4.3.2 对数的运算
1.若lg a－2lg 2＝1，则a＝（ ）
A.4 B.10
C.20 D.40
2.若lg x－lg y＝t，则lg－lg ＝（ ）
A.3t B.t
C.t D.
3.计算（log312－2log32）＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.4
4.＋＝（ ）
A.lg 3 B.－lg 3
C. D.－
5.（多选）设f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），对于任意的正实数x，y，都有（ ）
A.f（xy）＝f（x）f（y）
B.f（xy）＝f（x）＋f（y）
C.f＝
D.f＝f（x）－f（y）
6.（多选）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A.logab·logcb＝logca B.logab·logca＝logcb
C.2lg a＋2lg b＝2lg ab D.2lg ab＝2lg a·2lg b
7.设alog34＝2，则4－a＝ .
8.已知m＞0且10x＝lg（10m）＋lg，则x＝ .
9.若a＝log23，b＝log32，则a·b＝ ，lg a＋lg b＝ .
10.计算下列各式的值：
（1）log535＋2lo－log5－log514；
（2）（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋log1258）.
11.已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
12.已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝（ ）
A.或 B.
C. D.2或
13.设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝4c2，则log2（1＋）＋log2（1＋）＝ .
14.20世纪30年代，里克特和古登堡提出了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪与实际震中的距离造成的偏差）.
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，试计算这次地震的震级；（精确到0.1，其中lg 2≈0.301）
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？（精确到1，其中102.6≈398.1）.
15.（多选）已知3a＝5b＝15，则a，b满足的关系是（ ）
A.ab＞4
B.a＋b＞4
C.a2＋b2＜4
D.（a＋1）2＋（b＋1）2＞16
16.已知正实数u，v，w均不等于1，若loguvw＋logvw＝5，logvu＋logwv＝3，求logwu的值.
4.3.2 对数的运算
1.D ∵lg a－2lg 2＝lg a－lg 4＝lg＝1，∴＝10，∴a＝40.故选D.
2.A lg－lg＝3lg－3lg＝3lg＝3（lg x－lg y）＝3t.
3.B log64＋log63＝log6＋log63＝log62＋log63＝log66＝1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，则原式＝1.
4.C 原式＝lo＋lo＝lo＋lo＝lo＝log310＝.
5.BD 由对数运算法则f（xy）＝loga（xy）＝logax＋logay.所以f（xy）＝f（x）＋f（y）.f＝loga＝logax－logay，所以f＝f（x）－f（y）.
6.BD log24·log164＝2×＝1≠log162＝，因而A错误；logab·logca＝·＝＝logcb，因而B正确；2lg ab＝2lg a＋lg b＝2lg a·2lg b，故D正确，C错误.
7. 解析：因为alog34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9，则4－a＝＝.
8.0 解析：lg（10m）＋lg＝lg 10＋lg m＋lg ＝1，所以10x＝1＝100，所以x＝0.
9.1 0 解析：因为a＝log23，b＝log32，则a·b＝·＝1，lg a＋lg b＝lg ab＝lg 1＝0.
10.解：（1）原式＝log535＋log550－log514＋2lo
＝log5＋lo2
＝log553－1＝2.
（2）法一 原式＝（log253＋＋）·（log52＋＋）
＝（3log25＋＋）（log52＋＋）
＝（3＋1＋）log25·3log52＝13log25·＝13.
法二 原式＝（＋＋）·（＋＋）＝（＋＋）（＋＋）＝·＝13.
11.B 由题意得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则＝（lg a－lg b）2＝（lg a＋lg b）2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.
12.D 令t＝logab，则t＋＝，∴2t2－5t＋2＝0，即（2t－1）（t－2）＝0，解得t＝或t＝2，∴logab＝或logab＝2，∴a＝b2或a2＝b，∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2，∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4，∴＝2或＝.故选D.
13.1 解析：原式＝log2＋log2＝log2（·）＝log2
＝log2
＝log2＝log22＝1.
14.解：（1）M＝lg 20－lg 0.001＝lg ＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3.
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.
（2）由M＝lg A－lg A0可得M＝lg ，则＝10M，即A＝A0·10M.
当M＝7.6时，最大振幅A1＝A0·107.6；
当M＝5时，最大振幅A2＝A0·105，
所以两次地震的最大振幅之比是＝＝107.6－5＝102.6≈398.
因此，7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.
15.ABD 因为3a＝5b＝15，所以a≠b，a＝log315，b＝log515，所以log153＝，log155＝，所以＋＝1.由≤≤≤，可得ab＞4，a＋b＞4，a2＋b2＞8，所以（a＋1）2＋（b＋1）2＝a2＋2a＋1＋b2＋2b＋1＞18＞16.故选A、B、D.
16.解：令loguv＝a，logvw＝b，
则logvu＝，logwv＝，
则loguvw＝loguv＋loguv·logvw＝a＋ab，
即a＋ab＋b＝5，＋＝3，
则ab＝，
因此logwu＝logwv·logvu＝
2 / 24.3.2 对数的运算
对数是指数的另一种表达形式.对数运算是指数运算的逆运算，我们已知道指数运算有指数运算的性质，那么对数运算是否有对数运算的性质？
【问题】 计算下列三组对数运算式，观察各组结果，你能猜想对数的运算性质吗？
（1）log2（4×8），log24＋log28；
（2）log2，log232－log24；
（3）log225，5log22.
知识点一 对数的运算性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
（1）loga（MN）＝ ；
（2）loga＝ ；
（3）logaMn＝ （n∈R）.
提醒 （1）性质的逆运算仍然成立；（2）公式成立的条件是M＞0，N＞0，而不是MN＞0，比如式子log2[（－2）·（－3）]有意义，而log2（－2）与log2（－3）都没有意义；（3）性质（1）可以推广为：loga（N1·N2·…·Nk）＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk＞0，k∈N*.
知识点二 换底公式
1.换底公式
logab＝ （a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）.
2.几个常用推论
（1）lobn＝logab（a＞0，a≠1，b＞0，n≠0）；
（2）lobn＝logab（a＞0，a≠1，b＞0，m≠0，n∈R）；
（3）logab·logba＝1（a＞0，a≠1；b＞0，b≠1）.
提醒 （1）公式成立的条件要使每一个对数式都有意义；（2）在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝.
【想一想】
换底公式中底数c是特定数还是任意数？
1.log84＋log82＝ .
2.log510－log52＝ .
3.log29·log32＝ .
题型一 对数运算性质的应用
【例1】 求下列各式的值：
（1）log2（49×26）；
（2）lg；
（3）log535－2log5＋log57－log5；
（4）lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋（lg 2）2.
通性通法
对数式化简与求值的基本原则和方法
（1）基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；
（2）两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）.
【跟踪训练】
计算下列各式的值：
（1）lg；
（2）log345－log35；
（3）4lg 2＋3lg 5－lg；
（4）.
题型二 对数换底公式的应用
【例2】 （1）计算：（log43＋log83）（log32＋log92）；
（2）已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.
【母题探究】
（变设问）若本例（2）条件不变，求log915（用a，b表示）.
通性通法
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
【跟踪训练】
1.＝ .
2.计算：＝ .
题型三 对数运算性质的综合运用
【例3】 （1）设3a＝4b＝36，求＋的值；
（2）已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
通性通法
利用对数式与指数式互化求值的方法
（1）在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化；
（2）对于连等式可令其等于k（k＞0），然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
【跟踪训练】
1.已知2x＝3y＝a，若＋＝1，则a＝ .
2.已知2x＝12，log2＝y，则x＋y＝ .
题型四 实际问题中的对数运算
【例4】 分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB）.分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60～110为过渡区，110以上为有害区.
（1）试列出分贝y与声压P的函数关系式；
（2）某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？
通性通法
关于对数运算在实际问题中的应用
（1）在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算；
（2）在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算.
【跟踪训练】
标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据最接近的是（lg 3≈0.477）（ ）
A.10－37 B.10－36 C.10－35 D.10－34
1.计算2log63＋log64＝（ ）
A.2 B.log62
C.log63 D.3
2.log6432＝（ ）
A. B.2
C. D.
3.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝（ ）
A. B.
C. D.
4.已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，则abc＝ .
4.3.2 对数的运算
【基础知识·重落实】
知识点一
（1）logaM＋logaN （2）logaM－logaN （3）nlogaM
知识点二
1.
想一想
提示：c是大于0且不等于1的任意数.
自我诊断
1.1 解析：log84＋log82＝log8（4×2）＝log88＝1.
2.1 解析：log510－log52＝log5＝log55＝1.
3.2 解析：log29·log32＝·＝＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）原式＝log249＋log226＝9log24＋6log22＝9×2＋6×1＝24.
（2）原式＝lg 1 00＝lg 1 000＝×3＝.
（3）原式＝log5（5×7）－2（log57－log53）＋log57－（log59－log55）＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
（4）原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5（2lg 2＋lg 5）＋（lg 2）2＝2lg 10＋（lg 5＋lg 2）2＝2＋（lg 10）2＝2＋1＝3.
跟踪训练
解：（1）原式＝lg＝lg 1－lg 104＝－4.
（2）原式＝log3＝log39＝log332＝2.
（3）原式＝lg＝lg（24×54）＝lg（2×5）4＝4.
（4）原式＝＝＝.
【例2】 解：（1）原式＝（＋）（＋）＝（＋）（＋）＝×＝.
（2）法一 ∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝
＝＝＝.
法二 ∵log189＝a，18b＝5，
∴log185＝b.∴log3645＝＝＝.
母题探究
解：因为18b＝5，所以log185＝b.
所以log915＝＝
＝＝
＝＝
＝＝.
跟踪训练
1. 解析：法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即＝＝·＝.
法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即＝＝＝.
2.－ 解析：原式＝×＝lo×lo9＝×＝×＝－.
【例3】 解：（1）法一 由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，
由换底公式得＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.
法二 由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，
∴＝log63，＝log64＝log62.
∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.
（2）令2x＝3y＝5z＝k（k＞0），
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，
y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
跟踪训练
1.6 解析：由2x＝3y＝a，可得x＝log2a，y＝log3a，所以＋＝loga2＋loga3＝loga6＝1，故a＝6.
2.2 解析：因为2x＝12，所以x＝log212，又因为y＝log2，所以x＋y＝log212＋log2＝log24＝2.
【例4】 解：（1）由已知得y＝20lg （其中P0＝2×10－5）.
（2）当P＝0.002 时，y＝20lg ＝20lg 102＝40（分贝）.
由已知条件知40分贝小于60分贝，
所以此地为噪音无害区，声音环境优良.
跟踪训练
B 根据题意，对取常用对数得lg ＝lg 3361－lg 10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，则≈10－35.8，选项B中的10－36与其最接近.
随堂检测
1.A 2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.
2.C log6432＝＝＝＝.
3.B log36＝＝＝.
4.1 解析：法一 设ax＝by＝cz＝t，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴＋＋＝＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt（abc）＝0，∴abc＝t0＝1.
法二 ∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，∴令ax＝by＝cz＝t＞0，∴x＝，y＝，z＝，∴＋＋＝＋＋＝.∵＋＋＝0，且lg t≠0，∴lg a＋lg b＋lg c＝lg（abc）＝0，∴abc＝1.
3 / 4(共61张PPT)
4.3.2 对数的运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
对数是指数的另一种表达形式.对数运算是指数运算的逆运算，我们
已知道指数运算有指数运算的性质，那么对数运算是否有对数运算的
性质？
【问题】 计算下列三组对数运算式，观察各组结果，你能猜想对数
的运算性质吗？
（1）log2（4×8），log24＋log28；
（2）log2 ，log232－log24；
（3）log225，5log22.
知识点一 对数的运算性质
如果 a ＞0，且 a ≠1， M ＞0， N ＞0，那么
（1）log a （ MN ）＝ ；
（2）log a ＝ ；
log aM ＋log aN
log aM －log aN
（3）log aMn ＝ （ n ∈R）.
n log aM
提醒 （1）性质的逆运算仍然成立；（2）公式成立的条件是
M ＞0， N ＞0，而不是 MN ＞0，比如式子log2[（－2）·（－
3）]有意义，而log2（－2）与log2（－3）都没有意义；（3）性
质（1）可以推广为：log a （ N1· N2·…· Nk ）＝log aN1＋log aN2
＋…＋log aNk ，其中 Nk ＞0， k ∈N*.
知识点二 换底公式
1. 换底公式
2. 几个常用推论
（1）lo bn ＝log ab （ a ＞0， a ≠1， b ＞0， n ≠0）；
（2）lo bn ＝ log ab （ a ＞0， a ≠1， b ＞0， m ≠0， n
∈R）；
（3）log ab ·log ba ＝1（ a ＞0， a ≠1； b ＞0， b ≠1）.
提醒 （1）公式成立的条件要使每一个对数式都有意义；
（2）在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即
log ab ＝ 或log ab ＝ .
【想一想】
换底公式中底数 c 是特定数还是任意数？
提示： c 是大于0且不等于1的任意数.
1. log84＋log82＝ .
解析：log84＋log82＝log8（4×2）＝log88＝1.
2. log510－log52＝ .
解析：log510－log52＝log5 ＝log55＝1.
3. log29·log32＝ .
解析：log29·log32＝ · ＝ ＝2.
1
1
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对数运算性质的应用
【例1】 求下列各式的值：
（1）log2（49×26）；
解： 原式＝log249＋log226＝9log24＋6log22＝9×2＋6×1＝24.
（2）lg ；
解： 原式＝lg 1 00 ＝ lg 1 000＝ ×3＝ .
（3）log535－2log5 ＋log57－log5 ；
解： 原式＝log5（5×7）－2（log57－log53）＋log57－
（log59－log55）＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53
＋log55＝2log55＝2.
（4）lg 52＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋（lg 2）2.
解： 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5（2lg 2＋lg 5）＋（lg 2）2＝
2lg 10＋（lg 5＋lg 2）2＝2＋（lg 10）2＝2＋1＝3.
通性通法
对数式化简与求值的基本原则和方法
（1）基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进
行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着
便于真数化简的原则进行；
（2）两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和（差）收成
积（商）的对数；②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两
对数的和（差）.
【跟踪训练】
计算下列各式的值：
（1）lg ；
解： 原式＝lg ＝lg 1－lg 104＝－4.
（2）log345－log35；
解： 原式＝log3 ＝log39＝log332＝2.
（3）4lg 2＋3lg 5－lg ；
解： 原式＝lg ＝lg（24×54）＝lg（2×5）4＝4.
（4） .
解： 原式＝ ＝ ＝ .
题型二 对数换底公式的应用
【例2】 （1）计算：（log43＋log83）（log32＋log92）；
解： 原式＝（ ＋ ）（ ＋ ）
＝（ ＋ ）（ ＋ ）＝ × ＝ .
（2）已知log189＝ a ，18 b ＝5，用 a ， b 表示log3645的值.
解： 法一 ∵log189＝ a ，18 b ＝5，∴log185＝ b .
∴log3645＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
法二 ∵log189＝ a ，18 b ＝5，∴log185＝ b .
∴log3645＝ ＝ ＝ .
【母题探究】
（变设问）若本例（2）条件不变，求log915（用 a ， b 表示）.
解：因为18 b ＝5，所以log185＝ b .
所以log915＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝ .
通性通法
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
【跟踪训练】
1. ＝ .
解析：法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即
＝ ＝ · ＝ .
法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即 ＝ ＝
＝ .
2. 计算： ＝ － .
解析：原式＝ × ＝lo ×lo 9
＝ × ＝ × ＝－ .
－
题型三 对数运算性质的综合运用
【例3】 （1）设3 a ＝4 b ＝36，求 ＋ 的值；
解： 法一 由3 a ＝4 b ＝36，
得 a ＝log336， b ＝log436，
由换底公式得 ＝log363， ＝log364，
∴ ＋ ＝2log363＋log364＝log3636＝1.
法二 由3 a ＝4 b ＝36，两边取以6为底的对数，得 a log63＝ b log64＝
log636＝2，
∴ ＝log63， ＝ log64＝log62.
∴ ＋ ＝log63＋log62＝log66＝1.
（2）已知2 x ＝3 y ＝5 z ，且 ＋ ＋ ＝1，求 x ， y ， z .
解：令2 x ＝3 y ＝5 z ＝ k （ k ＞0），
∴ x ＝log2 k ， y ＝log3 k ， z ＝log5 k ，
∴ ＝log k 2， ＝log k 3， ＝log k 5，
由 ＋ ＋ ＝1，
得log k 2＋log k 3＋log k 5＝log k 30＝1，
∴ k ＝30，
∴ x ＝log230＝1＋log215，
y ＝log330＝1＋log310， z ＝log530＝1＋log56.
通性通法
利用对数式与指数式互化求值的方法
（1）在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质
和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的
相互转化；
（2）对于连等式可令其等于 k （ k ＞0），然后将指数式用对数式表
示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问
题得解.
【跟踪训练】
1. 已知2 x ＝3 y ＝ a ，若 ＋ ＝1，则 a ＝ .
解析：由2 x ＝3 y ＝ a ，可得 x ＝log2 a ， y ＝log3 a ，所以 ＋ ＝log a
2＋log a 3＝log a 6＝1，故 a ＝6.
2. 已知2 x ＝12，log2 ＝ y ，则 x ＋ y ＝ .
解析：因为2 x ＝12，所以 x ＝log212，又因为 y ＝log2 ，所以 x ＋ y
＝log212＋log2 ＝log24＝2.
6
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题型四 实际问题中的对数运算
【例4】 分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压
级来描述声音的大小：把一很小的声压 P0＝2×10－5帕作为参考声
压，把所要测量的声压 P 与参考声压 P0的比值取常用对数后乘20得到
的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分
贝（dB）.分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60～110为
过渡区，110以上为有害区.
（1）试列出分贝 y 与声压 P 的函数关系式；
解： 由已知得 y ＝20lg （其中 P0＝2×10－5）.
（2）某地声压 P ＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境
是否优良？
解： 当 P ＝0.002 时， y ＝20lg ＝20lg 102＝40（分贝）.
由已知条件知40分贝小于60分贝，
所以此地为噪音无害区，声音环境优良.
通性通法
关于对数运算在实际问题中的应用
（1）在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将
相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算；
（2）在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，
转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算.
【跟踪训练】
标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现
“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋
学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得
出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，
下列数据最接近 的是（lg 3≈0.477）（ ）
A. 10－37 B. 10－36
C. 10－35 D. 10－34
解析： 根据题意，对 取常用对数得lg ＝lg 3361－lg
10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，则 ≈10－35.8，选项B中的
10－36与其最接近.
1. 计算2log63＋log64＝（ ）
A. 2 B. log62
C. log63 D. 3
解析： 2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.
2. log6432＝（ ）
B. 2
解析： log6432＝ ＝ ＝ ＝ .
3. 已知lg 2＝ a ，lg 3＝ b ，则log36＝（ ）
解析： log36＝ ＝ ＝ .
4. 已知 a ， b ， c 是不等于1的正数，且 ax ＝ by ＝ cz ， ＋ ＋ ＝0，
则 abc ＝ .
解析：法一 设 ax ＝ by ＝ cz ＝ t ，则 x ＝log at ， y ＝log bt ， z ＝log
ct ，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝log ta ＋log tb ＋log tc ＝log t
（ abc ）＝0，∴ abc ＝ t0＝1.
1
法二 ∵ a ， b ， c 是不等于1的正数，且 ax ＝ by ＝ cz ，∴令 ax ＝ by ＝
cz ＝ t ＞0，∴ x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
＝ .∵ ＋ ＋ ＝0，且lg t ≠0，∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg
（ abc ）＝0，∴ abc ＝1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若lg a －2lg 2＝1，则 a ＝（ ）
A. 4 B. 10
C. 20 D. 40
解析： ∵lg a －2lg 2＝lg a －lg 4＝lg ＝1，∴ ＝10，∴ a ＝
40.故选D.
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2. 若lg x －lg y ＝ t ，则lg －lg ＝（ ）
A. 3 t
C. t
解析： lg －lg ＝3lg －3lg ＝3lg ＝3（lg x －lg y ）＝
3 t .
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3. 计算 （log312－2log32）＝（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
解析： log64＋log63＝log6 ＋log63＝log62＋log63＝log66＝
1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，则原式＝1.
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4. ＋ ＝（ ）
A. lg 3 B. －lg 3
解析： 原式＝lo ＋lo ＝lo ＋lo ＝lo ＝log310
＝ .
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5. （多选）设 f （ x ）＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1），对于任意的正实数
x ， y ，都有（ ）
A. f （ xy ）＝ f （ x ） f （ y ）
B. f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ）
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解析： 由对数运算法则 f （ xy ）＝log a （ xy ）＝log ax ＋log ay .
所以 f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ）. f ＝log a ＝log ax －log ay ，所
以 f ＝ f （ x ）－ f （ y ）.
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6. （多选）设 a ， b ， c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立
的是（ ）
A. log ab ·log cb ＝log ca B. log ab ·log ca ＝log cb
C. 2lg a ＋2lg b ＝2lg ab D. 2lg ab ＝2lg a ·2lg b
解析： log24·log164＝2× ＝1≠log162＝ ，因而A错误；log
ab ·log ca ＝ · ＝ ＝log cb ，因而B正确；2lg ab ＝2lg a＋lg b ＝2lg
a ·2lg b ，故D正确，C错误.
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7. 设 a log34＝2，则4－ a ＝ .
解析：因为 a log34＝2，则log34 a ＝2，则4 a ＝32＝9，则4－ a ＝ ＝
.
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8. 已知 m ＞0且10 x ＝lg（10 m ）＋lg ，则 x ＝ .
解析：lg（10 m ）＋lg ＝lg 10＋lg m ＋lg ＝1，所以10 x ＝1＝
100，所以 x ＝0.
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9. 若 a ＝log23， b ＝log32，则 a · b ＝ ，lg a ＋lg b ＝ .
解析：因为 a ＝log23， b ＝log32，则 a · b ＝ · ＝1，lg a ＋lg b ＝
lg ab ＝lg 1＝0.
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10. 计算下列各式的值：
（1）log535＋2lo －log5 －log514；
解： 原式＝log535＋log550－log514＋2lo
＝log5 ＋lo 2
＝log553－1＝2.
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（2）（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋log1258）.
解： 法一 原式＝（log253＋ ＋ ）·（log52
＋ ＋ ）
＝（3log25＋ ＋ ）（log52＋ ＋ ）
＝（3＋1＋ ）log25·3log52＝13log25· ＝13.
法二 原式＝（ ＋ ＋ ）（ ＋ ＋ ）＝（ ＋ ＋ ）（ ＋ ＋ ）＝ · ＝13.
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11. 已知lg a ，lg b 是方程2 x2－4 x ＋1＝0的两个根，则 ＝
（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 由题意得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝ ，则 ＝（lg
a －lg b ）2＝（lg a ＋lg b ）2－4lg a ·lg b ＝22－4× ＝2.
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12. 已知 a ， b 均为正实数，若log ab ＋log ba ＝ ， ab ＝ ba ，则 ＝
（ ）
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解析： 令 t ＝log ab ，则 t ＋ ＝ ，∴2 t2－5 t ＋2＝0，即（2 t
－1）（ t －2）＝0，解得 t ＝ 或 t ＝2，∴log ab ＝ 或log ab ＝2，
∴ a ＝ b2或 a2＝ b ，∵ ab ＝ ba ，代入得2 b ＝ a ＝ b2或 b ＝2 a ＝ a2，
∴ b ＝2， a ＝4或 a ＝2， b ＝4，∴ ＝2或 ＝ .故选D.
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13. 设 a ， b ， c 为正数，且满足 a2＋ b2＝4 c2，则log2（1＋ ）＋
log2（1＋ ）＝ .
解析：原式＝log2 ＋log2 ＝log2
（ · ）＝log2 ＝log2 ＝
log2 ＝log22＝1.
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14.20世纪30年代，里克特和古登堡提出了一种表明地震能量大小的
尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测
震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级
M ，其计算公式为 M ＝lg A －lg A0，其中 A 是被测地震的最大振
幅， A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测
震仪与实际震中的距离造成的偏差）.
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的
地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，试计算
这次地震的震级；（精确到0.1，其中lg 2≈0.301）
解： M ＝lg 20－lg 0.001＝lg ＝lg 20 000＝lg 2＋lg
104≈4.3.因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.
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（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅
是5级地震的最大振幅的多少倍？（精确到1，其中
102.6≈398.1）.
解： 由 M ＝lg A －lg A0可得 M ＝lg ，则 ＝10 M ，即
A ＝ A0·10 M .
当 M ＝7.6时，最大振幅 A1＝ A0·107.6；
当 M ＝5时，最大振幅 A2＝ A0·105，
所以两次地震的最大振幅之比是 ＝ ＝107.6－5＝
102.6≈398.
因此，7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的
398倍.
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15. （多选）已知3 a ＝5 b ＝15，则 a ， b 满足的关系是（ ）
A. ab ＞4
B. a ＋ b ＞4
C. a2＋ b2＜4
D. （ a ＋1）2＋（ b ＋1）2＞16
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解析： 因为3 a ＝5 b ＝15，所以 a ≠ b ， a ＝log315， b ＝
log515，所以log153＝ ，log155＝ ，所以 ＋ ＝1.由 ≤
≤ ≤ ，可得 ab ＞4， a ＋ b ＞4， a2＋ b2＞8，所以
（ a ＋1）2＋（ b ＋1）2＝ a2＋2 a ＋1＋ b2＋2 b ＋1＞18＞16.故选
A、B、D.
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16. 已知正实数 u ， v ， w 均不等于1，若log uvw ＋log vw ＝5，log vu ＋
log wv ＝3，求log wu 的值.
解：令log uv ＝ a ，log vw ＝ b ，
则log vu ＝ ，log wv ＝ ，
则log uvw ＝log uv ＋log uv ·log vw ＝ a ＋ ab ，
即 a ＋ ab ＋ b ＝5， ＋ ＝3，则 ab ＝ ，
因此log wu ＝log wv ·log vu ＝ .
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谢 谢 观 看！
