一、函数的定义域
求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集.
【例1】 （1）函数f（x）＝＋（2x－1）0的定义域为（ ）
A.（ －∞，） B.（ ，1）
C.（ －，） D.（ －∞，）∪（ ，1）
（2）已知函数y＝f（x－1）的定义域是[－1，2]，则y＝f（1－3x）的定义域为（ ）
A.［－，0］ B.［－，3］
C.[0，1] D.［－，1］
反思感悟
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f[g（x）]的定义域可由不等式a≤g（x）≤b求出；
（2）若已知函数f[g（x）]的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]上的值域.
二、函数的值域
函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域.
【例2】 （1）求函数y＝x－的值域；
（2）求函数f（x）＝的值域.
反思感悟
求函数值域的方法多样，可以利用基本初等函数的性质、函数的单调性、函数图象、换元转化为熟悉的函数、分式中的分离常数、应用基本不等式等进行求解，其求解过程应认真观察函数解析式的结构特征，选择相对应的方法，还需注意函数的定义域.
三、函数的图象
掌握简单的基本函数图象，会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观的观察出函数的值域、最值、单调性、奇偶性等.
【例3】 （1）定义运算a b＝设函数f（x）＝x （x＋1），则该函数的图象应该是（ ）
（2）对于函数f（x）＝x2－2｜x｜.
①判断其奇偶性，并证明；
②画出函数的图象，指出函数的单调区间和最小值.
反思感悟
函数图象的辨识可从以下4方面入手
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特殊点，排除不合要求的图象.
四、函数的性质
函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，掌握单调性和奇偶性的判断与证明，会利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式等.
【例4】 （1）给出下列四个函数，在定义域内既是奇函数，又为减函数的是（ ）
A.f（x）＝－x－x3
B.f（x）＝－x（x≥0）
C.f（x）＝－
D.f（x）＝x｜x｜
（2）已知函数f（x）＝.
①判断f（x）在x∈（1，＋∞）的单调性并证明；
②在①的条件下，若实数m满足f（3m）＞f（5－2m），求m的取值范围.
反思感悟
1.解决有关函数性质的综合应用问题的方法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值.
2.研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
提醒 研究函数的性质时，需先明确函数的定义域.
五、函数的应用
熟练掌握一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型的特征，在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
【例5】 国庆期间，某旅行社带旅游团去风景区旅游，若旅游团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若旅游团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到最多人数为75人为止.旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
（1）写出飞机票的价格y（单位：元）关于旅游团人数x（单位：人）的函数解析式；
（2）旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
反思感悟
能够将实际问题转化为熟悉的函数模型，特别注意实际问题与自变量取值范围的联系.
章末复习与总结
【例1】 （1）D （2）C 解析：（1）由题意知解得x＜1且x≠，即f（x）的定义域是（ －∞，）∪（ ，1）.故选D.
（2）由y＝f（x－1）的定义域为[－1，2]，得f（x－1）中的x满足－1≤x≤2，∴－2≤x－1≤1，即f（x）的定义域是[－2，1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f（1－3x）的定义域为[0，1].故选C.
【例2】 解：（1）法一 令t＝（t≥0），
所以x＝－t2＋，
即y＝－t2－t＋＝－（t＋1）2＋1，
当t≥0时，y≤，即函数的值域为（－∞，］.
法二 由于y＝x与y＝－均为定义域内的增函数，所以y＝x－在（－∞，］内单调递增，所以y≤，即函数的值域为（－∞，］.
（2）f（x）＝＝＝2－，
因为x2＋1≥1，所以0＜≤1，即－1≤－＜0，得1≤2－＜2，
即函数f（x）的值域为[1，2）.
【例3】 （1）C 由a b的定义，可知f（x）＝由f（0）＝0－1＝－1，所以函数图象过点（0，－1），排除A、B；当x＜0时，y＝x2＞0，排除D.故选C.
（2）解：①函数f（x）＝x2－2｜x｜是偶函数.
证明：函数的定义域为R，
因为f（－x）＝（－x）2－2｜－x｜＝x2－2｜x｜，
所以f（－x）＝f（x），
所以f（x）是偶函数.
②当x≥0时，f（x）＝x2－2｜x｜＝x2－2x＝（x－1）2－1，其函数图象如图所示，
由于函数f（x）是偶函数，函数图象关于y轴对称，利用其对称性可画出定义域在（－∞，0）的图象，
观察图象可知，函数f（x）的最小值是－1.单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞）；单调递减区间是（－∞，－1]，[0，1].
【例4】 （1）A B选项函数的定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数，排除B；C选项函数在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增，排除C；D选项函数由图象（图略）知其在定义域上是增函数，排除D.故选A.
（2）解：①函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增.
证明：任取x1，x2∈（1，＋∞）且x1＞x2，则
f（x1）－f（x2）＝－
＝
＝
＝，
因为x1＞x2＞1，所以x1－x2＞0，x1x2－1＞0，x1x2＞0，
所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增.
②由①知，函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增，且f（3m）＞f（5－2m），则有3m＞5－2m＞1，解得1＜m＜2，
所以m的取值范围为（1，2）.
【例5】 解：（1）由题意，得
y＝
即y＝
（2）设旅行社获利S（x）元，
则S（x）＝
即S（x）＝
因为S（x）＝900x－15 000在区间（0，30]上单调递增，所以当x＝30时，S（x）取得最大值12 000元.
又S（x）＝－10（x－60）2＋21 000，x∈（30，75]，所以当x＝60时，S（x）取得最大值21 000元.
因为21 000＞12 000，所以当旅游团人数为60人时，旅行社可获得最大利润.
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章末复习与总结
一、函数的定义域
求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大
于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义
的集合的交集.
【例1】 （1）函数 f （ x ）＝ ＋（2 x －1）0的定义域为（ D ）
解析： 由题意知解得 x ＜1且 x ≠ ，即 f
（ x ）的定义域是（ －∞， ）∪（ ，1）.故选D.
（2）已知函数 y ＝ f （ x －1）的定义域是[－1，2]，则 y ＝ f （1－3
x ）的定义域为（ C ）
C. [0，1]
解析：由 y ＝ f （ x －1）的定义域为[－1，2]，得 f （ x －1）中的
x 满足－1≤ x ≤2，∴－2≤ x －1≤1，即 f （ x ）的定义域是[－
2，1]，令－2≤1－3 x ≤1，解得0≤ x ≤1，即 y ＝ f （1－3 x ）
的定义域为[0，1].故选C.
反思感悟
1. 求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式
子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际
问题，定义域应使实际问题有意义.
2. 求抽象函数定义域的方法
（1）若已知函数 f （ x ）的定义域为[ a ， b ]，则复合函数 f [ g
（ x ）]的定义域可由不等式 a ≤ g （ x ）≤ b 求出；
（2）若已知函数 f [ g （ x ）]的定义域为[ a ， b ]，则 f （ x ）的定
义域为 g （ x ）在 x ∈[ a ， b ]上的值域.
二、函数的值域
函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用
函数的图象或函数的单调性求值域.
【例2】 （1）求函数 y ＝ x － 的值域；
解： 法一 令 t ＝ （ t ≥0），
所以 x ＝－ t2＋ ，
即 y ＝－ t2－ t ＋ ＝－ （ t ＋1）2＋1，
当 t ≥0时， y ≤ ，即函数的值域为（－∞， ］.
法二 由于 y ＝ x 与 y ＝－ 均为定义域内的增函数，所以 y ＝ x
－ 在（－∞， ］内单调递增，所以 y ≤ ，即函数的值域为
（－∞， ］.
（2）求函数 f （ x ）＝ 的值域.
解： f （ x ）＝ ＝ ＝2－ ，
因为 x2＋1≥1，所以0＜ ≤1，即－1≤－ ＜0，得1≤2－
＜2，
即函数 f （ x ）的值域为[1，2）.
反思感悟
求函数值域的方法多样，可以利用基本初等函数的性质、函数的
单调性、函数图象、换元转化为熟悉的函数、分式中的分离常数、应
用基本不等式等进行求解，其求解过程应认真观察函数解析式的结构
特征，选择相对应的方法，还需注意函数的定义域.
三、函数的图象
掌握简单的基本函数图象，会根据函数的解析式及性质判断函数
的图象，利用函数的图象可以直观的观察出函数的值域、最值、单调
性、奇偶性等.
【例3】 （1）定义运算 a b ＝设函数 f （ x ）＝
x （ x ＋1），则该函数的图象应该是（ ）
解析：C 由 a b 的定义，可知 f （ x ）＝由 f
（0）＝0－1＝－1，所以函数图象过点（0，－1），排除A、
B；当 x ＜0时， y ＝ x2＞0，排除D. 故选C.
解析： 由 a b 的定义，可知 f （ x ）＝由 f
（0）＝0－1＝－1，所以函数图象过点（0，－1），排除A、
B；当 x ＜0时， y ＝ x2＞0，排除D. 故选C.
（2）对于函数 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜.
①判断其奇偶性，并证明；
②画出函数的图象，指出函数的单调区间和最小值.
解：①函数 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜是偶函数.
证明：函数的定义域为R，
因为 f （－ x ）＝（－ x ）2－2｜－ x ｜＝ x2－
2｜ x ｜，
所以 f （－ x ）＝ f （ x ），
所以 f （ x ）是偶函数.
②当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1，
其函数图象如图所示，
由于函数 f （ x ）是偶函数，函数图象关于 y 轴对称，利用其对
称性可画出定义域在（－∞，0）的图象，
观察图象可知，函数 f （ x ）的最小值是－1.单调递增区间是[－
1，0]，[1，＋∞）；单调递减区间是（－∞，－1]，[0，1].
反思感悟
函数图象的辨识可从以下4方面入手
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断
图象的上下位置；
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特殊点，排除不合要求的图象.
四、函数的性质
函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，掌握单调性
和奇偶性的判断与证明，会利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大
小、解不等式等.
【例4】 （1）给出下列四个函数，在定义域内既是奇函数，又为减
函数的是（ ）
A. f （ x ）＝－ x － x3 B. f （ x ）＝－ x （ x ≥0）
D. f （ x ）＝ x ｜ x ｜
解析：A B选项函数的定义域不关于原点对称，该函数是非奇
非偶函数，排除B；C选项函数在（－∞，0）和（0，＋∞）上
单调递增，排除C；D选项函数由图象（图略）知其在定义域上
是增函数，排除D. 故选A.
解析： B选项函数的定义域不关于原点对称，该函数是非奇
非偶函数，排除B；C选项函数在（－∞，0）和（0，＋∞）上
单调递增，排除C；D选项函数由图象（图略）知其在定义域上
是增函数，排除D. 故选A.
①判断 f （ x ）在 x ∈（1，＋∞）的单调性并证明；
②在①的条件下，若实数 m 满足 f （3 m ）＞ f （5－2 m ），求 m
的取值范围.
（2）已知函数 f （ x ）＝ .
证明：任取 x1， x2∈（1，＋∞）且 x1＞ x2，则
f （ x1）－ f （ x2）＝ －
＝ ＝ ＝
，
因为 x1＞ x2＞1，所以 x1－ x2＞0， x1 x2－1＞0， x1 x2＞0，
所以 f （ x1）－ f （ x2）＞0，即 f （ x1）＞ f （ x2），
所以函数 f （ x ）在（1，＋∞）上单调递增.
解：①函数 f （ x ）在（1，＋∞）上单调递增.
②由①知，函数 f （ x ）在（1，＋∞）上单调递增，且 f （3 m ）
＞ f （5－2 m ），则有3 m ＞5－2 m ＞1，解得1＜ m ＜2，
所以 m 的取值范围为（1，2）.
反思感悟
1. 解决有关函数性质的综合应用问题的方法就是根据函数的奇偶
性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调
性求最值.
2. 研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给 x
灵活赋值.
提醒 研究函数的性质时，需先明确函数的定义域.
五、函数的应用
熟练掌握一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型的特征，在
实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
【例5】 国庆期间，某旅行社带旅游团去风景区旅游，若旅游团人
数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若旅游团人数多
于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到最多人
数为75人为止.旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
（1）写出飞机票的价格 y （单位：元）关于旅游团人数 x （单位：
人）的函数解析式；
解： 由题意，得
y ＝
即 y ＝
（2）旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解： 设旅行社获利 S （ x ）元，
则 S （ x ）＝
即 S （ x ）＝
因为 S （ x ）＝900 x －15 000在区间（0，30]上单调递增，所以
当 x ＝30时， S （ x ）取得最大值12 000元.
又 S （ x ）＝－10（ x －60）2＋21 000， x ∈（30，75]，所以当
x ＝60时， S （ x ）取得最大值21 000元.
因为21 000＞12 000，所以当旅游团人数为60人时，旅行社可获
得最大利润.
反思感悟
能够将实际问题转化为熟悉的函数模型，特别注意实际问题与自
变量取值范围的联系.
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