且 K （ Q ）＝40 Q － Q2，则总利润 L （ Q ）的最大值是
万元.
解析： L （ Q ）＝40 Q － Q2－10 Q －2 000＝－ Q2＋30 Q －2
000＝－ （ Q －300）2＋2 500，当 Q ＝300时， L （ Q ）取得最大
值，最大值为2 500万元.
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500
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 北京某快递公司邮寄重量在1 000克以内的包裹的费用标准如下表：
运送距离 x （km） 0＜ x ≤ 500 500＜ x ≤1 000 1 000＜ x ≤1 500 1 500＜ x ≤2 000 …
邮费 y
（元） 5.00 6.00 7.00 8.00 …
如果某人在北京通过该快递公司邮寄900克的包裹到距该快递公司1
300 km的某地，那么他应付的邮费是（ ）
A. 5.00元 B. 6.00元
C. 7.00元 D. 8.00元
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解析： 当0＜ x ≤2 000时，邮费 y 与运送距离 x 之间的函数解析
式为 y ＝∵1 300∈（1 000，1 500]，
∴当 x ＝1 300时， y ＝7，故选C.
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2. 向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度 h 随时间 t 变化的函数 h ＝ f （ t ）的图象如图所示，则杯子的形状是（ ）
解析： 从题图中看出，在时间段[0， t1]，[ t1， t2]内水面高度
是匀速上升的，在[0， t1]上升慢，在[ t1， t2]上升快，故选A.
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3. 一定范围内，某种产品的购买量 y 与单价 x 之间满足一次函数关系.
如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那
么一客户购买400吨，其价格为每吨（ ）
A. 820元 B. 840元
C. 860元 D. 880元
解析： 设 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），则1 000＝800 k ＋ b ，且2 000＝
700 k ＋ b ，解得 k ＝－10， b ＝9 000，则 y ＝－10 x ＋9 000.解400
＝－10 x ＋9 000，得 x ＝860（元）.
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4. 某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用 x 小时后血液中的残留
量为 y 毫克，如图所示为函数 y ＝ f （ x ）的图象，当血液中药物残
留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，
为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为当日（ ）
A. 上午10：00 B. 中午12：00
C. 下午4：00 D. 下午6：00
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解析： 由图象知，当0≤ x ≤4时，设直线 y ＝ k1 x ，把点（4，
320）代入得 k1＝80，所以 y ＝80 x ；当4＜ x ≤20时，设 y ＝ f （ x ）
＝ k2 x ＋ b ，将点（4，320）和（20，0）代入得
解得此时 y ＝ f （ x ）＝－20 x ＋400，所以 f （ x ）＝
当0≤ x ≤4时，令80 x ≥240，得3≤ x
≤4，当4＜ x ≤20时，令 y ＝－20 x ＋400≥240，解得4＜ x ≤8，所
以3≤ x ≤8，故第二次服药最迟的时间应为第一次服药8小时后，
即当日下午4：00.
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5. （多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程 s 与时间 t 的函数关系如
图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲比乙先出发 B. 甲和乙跑的路程一样多
C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲先到达终点
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解析： 由题图可知，甲和乙同时出发，故A不正确；因为 s甲
＝ s乙，所以甲和乙跑的路程一样多，故B正确；因为甲和乙跑的路
程一样多，但是甲用的时间比乙用的时间少，所以甲的速度大于乙
的速度，故C不正确，D正确.故选B、D.
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6. （多选）已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加
工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
重量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是（ ）
A. 买小包装实惠
B. 买大包装实惠
C. 卖3小包比卖1大包盈利多
D. 卖1大包比卖3小包盈利多
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解析： 大包装饼干300克8.4元，则平均每100克2.8元，小包
装饼干100克3元，则买大包装饼干实惠，故B正确；卖1大包饼干
盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3（元），卖1小包饼干盈利3－0.5－
1.8＝0.7（元），则卖3小包饼干盈利0.7×3＝2.1（元），则卖1
大包饼干比卖3小包饼干盈利多，故D正确.故选B、D.
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7. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 y
＝ x ∈N，其中 x 代表拟录用人数， y 代
表面试人数.若面试人数为60，则该公司拟录用人数为 .
解析：令 y ＝60，若4 x ＝60，则 x ＝15＞10，不合题意；若2 x ＋10
＝60，则 x ＝25，满足题意；若1.5 x ＝60，则 x ＝40＜100，不合
题意.故该公司拟录用25人.
25
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8. 有一种密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理
为：发送方根据加密密钥把明文转为密文（加密），接收方根据加
密密钥把密文转为明文（解密）.现在已知加密密钥为 y ＝ xα（α
为常数），如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文
“3”，则解密后得到的明文是 .
解析：由题目可知加密密钥 y ＝ xα（α为常数）是一个幂函数，所
以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值.由题意得2＝
4α，解得α＝ ，则 y ＝ .由 ＝3，得 x ＝9.
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9. 汽车从 A 地出发直达 B 地，途中经过 C 地，假设汽车匀速行驶，5 h
后到达 B 地.汽车与 C 地的距离 s （单位：km）关于时间 t （单位：
h）的函数关系如图所示，则汽车从 A 地到 B 地行驶的路程
为 km.
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解析：设汽车的速度为 v km/h，则从 A 地到 C 地， s ＝200－ vt
（0≤ t ≤2），又 t ＝2时， s ＝0，∴2 v ＝200，解得 v ＝100.从 C 地
到 B 地， s ＝ v （ t －2）＝100（ t －2）（2＜ t ≤5），∴ t ＝5时， s
＝100×（5－2）＝300.200＋300＝500（km），故汽车从 A 地到 B
地行驶的路程为500 km.
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10. 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价 x （元）与
产品的日销售量 y （件）之间的关系如表所示：
x/元 130 150 165
y/件 70 50 35
如果日销售量 y 是关于销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获
得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销
售利润是多少？
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解：设 y ＝ ax ＋ b （ a ≠0），则解得
所以 y ＝200－ x .
当每件产品的销售价为 x 元时，每件产品的销售利润为（ x －
120）元，
设每天的销售利润为 S 元，则 S ＝（200－ x ）×（ x －120）＝－
x2＋320 x －24 000＝－（ x －160）2＋1 600，120＜ x ＜200，
所以当 x ＝160时， S 取得最大值1 600.
所以要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为160
元，此时每天的销售利润为1 600元.
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11. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p ，第二年
的增长率为 q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
（ ）
A. B.
C. D. －1
解析： 设年平均增长率为 x ，则有（1＋ p ）（1＋ q ）＝（1＋
x ）2，解得 x ＝ －1.
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12. （多选）某工厂八年来某种产品总产量 y （即前 x 年年产量之和）
与时间 x （年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是
（ ）
A. 前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B. 前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C. 第三年后，这种产品停止生产
D. 后五年总产量保持不变
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解析： 由题图可知，在区间[0，3]上，总产量的增长速度
越来越慢，所以年产量逐年减小，因此A正确，B错误.在[3，8]
上，图象是水平线段，表明总产量保持不变，即年产量为0，因此
C正确，D正确.故选A、C、D.
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13. 某电商结合自己出售的商品，要购买3 000个高为2分米，体积为
18立方分米的长方体纸质包装盒.经过市场调研，此类包装盒按面
积计价，每平方分米的价格 y （单位：元）与订购数量 x （单位：
个）之间满足 y ＝则该电商购入3
000个包装盒至少需要 元.（说明：每个纸盒计费面积为
六个面的面积之和）
1 260
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解析：设长方体包装盒的底面长为 t （ t ＞0）分米，则宽为 分
米，故长方体包装盒的表面积 S ＝4 t ＋ ＋18（ t ＞0）.∵ S ＝4 t
＋ ＋18≥2 ＋18＝42，当且仅当4 t ＝ ，即 t ＝3时取等
号，∴ Smin＝42.当 x ＝3 000时， y ＝0.01，∴总费用最少为42×
3 000×0.01＝1 260（元）.
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14. 某游乐场每天的盈利额 y （元）与售出
的门票张数 x 之间的函数关系如图所示，
试解决下列问题.
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
解： 当 x ∈[0，200]时，可设 y ＝ k1 x ＋
b1（ k1≠0），代入点（0，－1 000）和
（200，1 000），解得 k1＝10， b1＝－1 000，所以 y ＝10 x －1 000， x ∈[0，200].
当 x ∈（200，300]时，可设 y ＝ k2 x ＋ b2（ k2≠0），
代入点（200，500）和（300，2 000），解得 k2＝15， b2＝－2
500，所以 y ＝15 x －2 500， x ∈（200，300].
所以 y ＝
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（2）若要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，则每天至少需
要卖出多少张门票？
解： 若每天的盈利额超过1 000元，则 x ∈（200，300]，所以 y ＝15 x －2 500.
由15 x －2 500＞1 000，解得 x ＞
≈233.3，
故每天至少需要卖出234张门票.
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15. 根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格 f （ t ）与时间 t
满足关系 f （ t ）＝（ t ∈N），销售量 g
（ t ）与时间 t 满足关系 g （ t ）＝－ t ＋ （0≤ t ≤40， t ∈N）.
则这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值
为 .
解析：设日销售额为 F （ t ）.
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①当0≤ t ＜20， t ∈N时，
F （ t ）＝ ＝－ ＋
，故当 t ＝10或 t ＝11时， F （ t ）max＝176.
②当20≤ t ≤40， t ∈N时，
F （ t ）＝（－ t ＋41） ＝ （ t －42）2－ ，
故当 t ＝20时， F （ t ）max＝161.
综合①②知，当 t ＝10或 t ＝11时，日销售额最大，最大值为176.
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16. 某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测
算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度 y （单位：毫克/
立方米）随着时间 x （单位：天）变化的函数关系式近似为 y ＝
若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂
浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由实验
知，当空气中去污剂的浓度不低于4毫克/立方米时，它才能起到
去污作用.
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（1）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
解： ∵一次喷洒4个单位的去污剂，
∴浓度为4 y ＝
则当0≤ x ≤4时，由 －4≥4，
解得 x ≥0，∴此时0≤ x ≤4.
当4＜ x ≤10时，由20－2 x ≥4，解得 x ≤8，
∴此时4＜ x ≤8.综上得0≤ x ≤8，
即若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达8天.
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（2）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒 a （1≤ a
≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去
污，试求 a 的最小值.（精确到0.1，参考数据： ≈1.4）
解： 设从第一次喷洒起，经过 x （6≤ x ≤10）天后，
浓度 y ＝2（5－ x ）＋ a ［ －1］＝（14－ x ）＋
－ a －4≥2 － a －4＝8 － a －4，
∵14－ x ∈[4，8]，而1≤ a ≤4，∴4 ∈[4，8]，
故当且仅当14－ x ＝4 时， y 有最小值为8 － a －4.
令8 － a －4≥4，解得24－16 ≤ a ≤4，
∴ a 的最小值为24－16 ≈1.6.
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谢 谢 观 看！
