4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
1.下列函数中是指数函数的是（ ）
A.y＝ B.y＝ax（a＞0，且a≠1）
C.y＝1x D.y＝－1.
2.若指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）＝（ ）
A.4 B.8
C.16 D.1
3.函数f（x）＝（2a－3）ax是指数函数，则f（1）＝（ ）
A.8 B.
C.4 D.2
4.一种产品的成本是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x（0＜x＜m）的函数，其关系式是（ ）
A.y＝a（1＋p%）x（0＜x＜m）
B.y＝a（1－p%）x（0＜x＜m）
C.y＝a（p%）x（0＜x＜m）
D.y＝a－（p%）x（0＜x＜m）
5.（多选）已知指数函数f（x）满足f＝，则下列结论中正确的是（ ）
A.f（x）＝5x B.f（x）＝5－x
C.f（－1）＝ D.5f（1）＝f（2）
6.（多选）设指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），则下列等式中正确的是（ ）
A.f（x＋y）＝f（x）f（y）
B.f（x－y）＝
C.f＝f（x）－f（y）
D.f（nx）＝[f（x）]n（n∈Q）
7.f（x）为指数函数，若f（x）过点（－2，4），则f（f（－1））＝ .
8.若指数函数f（x）的图象与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），则f（x）＝ ，g（x）＝ .
9.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余物质的质量约是原来的，则经过 年，剩余物质的质量是原来的.
10.一种占据内存的计算机病毒A，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，占据磁盘空间，这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为y KB.如果病毒占据内存不超过1 GB（1 GB＝210MB，1 MB＝210KB）时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长.
11.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－3，则f（－1）＝（ ）
A.1 B.－1
C. D.－
12.设函数f（x）＝a0（1＋r）x，且f（3）＝20，f（4）＝22，则f（5）＝（ ）
A.24 B.24.2
C.26 D.26.5
13.已知f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）的图象如图，则函数f（x）的解析式为 .
14.已知函数f（x）＝（a2＋a－5）ax是指数函数.
（1）求f（x）的表达式；
（2）判断F（x）＝的奇偶性，并加以证明.
15.已知函数y＝f（x），x∈R，且f（0）＝2，＝2，＝2，…，＝2，n∈N，则函数y＝f（x）的一个可能的解析式为 .
16.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx（k，r为常数）.若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？
4.2.1 指数函数的概念
1.B 由指数函数的定义可判定，只有B正确.
2.B 设指数函数的解析式为f（x）＝ax（a＞0，a≠1），又由函数的图象经过点（2，4），则a2＝4，解得a＝2或a＝－2（舍），即f（x）＝2x，所以f（3）＝23＝8，故选B.
3.D ∵函数f（x）＝（2a－3）ax是指数函数，∴解得a＝2.∴f（x）＝2x，∴f（1）＝2.
4.B ∵产品的成本是a元，1年后，成本为a－p%·a＝a（1－p%）；2年后，成本为a（1－p%）－a（1－p%）·p%＝a（1－p%）2，…，∴x年后，成本y＝a（1－p%）x（0＜x＜m）.
5.ACD 设指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），由题意得，＝＝，所以a＝5，所以f（x）＝5x，故A中结论正确，B中结论错误；因为f（－1）＝5－1＝，所以C中结论正确；因为5f（1）＝5×51＝25＝52＝f（2），所以D中结论正确.故选A、C、D.
6.ABD f（x＋y）＝ax＋y＝axay＝f（x）·f（y），故A中的等式正确；f（x－y）＝ax－y＝axa－y＝＝，故B中的等式正确；f＝＝（ax，f（x）－f（y）＝ax－ay≠（ax，故C中的等式错误；f（nx）＝anx＝（ax）n＝[f（x）]n，故D中的等式正确.
7. 解析：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），由f（－2）＝4，得a－2＝4，解得a＝，所以f（x）＝（）x，所以f（－1）＝（）－1＝2，所以f（f（－1））＝f（2）＝（）2＝.
8.2x x2 解析：设指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），幂函数g（x）＝xα，将（2，4）代入两个解析式得4＝a2，4＝2α，解得a＝2，α＝2，故f（x）＝2x，g（x）＝x2.
9.三 解析：经过一年，剩余物质的质量约是原来的；经过两年，剩余物质的质量约是原来的；经过三年，剩余物质的质量约是原来的＝.
10.解：因为这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍.
所以x分钟后的病毒所占内存为，得y＝（x∈R＋），
因为病毒所占据内存不超过1 GB时，计算机能够正常使用，故有≤220，解得x≤95.
所以本次开机计算机能正常使用的时长为95分钟.
11.A 因为x＞0时，f（x）＝2x－3，且函数f（x）为奇函数，所以f（－1）＝－f（1）＝－（21－3）＝1.
12.B 由题意得两式相除可得＝，故1＋r＝，所以f（5）＝＝f（4）·（1＋r）＝22×＝24.2.
13.f（x）＝（）x－3 解析：由题意知，f（x）的图象过点（0，－2）和（2，0），所以所以所以f（x）＝（）x－3.
14.解：（1）由a2＋a－5＝1，a＞0，且a≠1，
可得a＝2或a＝－3（舍去），所以f（x）＝2x.
（2）F（x）＝是奇函数.
证明如下：F（x）的定义域是R，关于原点对称，且F（x）＝f（x）－＝2x－＝2x－2－x，
又因F（－x）＝2－x－2x＝－（2x－2－x）＝－F（x），
所以F（x）是奇函数.
15.f（x）＝2×4x 解析：由题意，得＝4，＝42，…，＝4x，∴f（x）＝2×4x.
16.解：因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx（k，r为常数），
所以
解得
所以y＝100（）x，
所以当x＝10时，y＝100×（）10＝64，
所以在10 ℃的冰箱中的保鲜时间为64 h.
2 / 24.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.能从教材实例中抽象出指数函数的概念 数学抽象
2.能从教材实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用 数学建模
【问题】 （1）某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，则经过2个小时，这种细胞能由1个分裂成多少个？
（2）如果将上述问题改为“经过x次分裂，这种细胞能由1个分裂成y个”，你能用分裂次数x表示个数y吗？
知识点 指数函数的概念
一般地，函数y＝ （a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是 ，定义域是 .
提醒 指数函数的结构特征
【想一想】
为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1？
1.（多选）下列函数一定是指数函数的是（ ）
A.y＝2x＋1 B.y＝3x
C.y＝3·2x D.y＝3－x
2.函数y＝（a－2）ax是指数函数，则（ ）
A.a＝1 B.a＝2
C.a＝3 D.a＞0且a≠1
3.若函数f（x）是指数函数，且f（2）＝2，则f（x）＝ .
题型一 指数函数的概念
【例1】 （1）下列函数中是指数函数的是 （填序号）.
①y＝2·（）x；②y＝2x－1；③y＝.
（2）已知函数f（x）＝（2a－1）x是指数函数，则实数a的取值范围是 .
通性通法
判断一个函数是否为指数函数的方法
（1）看形式：判断其解析式是否符合y＝ax（a＞0，且a≠1）这一结构特征；
（2）明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数.
【跟踪训练】
1.下列各函数中，是指数函数的为（ ）
A.y＝x3 B.y＝（－4）x
C.y＝5x＋1 D.y＝52x
2.若y＝（a2－3a＋3）ax是指数函数，则有（ ）
A.a＝1 B.a＝2
C.a＝3 D.a＞0且a≠1
题型二 指数函数的解析式或求值
【例2】 若函数f（x）＝（a－3）·ax是指数函数，则f（）＝（ ）
A.2 B.－2
C.－2 D.2
通性通法
1.求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
2.求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
【跟踪训练】
已知函数f（x）为指数函数，且f＝，则f（－2）＝ .
题型三 实际问题中指数型函数式的求解
【例3】 （1）某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为（ ）
A.640 B.1 280
C.2 560 D.5 120
（2）近年来，我国加大了对农业的投入，粮食连年丰收.某地区现在人均一年占有粮食360 kg，在一定时期内，如果该地区人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有粮食y kg，则y关于x的函数解析式是 .
通性通法
关于函数模型y＝kax的构建与求解
（1）函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k＞0时，若a＞1，则刻画指数增长变化规律；若0＜a＜1，则刻画指数衰减变化规律；
（2）解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.
【跟踪训练】
某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的3倍时，所用时间是10年，求森林面积的年增长率.
1.下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A.y＝（－3）x B.y＝－3x
C.y＝3x－1 D.y＝
2.若指数函数f（x）的图象过点（3，8），则f（x）的解析式为（ ）
A.f（x）＝x3 B.f（x）＝2x
C.f（x）＝ D.f（x）＝
3.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm（ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一），再过4分钟测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间满足函数关系y＝c（c，m为常数），求c，m的值.
4.2.1 指数函数的概念
【基础知识·重落实】
知识点
ax 自变量 R
想一想
提示：①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义.
②如果a＜0，例如y＝（－4）x，这时对于x＝，，…，该函数无意义.
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值.
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1.
自我诊断
1.BD A：y＝2x＋1中指数是x＋1，所以不是指数函数，故错误；B：y＝3x是指数函数，故正确；C：y＝3·2x中底数前系数是3，所以不是指数函数，故错误；D：y＝3－x＝属于指数函数，故正确.
2.C 解得a＝3.
3.（）x 解析：设f（x）＝ax（a＞0，a≠1），∵f（2）＝2，∴a2＝2，∴a＝，即f（x）＝（）x.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）③ （2）∪（1，＋∞）
解析：（1）①中指数式（）x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；③是指数函数.
（2）由题意可知解得a＞，且a≠1，所以实数a的取值范围是∪（1，＋∞）.
跟踪训练
1.D A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中，自变量出现在指数上，但－4＜0，不满足“底数大于0且不等于1”的条件，故不是指数函数；C中，指数是x＋1，故不是指数函数；D中，y＝52x＝25x，符合指数函数的定义，故是指数函数.故选D.
2.B 由指数函数的定义得解得a＝2.
【例2】 D 因为函数f（x）是指数函数，所以所以a＝8，所以f（x）＝8x，f（）＝＝2.
跟踪训练
解析：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），由f＝得，＝，所以a＝3，又f（－2）＝a－2，所以f（－2）＝3－2＝.
【例3】 （1）B （2）y＝360×（）x（x∈N*） 解析：（1）依题意，2＝ek，则y＝10ekt＝10×2t.∴当t＝7时，y＝10×27＝1 280.
（2）设该地区现在人口数量为M，则该地区现在一年的粮食总产量为360M kg.1年后，该地区粮食总产量为360M（1＋4%）kg，人口数量为M（1＋1.2%），则人均一年占有粮食为 kg，2年后，人均一年占有粮食为 kg，…，x年后，人均一年占有粮食为 kg，即所求函数解析式为y＝360×（）x（x∈N*）.
跟踪训练
解：设森林面积的年增长率为x，根据题意可得：a（1＋x）10＝3a，
即（1＋x）10＝3，故x＝－1.
故森林面积的年增长率为－1.
随堂检测
1.D 根据指数函数的定义知，D正确.
2.B 设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），则由f（3）＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f（x）＝2x.
3.解：由题意得解得故c，m的值分别为128，.
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4.2.1 指数函数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.能从教材实例中抽象出指数函数的概念 数学抽象
2.能从教材实例中体会指数型函数模型在实际问题中
的应用 数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
【问题】 （1）某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，则经过2个
小时，这种细胞能由1个分裂成多少个？
（2）如果将上述问题改为“经过 x 次分裂，这种细胞能由1个分裂成 y
个”，你能用分裂次数 x 表示个数 y 吗？
知识点 指数函数的概念
一般地，函数 y ＝ （ a ＞0，且 a ≠1）叫做指数函数，其中指
数 x 是 ，定义域是 .
提醒 指数函数的结构特征
ax
自变量
R
【想一想】
为什么指数函数的底数 a ＞0，且 a ≠1？
提示：①如果 a ＝0，当 x ＞0时， ax 恒等于0，没有研究的必要；当 x
≤0时， ax 无意义.
②如果 a ＜0，例如 y ＝（－4） x ，这时对于 x ＝ ， ，…，该函数无
意义.
③如果 a ＝1，则 y ＝1 x 是一个常量，没有研究的价值.
为了避免上述各种情况，所以规定 a ＞0，且 a ≠1.
1. （多选）下列函数一定是指数函数的是（ ）
A. y ＝2 x＋1 B. y ＝3 x
C. y ＝3·2 x D. y ＝3－ x
解析： A： y ＝2 x＋1中指数是 x ＋1，所以不是指数函数，故错
误；B： y ＝3 x 是指数函数，故正确；C： y ＝3·2 x 中底数前系数是
3，所以不是指数函数，故错误；D： y ＝3－ x ＝ 属于指数函
数，故正确.
2. 函数 y ＝（ a －2） ax 是指数函数，则（ ）
A. a ＝1 B. a ＝2
C. a ＝3 D. a ＞0且 a ≠1
解析： 解得 a ＝3.
解析：设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0， a ≠1），∵ f （2）＝2，∴ a2＝2，
∴ a ＝ ，即 f （ x ）＝（ ） x .
（ ）
x
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 指数函数的概念
【例1】 （1）下列函数中是指数函数的是 （填序号）.
① y ＝2·（ ） x ；② y ＝2 x－1；③ y ＝ .
解析： ①中指数式（ ） x 的系数不为1，故不是指数函
数；②中 y ＝2 x－1＝ ·2 x ，指数式2 x 的系数不为1，故不是指数
函数；③是指数函数.
③
解析： 由题意可知解得 a ＞ ，且 a ≠1，所
以实数 a 的取值范围是 ∪（1，＋∞）.
∪（1，＋∞）
通性通法
判断一个函数是否为指数函数的方法
（1）看形式：判断其解析式是否符合 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）这一
结构特征；
（2）明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一
个特征不具备，该函数就不是指数函数.
【跟踪训练】
1. 下列各函数中，是指数函数的为（ ）
A. y ＝ x3 B. y ＝（－4） x
C. y ＝5 x＋1 D. y ＝52 x
解析： A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中，
自变量出现在指数上，但－4＜0，不满足“底数大于0且不等于1”
的条件，故不是指数函数；C中，指数是 x ＋1，故不是指数函数；
D中， y ＝52 x ＝25 x ，符合指数函数的定义，故是指数函数.故选D.
2. 若 y ＝（ a2－3 a ＋3） ax 是指数函数，则有（ ）
A. a ＝1 B. a ＝2
C. a ＝3 D. a ＞0且 a ≠1
解析： 由指数函数的定义得解得 a ＝2.
题型二 指数函数的解析式或求值
【例2】 若函数 f （ x ）＝（ a －3）· ax 是指数函数，则 f （ ）＝
（ ）
A. 2 B. －2
解析： 因为函数 f （ x ）是指数函数，所以所以 a ＝
8，所以 f （ x ）＝8 x ， f （ ）＝ ＝2 .
通性通法
1. 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解
析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的
解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
2. 求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）为指数函数，且 f ＝ ，则 f （－2）
＝ .
解析：设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），由 f ＝ 得， ＝
，所以 a ＝3，又 f （－2）＝ a－2，所以 f （－2）＝3－2＝ .
题型三 实际问题中指数型函数式的求解
【例3】 （1）某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知
该细菌的繁殖规律为 y ＝e kt ，其中 k 为常数， t 表示时间（单位：小
时）， y 表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数
为（ B ）
A. 640 B. 1 280
解析： 依题意，2＝e k ，则 y ＝10e kt ＝10×2 t .∴当 t ＝7时， y ＝10×27＝1 280.
C. 2 560 D. 5 120
y ＝360×
（ ） x （ x ∈N*）
解析： 设该地区现在人口数量为 M ，则该地区现在一年的
粮食总产量为360 M kg.1年后，该地区粮食总产量为360 M （1＋
4%）kg，人口数量为 M （1＋1.2%），则人均一年占有粮食为
kg，2年后，人均一年占有粮食为
kg，…， x 年后，人均一年占有粮食为 kg，即所
求函数解析式为 y ＝360×（ ） x （ x ∈N*）.
通性通法
关于函数模型 y ＝ kax 的构建与求解
（1）函数 y ＝ kax 是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有
用的函数模型，一般当 k ＞0时，若 a ＞1，则刻画指数增长变化
规律；若0＜ a ＜1，则刻画指数衰减变化规律；
（2）解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的
系数后，利用指数运算解题.
【跟踪训练】
某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假
设一片森林原来的面积为 a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积
的年增长率相同，当面积是原来的3倍时，所用时间是10年，求森林
面积的年增长率.
解：设森林面积的年增长率为 x ，根据题意可得： a （1＋ x ）10＝3
a ，即（1＋ x ）10＝3，故 x ＝ －1.
故森林面积的年增长率为 －1.
1. 下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A. y ＝（－3） x B. y ＝－3 x
C. y ＝3 x－1
解析： 根据指数函数的定义知，D正确.
2. 若指数函数 f （ x ）的图象过点（3，8），则 f （ x ）的解析式为
（ ）
A. f （ x ）＝ x3 B. f （ x ）＝2 x
解析： 设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），则由 f （3）＝8得 a3＝
8，∴ a ＝2，∴ f （ x ）＝2 x .
3. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含
量达到了危险状态，经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一
氧化碳浓度为64 ppm（ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之
一），再过4分钟测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化
碳浓度 y （ppm）与排气时间 t （分钟）之间满足函数关系 y ＝ c
（ c ， m 为常数），求 c ， m 的值.
解：由题意得解得故 c ， m 的值分别为
128， .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列函数中是指数函数的是（ ）
B. y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）
C. y ＝1 x
解析： 由指数函数的定义可判定，只有B正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 若指数函数 y ＝ f （ x ）的图象过点（2，4），则 f （3）＝（ ）
A. 4 B. 8
C. 16 D. 1
解析： 设指数函数的解析式为 f （ x ）＝ ax （ a ＞0， a ≠1），
又由函数的图象经过点（2，4），则 a2＝4，解得 a ＝2或 a ＝－2
（舍），即 f （ x ）＝2 x ，所以 f （3）＝23＝8，故选B.
1
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11
12
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3. 函数 f （ x ）＝（2 a －3） ax 是指数函数，则 f （1）＝（ ）
A. 8
C. 4 D. 2
解析： ∵函数 f （ x ）＝（2 a －3） ax 是指数函数，
∴解得 a ＝2.∴ f （ x ）＝2 x ，∴ f （1）＝2.
1
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16
4. 一种产品的成本是 a 元，今后 m 年内，计划使成本平均每年比上一
年降低 p %，成本 y 是经过年数 x （0＜ x ＜ m ）的函数，其关系式
是（ ）
A. y ＝ a （1＋ p %） x （0＜ x ＜ m ）
B. y ＝ a （1－ p %） x （0＜ x ＜ m ）
C. y ＝ a （ p %） x （0＜ x ＜ m ）
D. y ＝ a －（ p %） x （0＜ x ＜ m ）
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解析： ∵产品的成本是 a 元，1年后，成本为 a － p %· a ＝ a （1
－ p %）；2年后，成本为 a （1－ p %）－ a （1－ p %）· p %＝ a （1
－ p %）2，…，∴ x 年后，成本 y ＝ a （1－ p %） x （0＜ x ＜ m ）.
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5. （多选）已知指数函数 f （ x ）满足 f ＝ ，则下列结论中正
确的是（ ）
A. f （ x ）＝5 x B. f （ x ）＝5－ x
D. 5 f （1）＝ f （2）
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解析： 设指数函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1），由题意
得， ＝ ＝ ，所以 a ＝5，所以 f （ x ）＝5 x ，故A中结论正
确，B中结论错误；因为 f （－1）＝5－1＝ ，所以C中结论正确；
因为5 f （1）＝5×51＝25＝52＝ f （2），所以D中结论正确.故选
A、C、D.
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6. （多选）设指数函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1），则下列等式
中正确的是（ ）
A. f （ x ＋ y ）＝ f （ x ） f （ y ）
D. f （ nx ）＝[ f （ x ）] n （ n ∈Q）
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解析： f （ x ＋ y ）＝ ax＋ y ＝ axay ＝ f （ x ） f （ y ），故A中
的等式正确； f （ x － y ）＝ ax－ y ＝ axa－ y ＝ ＝ ，故B中的
等式正确； f ＝ ＝（ ax ， f （ x ）－ f （ y ）＝ ax － ay ≠
（ ax ，故C中的等式错误； f （ nx ）＝ anx ＝（ ax ） n ＝[ f
（ x ）] n ，故D中的等式正确.
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7. f （ x ）为指数函数，若 f （ x ）过点（－2，4），则 f （ f （－1））
＝ .
解析：设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），由 f （－2）＝4，得 a－2＝
4，解得 a ＝ ，所以 f （ x ）＝（ ） x ，所以 f （－1）＝（ ）－1＝
2，所以 f （ f （－1））＝ f （2）＝（ ）2＝ .
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8. 若指数函数 f （ x ）的图象与幂函数 g （ x ）的图象相交于一点
（2，4），则 f （ x ）＝ ， g （ x ）＝ .
解析：设指数函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），幂函数 g （ x ）
＝ xα，将（2，4）代入两个解析式得4＝ a2，4＝2α，解得 a ＝2，
α＝2，故 f （ x ）＝2 x ， g （ x ）＝ x2.
2 x
x2
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9. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余物质的质
量约是原来的 ，则经过 年，剩余物质的质量是原来的 .
解析：经过一年，剩余物质的质量约是原来的 ；经过两年，剩余
物质的质量约是原来的 ；经过三年，剩余物质的质量约是原
来的 ＝ .
三
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10. 一种占据内存的计算机病毒 A ，能在短时间内感染大量文件，使
每个文件都不同程度地加长，占据磁盘空间，这种病毒开机时占
据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记 x 分钟后的
病毒所占内存为 y KB. 如果病毒占据内存不超过1 GB（1 GB＝
210MB，1 MB＝210KB）时，计算机能够正常使用，求本次开机
计算机能正常使用的时长.
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解：因为这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内
存是原来的2倍.
所以 x 分钟后的病毒所占内存为 ，得 y ＝ （ x ∈R＋），
因为病毒所占据内存不超过1 GB时，计算机能够正常使用，故有
≤220，解得 x ≤95.
所以本次开机计算机能正常使用的时长为95分钟.
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11. 设 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且当 x ＞0时， f （ x ）＝2 x －
3，则 f （－1）＝（ ）
A. 1 B. －1
解析： 因为 x ＞0时， f （ x ）＝2 x －3，且函数 f （ x ）为奇函
数，所以 f （－1）＝－ f （1）＝－（21－3）＝1.
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12. 设函数 f （ x ）＝ a0（1＋ r ） x ，且 f （3）＝20， f （4）＝22，则 f
（5）＝（ ）
A. 24 B. 24.2
C. 26 D. 26.5
解析： 由题意得两式相除可得
＝ ，故1＋ r ＝ ，所以 f （5）＝ ＝ f
（4）·（1＋ r ）＝22× ＝24.2.
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13. 已知 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ＞0，且 a ≠1）的图象 如图，则函数
f （ x ）的解析式为 .
f （ x ）＝（ ） x －3
解析：由题意知， f （ x ）的图象过点（0，－2）和（2，0），所以所以所以 f （ x ）＝（ ） x －3.
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14. 已知函数 f （ x ）＝（ a2＋ a －5） ax 是指数函数.
（1）求 f （ x ）的表达式；
解： 由 a2＋ a －5＝1， a ＞0，且 a ≠1，
可得 a ＝2或 a ＝－3（舍去），所以 f （ x ）＝2 x .
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（2）判断 F （ x ）＝ 的奇偶性，并加以证明.
解： F （ x ）＝ 是奇函数.
证明如下： F （ x ）的定义域是R，关于原点对称，且 F
（ x ）＝ f （ x ）－ ＝2 x － ＝2 x －2－ x ，
又因 F （－ x ）＝2－ x －2 x ＝－（2 x －2－ x ）＝－ F （ x ），
所以 F （ x ）是奇函数.
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15. 已知函数 y ＝ f （ x ）， x ∈R，且 f （0）＝2， ＝2，
＝2，…， ＝2， n ∈N，则函数 y ＝ f （ x ）
的一个可能的解析式为 .
解析：由题意，得 ＝4， ＝42，…， ＝4 x ，
∴ f （ x ）＝2×4 x .
f （ x ）＝2×4 x
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16. 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间 y 与储藏
温度 x 的关系式为 y ＝ k e rx （ k ， r 为常数）.若牛奶在0 ℃的冰箱
中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，
那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？
解：因为保鲜时间 y 与储藏温度 x 的关系式为 y ＝ k e rx （ k ， r 为常
数），
所以
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解得
所以 y ＝100（ ） x ，
所以当 x ＝10时， y ＝100×（ ）10＝64，
所以在10 ℃的冰箱中的保鲜时间为64 h.
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