4.2.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质
1.函数y＝3｜x｜－2的值域是（ ）
A.R B.（－2，＋∞）
C.[－2，＋∞） D.[－1，＋∞）
2.函数f（x）＝ax与g（x）＝－x＋a的图象大致是（ ）
3.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x，则函数f（x）的值域为（ ）
A.（－1，1） B.[0，1）
C.R D.[0，1]
4.已知函数f（x）＝（x－a）·（x－b）（其中a＞b）的图象如图所示，则g（x）＝ax＋b的图象是（ ）
5.（多选）若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图象一定过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称
B.函数y＝3x与y＝的图象关于x轴对称
C.函数y＝3x与y＝－的图象关于原点对称
D.函数y＝3x与y＝－3x的图象关于x轴对称
7.已知函数y＝ax－m＋2的图象过定点（2，3），则实数m＝ .
8.函数y＝的定义域是 .
9.若函数f（x）＝则函数f（x）的值域是 .
10.求下列函数的定义域、值域：
（1）y＝0.；
（2）y＝.
11.设函数f（x）＝则满足f（x＋1）＜f（2x）的x的取值范围是（ ）
A.（－∞，0） B.（0，＋∞）
C.（－∞，1） D.（0，1）
12.（多选）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at.则下列说法正确的是（ ）
A.浮萍每月的增长率为2
B.浮萍每月增加的面积都相等
C.第4个月时，浮萍面积不超过80 m2
D.若浮萍蔓延到2 m2，4 m2，8 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1＋t3
13.若函数y＝｜2x－1｜在（－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝ax－1（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1.求：
（1）实数a的值；
（2）求函数y＝f（x）（x≥0）的值域.
15.已知函数f（x）＝若存在x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），使f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则f（x1＋x2＋x3）的取值范围是（ ）
A.（0，1] B.[0，1]
C.（－∞，1] D.（－∞，1）
16.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）.
（1）若f（x）的图象如图①所示，求a，b的值；
（2）若f（x）的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
（3）在（1）中，若｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围.
第1课时 指数函数的图象和性质
1.D 令｜x｜＝t，t≥0，则y＝3t－2，因为3t≥1，所以y≥－1.故选D.
2.A 当a＞1时，函数f（x）＝ax为增函数，当x＝0时，g（0）＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A.
3.A 因为f（x）为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x，所以当x＞0时，f（x）＝－3－x，所以当x＜0时，f（x）＝3x＜30＝1，即0＜f（x）＜1，当x＞0时，f（x）＝－3－x＞－3－0＝－1，即－1＜f（x）＜0，又f（0）＝0，所以f（x）的值域为（－1，1）.故选A.
4.A 由图象可知0＜a＜1，b＜－1，所以函数g（x）＝ax＋b是减函数，故排除C、D，因为g（0）＝1＋b＜0，所以排除B，故选A.
5.ABC ∵a＞1，且－1＜b＜0，∴函数的图象如图所示.故图象过第一、二、三象限.
6.ACD 易知函数y＝ax与y＝＝a－x的图象关于y轴对称，且函数y＝ax与y＝－ax的图象关于x轴对称，所以函数y＝ax与y＝－的图象关于原点对称，所以B说法错误.
7.2 解析：由得m＝2.
8.[0，＋∞） 解析：由1－≥0得≤1＝，∴x≥0，∴函数y＝的定义域为[0，＋∞）.
9.（－1，0）∪（0，1） 解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，∴－x＜0，0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0，∴函数f（x）的值域为（－1，0）∪（0，1）.
10.解：（1）由x－1≠0得x≠1，所以函数定义域为{x｜x≠1}.由≠0得y≠1，所以函数值域为{y｜y＞0且y≠1}.
（2）由5x－1≥0得x≥，所以函数定义域为.由≥0得y≥1，所以函数值域为{y｜y≥1}.
11.C 函数f（x）＝的图象如图，显然函数f（x）在R上为减函数，∵f（x＋1）＜f（2x），∴x＋1＞2x，解得x＜1.
12.AD 将点（1，3）的坐标代入函数y＝at的解析式，得a1＝3，函数的解析式为y＝3t.对于A，由＝2可得浮萍每月的增长率为2，A选项正确；对于B，浮萍第1个月增加的面积为31－30＝2（m2），第2个月增加的面积为32－31＝6（m2），2≠6，B选项错误；对于C，第4个月时，浮萍的面积为34＝81＞80，C选项错误；对于D，由题意可得＝2，＝4，＝8，因为42＝2×8，所以（）2＝×，即＝，所以2t2＝t1＋t3，D选项正确.故选A、D.
13.（－∞，0] 解析：在平面直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位得到y＝2x－1的图象，再把y＝－1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变，如图实线部分，得到y＝｜2x－1｜的图象.由图可知y＝｜2x－1｜在（－∞，0]上单调递减，所以m∈（－∞，0].
14.解：（1）因为函数f（x）＝ax－1（x≥0）的图象经过点，所以＝a2－1，解得a＝.
（2）由（1）知，f（x）＝＝2·，
因为x≥0，所以0＜≤＝1.
所以0＜2·≤2.
所以函数y＝f（x）（x≥0）的值域为（0，2].
15.B 作出f（x）与直线y＝a的大致图象如图，交点横坐标为x1，x2，x3，自左向右依次排列，由图可知，x1，x2关于x＝－1对称，x3＞0，即x1＋x2＝－2，则x1＋x2＋x3＞－2.由图象知，当x＞－2时，f（x）∈[0，1]，所以f（x1＋x2＋x2）∈[0，1].
16.解：（1）由题图①知f（x）的图象过点（2，0），（0，－2），
所以
又因为a＞0，且a≠1，所以a＝，b＝－3.
（2）由题图②知f（x）是减函数，所以0＜a＜1，
又f（0）＜0，即a0＋b＜0，所以b＜－1.
故a的取值范围为（0，1），b的取值范围为（－∞，－1）.
（3）由（1）知f（x）＝（）x－3，则画出｜f（x）｜＝｜（）x－3｜的图象如图所示，要使｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.
故m的取值范围为[3，＋∞）∪{0}.
3 / 34.2.2 指数函数的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象 直观想象
2.探索并理解指数函数的单调性与特殊点 逻辑推理、数学运算
第1课时 指数函数的图象和性质
如图，在同一平面直角坐标系内画出y＝2x与y＝的图象及y＝3x与y＝的图象，通过观察具体的指数函数的图象，归纳、抽象出y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象与性质.
【问题】 （1）图象分布在哪几个象限？说明了什么？
（2）猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？
知识点 指数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性 质 定义域 R
值域 （0，＋∞）
过定点 过定点 ，即x＝ 时，y＝
函数值 的变化 当x＞0时， ； 当x＜0时， 当x＞0时， ； 当x＜0时，
单调性 在R上是 在R上是
对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
提醒 （1）函数图象只出现在x轴上方；（2）当x＝0时，有a0＝1，故过定点（0，1）；（3）当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近y轴；（4）当a＞1时，底数越大，图象越靠近y轴.
【想一想】
指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象“升”“降”主要取决于什么？
1.函数y＝（）x的图象是（ ）
2.若指数函数y＝（a－1）x在R上是减函数，则实数a的取值范围是 .
3.函数f（x）＝2x＋3的值域为 .
题型一 指数函数的图象
【例1】 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（ ）
A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c
通性通法
解决指数函数图象问题的注意点
（1）熟记当底数a＞1和0＜a＜1时，图象的大体形状；
（2）在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
【跟踪训练】
已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为（ ）
题型二 指数型函数的定义域和值域
【例2】 求下列函数的定义域和值域：
（1）y＝；（2）y＝.
通性通法
函数y＝af（x）定义域、值域的求法
（1）形如y＝af（x）的定义域就是f（x）的定义域；
（2）形如y＝af（x）的值域，应先求出f（x）的值域，再由函数的单调性求出af（x）的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论；
（3）形如y＝f（ax）的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f（u）确定出y＝f（ax）的值域.
【跟踪训练】
1.当x∈[－1，1]时，函数f（x）＝3x－2的值域为 .
2.若函数f（x）＝的定义域是[1，＋∞），则a的取值范围是 .
题型三 指数函数图象的应用
【例3】 （1）若函数f（x）＝2ax＋m－n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（－1，4），则m＋n＝（ ）
A.3 B.1
C.－1 D.－2
（2）已知直线y＝2a与函数y＝｜2x－2｜的图象有两个公共点，求实数a的取值范围.
通性通法
1.解决指数型函数图象过定点问题的思路：指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象过定点（0，1），据此可解决形如y＝k·ax＋c＋b（k≠0，a＞0，a≠1）的函数图象过定点的问题，即令指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点（－c，k＋b）.
2.利用函数的图象可解决与方程和不等式有关的问题，如观察两个函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象的交点个数可确定方程f（x）＝g（x）的解的个数，观察函数y＝f（x）的图象与x轴的交点情况，可以确定不等式f（x）＞0或f（x）＜0的解集等.
【跟踪训练】
1.函数y＝a｜x｜（a＞1）的图象是（ ）
2.函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A.a＞1，b＜0 B.a＞1，b＞0
C.0＜a＜1，b＞0 D.0＜a＜1，b＜0
1.函数y＝的定义域是（ ）
A.（－∞，0） B.（－∞，0]
C.[0，＋∞） D.（0，＋∞）
2.指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则（ ）
A.a＜0，b＜0
B.a＜0，b＞0
C.0＜a＜1，b＞1
D.0＜a＜1，0＜b＜1
3.函数f（x）＝a1－x＋5（a＞0且a≠1）的图象必过定点 .
4.当x∈[－2，2）时，求y＝3－x－1的值域.
第1课时 指数函数的图象和性质
【基础知识·重落实】
知识点
（0，1） 0 1 y＞1 0＜y＜1 0＜y＜1 y＞1 增函数 减函数
想一想
提示：指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a＞1时，图象具有上升趋势；当0＜a＜1时，图象具有下降趋势.
自我诊断
1.A
2.（1，2） 解析：因为指数y＝（a－1）x在R上是减函数，则0＜a－1＜1，即1＜a＜2.
3.（3，＋∞）
【典型例题·精研析】
【例1】 B 作直线x＝1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b＜a＜1＜d＜c.
跟踪训练
C 由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx，都是减函数，所以排除A、B；作直线x＝1与两条曲线相交，交点在下面的函数是y＝mx的图象，故选C.
【例2】 解：（1）要使函数有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0.故函数y＝的定义域为（－∞，0].
因为x≤0，所以0＜3x≤1，
所以0≤1－3x＜1，
即函数y＝的值域为[0，1）.
（2）定义域为R.
因为｜x｜≥0，所以y＝＝≥＝1，
所以此函数的值域为[1，＋∞）.
跟踪训练
1. 解析：因为指数函数y＝3x在区间[－1，1]上单调递增，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f（x）≤1.
2.（1，＋∞） 解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞）时，a＞1.
【例3】 （1）C 由函数f（x）＝2ax＋m－n（a＞0，且a≠1）的图象恒过（－1，4），得m－1＝0，2－n＝4，解得m＝1，n＝－2，∴m＋n＝－1.
（2）解：函数y＝｜2x－2｜的图象如图所示.要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0＜2a＜2，即0＜a＜1，故实数a的取值范围为（0，1）.
跟踪训练
1.B 该函数是偶函数.可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x＜0时的函数图象.
2.D 从曲线的变化趋势，可以得到函数f（x）为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax（0＜a＜1）的图象向左平移｜－b｜个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.
随堂检测
1.C 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
2.C 结合指数函数图象的特点可知0＜a＜1，b＞1.
3.（1，6） 解析：由1－x＝0，得x＝1.此时f（x）＝6.所以函数f（x）＝a1－x＋5（a＞0且a≠1）的图象必过定点（1，6）.
4.解：y＝3－x－1＝－1在x∈[－2，2）上单调递减，
∴3－2－1＜y≤32－1，即－＜y≤8.
∴函数的值域为.
4 / 4(共55张PPT)
4.2.2
指数函数的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象 直观想象
2.探索并理解指数函数的单调性与特殊点 逻辑推理、
数学运算
第1课时
指数函数的图象和性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，在同一平面直角坐标系内画出 y ＝2 x 与 y ＝ 的图象及 y
＝3 x 与 y ＝ 的图象，通过观察具体的指数函数的图象，归纳、抽
象出 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）的图象与性质.
【问题】 （1）图象分布在哪几个象限？说明了什么？
（2）猜想图象的上升、下降与底数 a 有怎样的关系？对应的函数的单
调性如何？
知识点 指数函数的图象和性质
a ＞1 0＜ a ＜1
图象
性 质 定义域 R 值域 （0，＋∞） 过定点 过定点 ，即 x ＝ 时， y ＝ （0，1）
0
1
a ＞1 0＜ a ＜1 性 质 函数值的变化 当 x ＞0时， ；当
x ＜0时， 当 x ＞0时 ；当 x ＜0时，
单调性 在R上是 在R上是
对称性 y ＞1
0＜ y ＜1
0＜ y ＜1
y ＞1
增函数
减函数
提醒 （1）函数图象只出现在 x 轴上方；（2）当 x ＝0时，有 a0＝
1，故过定点（0，1）；（3）当0＜ a ＜1时，底数越小，图象越靠近
y 轴；（4）当 a ＞1时，底数越大，图象越靠近 y 轴.
【想一想】
指数函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的图象“升”“降”主要取决
于什么？
提示：指数函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的图象“升”“降”主要取决
于字母 a .当 a ＞1时，图象具有上升趋势；当0＜ a ＜1时，图象具有下
降趋势.
1. 函数 y ＝（ ） x 的图象是（ ）
2. 若指数函数 y ＝（ a －1） x 在R上是减函数，则实数 a 的取值范围
是 .
解析：因为指数 y ＝（ a －1） x 在R上是减函数，则0＜ a －1＜1，
即1＜ a ＜2.
3. 函数 f （ x ）＝2 x ＋3的值域为 .
（1，2）
（3，＋∞）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 指数函数的图象
【例1】 如图是指数函数① y ＝ ax ，② y ＝ bx ，③ y ＝ cx ，④ y ＝ dx
的图象，则 a ， b ， c ， d 与1的大小关系是（ ）
A. a ＜ b ＜1＜ c ＜ d
B. b ＜ a ＜1＜ d ＜ c
C. 1＜ a ＜ b ＜ c ＜ d
D. a ＜ b ＜1＜ d ＜ c
解析： 作直线 x ＝1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以
b ＜ a ＜1＜ d ＜ c .
通性通法
解决指数函数图象问题的注意点
（1）熟记当底数 a ＞1和0＜ a ＜1时，图象的大体形状；
（2）在 y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
【跟踪训练】
已知0＜ m ＜ n ＜1，则指数函数① y ＝ mx ，② y ＝ nx 的图象为
（ ）
解析： 由于0＜ m ＜ n ＜1，所以 y ＝ mx 与 y ＝ nx ，都是减函数，所
以排除A、B；作直线 x ＝1与两条曲线相交，交点在下面的函数是 y ＝
mx 的图象，故选C.
题型二 指数型函数的定义域和值域
【例2】 求下列函数的定义域和值域：
（1） y ＝ ；
解： 要使函数有意义，则1－3 x ≥0，即3 x ≤1＝30，因为函
数 y ＝3 x 在R上是增函数，所以 x ≤0.故函数 y ＝ 的定义
域为（－∞，0].
因为 x ≤0，所以0＜3 x ≤1，所以0≤1－3 x ＜1，
即函数 y ＝ 的值域为[0，1）.
（2） y ＝ .
解： 定义域为R.
因为｜ x ｜≥0，所以 y ＝ ＝ ≥ ＝1，
所以此函数的值域为[1，＋∞）.
通性通法
函数 y ＝ af（ x）定义域、值域的求法
（1）形如 y ＝ af（ x）的定义域就是 f （ x ）的定义域；
（2）形如 y ＝ af（ x）的值域，应先求出 f （ x ）的值域，再由函数的单
调性求出 af（ x）的值域.若 a 的取值范围不确定，则需对 a 进行分
类讨论；
（3）形如 y ＝ f （ ax ）的值域，要先求出 u ＝ ax 的值域，再结合 y ＝ f
（ u ）确定出 y ＝ f （ ax ）的值域.
【跟踪训练】
解析：因为指数函数 y ＝3 x 在区间[－1，1]上单调递增，所以3－
1≤3 x ≤31，于是3－1－2≤3 x －2≤31－2，即－ ≤ f （ x ）≤1.
2. 若函数 f （ x ）＝ 的定义域是[1，＋∞），则 a 的取值范围
是 .
解析：∵ ax － a ≥0，∴ ax ≥ a ，∴当 a ＞1时， x ≥1.故函数定义域
为[1，＋∞）时， a ＞1.
（1，＋∞）
题型三 指数函数图象的应用
【例3】 （1）若函数 f （ x ）＝2 ax＋ m － n （ a ＞0，且 a ≠1）的图象
恒过点（－1，4），则 m ＋ n ＝（ ）
A. 3 B. 1
C. －1 D. －2
解析：C 由函数 f （ x ）＝2 ax＋ m － n （ a ＞0，且 a ≠1）的图
象恒过（－1，4），得 m －1＝0，2－ n ＝4，解得 m ＝1， n ＝
－2，∴ m ＋ n ＝－1.
解析： 由函数 f （ x ）＝2 ax＋ m － n （ a ＞0，且 a ≠1）的图
象恒过（－1，4），得 m －1＝0，2－ n ＝4，解得 m ＝1， n ＝
－2，∴ m ＋ n ＝－1.
（2）已知直线 y ＝2 a 与函数 y ＝｜2 x －2｜的图象有两个公共点，求
实数 a 的取值范围.
解：函数 y ＝｜2 x －2｜的图象如图所示.要
使直线 y ＝2 a 与该图象有两个公共点，则有0＜2 a ＜2，即0＜ a ＜1，故实数 a 的取值范围为（0，1）.
通性通法
1. 解决指数型函数图象过定点问题的思路：指数函数 y ＝ ax （ a ＞0且
a ≠1）的图象过定点（0，1），据此可解决形如 y ＝ k · ax＋ c ＋ b
（ k ≠0， a ＞0， a ≠1）的函数图象过定点的问题，即令指数 x ＋ c
＝0，即 x ＝－ c ，得 y ＝ k ＋ b ，函数图象过定点（－ c ， k ＋ b ）.
2. 利用函数的图象可解决与方程和不等式有关的问题，如观察两个函
数 y ＝ f （ x ）和 y ＝ g （ x ）的图象的交点个数可确定方程 f （ x ）
＝ g （ x ）的解的个数，观察函数 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴的交点
情况，可以确定不等式 f （ x ）＞0或 f （ x ）＜0的解集等.
【跟踪训练】
1. 函数 y ＝ a｜ x｜（ a ＞1）的图象是（ ）
解析： 该函数是偶函数.可先画出 x ≥0时， y ＝ ax 的图象，然
后沿 y 轴翻折过去，便得到 x ＜0时的函数图象.
2. 函数 f （ x ）＝ ax－ b 的图象如图所示，其中 a ， b 为常数，则下列结
论正确的是（ ）
A. a ＞1， b ＜0 B. a ＞1， b ＞0
C. 0＜ a ＜1， b ＞0 D. 0＜ a ＜1， b ＜0
解析： 从曲线的变化趋势，可以得到函数 f （ x ）为减函数，从
而有0＜ a ＜1；从曲线位置看，是由函数 y ＝ ax （0＜ a ＜1）的图
象向左平移｜－ b ｜个单位长度得到，所以－ b ＞0，即 b ＜0.
1. 函数 y ＝ 的定义域是（ ）
A. （－∞，0） B. （－∞，0]
C. [0，＋∞） D. （0，＋∞）
解析： 由2 x －1≥0，得2 x ≥20，∴ x ≥0.
2. 指数函数 y ＝ ax 与 y ＝ bx 的图象如图所示，则（ ）
A. a ＜0， b ＜0
B. a ＜0， b ＞0
C. 0＜ a ＜1， b ＞1
D. 0＜ a ＜1，0＜ b ＜1
解析： 结合指数函数图象的特点可知0＜ a ＜1， b ＞1.
3. 函数 f （ x ）＝ a1－ x ＋5（ a ＞0且 a ≠1）的图象必过定点
.
解析：由1－ x ＝0，得 x ＝1.此时 f （ x ）＝6.所以函数 f （ x ）＝ a1
－ x ＋5（ a ＞0且 a ≠1）的图象必过定点（1，6）.
4. 当 x ∈[－2，2）时，求 y ＝3－ x －1的值域.
解： y ＝3－ x －1＝ －1在 x ∈[－2，2）上单调递减，
∴3－2－1＜ y ≤32－1，即－ ＜ y ≤8.
∴函数的值域为 .
（1，
6）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 y ＝3｜ x｜－2的值域是（ ）
A. R B. （－2，＋∞）
C. [－2，＋∞） D. [－1，＋∞）
解析： 令｜ x ｜＝ t ， t ≥0，则 y ＝3 t －2，因为3 t ≥1，所以 y
≥－1.故选D.
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2. 函数 f （ x ）＝ ax 与 g （ x ）＝－ x ＋ a 的图象大致是（ ）
解析： 当 a ＞1时，函数 f （ x ）＝ ax 为增函数，当 x ＝0时， g
（0）＝ a ＞1，此时两函数的图象大致为选项A.
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3. 已知 f （ x ）为定义在R上的奇函数，当 x ＜0时， f （ x ）＝3 x ，则
函数 f （ x ）的值域为（ ）
A. （－1，1） B. [0，1）
C. R D. [0，1]
解析： 因为 f （ x ）为定义在R上的奇函数，当 x ＜0时， f
（ x ）＝3 x ，所以当 x ＞0时， f （ x ）＝－3－ x ，所以当 x ＜0时， f
（ x ）＝3 x ＜30＝1，即0＜ f （ x ）＜1，当 x ＞0时， f （ x ）＝－3－
x ＞－3－0＝－1，即－1＜ f （ x ）＜0，又 f （0）＝0，所以 f （ x ）
的值域为（－1，1）.故选A.
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4. 已知函数 f （ x ）＝（ x － a ）·（ x － b ）（其中 a ＞ b ）的图象如图所示，则 g （ x ）＝ ax ＋ b 的图象是（ ）
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解析： 由图象可知0＜ a ＜1， b ＜－1，所以函数 g （ x ）＝ ax
＋ b 是减函数，故排除C、D，因为 g （0）＝1＋ b ＜0，所以排除
B，故选A.
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5. （多选）若 a ＞1，－1＜ b ＜0，则函数 y ＝ ax ＋ b 的图象一定过
（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： ∵ a ＞1，且－1＜ b ＜0，∴函数的图
象如图所示.故图象过第一、二、三象限.
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6. （多选）下列说法正确的是（ ）
D. 函数 y ＝3 x 与 y ＝－3 x 的图象关于 x 轴对称
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解析： 易知函数 y ＝ ax 与 y ＝ ＝ a－ x 的图象关于 y 轴对
称，且函数 y ＝ ax 与 y ＝－ ax 的图象关于 x 轴对称，所以函数 y ＝ ax
与 y ＝－ 的图象关于原点对称，所以B说法错误.
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7. 已知函数 y ＝ ax－ m ＋2的图象过定点（2，3），则实数 m ＝ .
解析：由得 m ＝2.
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8. 函数 y ＝ 的定义域是 .
解析：由1－ ≥0得 ≤1＝ ，∴ x ≥0，∴函数 y ＝
的定义域为[0，＋∞）.
[0，＋∞）
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9. 若函数 f （ x ）＝则函数 f （ x ）的值域是
.
解析：由 x ＜0，得0＜2 x ＜1；由 x ＞0，∴－ x ＜0，0＜2－ x ＜1，
∴－1＜－2－ x ＜0，∴函数 f （ x ）的值域为（－1，0）∪（0，
1）.
（－
1，0）∪（0，1）
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10. 求下列函数的定义域、值域：
（1） y ＝0. ；
解： 由 x －1≠0得 x ≠1，所以函数定义域为{ x ｜ x
≠1}.由 ≠0得 y ≠1，所以函数值域为{ y ｜ y ＞0且 y
≠1}.
（2） y ＝ .
解： 由5 x －1≥0得 x ≥ ，所以函数定义域为
.由 ≥0得 y ≥1，所以函数值域为{ y ｜ y ≥1}.
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11. 设函数 f （ x ）＝则满足 f （ x ＋1）＜ f （2 x ）的
x 的取值范围是（ ）
A. （－∞，0） B. （0，＋∞）
C. （－∞，1） D. （0，1）
解析： 函数 f （ x ）＝的图象如
图，显然函数 f （ x ）在R上为减函数，∵ f （ x ＋
1）＜ f （2 x ），∴ x ＋1＞2 x ，解得 x ＜1.
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12. （多选）如图，某池塘里浮萍的面积 y （单位：m2）与时间 t （单
位：月）的关系为 y ＝ at .则下列说法正确的是（ ）
A. 浮萍每月的增长率为2
B. 浮萍每月增加的面积都相等
C. 第4个月时，浮萍面积不超过80 m2
D. 若浮萍蔓延到2 m2，4 m2，8 m2所经过的时间分别是
t1， t2， t3，则2 t2＝ t1＋ t3
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解析： 将点（1，3）的坐标代入函数 y ＝ at 的解析式，得 a1
＝3，函数的解析式为 y ＝3 t .对于A，由 ＝2可得浮萍每月
的增长率为2，A选项正确；对于B，浮萍第1个月增加的面积为31
－30＝2（m2），第2个月增加的面积为32－31＝6（m2），2≠6，
B选项错误；对于C，第4个月时，浮萍的面积为34＝81＞80，C选
项错误；对于D，由题意可得 ＝2， ＝4， ＝8，因为42
＝2×8，所以（ ）2＝ × ，即 ＝ ，所以2 t2＝
t1＋ t3，D选项正确.故选A、D.
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13. 若函数 y ＝｜2 x －1｜在（－∞， m ]上单调递减，则 m 的取值范
围是 .
解析：在平面直角坐标系中作出 y ＝2 x 的图象，
把图象沿 y 轴向下平移1个单位得到 y ＝2 x －1的
图象，再把 y ＝ －1的图象在 x 轴下方的部分关
于 x 轴翻折，其余部分不变，如图实线部分，得
到 y ＝｜2 x －1｜的图象.由图可知 y ＝｜2 x －1｜
在（－∞，0]上单调递减，所以 m ∈（－∞，
0].
（－∞，0]
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14. 已知函数 f （ x ）＝ ax－1（ x ≥0）的图象经过点 ，其中 a ＞
0且 a ≠1.求：
（1）实数 a 的值；
解： 因为函数 f （ x ）＝ ax－1（ x ≥0）的图象经过点
，所以 ＝ a2－1，解得 a ＝ .
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（2）求函数 y ＝ f （ x ）（ x ≥0）的值域.
解： 由（1）知， f （ x ）＝ ＝2· ，
因为 x ≥0，所以0＜ ≤ ＝1.
所以0＜2· ≤2.
所以函数 y ＝ f （ x ）（ x ≥0）的值域为（0，2].
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15. 已知函数 f （ x ）＝若存在 x1， x2， x3（ x1
＜ x2＜ x3），使 f （ x1）＝ f （ x2）＝ f （ x3），则 f （ x1＋ x2＋ x3）
的取值范围是（ ）
A. （0，1] B. [0，1]
C. （－∞，1] D. （－∞，1）
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解析： 作出 f （ x ）与直线 y ＝ a 的大致图
象如图，交点横坐标为 x1， x2， x3，自左向右
依次排列，由图可知， x1， x2关于 x ＝－1对
称， x3＞0，即 x1＋ x2＝－2，则 x1＋ x2＋ x3＞
－2.由图象知，当 x ＞－2时， f （ x ）∈[0，1]，所以 f （ x1＋ x2＋ x2）∈[0，1].
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16. 已知函数 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ＞0，且 a ≠1）.
（1）若 f （ x ）的图象如图①所示，求 a ， b 的值；
解： 由题图①知 f （ x ）的图象过
点（2，0），（0，－2），
所以
又因为 a ＞0，且 a ≠1，所以 a ＝ ， b ＝－3.
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（2）若 f （ x ）的图象如图②所示，求 a ， b 的取值范围；
解： 由题图②知 f （ x ）
是减函数，所以0＜ a ＜1，
又 f （0）＜0，即 a0＋ b ＜0，
所以 b ＜－1.
故 a 的取值范围为（0，1），
b 的取值范围为（－∞，－
1）.
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（3）在（1）中，若｜ f （ x ）｜＝ m 有且仅有一个实数根，求 m
的取值范围.
解： 由（1）知 f （ x ）＝
（ ） x －3，则画出｜ f
（ x ）｜＝｜（ ） x －3｜的
图象如图所示，要使｜ f
（ x ）｜＝ m 有且仅有一个实数根，则
m ＝0或 m ≥3.故 m 的取值范围为[3，＋∞）∪{0}.
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谢 谢 观 看！
