章末检测（三） 函数的概念与性质
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数f（x）＝＋的定义域是（ ）
A.[－1，＋∞） B.（－∞，0）∪（0，＋∞） C.[－1，0）∪（0，＋∞） D.R
2.已知函数f（x）＝若f（a）＝10，则a的值是（ ）
A.－3或5 B.3或－3 C.－3 D.3或－3或5
3.已知函数f（x）＝（m2－m－1）是幂函数，且为偶函数，则实数m＝（ ）
A.2或－1 B.－1 C.4 D.2
4.下列四个函数中，在（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A.f（x）＝3－x B.f（x）＝x2－3x C.f（x）＝｜x＋2｜ D.f（x）＝－
5.已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x2＋2x，则f（x）在[－3，－1]上（ ）
A.单调递增，最小值为－1 B.单调递增，最大值为－1
C.单调递减，最小值为－1 D.单调递减，最大值为－1
6.若f（x）是偶函数且在[0，＋∞）上单调递增，又f（－2）＝1，则不等式f（x－1）＜1的解集为（ ）
A.{x｜－1＜x＜3} B.{x｜x＜－1或x＞3}
C.{x｜x＜－1或0＜x＜3} D.{x｜x＞1或－3＜x＜0}
7.已知函数f（x）＝是R上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A.（0，3） B.（0，3] C.（0，2） D.（0，2]
8.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足＜0，且f（2）＝4，则不等式f（x）－＞0的解集为（ ）
A.（4，＋∞） B.（0，4） C.（0，2） D.（2，＋∞）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数f（x）＝则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的定义域为R B.f（x）的值域为R
C.f（x）为奇函数 D.f（x）为增函数
10.甲同学家到乙同学家的途中有一个公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（ ）
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B.甲从家到公园的时间是30 min
C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
11.对于定义域为D的函数y＝f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内是增函数或减函数；②存在区间[a，b] D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f（x）（x∈D）称为闭函数.下列结论正确的是（ ）
A.函数y＝x是闭函数 B.函数y＝x2＋1是闭函数
C.函数y＝－x2（x≤0）是闭函数 D.函数f（x）＝（x＞－1）是闭函数
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知f（x）＝是奇函数，则f（－3）＝ ，f（g（－3））＝ .
13.若函数f（x）满足f（）＝x，则f（x）的解析式为 .
14.设函数f（x）＝若f（t＋1）＞f（2t－4），则t的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x2＋（x≠0）.
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（1）＝2，试判断f（x）在[2，＋∞）上的单调性.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝x－[x]，x∈[－1，2），其中[x]表示不超过x的最大整数，例[－3.05]＝－4，[2.1]＝2.
（1）将f（x）的解析式写成分段函数的形式；
（2）作出函数f（x）的图象；
（3）根据图象写出函数的值域和单调区间.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）满足f（x＋2）＝x2＋4x＋6，且g（x）＝f（x）＋2ax.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求a的值，使g（x）在区间[－5，5]上的最小值为－1.
18.（本小题满分17分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.
（1）若f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
（2）在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围.
19.（本小题满分17分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数f（x）的取值区间恰为［，］，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”.已知定义在[－2，2]上的奇函数g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝－x2＋2x.
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”；
（3）求函数g（x）在定义域内的所有“倒域区间”.
章末检测（三） 函数的概念与性质
1.C 要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.故选C.
2.A 若a≤0，则f（a）＝a2＋1＝10，解得a＝－3（a＝3舍去）；若a＞0，则f（a）＝2a＝10，解得a＝5.综上可得，a＝5或a＝－3，故选A.
3.D 由幂函数的定义知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又因为f（x）为偶函数，所以指数m2－2m－2为偶数，故只有m＝2满足.故选D.
4.C f（x）＝3－x在R上是减函数；f（x）＝x2－3x在上单调递增，在上单调递减；f（x）＝｜x＋2｜在（－∞，－2）上单调递减，在[－2，＋∞）上单调递增，因此在（0，＋∞）上也单调递增；f（x）＝－的定义域是{x｜x≠2}，而2∈（0，＋∞）.故选C.
5.C f（x）＝－x2＋2x，图象为开口向下，对称轴为x＝1的抛物线，所以x＞0时f（x）在[1，3]上单调递减，最大值为1.因为f（x）为奇函数图象关于原点对称，所以函数f（x）在[－3，－1]也单调递减，最小值为－1.
6.A 由于函数y＝f（x）为偶函数，则f（2）＝f（－2）＝1，且函数y＝f（x）在[0，＋∞）上单调递增，由f（x－1）＜1，可得f（｜x－1｜）＜f（2），∴｜x－1｜＜2，即－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.因此，不等式f（x－1）＜1的解集为{x｜－1＜x＜3}.
7.D ∵函数f（x）＝是R上的减函数，∴当x≤1时，f（x）单调递减，即a－3＜0，即a＜3①，当x＞1时，f（x）单调递减，即a＞0②，且（a－3）×1＋5≥，即a≤2③，由①②③得0＜a≤2，故选D.
8.C 由题意，设g（x）＝xf（x），因为＜0，即＜0，所以函数g（x）是减函数，不等式f（x）－＞0，即＞0，因为x∈（0，＋∞），所以不等式等价于xf（x）－8＞0，即xf（x）＞8，又f（2）＝4，则g（2）＝2·f（2）＝8，所以不等式xf（x）＞8的解集为（0，2）.
9.ACD 根据分段函数的解析式可知，f（x）的定义域为R，选项A正确；f（x）的值域为（－∞，－1）∪{0}∪（1，＋∞），选项B不正确；画出函数图象（图略）可知，选项C、D正确.故选A、C、D.
10.BD 在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k＝，D正确.故选B、D.
11.AC 选项A，因为y＝x是R上的增函数，且在R上任意子区间都满足新定义，所以A正确；选项B，若函数是闭函数，则可设x∈[a，b]，y∈[a，b]，假设函数是增函数，则显然无解，若是减函数，则解得a＝b，又a＜b，所以不存在区间满足新定义，所以B错误；选项C，函数是开口向下的二次函数，且在（－∞，0]上是增函数，令f（x）＝－x2，若是闭函数，则一定有即解得满足新定义的闭区间是[－1，0]，此时a＝－1，b＝0，所以C正确；选项D，函数在（－1，＋∞）上是增函数，若满足新定义则有即解得a＝b，又a＜b，所以不存在区间满足新定义，所以D错误.
12.－6 －33 解析：因为函数f（x）是奇函数，所以f（－3）＝g（－3）＝－f（3）＝－6，所以f（g（－3））＝f（－6）＝－f（6）＝－33.
13.f（x）＝（x≠1） 解析：令＝t，则x＝，t≠1，∴f（t）＝，t≠1，∴f（x）＝（x≠1）.
14.（－∞，5） 解析：函数f（x）＝画出函数f（x）的图象，如图所示.可知函数f（x）是在R上的增函数.若f（t＋1）＞f（2t－4），则只需要t＋1＞2t－4，解得t＜5.
15.解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2，f（－x）＝f（x），函数f（x）是偶函数.
当a≠0时，f（x）＝x2＋（x≠0），而f（－1）＋f（1）＝2≠0，f（－1）－f（1）＝－2a≠0，∴f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1）.
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
（2）若f（1）＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f（x）＝x2＋.
设 x1，x2∈[2，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝（x1＋x2）（x1－x2）＋＝（x1－x2），
由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[2，＋∞）上单调递增.
16.解：（1）当－1≤x＜0时，[x]＝－1，所以f（x）＝x＋1，
当0≤x＜1时，[x]＝0，所以f（x）＝x，
当1≤x＜2时，[x]＝1，所以f（x）＝x－1，
综上，f（x）＝
（2）f（x）图象如图所示：
（3）由图象可得f（x）的值域为[0，1），单调递增区间为[－1，0），[0，1），[1，2），无单调递减区间.
17.解：（1）因为f（x＋2）＝x2＋4x＋6＝（x＋2）2＋2，所以f（x）＝x2＋2.
（2）由（1）可得，g（x）＝x2＋2ax＋2，其对称轴为x＝－a，
当－a≤－5，即a≥5时，g（x）在区间[－5，5]上单调递增，所以g（x）min＝g（－5）＝－1.
即（－5）2－10a＋2＝－1，解得a＝，又因为a≥5，所以a＝不满足题意；
当－5＜－a＜5，即－5＜a＜5时，g（x）在区间[－5，5]上先减后增，所以g（x）min＝g（－a）＝－1，
即－a2＋2＝－1，解得a＝或a＝－；
当－a≥5，即a≤－5时，g（x）在区间[－5，5]上单调递减，所以g（x）min＝g（5）＝－1，
即52＋10a＋2＝－1，解得a＝－，又因为a≤－5，所以a＝－不满足题意.
综合上述，a的值为或－.
18.解：（1）由题意，得函数f（x）是二次函数，且f（0）＝f（2），可得函数f（x）的对称轴为x＝1，
又由最小值为1，可设f（x）＝a（x－1）2＋1，
又f（0）＝3，即a×（0－1）2＋1＝3，解得a＝2，
所以函数的解析式为f（x）＝2（x－1）2＋1＝2x2－4x＋3.
又函数f（x）＝2x2－4x＋3的对称轴为x＝1，
要使f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，则满足2a＜1＜a＋1，解得0＜a＜，
即实数a的取值范围是（0，）.
（2）由在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，
可得2x2－4x＋3＞2x＋2m＋1在区间[－1，1]上恒成立，
化简得m＜x2－3x＋1在区间[－1，1]上恒成立，
设函数g（x）＝x2－3x＋1，
则g（x）在区间[－1，1]上单调递减，
所以g（x）在区间[－1，1]上的最小值为g（1）＝－1，
所以m＜－1.
所以实数m的取值范围为（－∞，－1）.
19.解：（1）当x∈[－2，0）时，则－x∈（0，2]，
由奇函数的定义可得g（x）＝－g（－x）＝－[－（－x）2＋2（－x）]＝x2＋2x，
所以g（x）＝
（2）设g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[a，b]，则1≤a＜b≤2，因为函数g（x）在[1，2]上单调递减，且g（x）在[a，b]上的值域为［，］，
所以解得
所以函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为［1，］.
（3）因为g（x）在x∈[a，b]时，函数值g（x）的取值区间恰为［，］，其中a≠b且a≠0，b≠0，所以则
只考虑0＜a＜b≤2或－2≤a＜b＜0.
①当0＜a＜b≤2时，因为函数g（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
故当x∈[0，2]时，g（x）max＝g（1）＝1，则≤1，所以1≤a＜2，所以1≤a＜b≤2，
由（2）知g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为［1，］；
②当－2≤a＜b＜0时，g（x）在[－2，－1]上单调递减，在[－1，0]上单调递增，
故当x∈[－2，0）时，g（x）min＝g（－1）＝－1，所以≥－1，所以－2＜b≤－1.
所以－2≤a＜b≤－1，
因为g（x）在[－2，－1]上单调递减，则解得
所以g（x）在[－2，－1]内的“倒域区间”为［，－1］.
综上所述，函数g（x）在定义域内的“倒域区间”为［1，］和［，－1］.
1 / 3(共37张PPT)
章末检测（三）
函数的概念与性质
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域是（ ）
A. [－1，＋∞） B. （－∞，0）∪（0，＋∞）
C. [－1，0）∪（0，＋∞） D. R
解析： 要使函数有意义，需满足即 x ≥－1且 x
≠0.故选C.
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2. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ a ）＝10，则 a 的值是
（ ）
A. －3或5 B. 3或－3
C. －3 D. 3或－3或5
解析： 若 a ≤0，则 f （ a ）＝ a2＋1＝10，解得 a ＝－3（ a ＝3
舍去）；若 a ＞0，则 f （ a ）＝2 a ＝10，解得 a ＝5.综上可得， a
＝5或 a ＝－3，故选A.
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3. 已知函数 f （ x ）＝（ m2－ m －1） 是幂函数，且为偶函
数，则实数 m ＝（ ）
A. 2或－1 B. －1 C. 4 D. 2
解析： 由幂函数的定义知 m2－ m －1＝1，解得 m ＝－1或 m ＝
2.又因为 f （ x ）为偶函数，所以指数 m2－2 m －2为偶数，故只有
m ＝2满足.故选D.
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4. 下列四个函数中，在（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A. f （ x ）＝3－ x B. f （ x ）＝ x2－3 x
C. f （ x ）＝｜ x ＋2｜
解析： f （ x ）＝3－ x 在R上是减函数； f （ x ）＝ x2－3 x 在
上单调递增，在 上单调递减； f （ x ）＝｜ x ＋
2｜在（－∞，－2）上单调递减，在[－2，＋∞）上单调递增，因
此在（0，＋∞）上也单调递增； f （ x ）＝－ 的定义域是{ x ｜
x ≠2}，而2∈（0，＋∞）.故选C.
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5. 已知 f （ x ）为奇函数，当 x ＞0时， f （ x ）＝－ x2＋2 x ，则 f （ x ）
在[－3，－1]上（ ）
A. 单调递增，最小值为－1 B. 单调递增，最大值为－1
C. 单调递减，最小值为－1 D. 单调递减，最大值为－1
解析： f （ x ）＝－ x2＋2 x ，图象为开口向下，对称轴为 x ＝1
的抛物线，所以 x ＞0时 f （ x ）在[1，3]上单调递减，最大值为1.
因为 f （ x ）为奇函数图象关于原点对称，所以函数 f （ x ）在[－
3，－1]也单调递减，最小值为－1.
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6. 若 f （ x ）是偶函数且在[0，＋∞）上单调递增，又 f （－2）＝1，
则不等式 f （ x －1）＜1的解集为（ ）
A. { x ｜－1＜ x ＜3}
B. { x ｜ x ＜－1或 x ＞3}
C. { x ｜ x ＜－1或0＜ x ＜3}
D. { x ｜ x ＞1或－3＜ x ＜0}
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解析： 由于函数 y ＝ f （ x ）为偶函数，则 f （2）＝ f （－2）＝
1，且函数 y ＝ f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增，由 f （ x －1）＜
1，可得 f （｜ x －1｜）＜ f （2），∴｜ x －1｜＜2，即－2＜ x －1
＜2，解得－1＜ x ＜3.因此，不等式 f （ x －1）＜1的解集为{ x ｜
－1＜ x ＜3}.
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7. 已知函数 f （ x ）＝是R上的减函数，那
么 a 的取值范围是（ ）
A. （0，3） B. （0，3]
C. （0，2） D. （0，2]
解析： ∵函数 f （ x ）＝是R上的减
函数，∴当 x ≤1时， f （ x ）单调递减，即 a －3＜0，即 a ＜3①，
当 x ＞1时， f （ x ）单调递减，即 a ＞0②，且（ a －3）×1＋5≥
，即 a ≤2③，由①②③得0＜ a ≤2，故选D.
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8. 定义在（0，＋∞）上的函数 f （ x ）满足 ＜0，
且 f （2）＝4，则不等式 f （ x ）－ ＞0的解集为（ ）
A. （4，＋∞） B. （0，4）
C. （0，2） D. （2，＋∞）
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解析： 由题意，设 g （ x ）＝ xf （ x ），因为
＜0，即 ＜0，所以函数 g （ x ）是减函数，不等式 f
（ x ）－ ＞0，即 ＞0，因为 x ∈（0，＋∞），所以不等
式等价于 xf （ x ）－8＞0，即 xf （ x ）＞8，又 f （2）＝4，则 g
（2）＝2· f （2）＝8，所以不等式 xf （ x ）＞8的解集为（0，2）.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数 f （ x ）＝则下列结论正确的是
（ ）
A. f （ x ）的定义域为R B. f （ x ）的值域为R
C. f （ x ）为奇函数 D. f （ x ）为增函数
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解析： 根据分段函数的解析式可知， f （ x ）的定义域为R，
选项A正确； f （ x ）的值域为（－∞，－1）∪{0}∪（1，＋
∞），选项B不正确；画出函数图象（图略）可知，选项C、D正
确.故选A、C、D.
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10. 甲同学家到乙同学家的途中有一个公园，甲同学家到公园的距离
与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发
到乙同学家经过的路程 y （km）与时间 x （min）的关系，下列结
论正确的是（ ）
A. 甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B. 甲从家到公园的时间是30 min
C. 甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家
的速度快
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解析： 在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了
50 min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时
间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家
到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤ x
≤30时，设 y ＝ kx （ k ≠0），则2＝30 k ，解得 k ＝ ，D正确.故
选B、D.
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11. 对于定义域为 D 的函数 y ＝ f （ x ），若同时满足下列条件：① f
（ x ）在 D 内是增函数或减函数；②存在区间[ a ， b ] D ，使 f
（ x ）在[ a ， b ]上的值域为[ a ， b ]，那么把 y ＝ f （ x ）（ x ∈
D ）称为闭函数.下列结论正确的是（ ）
A. 函数 y ＝ x 是闭函数
B. 函数 y ＝ x2＋1是闭函数
C. 函数 y ＝－ x2（ x ≤0）是闭函数
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解析： 选项A，因为 y ＝ x 是R上的增函数，且在R上任意子
区间都满足新定义，所以A正确；选项B，若函数是闭函数，则可
设 x ∈[ a ， b ]， y ∈[ a ， b ]，假设函数是增函数，则
显然无解，若是减函数，则解得 a ＝
b ，又 a ＜ b ，所以不存在区间满足新定义，所以B错误；选项C，
函数是开口向下的二次函数，且在（－∞，0]上是增函数，
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令 f （ x ）＝－ x2，若是闭函数，则一定有即
解得满足新定义的闭区间是[－1，0]，此时 a ＝－1，
b ＝0，所以C正确；选项D，函数在（－1，＋∞）上是增函数，
若满足新定义则有即解得 a ＝ b ，又 a ＜
b ，所以不存在区间满足新定义，所以D错误.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知 f （ x ）＝是奇函数，则 f （－3）＝
， f （ g （－3））＝ .
解析：因为函数 f （ x ）是奇函数，所以 f （－3）＝ g （－3）＝－
f （3）＝－6，所以 f （ g （－3））＝ f （－6）＝－ f （6）＝－
33.
－
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13. 若函数 f （ x ）满足 f （ ）＝ x ，则 f （ x ）的解析式为
.
解析：令 ＝ t ，则 x ＝ ， t ≠1，∴ f （ t ）＝ ， t ≠1，∴ f
（ x ）＝ （ x ≠1）.
f （ x ）
＝ （ x ≠1）
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14. 设函数 f （ x ）＝若 f （ t ＋1）＞ f （2 t －4），
则 t 的取值范围是 .
解析：函数 f （ x ）＝画出函数 f
（ x ）的图象，如图所示.可知函数 f （ x ）是在R
上的增函数.若 f （ t ＋1）＞ f （2 t －4），则只需
要 t ＋1＞2 t －4，解得 t ＜5.
（－∞，5）
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知函数 f （ x ）＝ x2＋ （ x ≠0）.
（1）判断 f （ x ）的奇偶性，并说明理由；
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解： 当 a ＝0时， f （ x ）＝ x2， f （－ x ）＝ f （ x ），
函数 f （ x ）是偶函数.
当 a ≠0时， f （ x ）＝ x2＋ （ x ≠0），而 f （－1）＋ f
（1）＝2≠0， f （－1）－ f （1）＝－2 a ≠0，∴ f （－1）
≠－ f （1）， f （－1）≠ f （1）.
∴函数 f （ x ）既不是奇函数也不是偶函数.
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（2）若 f （1）＝2，试判断 f （ x ）在[2，＋∞）上的单调性.
解：（2）若 f （1）＝2，即1＋ a ＝2，解得 a ＝1，这时 f
（ x ）＝ x2＋ .
设 x1， x2∈[2，＋∞），且 x1＜ x2，则 f （ x1）－ f （ x2）
＝ － ＝（ x1＋ x2）（ x1－ x2）＋ ＝
（ x1－ x2） ，
由于 x1≥2， x2≥2，且 x1＜ x2，∴ x1－ x2＜0， x1＋ x2＞ ，∴ f （ x1）＜ f （ x2），故 f （ x ）在[2，＋∞）上单调递增.
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16. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ x －[ x ]， x ∈[－1，
2），其中[ x ]表示不超过 x 的最大整数，例[－3.05]＝－4，
[2.1]＝2.
（1）将 f （ x ）的解析式写成分段函数的形式；
解： 当－1≤ x ＜0时，[ x ]＝－1，所以 f （ x ）＝
x ＋1，
当0≤ x ＜1时，[ x ]＝0，所以 f （ x ）＝ x ，
当1≤ x ＜2时，[ x ]＝1，所以 f （ x ）＝ x －1，
综上， f （ x ）＝
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（2）作出函数 f （ x ）的图象；
解： f （ x ）图象如图所示：
（3）根据图象写出函数的值域和单调区间.
解： 由图象可得 f （ x ）的值域为[0，1），单调递增
区间为[－1，0），[0，1），[1，2），无单调递减区间.
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17. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）满足 f （ x ＋2）＝ x2＋4 x ＋
6，且 g （ x ）＝ f （ x ）＋2 ax .
（1）求 f （ x ）的解析式；
解： 因为 f （ x ＋2）＝ x2＋4 x ＋6＝（ x ＋2）2＋2，所
以 f （ x ）＝ x2＋2.
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（2）求 a 的值，使 g （ x ）在区间[－5，5]上的最小值为－1.
解： 由（1）可得， g （ x ）＝ x2＋2 ax ＋2，其对称轴
为 x ＝－ a ，
当－ a ≤－5，即 a ≥5时， g （ x ）在区间[－5，5]上单调递
增，所以 g （ x ）min＝ g （－5）＝－1.
即（－5）2－10 a ＋2＝－1，解得 a ＝ ，又因为 a ≥5，所
以 a ＝ 不满足题意；
当－5＜－ a ＜5，即－5＜ a ＜5时， g （ x ）在区间[－5，5]
上先减后增，所以 g （ x ）min＝ g （－ a ）＝－1，
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即－ a2＋2＝－1，解得 a ＝ 或 a ＝－ ；
当－ a ≥5，即 a ≤－5时， g （ x ）在区间[－5，5]上单调递
减，所以 g （ x ）min＝ g （5）＝－1，
即52＋10 a ＋2＝－1，解得 a ＝－ ，又因为 a ≤－5，所以
a ＝－ 不满足题意.
综合上述， a 的值为 或－ .
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18. （本小题满分17分）已知二次函数 f （ x ）的最小值为1，且 f
（0）＝ f （2）＝3.
（1）若 f （ x ）在区间[2 a ， a ＋1]上不单调，求实数 a 的取
值范围；
解： 由题意，得函数 f （ x ）是二次函数，且 f （0）＝ f （2），可得函数 f （ x ）的对称轴为 x ＝1，
又由最小值为1，可设 f （ x ）＝ a （ x －1）2＋1，
又 f （0）＝3，即 a ×（0－1）2＋1＝3，解得 a ＝2，
所以函数的解析式为 f （ x ）＝2（ x －1）2＋1＝2 x2－4 x ＋3.
又函数 f （ x ）＝2 x2－4 x ＋3的对称轴为 x ＝1，
要使 f （ x ）在区间[2 a ， a ＋1]上不单调，则满足2 a ＜
1＜ a ＋1，解得0＜ a ＜ ，
即实数 a 的取值范围是（0， ）.
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（2）在区间[－1，1]上， y ＝ f （ x ）的图象恒在 y ＝2 x ＋2 m ＋1
的图象上方，试确定实数 m 的取值范围.
解： 由在区间[－1，1]上， y ＝ f （ x ）的图象恒在 y
＝2 x ＋2 m ＋1的图象上方，
可得2 x2－4 x ＋3＞2 x ＋2 m ＋1在区间[－1，1]上恒成立，
化简得 m ＜ x2－3 x ＋1在区间[－1，1]上恒成立，
设函数 g （ x ）＝ x2－3 x ＋1，
则 g （ x ）在区间[－1，1]上单调递减，
所以 g （ x ）在区间[－1，1]上的最小值为 g （1）＝－1，
所以 m ＜－1.所以实数 m 的取值范围为（－∞，－1）.
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19. （本小题满分17分）若函数 f （ x ）在 x ∈[ a ， b ]时，函数 f
（ x ）的取值区间恰为［ ， ］，就称区间[ a ， b ]为 f （ x ）的
一个“倒域区间”.已知定义在[－2，2]上的奇函数 g （ x ），当 x
∈[0，2]时， g （ x ）＝－ x2＋2 x .
（1）求 g （ x ）的解析式；
解： 当 x ∈[－2，0）时，则－ x ∈（0，2]，
由奇函数的定义可得 g （ x ）＝－ g （－ x ）＝－[－（－
x ）2＋2（－ x ）]＝ x2＋2 x ，
所以 g （ x ）＝
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（2）求函数 g （ x ）在[1，2]内的“倒域区间”；
解： 设 g （ x ）在[1，2]内的“倒域区间”为[ a ，
b ]，则1≤ a ＜ b ≤2，因为函数 g （ x ）在[1，2]上单调递
减，且 g （ x ）在[ a ， b ]上的值域为［ ， ］，
所以解得
所以函数 g （ x ）在[1，2]内的“倒域区间”为［1， ］.
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（3）求函数 g （ x ）在定义域内的所有“倒域区间”.
解： 因为 g （ x ）在 x ∈[ a ， b ]时，函数值 g （ x ）的
取值区间恰为［ ， ］，其中 a ≠ b 且 a ≠0， b ≠0，所以
则
只考虑0＜ a ＜ b ≤2或－2≤ a ＜ b ＜0.
①当0＜ a ＜ b ≤2时，因为函数 g （ x ）在[0，1]上单调递
增，在[1，2]上单调递减，
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故当 x ∈[0，2]时， g （ x ）max＝ g （1）＝1，则 ≤1，所
以1≤ a ＜2，所以1≤ a ＜ b ≤2，
由（2）知 g （ x ）在[1，2]内的“倒域区间”为［1，
］；
②当－2≤ a ＜ b ＜0时， g （ x ）在[－2，－1]上单调递减，
在[－1，0]上单调递增，
故当 x ∈[－2，0）时， g （ x ）min＝ g （－1）＝－1，所以
≥－1，所以－2＜ b ≤－1.
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所以－2≤ a ＜ b ≤－1，因为 g （ x ）在[－2，－1]上单调递减，则
解得
所以 g （ x ）在[－2，－1]内的“倒域区间”为［ ，
－1］.
综上所述，函数 g （ x ）在定义域内的“倒域区间”为［1，
］和［ ，－1］.
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谢 谢 观 看！
