4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
1.下列运算中正确的是（ ）
A.＝
B.（－a2）5＝（－a5）2
C.（－2）0＝1
D.（－）5＝－
2.计算：3π×＋（＋＝（ ）
A.17 B.18
C.6 D.5
3.一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）10次，这时，报纸的厚度为（ ）
A.2.56厘米 B.5.12厘米
C.10.24厘米 D.20.48厘米
4.已知＋＝4，则＝（ ）
A.2 B.4
C.14 D.16
5.若＋＝3，则＝（ ）
A. B.
C. D.
6.（多选）下列计算正确的是（ ）
A.＝
B.（）（－3）÷（）＝－9a（a＞0，b＞0）
C.＝
D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2
7.求值：－（－（π－3）0＝ .
8.化简＝ .
9.已知x－＝1，其中x＞0，则－－＝ .
10.（1）当x＝，y＝2－时，求（－）·（＋＋）的值；
（2）若a2x＝－1，求的值.
11.方程＝的解是（ ）
A.－ B.－
C. D.
12.已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝（ ）
A. B.10
C.20 D.100
13.已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28（a＞0，且a≠1），则a4m＋n＝ .
14.（1）已知a2x＝3，求的值；
（2）已知a＞0，b＞0，且ab＝ba，b＝8a，求a的值.
15.若ex，ey的几何平均值为e（e是自然对数的底数），则x2，y2的算术平均值的最小值为 .
16.已知函数f（x）＝（a＞0，a≠1，a为常数，x∈R）.
（1）若f（m）＝6，求f（－m）的值；
（2）若f（1）＝3，求f（2），f的值.
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
1.D ＝，故A错误；（－a2）5＝－a2×5＝－a10，（－a5）2＝a10，故B错误；当a＝4时，（－2）0无意义，故C错误；（－）5＝－，故D正确.
2.B 原式＝＋＋1＝1π＋24＋1＝18.
3.C 0.01×210＝10.24（厘米）.
4.C 因为＋＝4，所以（＋）2＝42，即a＋a－1＋2＝16，所以a＋a－1＝14，所以＝＝a＋a－1＝14，故选C.
5.A 由题意得（＋）2＝9，且a＞0，所以a＋＝7，故＝＝.
6.BC ＝＝，故A错误；（）（－3）÷（）＝－9·＝－9a，故B正确；＝＝（32＝＝，故C正确；因为x2＋x－2＝（x＋x－1）2－2＝2，所以（x＋x－1）2＝4，则x＋x－1＝±2，故D错误.故选B、C.
7.－2 解析：原式＝（22－［（）3－1＝2－1－－1＝－－1＝－2.
8.1 解析：原式＝＝＝＝1.
9.1 解析：由x－＝1，x＞0可得x2＝x＋1，原式＝－－＝－－＝x－＝＝1.
10.解：（1）原式＝（－）［（）2＋＋（）2］＝（）3－（）3＝x2－y－1，
又∵x＝，∴x2＝2＋，
∵y＝2－，∴y－1＝1＋，
∴x2－y－1＝2＋－（1＋）＝1＋.
（2）由a2x＝－1得a－2x＝＋1，
∴＝a2x＋a－2x－1＝2－1.
11.B ∵＝，∴＝3－2，∴x－1＝－2，∴x＝－，∴方程＝的解是x＝－.
12.A 由题意得m＞0，∵2a＝m，5b＝m，∴2＝，5＝，∵2×5＝·＝，∴m2＝10，∴m＝.
13.4 解析：因为所以①×②得a3m＝26，所以am＝22.将am＝22代入②，得22·a－n＝28，所以an＝2－6，所以a4m＋n＝a4m·an＝（am）4·an＝（22）4×2－6＝22＝4.
14.解：（1）原式＝
＝a2x－1＋a－2x＝3－1＋＝.
（2）∵a＞0，b＞0，又ab＝ba，b＝8a，
∴（ab＝（ba，
即a＝＝（8a＝（8a，∴＝，∴a7＝8，∴a＝.
15.1 解析：由已知条件可得ex·ey＝ex＋y＝e2，所以x＋y＝2，由重要不等式可得x2＋y2≥2xy，即2（x2＋y2）≥x2＋y2＋2xy＝（x＋y）2＝4，所以≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立.因此，x2，y2的算术平均值的最小值为1.
16.解：（1）∵f（m）＝6，∴＝6，
∴f（－m）＝＝6.
（2）∵f（1）＝3，∴＝3，∴a＋a－1＝6，
∴f（2）＝＝＝17.
∵（＋）2＝a＋a－1＋2＝8，
∴＋＝2，
∴f＝＝.
2 / 24.1.2 无理数指数幂及其运算性质
某大型国企2023年的生产总值为a，根据相关资料判断，未来20年，该企业每一年的生产总值是上一年的倍.据此回答下列问题.
【问题】 （1）一年后，该企业的生产总值是多少？
（2）五年后，该企业的生产总值是多少？
知识点 无理数指数幂
1.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α为无理数）是一个确定的 .
2.实数指数幂的运算法则
（1）aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈R）；
（2）（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈R）；
（3）（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈R）；
（4）拓展：＝ar－s（a＞0，r，s∈R）.
1.（多选）下列结论正确的是（ ）
A.[（－2）×（－3）＝（－2（－3
B.当a＞0时，（ar）s＝（as）r
C.是一个确定的实数
D.（＝8
2.计算：··a－2π＝ .
3.化简（式中各字母均为正数）：
（1）（；
（2）4·3（－y）·y.
题型一 无理数指数幂的运算
【例1】 化简下列各式：
（1）π4－π·ππ－2；
（2）（；
（3）×12.
通性通法
关于无理数指数幂的运算技巧
（1）无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；
（2）若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算.
【跟踪训练】
计算下列各式的值（式中字母均是正数）：
（1）（；
（2）a－π.
题型二 实际问题中的指数运算
【例2】 从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水加满，以此继续下去，则至少应倒 次后才能使酒精的浓度低于10%.
通性通法
指数运算在实际问题中的应用
在成倍数递增（递减）、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
【跟踪训练】
如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次（1个分裂成2个），那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成 个.
题型三 实数指数幂的综合运用
【例3】 已知＋＝，求下列各式的值：
（1）a＋a－1；
（2）a2＋a－2.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，a2－a－2＝ .
通性通法
利用整体代换法求分数指数幂的和（差）
（1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键；
（2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
常见的变形公式：x2＋x－2＝（x±x－1）2 2，x＋x－1＝（±）2 2，＋＝（±）2 2.
【跟踪训练】
已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，且a＞b＞0，则＝ .
1.·＝（ ）
A.103 B.1
C.310 D.
2.已知am＝4，an＝3，则＝（ ）
A. B.6
C. D.2
3.已知＋＝5（x＞0），那么＋＝（ ）
A. B.－
C.± D.7
4.式子（a，b＞0）的值为 .
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
【基础知识·重落实】
知识点
1.实数
自我诊断
1.BCD
2.a－π 解析：原式＝＝a－π.
3.解：（1）原式＝y＝.
（2）原式＝－12＝－12.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）π4－π·ππ－2＝π4－π＋π－2＝π2.
（2）（＝＝π2－1＝π.
（3）×12＝×＝＝52＝25.
跟踪训练
解：（1）原式＝（·＝26·m3＝64m3.
（2）原式＝＝a0＝1.
【例2】 4 解析：由题意，得第n次操作后溶液的浓度为（1－）n，令（）n＜，验证可得n≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
跟踪训练
64 解析：经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64（个）.
【例3】 解：（1）将＋＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
（2）将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
即a2＋a－2＝7.
母题探究
±3 解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝（a2＋a－2）2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
跟踪训练
解析：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，∴∵a＞b＞0，∴＞.∵（）2＝＝＝＝，∴＝＝.
随堂检测
1.B ·＝（2×5＝1.
2.A 由题意得am－2n＝＝，所以＝＝.
3.A （＋）2＝＋＋2＝5＋2＝7.又x＞0，故＋＝.
4.1 解析：原式＝＝＝＝＝1.
3 / 3(共45张PPT)
4.1.2
无理数指数幂及其运算性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某大型国企2023年的生产总值为 a ，根据相关资料判断，未来20年，
该企业每一年的生产总值是上一年的 倍.据此回答下列问题.
【问题】 （1）一年后，该企业的生产总值是多少？
（2）五年后，该企业的生产总值是多少？
知识点 无理数指数幂
1. 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂 aα（ a ＞0，α为无理数）
是一个确定的 .
2. 实数指数幂的运算法则
（1） aras ＝ ar＋ s （ a ＞0， r ， s ∈R）；
（2）（ ar ） s ＝ ars （ a ＞0， r ， s ∈R）；
（3）（ ab ） r ＝ arbr （ a ＞0， b ＞0， r ∈R）；
（4）拓展： ＝ ar－ s （ a ＞0， r ， s ∈R）.
实数
1. （多选）下列结论正确的是（ ）
B. 当 a ＞0时，（ ar ） s ＝（ as ） r
2. 计算： · · a－2π＝ .
解析：原式＝ ＝ a－π.
3. 化简（式中各字母均为正数）：
（1）（ ；
解： 原式＝ y ＝ .
（2）4 ·3 （－ y ）· y .
解： 原式＝－12 ＝－12 .
a－π
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 无理数指数幂的运算
【例1】 化简下列各式：
（1）π4－π·ππ－2；
解： π4－π·ππ－2＝π4－π＋π－2＝π2.
（2）（ ；
解： （ ＝ ＝π2－1＝π.
（3） ×12 .
解： ×12 ＝ × ＝ ＝
52＝25.
通性通法
关于无理数指数幂的运算技巧
（1）无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；
（2）若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中
的根式可以保留直接运算.
【跟踪训练】
计算下列各式的值（式中字母均是正数）：
（1）（2 ；
解： 原式＝（ · ＝26· m3＝64 m3.
（2） a－π.
解： 原式＝ ＝ a0＝1.
题型二 实际问题中的指数运算
【例2】 从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1
升混合溶液后又用水加满，以此继续下去，则至少应倒 次后才
能使酒精的浓度低于10%.
解析：由题意，得第 n 次操作后溶液的浓度为（1－ ） n ，令（ ） n
＜ ，验证可得 n ≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于
10%.
4
通性通法
指数运算在实际问题中的应用
在成倍数递增（递减）、固定增长率等问题中，常常用到指数运
算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
【跟踪训练】
如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次（1个分裂成2
个），那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成 个.
解析：经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64（个）.
64
题型三 实数指数幂的综合运用
【例3】 已知 ＋ ＝ ，求下列各式的值：
（1） a ＋ a－1；
解： 将 ＋ ＝ 两边平方，得 a ＋ a－1＋2＝5，即 a
＋ a－1＝3.
（2） a2＋ a－2.
解： 将 a ＋ a－1＝3两边平方，得 a2＋ a－2＋2＝9，
即 a2＋ a－2＝7.
解析：令 y ＝ a2－ a－2，两边平方，得 y2＝ a4＋ a－4－2＝（ a2＋ a－2）2
－4＝72－4＝45，∴ y ＝±3 ，即 a2－ a－2＝±3 .
±3
通性通法
利用整体代换法求分数指数幂的和（差）
（1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件
与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键；
（2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平
方公式及其变形公式.
常见的变形公式： x2＋ x－2＝（ x ± x－1）2 2， x ＋ x－1＝（
± ）2 2， ＋ ＝（ ± ）2 2.
【跟踪训练】
已知 a ， b 是方程 x2－6 x ＋4＝0的两个根，且 a ＞ b ＞0，则
＝ .
解析：∵ a ， b 是方程 x2－6 x ＋4＝0的两个根，∴∵ a ＞
b ＞0，∴ ＞ .∵（ ）2＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ .
1.2 ·5 ＝（ ）
A. 103
C. 310
解析： 2 ·5 ＝（2×5 ＝10 .
2. 已知 am ＝4， an ＝3，则 ＝（ ）
B. 6 D. 2
解析： 由题意得 am－2 n ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ .
3. 已知 ＋ ＝5（ x ＞0），那么 ＋ ＝（ ）
D. 7
解析： （ ＋ ）2＝ ＋ ＋2＝5＋2＝7.又 x ＞0，故
＋ ＝ .
4. 式子 （ a ， b ＞0）的值为 .
解析：原式＝ ＝ ＝ ＝
＝1.
1
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列运算中正确的是（ ）
B. （－ a2）5＝（－ a5）2
解析： ＝ ，故A错误；（－ a2）5＝－ a2×5＝－
a10，（－ a5）2＝ a10，故B错误；当 a ＝4时，（ －2）0无意义，
故C错误；（－ ）5＝－ ，故D正确.
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2. 计算：3π× ＋（ ＋ ＝（ ）
A. 17 B. 18 C. 6 D. 5
解析： 原式＝ ＋ ＋1＝1π＋24＋1＝18.
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3. 一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折（即沿对边中点连线
折叠）10次，这时，报纸的厚度为（ ）
A. 2.56厘米 B. 5.12厘米
C. 10.24厘米 D. 20.48厘米
解析： 0.01×210＝10.24（厘米）.
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4. 已知 ＋ ＝4，则 ＝（ ）
A. 2 B. 4
C. 14 D. 16
解析： 因为 ＋ ＝4，所以（ ＋ ）2＝42，即 a ＋ a－1
＋2＝16，所以 a ＋ a－1＝14，所以 ＝ ＝ a
＋ a－1＝14，故选C.
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5. 若 ＋ ＝3，则 ＝（ ）
解析： 由题意得（ ＋ ）2＝9，且 a ＞0，所以 a ＋ ＝7，
故 ＝ ＝ .
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6. （多选）下列计算正确的是（ ）
D. 已知 x2＋ x－2＝2，则 x ＋ x－1＝2
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解析： ＝ ＝ ，故A错误；（ ）（－3
）÷（ ）＝－9 · ＝－9 a ，故B正确；
＝ ＝（32 ＝ ＝ ，故C正确；因为 x2＋ x－2＝（ x ＋
x－1）2－2＝2，所以（ x ＋ x－1）2＝4，则 x ＋ x－1＝±2，故D错误.
故选B、C.
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7. 求值： －（ －（π－3）0＝ .
解析：原式＝（22 －［（ ）3 －1＝2－1－ －1＝ － －1
＝－2.
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8. 化简 ＝ .
解析：原式＝ ＝ ＝ ＝1.
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9. 已知 x － ＝1，其中 x ＞0，则 － － ＝ .
解析：由 x － ＝1， x ＞0可得 x2＝ x ＋1，原式＝
－ － ＝ － － ＝ x － ＝ ＝1.
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10. （1）当 x ＝ ， y ＝2－ 时，求（ － ）·（ ＋
＋ ）的值；
解： 原式＝（ － ）［（ ）2＋ ＋
（ ）2］＝（ ）3－（ ）3＝ x2－ y－1，
又∵ x ＝ ，∴ x2＝2＋ ，
∵ y ＝2－ ，∴ y－1＝1＋ ，
∴ x2－ y－1＝2＋ －（1＋ ）＝1＋ .
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（2）若 a2 x ＝ －1，求 的值.
解： 由 a2 x ＝ －1得 a－2 x ＝ ＋1，
∴ ＝ a2 x ＋ a－2 x －1＝2 －1.
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11. 方程3 ＝ 的解是（ ）
解析： ∵ ＝ ，∴ ＝3－2，∴ x －1＝－2，
∴ x ＝－ ，∴方程 ＝ 的解是 x ＝－ .
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12. 已知2 a ＝5 b ＝ m ，且 ＋ ＝2，则 m ＝（ ）
B. 10
C. 20 D. 100
解析： 由题意得 m ＞0，∵2 a ＝ m ，5 b ＝ m ，∴2＝ ，5＝
，∵2×5＝ · ＝ ，∴ m2＝10，∴ m ＝ .
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13. 已知 a2 m＋ n ＝2－2， am－ n ＝28（ a ＞0，且 a ≠1），则 a4 m＋ n
＝ .
解析：因为所以①×②得 a3 m ＝26，所以 am ＝
22.将 am ＝22代入②，得22· a－ n ＝28，所以 an ＝2－6，所以 a4 m＋ n ＝
a4 m · an ＝（ am ）4· an ＝（22）4×2－6＝22＝4.
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14. （1）已知 a2 x ＝3，求 的值；
解： 原式＝ ＝ a2 x －1＋ a
－2 x ＝3－1＋ ＝ .
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（2）已知 a ＞0， b ＞0，且 ab ＝ ba ， b ＝8 a ，求 a 的值.
解： ∵ a ＞0， b ＞0，又 ab ＝ ba ， b ＝8 a ，∴（ ab
＝（ ba ，
即 a ＝ ＝（8 a ＝（8 a ，∴ ＝ ，∴ a7＝8，
∴ a ＝ .
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15. 若e x ，e y 的几何平均值为e（e是自然对数的底数），则 x2， y2的算
术平均值的最小值为 .
解析：由已知条件可得e x ·e y ＝e x＋ y ＝e2，所以 x ＋ y ＝2，由重要
不等式可得 x2＋ y2≥2 xy ，即2（ x2＋ y2）≥ x2＋ y2＋2 xy ＝（ x ＋
y ）2＝4，所以 ≥1，当且仅当 x ＝ y ＝1时，等号成立.因
此， x2， y2的算术平均值的最小值为1.
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16. 已知函数 f （ x ）＝ （ a ＞0， a ≠1， a 为常数， x ∈R）.
（1）若 f （ m ）＝6，求 f （－ m ）的值；
解： ∵ f （ m ）＝6，∴ ＝6，∴ f （－ m ）＝
＝6.
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（2）若 f （1）＝3，求 f （2）， f 的值.
解： ∵ f （1）＝3，∴ ＝3，∴ a ＋ a－1＝6，
∴ f （2）＝ ＝ ＝17.
∵（ ＋ ）2＝ a ＋ a－1＋2＝8，∴ ＋ ＝2 ，
∴ f ＝ ＝ .
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