第2课时 指数函数及其性质的应用
1.函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上的最大值是（ ）
A. B.
C.3 D.2
2.已知0.3m＞0.3n，则m，n的大小关系为（ ）
A.m＞n B.m＜n
C.m＝n D.不能确定
3.函数y＝－1的值域为（ ）
A.[1，＋∞） B.（－1，1）
C.[－1，＋∞） D.[－1，1）
4.函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍，则a＝（ ）
A.或 B.或2
C. D.2
5.（多选）设函数f（x）＝a－｜x｜（a＞0，且a≠1），若f（2）＝4，则（ ）
A.f（－2）＞f（－1） B.f（－1）＞f（－2）
C.f（－2）＞f（2） D.f（－4）＞f（3）
6.（多选）若f（x）＝3x＋1，则（ ）
A.f（x）在[－1，1]上单调递增
B.y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称
C.f（x）的图象过点（0，1）
D.f（x）的值域为[1，＋∞）
7.函数f（x）的值域为（0，＋∞），且为减函数，则符合要求的函数f（x）可以为 .（写出符合条件的一个函数即可）
8.已知f（x）＝为奇函数，则a＝ .
9.若不等式＞（）x＋1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 .
10.设函数f（x）＝kax－a－x（a＞0，且a≠1）是定义在R上的奇函数.
（1）求k的值；
（2）若f（1）＞0，试判断函数的单调性（不需证明），并求不等式f（x2＋2x）＋f（4－x2）＞0的解集.
11.若a＝（，b＝（，c＝（，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.b＞c＞a D.c＞b＞a
12.函数y＝的图象大致为（ ）
13.定义运算：a b＝则函数f（x）＝3－x 3x的值域为 .
14.已知f（x）＝9x－2×3x＋4，x∈[－1，2].
（1）设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值；
（2）求f（x）的最大值与最小值.
15.对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（－x0）＝－f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”.设f（x）＝3x＋2m－1（m∈R，且m≠0）是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是 .
16.设f（x）＝，g（x）＝（其中a＞0且a≠1）.
（1）由5＝2＋3，请你探究g（5）能否用f（2），g（2），f（3），g（3）来表示；
（2）如果你在（1）中获得了一个结论，请探究能否将其推广.
第2课时 指数函数及其性质的应用
1.C 因为＞1，所以指数函数f（x）＝（）x为增函数，所以当x＝2时，函数取得最大值，且最大值为3.
2.B 因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m＞0.3n，所以m＜n.
3.D ∵2x＞0，∴4－2x＜4.又∵4－2x≥0，∴0≤4－2x＜4.令t＝4－2x，则t∈[0，4），∴∈[0，2），∴y∈[－1，1），即函数的值域是[－1，1）.故选D.
4.B 函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍.当a＞1时，函数f（x）＝ax是增函数，f（x）max＝2f（x）min，∴f（2）＝2f（1），∴a2＝2a，∴a＝2.当0＜a＜1时，函数f（x）＝ax是减函数，f（x）max＝2f（x）min，∴f（1）＝2f（2），∴a＝2a2，∴a＝.综上所述，a＝2或a＝.故选B.
5.AD 由f（2）＝a－2＝4得a＝，即f（x）＝＝2｜x｜，故f（－2）＞f（－1），f（－2）＝f（2），f（－4）＝f（4）＞f（3），所以A、D正确.
6.AB f（x）＝3x＋1在R上是增函数，A正确；因为y＝3x与y＝3－x的图象关于y轴对称，将它们的图象都向上平移1个单位仍关于y轴对称，即y＝3x＋1与y＝3－x＋1＝（）x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f（0）＝2，得f（x）的图象过点（0，2），则C错误；由3x＞0，可得f（x）＞1，则D错误.故选A、B.
7.f（x）＝（答案不唯一）
解析：因为函数f（x）＝的值域为（0，＋∞），且是减函数，所以函数f（x）＝即是符合要求的一个函数.
8.1 解析：∵f（x）为奇函数，∴在f（x）的定义域内任取x都有f（－x）＝－f（x）成立.即＝－，整理得（1－a）（2x＋1）＝0，又∵2x＋1＞0，∴a＝1.
9.（－，） 解析：因为不等式＞（）x＋1对一切实数x恒成立，所以＞（3－1）x＋1，即＞3－x－1对一切实数x恒成立，又因为y＝3x为R上的增函数，所以x2－2ax＞－x－1对一切实数x恒成立，所以x2＋（1－2a）x＋1＞0对一切实数x恒成立，故Δ＝（1－2a）2－4＜0，解得－＜a＜.
10.解：（1）法一 ∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，即k－1＝0，∴k＝1.
当k＝1时，f（x）＝ax－a－x，f（－x）＝a－x－ax＝－（ax－a－x）＝－f（x），
故k＝1符合题意.
法二 ∵f（－x）＝ka－x－ax，－f（x）＝－kax＋a－x，又f（x）是奇函数，
∴f（－x）＝－f（x）在定义域R上恒成立，
∴解得k＝1.
（2）∵f（1）＝a－＞0，又a＞0，且a≠1，∴a＞1.
∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数，
∴f（x）是R上的增函数.
故f（x2＋2x）＋f（4－x2）＞0 f（x2＋2x）＞－f（4－x2）＝f（x2－4） x2＋2x＞x2－4 x＞－2.
∴f（x）是在R上的增函数，且不等式的解集为{x｜x＞－2}.
11.C ∵y＝（）x在R上是减函数，∴（＞（＞（）1＝＞.∵y＝（）x在R上是减函数，∴（＜（）1＝，∴（＞（＞（，即b＞c＞a，故选C.
12.A 函数有意义，需使ex－e－x≠0，其定义域为{x｜x≠0}，故排除C、D；又因为y＝＝＝1＋，所以当x＞0时，函数单调递减.
13.（0，1] 解析：由题意得，f（x）＝函数f（x）的图象如图实线部分，由图可知f（x）的值域为（0，1].
14.解：（1）设t＝3x，因为x∈[－1，2]，
函数t＝3x在[－1，2]上单调递增，故有≤t≤9，
故t的最大值为9，t的最小值为.
（2）由f（x）＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝（t－1）2＋3，
可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9，
故当t＝1时，函数f（x）有最小值为3，
当t＝9时，函数f（x）有最大值为67.
15.［－，0） 解析：∵f（x）＝3x＋2m－1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，∴ x0∈[－1，1]满足f（－x0）＝－f（x0），∴＋2m－1＝－－2m＋1，∴4m＝－－＋2.构造函数g（x）＝－3－x－3x＋2，x∈[－1，1]，令t＝3x，则t∈［，3］，则g（x）可转化为y＝－－t＋2，易知y＝－－t＋2在［，1］上单调递增，在[1，3]上单调递减，∴y∈［－，0］.∴－≤4m≤0，∴－≤m≤0，又m≠0，∴m∈［－，0）.
16.解：（1）∵g（5）＝，f（2）g（3）＋g（2）f（3）＝·＋·＝（a5＋a－a－1－a－5＋a5－a＋a－1－a－5）＝（a5－a－5），
∴g（5）＝f（3）g（2）＋g（3）f（2）.
（2）探究（1）中的等式，可以得g（x＋y）＝f（x）g（y）＋g（x）f（y）恒成立.
证明：f（x）g（y）＋g（x）f（y）
＝·＋·＝（ax＋y＋ay－x－ax－y－a－x－y＋ax＋y－ay－x＋ax－y－a－x－y）
＝（ax＋y－a－x－y）.
∵g（x＋y）＝，
∴g（x＋y）＝f（x）g（y）＋g（x）f（y）.
2 / 2第2课时 指数函数及其性质的应用
题型一 利用单调性比较大小
【例1】 比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.11.1，1.10.9；（2）0.1－0.2，0.10.9；（3）30.1，π0.1；（4）1.70.1，0.91.1；（5）0.70.8，0.80.7.
通性通法
比较指数幂大小的3种类型及处理方法
【跟踪训练】
设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
题型二 简单的指数不等式的解法
【例2】 求解下列不等式：
（1）已知3x≥，求实数x的取值范围；
（2）若a－5x＞ax＋7（a＞0且a≠1），求x的取值范围.
通性通法
解指数不等式的方法
（1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式；
（2）解不等式af（x）＞ag（x）（a＞0，a≠1）的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af（x）＞ag（x） f（x）＞g（x）（a＞1）或f（x）＜g（x）（0＜a＜1）.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）＝若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－3）
B.（1，＋∞）
C.（－3，1）
D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）
2.不等式23－2x＜0.53x－4的解集为 .
题型三 利用换元法转化求值
【例3】 函数y＝（）x＋（）x＋1的值域为 .
通性通法
把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法，换元的实质是转化.本题令t＝ax，可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围.
【跟踪训练】
函数f（x）＝a2x＋3ax－2（a＞0，且a≠1）在区间[－1，1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .
题型四 指数函数图象和性质的综合运用
【例4】 已知定义在R上的函数f（x）＝a＋是奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的单调性（不需要写出理由）；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求实数k的取值范围.
通性通法
解决指数函数性质综合应用问题的注意点
（1）注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧；
（2）解答函数问题注意应在函数定义域内进行；
（3）由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝·x3.
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）证明：f（x）＞0.
1.若2x＋1＜1，则x的取值范围是（ ）
A.（－1，1） B.（－1，＋∞）
C.（0，1）∪（1，＋∞） D.（－∞，－1）
2.f（x）＝2｜x｜，x∈R，那么f（x）是（ ）
A.奇函数且在（0，＋∞）上单调递增
B.偶函数且在（0，＋∞）上单调递增
C.奇函数且在（0，＋∞）上单调递减
D.偶函数且在（0，＋∞）上单调递减
3.填空（“＜”或“＞”）.
（1） ；
（2）（0.8）－2 .
4.已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点.求函数g（x）＝（x≥0）的最大值.
第2课时 指数函数及其性质的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为y＝1.1x是增函数，1.1＞0.9，故1.11.1＞1.10.9.
（2）因为y＝0.1x是减函数，－0.2＜0.9，故0.1－0.2＞0.10.9.
（3）因为y＝x0.1在（0，＋∞）上单调递增，3＜π，故30.1＜π0.1.
（4）因为1.70.1＞1.70＝1，0.91.1＜0.90＝1，故1.70.1＞0.91.1.
（5）取中间值0.70.7，因为0.70.8＜0.70.7＜0.80.7，故0.70.8＜0.80.7.
跟踪训练
C ∵1.50.6＞1.50＝1，0.60.6＜0.60＝1，故1.50.6＞0.60.6，又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5＞0.6，∴0.61.5＜0.60.6，故0.61.5＜0.60.6＜1.50.6.即b＜a＜c.
【例2】 解：（1）因为＝30.5，所以由3x≥可得：3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥，故x的取值范围为.
（2）①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－.
②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－.
综上，当0＜a＜1时，x的取值范围是x｜x＞－}；当a＞1时，x的取值范围是{x｜x＜－}.
跟踪训练
1.C 由题意，知f（a）＜1等价于或解得－3＜a＜0或0≤a＜1，所以－3＜a＜1.故选C.
2.{x｜x＜1} 解析：原不等式可化为23－2x＜24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x＜4－3x，解得x＜1，则不等式的解集为{x｜x＜1}.
【例3】 （1，＋∞） 解析：令t＝（）x，则t＞0，则原函数转化为f（t）＝t2＋t＋1＝（t＋）2＋，t＞0，因为函数f（t）＝（t＋）2＋在（0，＋∞）上为增函数，所以f（t）＞1，即原函数的值域为（1，＋∞）.
跟踪训练
－ 解析：令ax＝t（t＞0），则原函数可化为g（t）＝t2＋3t－2，易知函数g（t）在（0，＋∞）上单调递增.当0＜a＜1时，t∈[a，a－1]，g（t）max＝a－2＋3a－1－2＝8，解得a－1＝2，所以a＝.所以g（t）min＝（）2＋3×－2＝－.当a＞1时，t∈[a－1，a]，g（t）max＝a2＋3a－2＝8，解得a＝2.所以g（t）min＝2－2＋3×2－1－2＝－.综上可知，f（x）在[－1，1]上的最小值为－.
【例4】 解：（1）∵f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，
∴f（0）＝0，即a＋＝0，∴a＝－.
（2）由（1）知f（x）＝－＋，
故f（x）在R上为减函数.
（3）∵f（x）为奇函数，
∴f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0可化为f（t2－2t）＜f（k－2t2）.
由（2）知f（x）在R上为减函数，
∴t2－2t＞k－2t2，
即3t2－2t－k＞0对于一切t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k＜0，得k＜－，
∴k的取值范围是.
跟踪训练
解：（1）由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）由（1）知，f（x）的定义域关于原点对称.
令g（x）＝＋＝，
φ（x）＝x3，
则f（x）＝g（x）·φ（x）.
∵g（－x）＝＝＝－g（x），
φ（－x）＝（－x）3＝－x3＝－φ（x），
∴f（－x）＝g（－x）·φ（－x）＝[－g（x）]·[－φ（x）]＝g（x）·φ（x）＝f（x），
∴f（x）＝·x3为偶函数.
（3）证明：当x＞0时，2x＞1，
∴2x－1＞0，∴＋＞0.
∵x3＞0，∴f（x）＞0.
由偶函数的图象关于y轴对称，知当x＜0时，f（x）＞0也成立.故对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），恒有f（x）＞0.
随堂检测
1.D ∵2x＋1＜1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1＜0，∴x＜－1.
2.B 由x∈R且f（－x）＝f（x）知f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝2｜x｜单调递增.
3.（1）＜ （2）＞ 解析：（1）∵0＜＜1，∴函数y＝在（－∞，＋∞）上是减函数.又－0.24＞－，∴＜.
（2）（0.8）－2＝＝.∵函数y＝在（－∞，＋∞）上是增函数，∴＜，即＜（0.8）－2.
4.解：由已知得a2＝，解得a＝，
则f（x）＝在R上是减函数，
因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以0＜≤3，即函数g（x）＝（x≥0）的最大值为3.
3 / 3(共54张PPT)
第2课时
指数函数及其性质的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用单调性比较大小
【例1】 比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.11.1，1.10.9；（2）0.1－0.2，0.10.9；（3）30.1，π0.1；（4）
1.70.1，0.91.1；（5）0.70.8，0.80.7.
解：（1）因为 y ＝1.1 x 是增函数，1.1＞0.9，故1.11.1＞1.10.9.
（2）因为 y ＝0.1 x 是减函数，－0.2＜0.9，故0.1－0.2＞0.10.9.
（3）因为 y ＝ x0.1在（0，＋∞）上单调递增，3＜π，故30.1＜π0.1.
（4）因为1.70.1＞1.70＝1，0.91.1＜0.90＝1，故1.70.1＞0.91.1.
（5）取中间值0.70.7，因为0.70.8＜0.70.7＜0.80.7，故0.70.8＜0.80.7.
通性通法
比较指数幂大小的3种类型及处理方法
【跟踪训练】
设 a ＝0.60.6， b ＝0.61.5， c ＝1.50.6，则 a ， b ， c 的大小关系是
（ ）
A. a ＜ b ＜ c B. a ＜ c ＜ b
C. b ＜ a ＜ c D. b ＜ c ＜ a
解析： ∵1.50.6＞1.50＝1，0.60.6＜0.60＝1，故1.50.6＞0.60.6，
又函数 y ＝0.6 x 在R上是减函数，且1.5＞0.6，∴0.61.5＜0.60.6，故
0.61.5＜0.60.6＜1.50.6.即 b ＜ a ＜ c .
题型二 简单的指数不等式的解法
【例2】 求解下列不等式：
（1）已知3 x ≥ ，求实数 x 的取值范围；
解： 因为 ＝30.5，所以由3 x ≥ 可得：3 x
≥30.5，因为 y ＝3 x 为增函数，故 x ≥ ，故 x 的取值范围为
.
（2）若 a－5 x ＞ ax＋7（ a ＞0且 a ≠1），求 x 的取值范围.
解： ①当0＜ a ＜1时，函数 y ＝ ax 是减函数，则由 a－5 x ＞
ax＋7可得－5 x ＜ x ＋7，解得 x ＞－ .
②当 a ＞1时，函数 y ＝ ax 是增函数，则由 a－5 x ＞ ax＋7可得－5 x
＞ x ＋7，解得 x ＜－ .
综上，当0＜ a ＜1时， x 的取值范围是 x ｜ x ＞－ }；当 a ＞1
时， x 的取值范围是{ x ｜ x ＜－ }.
通性通法
解指数不等式的方法
（1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底
数相同的指数式；
（2）解不等式 af（ x）＞ ag（ x）（ a ＞0， a ≠1）的依据是指数型函数的
单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就
需进行分类讨论，即 af（ x）＞ ag（ x） f （ x ）＞ g （ x ）（ a ＞
1）或 f （ x ）＜ g （ x ）（0＜ a ＜1）.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ a ）＜1，则实数 a
的取值范围是（ ）
A. （－∞，－3）
B. （1，＋∞）
C. （－3，1）
D. （－∞，－3）∪（1，＋∞）
解析： 由题意，知 f （ a ）＜1等价于或
解得－3＜ a ＜0或0≤ a ＜1，所以－3＜ a ＜1.故选C.
2. 不等式23－2 x ＜0.53 x－4的解集为 .
解析：原不等式可化为23－2 x ＜24－3 x ，因为函数 y ＝2 x 是R上的增函
数，所以3－2 x ＜4－3 x ，解得 x ＜1，则不等式的解集为{ x ｜ x ＜
1}.
{ x ｜ x ＜1}
题型三 利用换元法转化求值
【例3】 函数 y ＝（ ） x ＋（ ） x ＋1的值域为 .
解析：令 t ＝（ ） x ，则 t ＞0，则原函数转化为 f （ t ）＝ t2＋ t ＋1＝
（ t ＋ ）2＋ ， t ＞0，因为函数 f （ t ）＝（ t ＋ ）2＋ 在（0，＋
∞）上为增函数，所以 f （ t ）＞1，即原函数的值域为（1，＋∞）.
（1，＋∞）
通性通法
把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得
到简化，这种方法叫做换元法，换元的实质是转化.本题令 t ＝ ax ，可
将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 t 的取值范围.
－
解析：令 ax ＝ t （ t ＞0），则原函数可化为 g （ t ）＝ t2＋3 t －2，易知
函数 g （ t ）在（0，＋∞）上单调递增.当0＜ a ＜1时， t ∈[ a ， a－
1]， g （ t ）max＝ a－2＋3 a－1－2＝8，解得 a－1＝2，所以 a ＝ .所以 g
（ t ）min＝（ ）2＋3× －2＝－ .当 a ＞1时， t ∈[ a－1， a ]， g
（ t ）max＝ a2＋3 a －2＝8，解得 a ＝2.所以 g （ t ）min＝2－2＋3×2－1
－2＝－ .综上可知， f （ x ）在[－1，1]上的最小值为－ .
题型四 指数函数图象和性质的综合运用
【例4】 已知定义在R上的函数 f （ x ）＝ a ＋ 是奇函数.
（1）求 a 的值；
解： ∵ f （ x ）的定义域为R，且 f （ x ）为奇函数，
∴ f （0）＝0，即 a ＋ ＝0，∴ a ＝－ .
（2）判断 f （ x ）的单调性（不需要写出理由）；
解： 由（1）知 f （ x ）＝－ ＋ ，
故 f （ x ）在R上为减函数.
（3）若对任意的 t ∈R，不等式 f （ t2－2 t ）＋ f （2 t2－ k ）＜0恒成
立，求实数 k 的取值范围.
解： ∵ f （ x ）为奇函数，
∴ f （ t2－2 t ）＋ f （2 t2－ k ）＜0可化为 f （ t2－2 t ）＜ f （ k －2
t2）.
由（2）知 f （ x ）在R上为减函数，∴ t2－2 t ＞ k －2 t2，
即3 t2－2 t － k ＞0对于一切 t ∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12 k ＜0，得 k ＜－ ，∴ k 的取值范围是 .
通性通法
解决指数函数性质综合应用问题的注意点
（1）注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母
（或分子）有理化等变形技巧；
（2）解答函数问题注意应在函数定义域内进行；
（3）由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ · x3.
（1）求 f （ x ）的定义域；
解： 由题意得2 x －1≠0，即 x ≠0，
∴ f （ x ）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）讨论 f （ x ）的奇偶性；
解： 由（1）知， f （ x ）的定义域关于原点对称.
令 g （ x ）＝ ＋ ＝ ，φ（ x ）＝ x3，
则 f （ x ）＝ g （ x ）·φ（ x ）.
∵ g （－ x ）＝ ＝ ＝－ g （ x ），
φ（－ x ）＝（－ x ）3＝－ x3＝－φ（ x ），
∴ f （－ x ）＝ g （－ x ）·φ（－ x ）＝[－ g （ x ）]·[－φ（ x ）]
＝ g （ x ）·φ（ x ）＝ f （ x ），
∴ f （ x ）＝ · x3为偶函数.
（3）证明： f （ x ）＞0.
解： 证明：当 x ＞0时，2 x ＞1，
∴2 x －1＞0，∴ ＋ ＞0.
∵ x3＞0，∴ f （ x ）＞0.
由偶函数的图象关于 y 轴对称，知当 x ＜0时， f （ x ）＞0也成
立.故对于 x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），恒有 f （ x ）＞0.
1. 若2 x＋1＜1，则 x 的取值范围是（ ）
A. （－1，1） B. （－1，＋∞）
C. （0，1）∪（1，＋∞） D. （－∞，－1）
解析： ∵2 x＋1＜1＝20，且 y ＝2 x 是增函数，∴ x ＋1＜0，∴ x ＜
－1.
2. f （ x ）＝2｜ x｜， x ∈R，那么 f （ x ）是（ ）
A. 奇函数且在（0，＋∞）上单调递增
B. 偶函数且在（0，＋∞）上单调递增
C. 奇函数且在（0，＋∞）上单调递减
D. 偶函数且在（0，＋∞）上单调递减
解析： 由 x ∈R且 f （－ x ）＝ f （ x ）知 f （ x ）是偶函数，当 x
＞0时， f （ x ）＝2｜ x｜单调递增.
3. 填空（“＜”或“＞”）.
（1） ；
解析： ∵0＜ ＜1，∴函数 y ＝ 在（－∞，＋∞）
上是减函数.又－0.24＞－ ，∴ ＜ .
＜
（2）（0.8）－2 .
解析： （0.8）－2＝ ＝ .∵函数 y ＝ 在
（－∞，＋∞）上是增函数，∴ ＜ ，即 ＜
（0.8）－2.
＞
4. 已知函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的图象经过点 .求函
数 g （ x ）＝ （ x ≥0）的最大值.
解：由已知得 a2＝ ，解得 a ＝ ，
则 f （ x ）＝ 在R上是减函数，
因为 x ≥0，所以 x2－2 x ≥－1，所以0＜ ≤3，即函数 g
（ x ）＝ （ x ≥0）的最大值为3.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝（ ） x 在区间[1，2]上的最大值是（ ）
C. 3
解析： 因为 ＞1，所以指数函数 f （ x ）＝（ ） x 为增函
数，所以当 x ＝2时，函数取得最大值，且最大值为3.
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2. 已知0.3 m ＞0.3 n ，则 m ， n 的大小关系为（ ）
A. m ＞ n B. m ＜ n
C. m ＝ n D. 不能确定
解析： 因为函数 y ＝0.3 x 是R上的减函数，且0.3 m ＞0.3 n ，所
以 m ＜ n .
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3. 函数 y ＝ －1的值域为（ ）
A. [1，＋∞） B. （－1，1）
C. [－1，＋∞） D. [－1，1）
解析： ∵2 x ＞0，∴4－2 x ＜4.又∵4－2 x ≥0，∴0≤4－2 x ＜4.
令 t ＝4－2 x ，则 t ∈[0，4），∴ ∈[0，2），∴ y ∈[－1，1），
即函数的值域是[－1，1）.故选D.
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4. 函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0， a ≠1）在区间[1，2]上的最大值是最小
值的2倍，则 a ＝（ ）
D. 2
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解析： 函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0， a ≠1）在区间[1，2]上的最
大值是最小值的2倍.当 a ＞1时，函数 f （ x ）＝ ax 是增函数， f
（ x ）max＝2 f （ x ）min，∴ f （2）＝2 f （1），∴ a2＝2 a ，∴ a ＝
2.当0＜ a ＜1时，函数 f （ x ）＝ ax 是减函数， f （ x ）max＝2 f
（ x ）min，∴ f （1）＝2 f （2），∴ a ＝2 a2，∴ a ＝ .综上所述， a
＝2或 a ＝ .故选B.
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5. （多选）设函数 f （ x ）＝ a－｜ x｜（ a ＞0，且 a ≠1），若 f （2）＝
4，则（ ）
A. f （－2）＞ f （－1） B. f （－1）＞ f （－2）
C. f （－2）＞ f （2） D. f （－4）＞ f （3）
解析： 由 f （2）＝ a－2＝4得 a ＝ ，即 f （ x ）＝ ＝
2｜ x｜，故 f （－2）＞ f （－1）， f （－2）＝ f （2）， f （－4）＝ f
（4）＞ f （3），所以A、D正确.
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6. （多选）若 f （ x ）＝3 x ＋1，则（ ）
A. f （ x ）在[－1，1]上单调递增
C. f （ x ）的图象过点（0，1）
D. f （ x ）的值域为[1，＋∞）
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解析： f （ x ）＝3 x ＋1在R上是增函数，A正确；因为 y ＝3 x
与 y ＝3－ x 的图象关于 y 轴对称，将它们的图象都向上平移1个单位
仍关于 y 轴对称，即 y ＝3 x ＋1与 y ＝3－ x ＋1＝（ ） x ＋1的图象关
于 y 轴对称，则B正确；由 f （0）＝2，得 f （ x ）的图象过点（0，
2），则C错误；由3 x ＞0，可得 f （ x ）＞1，则D错误.故选A、B.
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7. 函数 f （ x ）的值域为（0，＋∞），且为减函数，则符合要求的函
数 f （ x ）可以为 .（写出符合
条件的一个函数即可）
解析：因为函数 f （ x ）＝ 的值域为（0，＋∞），且是减函
数，所以函数 f （ x ）＝ 即是符合要求的一个函数.
f （ x ）＝ （答案不唯一）
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8. 已知 f （ x ）＝ 为奇函数，则 a ＝ .
解析：∵ f （ x ）为奇函数，∴在 f （ x ）的定义域内任取 x 都有 f
（－ x ）＝－ f （ x ）成立.即 ＝－ ，整理得（1－ a ）（2
x ＋1）＝0，又∵2 x ＋1＞0，∴ a ＝1.
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9. 若不等式 ＞（ ） x＋1对一切实数 x 恒成立，则实数 a 的取
值范围为 .
解析：因为不等式 ＞（ ） x＋1对一切实数 x 恒成立，所以
＞（3－1） x＋1，即 ＞3－ x－1对一切实数 x 恒成立，
又因为 y ＝3 x 为R上的增函数，所以 x2－2 ax ＞－ x －1对一切实数 x
恒成立，所以 x2＋（1－2 a ） x ＋1＞0对一切实数 x 恒成立，故Δ＝
（1－2 a ）2－4＜0，解得－ ＜ a ＜ .
（－ ， ）
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10. 设函数 f （ x ）＝ kax － a－ x （ a ＞0，且 a ≠1）是定义在R上的奇
函数.
（1）求 k 的值；
解：（1）法一 ∵ f （ x ）是定义在R上的奇函数，∴ f
（0）＝0，即 k －1＝0，∴ k ＝1.
当 k ＝1时， f （ x ）＝ ax － a－ x ， f （－ x ）＝ a－ x － ax ＝－
（ ax － a－ x ）＝－ f （ x ），
故 k ＝1符合题意.
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法二 ∵ f （－ x ）＝ ka－ x － ax ，－ f （ x ）＝－ kax ＋ a－ x ，又 f （ x ）
是奇函数，∴ f （－ x ）＝－ f （ x ）在定义域R上恒成立，
∴解得 k ＝1.
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（2）若 f （1）＞0，试判断函数的单调性（不需证明），并求不
等式 f （ x2＋2 x ）＋ f （4－ x2）＞0的解集.
解： ∵ f （1）＝ a － ＞0，又 a ＞0，且 a ≠1，∴ a ＞1.
∴ y ＝ ax ， y ＝－ a－ x 都是R上的增函数，
∴ f （ x ）是R上的增函数.
故 f （ x2＋2 x ）＋ f （4－ x2）＞0 f （ x2＋2 x ）＞－ f （4－ x2）＝ f
（ x2－4） x2＋2 x ＞ x2－4 x ＞－2.
∴ f （ x ）是在R上的增函数，且不等式的解集为{ x ｜ x ＞－2}.
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11. 若 a ＝（ ， b ＝（ ， c ＝（ ，则 a ， b ， c 的大小关
系是（ ）
A. a ＞ b ＞ c B. b ＞ a ＞ c
C. b ＞ c ＞ a D. c ＞ b ＞ a
解析： ∵ y ＝（ ） x 在R上是减函数，∴（ ＞（ ＞
（ ）1＝ ＞ .∵ y ＝（ ） x 在R上是减函数，∴（ ＜（ ）
1＝ ，∴（ ＞（ ＞（ ，即 b ＞ c ＞ a ，故选C.
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12. 函数 y ＝ 的图象大致为（ ）
解析： 函数有意义，需使e x －e－ x ≠0，其定义域为{ x ｜ x
≠0}，故排除C、D；又因为 y ＝ ＝ ＝1＋ ，所
以当 x ＞0时，函数单调递减.
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13. 定义运算： a b ＝则函数 f （ x ）＝3－ x 3 x 的值域
为 .
解析：由题意得， f （ x ）＝函数
f （ x ）的图象如图实线部分，由图可知 f （ x ）
的值域为（0，1].
（0，1]
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14. 已知 f （ x ）＝9 x －2×3 x ＋4， x ∈[－1，2].
（1）设 t ＝3 x ， x ∈[－1，2]，求 t 的最大值与最小值；
解： 设 t ＝3 x ，因为 x ∈[－1，2]，
函数 t ＝3 x 在[－1，2]上单调递增，故有 ≤ t ≤9，
故 t 的最大值为9， t 的最小值为 .
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（2）求 f （ x ）的最大值与最小值.
解： 由 f （ x ）＝9 x －2×3 x ＋4＝ t2－2 t ＋4＝（ t －1）
2＋3，
可得此二次函数的对称轴为 t ＝1，且 ≤ t ≤9，
故当 t ＝1时，函数 f （ x ）有最小值为3，
当 t ＝9时，函数 f （ x ）有最大值为67.
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15. 对于函数 f （ x ），若在定义域内存在实数 x0满足 f （－ x0）＝－ f
（ x0），则称函数 f （ x ）为“倒戈函数”.设 f （ x ）＝3 x ＋2 m －
1（ m ∈R，且 m ≠0）是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则
实数 m 的取值范围是 .
［－ ，0）
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解析：∵ f （ x ）＝3 x ＋2 m －1是定义在[－1，1]上的“倒戈函
数”，∴ x0∈[－1，1]满足 f （－ x0）＝－ f （ x0），∴ ＋2
m －1＝－ －2 m ＋1，∴4 m ＝－ － ＋2.构造函数 g
（ x ）＝－3－ x －3 x ＋2， x ∈[－1，1]，令 t ＝3 x ，则 t ∈［ ，
3］，则 g （ x ）可转化为 y ＝－ － t ＋2，易知 y ＝－ － t ＋2在
［ ，1］上单调递增，在[1，3]上单调递减，∴ y ∈［－ ，
0］.∴－ ≤4 m ≤0，∴－ ≤ m ≤0，又 m ≠0，∴ m ∈［－ ，
0）.
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16. 设 f （ x ）＝ ， g （ x ）＝ （其中 a ＞0且 a ≠1）.
（1）由5＝2＋3，请你探究 g （5）能否用 f （2）， g （2），
f （3）， g （3）来表示；
解： ∵ g （5）＝ ， f （2） g （3）＋ g （2） f
（3）＝ · ＋ ·
＝ （ a5＋ a － a－1－ a－5＋ a5－ a ＋ a－1－ a－5）
＝ （ a5－ a－5），
∴ g （5）＝ f （3） g （2）＋ g （3） f （2）.
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（2）如果你在（1）中获得了一个结论，请探究能否将其推广.
解：探究（1）中的等式，可以得 g （ x ＋ y ）＝ f （ x ） g
（ y ）＋ g （ x ） f （ y ）恒成立.
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证明： f （ x ） g （ y ）＋ g （ x ） f （ y ）
＝ · ＋ ·
＝ （ ax＋ y ＋ ay－ x － ax－ y － a－ x－ y ＋ ax＋ y － ay－ x ＋ ax－ y － a
－ x－ y ）
＝ （ ax＋ y － a－ x－ y ）.
∵ g （ x ＋ y ）＝ ，
∴ g （ x ＋ y ）＝ f （ x ） g （ y ）＋ g （ x ） f （ y ）.
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谢 谢 观 看！
