4.4.2 第1课时 对数函数的图象和性质(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册

文档属性

名称 4.4.2 第1课时 对数函数的图象和性质(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册
格式 zip
文件大小 2.5MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-03 13:04:31

文档简介

4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质
1.函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(  )
A.(1,2)   B.(2,1)
C.(-2,1) D.(-1,1)
2.已知a=log23,b=log2e,c=ln 2,则a,b,c的大小关系是(  )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
3.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是(  )
A.(-∞,7] B.(2,7]
C.[7,+∞) D.(2,+∞)
4.若点(a,b)在函数y=lg x的图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是(  )
A.(,b) B.(10a,1-b)
C.(,b+1) D.(a2,2b)
5.(多选)函数f(x)=loga(x+2)(0<a<1)的图象过(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.(多选)已知a>0,b>0,且ab=1,a≠1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx在同一坐标系中的图象可能是(  )
7.若函数y=4+loga(2x-1)(a>0,且a≠1)的图象恒过点A,则点A的坐标为    .
8.不等式lo(5+x)<lo(1-x)的解集为    .
9.已知m,n∈R,函数f(x)=m+lognx的图象如图,则m,n的取值范围分别是    (填序号).
①m>0,0<n<1;②m<0,0<n<1;③m>0,n>1;④m<0,n>1.
10.已知函数f(x)=loga(2+x)-loga(2-x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
11.若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图所示,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax+b的图象大致是(  )
12.已知loga>logb>0,则下列关系正确的是(  )
A.0<b<a<1 B.0<a<b<1
C.1<b<a D.1<a<b
13.已知f(x)=的值域为R, 那么实数a的取值范围是    .
14.已知f(x)=|log3x|.
(1)画出这个函数的图象;
(2)当0<a<2时f(a)>f(2),利用函数图象求出a的取值范围.
15.设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是(  )
A.f(a+1)<f(b+2)
B.f(a+1)≤f(b+2)
C.f(a+1)≥f(b+2)
D.f(a+1)>f(b+2)
16.若不等式x2-logmx<0在(0,)内恒成立,求实数m的取值范围.
第1课时 对数函数的图象和性质
1.D 令x+2=1,即x=-1,得y=loga1+1=1,故函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1,1).
2.A a=log23>b=log2e>log22=1,c=ln 2<ln e=1,∴a,b,c的大小关系为a>b>c.
3.B 由lg(2x-4)≤1,得0<2x-4≤10,即2<x≤7.
4.D 因为点(a,b)在函数y=lg x的图象上,所以b=lg a.当x=时,有y=lg =-lg a=-b,所以点(,b)不在此函数的图象上,A不正确;当x=10a时,有y=lg(10a)=1+lg a=1+b,所以点(10a,1-b)不在此函数的图象上,B不正确;当x=时,有y=lg =1-lg a=1-b,所以点(,b+1)不在此函数的图象上,C不正确;当x=a2时,有y=lg a2=2lg a=2b,所以点(a2,2b)在此函数的图象上,D正确.
5.BCD 作出函数f(x)=loga(x+2)(0<a<1)的大致图象如图所示,则函数f(x)的图象过第二、三、四象限.
6.AB ∵g(x)=-logbx=lox=logax,∴f(x)和g(x)的单调性相同,结合选项可知A、B正确.
7.(1,4) 解析:令2x-1=1,可得x=1,当x=1时,y=4,所以函数图象恒过点(1,4).
8.(-2,1) 解析:因为函数y=lox在(0,+∞)上是减函数,
所以解得-2<x<1.
9.③ 解析:由图象知函数为增函数,故n>1,又当x=1时,f(1)=m>0,故m>0.
10.解:(1)要使函数有意义,则需满足
解得-2<x<2.故函数f(x)的定义域为(-2,2).
(2)由(1)知f(x)的定义域关于原点对称,因为f(-x)=loga(2-x)-loga(2+x)=-[loga(2+x)-loga(2-x)]=-f(x).所以函数f(x)为奇函数.
11.D 由f(x)的图象可知0<a<1,0<b<1,∴g(x)的图象应为D.
12.A 由loga>0,logb>0,可知a,b∈(0,1).又loga>logb,作出图象如图所示,结合图象易知a>b,∴0<b<a<1.
13.[-,) 解析:要使函数f(x)的值域为R,则必须满足即所以-≤a<.
14.解:(1)图象如图:
(2)令f(a)=f(2),即|log3a|=|log32|,
解得a=或a=2.
从图象可知,当0<a<时,满足f(a)>f(2),
所以a的取值范围是.
15.D 因为函数f(x)是偶函数,所以b=0,又函数在(-∞,0)上单调递增,所以函数在(0,+∞)上单调递减,则0<a<1,所以1<a+1<2.因为f(a+1)=loga|a+1|,f(b+2)=loga2,且1<a+1<2,所以f(a+1)>f(b+2).
16.解:由x2-logmx<0,得x2<logmx,在同一坐标系中作y=x2和y=logmx的草图,如图所示.
要使x2<logmx在(0,)内恒成立,只要y=logmx在(0,)内的图象在y=x2图象的上方,于是0<m<1.
∵当x=时,y=x2=,
∴只要当x=时,y=logm≥=logm即可,
∴≤,即≤m.又0<m<1,∴≤m<1.
即实数m的取值范围是[,1).
2 / 2(共58张PPT)
4.4.2 
对数函数的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的
图象 直观想象
2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 直观想象、
逻辑推理
3.知道对数函数 y =log ax 与指数函数 y = ax 互为反函
数( a >0,且 a ≠1) 数学抽象
第1课时 
对数函数的图象和性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  观察下图:
【问题】 (1)从图①上看,函数 y =log2 x 与 y =lo x 的图象有什
么关系?函数 y =log ax 与 y =lo x ( a >0,且 a ≠1)呢?
(2)从图②上看,对数函数的图象的分布与底数有什么关系?
知识点一 对数函数的图象及性质
a >1 0< a <1
图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
a >1 0< a <1
单调性 增函数 减函数
共点性 图象过点 ,即log a 1=0
函数值 特点 x ∈(0,1)时, y
∈ ; x
∈[1,+∞)时, y ∈[0,
+∞) x ∈(0,1)时, y ∈ ; x
∈[1,+∞)时, y ∈
对称性 函数 y =log ax 与 y =lo x 的图象关于 x 轴对称
(1,0) 
(-∞, 0)
 
(0,+∞) 
(-∞,0] 
提醒 (1)函数图象只出现在 y 轴右侧;(2)对任意底数 a ,当 x =
1时, y =0,故过定点(1,0);(3)当0< a <1时,底数越小,图
象越靠近 x 轴;(4)当 a >1时,底数越大,图象越靠近 x 轴.
知识点二 反函数
 指数函数 y = ax ( a >0,且 a ≠1)与对数函数 y =log ax ( a >0,
且 a ≠1)互为反函数,它们的 与 正好互换.
提醒 反函数性质的再理解:①互为反函数的两个函数图象关于直线
y = x 对称;②反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函
数的定义域.
定义域 
值域 
1. 函数 y =lg( x +1)的图象大致是(  )
解析:  将 y =lg x 的图象向左平移1个单位得 y =lg( x +1)
的图象.
2. 函数 f ( x )=log a ( x -1)+1( a >0,且 a ≠1)的图象恒过点
(  )
A. (1,1) B. (1,2)
C. (2,1) D. (2,2)
解析: 令 x -1=1,即 x =2,得 f (2)=log a 1+1=1,因此 f
( x )的图象恒过点(2,1).故选C.
3. 函数 f ( x )= 的反函数是   f ( x )=lo x ( x >0) .
4. 若函数 y =log(2 a-3) x 在(0,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值
范围是 .
解析:由题意,得2 a -3>1,解得 a >2.所以 a 的取值范围是
(2,+∞).
f ( x )=lo x ( x >0) 
(2,+∞) 
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
  
题型一 对数函数的图象
【例1】 (1)如图,若 C1, C2分别为函数 y =log ax 和 y =log bx 的图
象,则(  )
A. 0< a < b <1 B. 0< b < a <1
C. a > b >1 D. b > a >1
解析:  作直线 y =1,则直线与 C1, C2的交点的横坐标分别
为 a , b ,易知0< b < a <1.
(2)已知 f ( x )=log a | x |,满足 f (-5)=1,试画出函数 f
( x )的图象.
解:∵ f (-5)=1,∴log a 5
=1,即 a =5,故 f ( x )=log5|
x |=
∴函数 y =log5| x |的图象如图所示.
【母题探究】
(变设问)在本例(2)中,若条件不变,试画出函数 h ( x )=|log
ax |的图象.
解:因为 a =5,所以 h ( x )=|log5 x |. h ( x )的图象如图中实线
部分所示.
通性通法
1. 对数函数底数对图象的影响
其中 a , b , c , d 是图象对应的对数函数的底数,根据图象,其大小关系为0< c < d <1< a < b .
2. 关于定点问题
求函数 y = m +log af ( x )( a >0,且 a ≠1)的图象过定点时,只
需令 f ( x )=1求出 x ,即得定点为( x , m ).
【跟踪训练】
1. 函数 f ( x )=log a | x |+1( a >1)的图象大致为(  )
解析:  ∵函数 f ( x )=log a | x |+1( a >1)是偶函数,∴ f
( x )的图象关于 y 轴对称,当 x >0时, f ( x )=log ax +1单调递
增;当 x <0时, f ( x )=log a (- x )+1单调递减,又∵函数 f
( x )的图象过(1,1),(-1,1)两点,∴结合选项可知选项
C中的图象符合题意.
2. 若函数 y =log a ( x + b )+ c ( a >0,且 a ≠1)的图象恒过定点
(3,2),则实数 b = , c = .
解析:由于函数图象恒过定点(3,2),故
∴∴
-2 
2 
题型二 比较对数值的大小
【例2】 比较下列各题中两个值的大小:
(1)log31.9,log32;
解: 因为 y =log3 x 在(0,+∞)上是增函数,且1.9<
2,所以log31.9<log32.
(2)lo 与lo ;
解: 因为 y =lo x 在(0,+∞)上是减函数,且 < ,
所以lo >lo .
(3)log23,log0.32;
解: 因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23
>log0.32.
(4)log a π,log a 3.14( a >0,且 a ≠1).
解: π>3.14,当 a >1时,函数 y =log ax 在(0,+∞)上
是增函数,有log a π>log a 3.14;
当0< a <1时,函数 y =log ax 在(0,+∞)上是减函数,有log
a π<log a 3.14.
综上可得,当 a >1时,log a π>log a 3.14;当0< a <1时,log a π
<log a 3.14.
通性通法
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较;
(2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对
底数进行分类讨论;
(3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再
进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图
象,再进行比较;
(4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
【跟踪训练】
下列式子中成立的是(  )
A. log0.44<log0.46 B. 1.013.4>1.013.5
C. 3.50.3<3.40.3 D. log76<log67
解析:  因为 f ( x )=log0.4 x 为减函数,故log0.44>log0.46,故A
错;因为 f ( x )=1.01 x 为增函数,所以1.013.4<1.013.5,故B错;
因为 f ( x )= x0.3在(0,+∞)上单调递增,且3.5>3.4,所以
3.50.3>3.40.3,故C错;设函数 f ( x )=log7 x , g ( x )=log6 x ,则
这两个函数在定义域内都是增函数,所以log76<log77=1=log66<
log67,所以D正确.
题型三 利用单调性解对数不等式
【例3】 解下列不等式:
(1)lo x >lo (4- x );
解: 由题意可得
解得0< x <2.
所以原不等式的解集为(0,2).
(2)log x >1.
解: 当 x >1时,log x >1=log xx ,
解得 x < ,此时不等式无解.
当0< x <1时,log x >1=log xx ,
解得 x > ,所以 < x <1.
综上所述,原不等式的解集为 .
通性通法
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如log ax >log ab 的不等式,借助 y =log ax 的单调性求解,如果
a 的取值不确定,需分 a >1与0< a <1两种情况进行讨论;
(2)形如log ax > b 的不等式,应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式
( b =log aab ),再借助 y =log ax 的单调性求解;
(3)形如log f( x) a >log g( x) a ( f ( x ), g ( x )>0且不等于1, a
>0)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或
利用函数图象求解.
【跟踪训练】
解下列不等式:
(1)log2(2 x +3)≥log2(5 x -6);
解: 原不等式等价于
解得 < x ≤3.
所以不等式的解集为 .
(2)log a (2 x -5)>log a ( x -1).
解: 当 a >1时,原不等式等价于
解得 x >4.
当0< a <1时,原不等式等价于解得 < x
<4.
综上所述,当 a >1时,原不等式的解集为{ x | x >4}.当0
< a <1时,原不等式的解集为 .
1. 设 a =log54, b =lo , c =0.5-0.2,则 a , b , c 的大小关系是
(  )
A. a < b < c B. b < a < c
C. c < b < a D. c < a < b
解析:   c =0.5-0.2=( = >20=1, b =lo =log53
<log54= a <1,所以 b < a < c .故选B.
2. 下列选项正确的是(  )
A. log2( a2+ a +1)≥log2
B. log2( a2+ a +1)>log2
C. log2( a2+ a +1)≤log2
D. log2( a2+ a +1)<log2
解析:  ∵ y =log2 x 在(0,+∞)上是增函数,而 a2+ a +1=
+ ≥ ,∴log2( a2+ a +1)≥log2 .
3. 函数 y = 的图象大致是(  )
解析:  函数 y = 的定义域是{ x | x ≠0},且易得函数为
奇函数,所以函数图象关于原点对称,可排除B、C;当 x =1时,
y =ln 1=0,故函数图象与 x 轴相交,且其中一个交点为(1,
0),只有A中图象符合.
4. 若log a <1,求 a 的取值范围.
解:当 a >1时,满足条件;
当0< a <1时,由得0< a < ,
综上,实数 a 的取值范围是(0, )∪(1,+∞).
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 y =log a ( x +2)+1的图象过定点(  )
A. (1,2) B. (2,1)
C. (-2,1) D. (-1,1)
解析:  令 x +2=1,即 x =-1,得 y =log a 1+1=1,故函数 y
=log a ( x +2)+1的图象过定点(-1,1).
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2. 已知 a =log23, b =log2e, c =ln 2,则 a , b , c 的大小关系是
(  )
A. a > b > c B. b > a > c
C. c > b > a D. c > a > b
解析:   a =log23> b =log2e>log22=1, c =ln 2<ln e=1,
∴ a , b , c 的大小关系为 a > b > c .
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3. 若lg(2 x -4)≤1,则 x 的取值范围是(  )
A. (-∞,7] B. (2,7]
C. [7,+∞) D. (2,+∞)
解析:  由lg(2 x -4)≤1,得0<2 x -4≤10,即2< x ≤7.
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4. 若点( a , b )在函数 y =lg x 的图象上, a ≠1,则下列点也在此图
象上的是(  )
A. ( , b ) B. (10 a ,1- b )
C. ( , b +1) D. ( a2,2 b )
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解析:  因为点( a , b )在函数 y =lg x 的图象上,所以 b =lg
a .当 x = 时,有 y =lg =-lg a =- b ,所以点( , b )不在此
函数的图象上,A不正确;当 x =10 a 时,有 y =lg(10 a )=1+lg
a =1+ b ,所以点(10 a ,1- b )不在此函数的图象上,B不正
确;当 x = 时,有 y =lg =1-lg a =1- b ,所以点( , b +
1)不在此函数的图象上,C不正确;当 x = a2时,有 y =lg a2=2lg
a =2 b ,所以点( a2,2 b )在此函数的图象上,D正确.
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5. (多选)函数 f ( x )=log a ( x +2)(0< a <1)的图象过
(  )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析:  作出函数 f ( x )=log a ( x
+2)(0< a <1)的大致图象如图所示,
则函数 f ( x )的图象过第二、三、四象
限.
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6. (多选)已知 a >0, b >0,且 ab =1, a ≠1,则函数 f ( x )= ax
与函数 g ( x )=-log bx 在同一坐标系中的图象可能是(  )
解析:  ∵ g ( x )=-log bx =lo x =log ax ,∴ f ( x )和 g
( x )的单调性相同,结合选项可知A、B正确.
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7. 若函数 y =4+log a (2 x -1)( a >0,且 a ≠1)的图象恒过点 A ,
则点 A 的坐标为 .
解析:令2 x -1=1,可得 x =1,当 x =1时, y =4,所以函数图象
恒过点(1,4).
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8. 不等式lo (5+ x )<lo (1- x )的解集为 .
解析:因为函数 y =lo x 在(0,+∞)上是减函数,
所以解得-2< x <1.
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9. 已知 m , n ∈R,函数 f ( x )= m +log nx 的图象如图,则 m , n 的
取值范围分别是 (填序号).
① m >0,0< n <1;② m <0,0< n <1;③ m >0, n >1;④ m
<0, n >1.
解析:由图象知函数为增函数,故 n >1,又当 x =1时, f (1)=
m >0,故 m >0.
③ 
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10. 已知函数 f ( x )=log a (2+ x )-log a (2- x )( a >0,且 a
≠1).
(1)求函数 f ( x )的定义域;
解: 要使函数有意义,则需满足
解得-2< x <2.故函数 f ( x )的定义域为(-2,2).
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(2)判断函数 f ( x )的奇偶性.
解: 由(1)知 f ( x )的定义域关于原点对称,因
为 f (- x )=log a (2- x )-log a (2+ x )=-[log a
(2+ x )-log a (2- x )]=- f ( x ).所以函数 f
( x )为奇函数.
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11. 若函数 f ( x )=log a ( x + b )的图象如图所示,其中 a , b 为常
数,则函数 g ( x )= ax + b 的图象大致是(  )
解析:  由 f ( x )的图象可知0< a <1,0< b <1,∴ g ( x )
的图象应为D.
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12. 已知log a >log b >0,则下列关系正确的是(  )
A. 0< b < a <1 B. 0< a < b <1
C. 1< b < a D. 1< a < b
解析:  由log a >0,log b >0,可知 a , b
∈(0,1).又log a >log b ,作出图象如图
所示,结合图象易知 a > b ,∴0< b < a <1.
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13. 已知 f ( x )=的值域为R, 那么实
数 a 的取值范围是 .
解析:要使函数 f ( x )的值域为R,则必须满足
即所以- ≤ a < .
[- , ) 
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14. 已知 f ( x )=|log3 x |.
(1)画出这个函数的图象;
解: 图象如图:
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(2)当0< a <2时 f ( a )> f (2),利用函数图象求出 a 的取值
范围.
解: 令 f ( a )= f (2),即|log3 a |=|log32|,
解得 a = 或 a =2.
从图象可知,当0< a < 时,满足 f ( a )> f (2),
所以 a 的取值范围是 .
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15. 设偶函数 f ( x )=log a | x - b |在(-∞,0)上单调递增,则 f
( a +1)与 f ( b +2)的大小关系是(  )
A. f ( a +1)< f ( b +2) B. f ( a +1)≤ f ( b +2)
C. f ( a +1)≥ f ( b +2) D. f ( a +1)> f ( b +2)
解析:  因为函数 f ( x )是偶函数,所以 b =0,又函数在(-
∞,0)上单调递增,所以函数在(0,+∞)上单调递减,则0<
a <1,所以1< a +1<2.因为 f ( a +1)=log a | a +1|, f ( b
+2)=log a 2,且1< a +1<2,所以 f ( a +1)> f ( b +2).
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16. 若不等式 x2-log mx <0在(0, )内恒成立,求实数 m 的取
值范围.
解:由 x2-log mx <0,得 x2<log mx ,在同一坐标
系中作 y = x2和 y =log mx 的草图,如图所示.
要使 x2<log mx 在(0, )内恒成立,只要 y =log
mx 在(0, )内的图象在 y = x2图象的上方,于是
0< m <1.∵当 x = 时, y = x2= ,
∴只要当 x = 时, y =log m ≥ =log m 即可,
∴ ≤ ,即 ≤ m .又0< m <1,∴ ≤ m <1.
即实数 m 的取值范围是[ ,1).
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谢 谢 观 看!4.4.2 对数函数的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象 直观想象
2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 直观想象、逻辑推理
3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1) 数学抽象
第1课时 对数函数的图象和性质
  观察下图:
【问题】 (1)从图①上看,函数y=log2x与y=lox的图象有什么关系?函数y=logax与y=lox(a>0,且a≠1)呢?
(2)从图②上看,对数函数的图象的分布与底数有什么关系?
                       
                       
                       
                       
                       
知识点一 对数函数的图象及性质
a>1 0<a<1
图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
单调性 增函数 减函数
共点性 图象过点   ,即loga1=0
函数值 特点 x∈(0,1)时,y∈   ;x∈[1,+∞)时,y∈[0,+∞) x∈(0,1)时,y∈  ;x∈[1,+∞)时,y∈   
对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于x轴对称
提醒 (1)函数图象只出现在y轴右侧;(2)对任意底数a,当x=1时,y=0,故过定点(1,0);(3)当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴;(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴.
知识点二 反函数
 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的    与    正好互换.
提醒 反函数性质的再理解:①互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称;②反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域.
1.函数y=lg(x+1)的图象大致是(  )
2.函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点(  )
A.(1,1)  B.(1,2)  C.(2,1)  D.(2,2)
3.函数f(x)=的反函数是    .
4.若函数y=log(2a-3)x在(0,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是    .
题型一 对数函数的图象
【例1】 (1)如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则(  )
A.0<a<b<1
B.0<b<a<1
C.a>b>1
D.b>a>1
(2)已知f(x)=loga|x|,满足f(-5)=1,试画出函数f(x)的图象.
【母题探究】
(变设问)在本例(2)中,若条件不变,试画出函数h(x)=|logax|的图象.
通性通法
1.对数函数底数对图象的影响
其中a,b,c,d是图象对应的对数函数的底数,根据图象,其大小关系为0<c<d<1<a<b.
2.关于定点问题
求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).
【跟踪训练】
1.函数f(x)=loga|x|+1(a>1)的图象大致为(  )
2.若函数y=loga(x+b)+c(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b=    ,c=    .
题型二 比较对数值的大小
【例2】 比较下列各题中两个值的大小:
(1)log31.9,log32;
(2)lo与lo;
(3)log23,log0.32;
(4)logaπ,loga3.14(a>0,且a≠1).
通性通法
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较;
(2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论;
(3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象,再进行比较;
(4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
【跟踪训练】
下列式子中成立的是(  )
A.log0.44<log0.46    B.1.013.4>1.013.5
C.3.50.3<3.40.3 D.log76<log67
题型三 利用单调性解对数不等式
【例3】 解下列不等式:
(1)lox>lo(4-x);
(2)logx>1.
通性通法
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论;
(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解;
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解.【跟踪训练】
解下列不等式:
(1)log2(2x+3)≥log2(5x-6);
(2)loga(2x-5)>loga(x-1).
1.设a=log54,b=lo,c=0.5-0.2,则a,b,c的大小关系是(  )
A.a<b<c B.b<a<c
C.c<b<a D.c<a<b
2.下列选项正确的是(  )
A.log2(a2+a+1)≥log2
B.log2(a2+a+1)>log2
C.log2(a2+a+1)≤log2
D.log2(a2+a+1)<log2
3.函数y=的图象大致是(  )
4.若loga<1,求a的取值范围.
第1课时 对数函数的图象和性质
【基础知识·重落实】
知识点一
(1,0) (-∞,0) (0,+∞) (-∞,0]
知识点二
定义域 值域
自我诊断
1.C 将y=lg x的图象向左平移1个单位得y=lg(x+1)的图象.
2.C 令x-1=1,即x=2,得f(2)=loga1+1=1,因此f(x)的图象恒过点(2,1).故选C.
3.f(x)=lox(x>0)
4.(2,+∞) 解析:由题意,得2a-3>1,解得a>2.所以a的取值范围是(2,+∞).
【典型例题·精研析】
【例1】 (1)B 作直线y=1,则直线与C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知0<b<a<1.
(2)解:∵f(-5)=1,∴loga5=1,即a=5,故f(x)=log5|x|=
∴函数y=log5|x|的图象如图所示.
母题探究
 解:因为a=5,所以h(x)=|log5x|.h(x)的图象如图中实线部分所示.
跟踪训练
1.C ∵函数f(x)=loga|x|+1(a>1)是偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称,当x>0时,f(x)=logax+1单调递增;当x<0时,f(x)=loga(-x)+1单调递减,又∵函数f(x)的图象过(1,1),(-1,1)两点,∴结合选项可知选项C中的图象符合题意.
2.-2 2 解析:由于函数图象恒过定点(3,2),故∴∴
【例2】 解:(1)因为y=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以log31.9<log32.
(2)因为y=lox在(0,+∞)上是减函数,且<,所以lo>lo.
(3)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.
(4)π>3.14,当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,有logaπ>loga3.14;
当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,有logaπ<loga3.14.
综上可得,当a>1时,logaπ>loga3.14;当0<a<1时,logaπ<loga3.14.
跟踪训练
 D 因为f(x)=log0.4x为减函数,故log0.44>log0.46,故A错;因为f(x)=1.01x为增函数,所以1.013.4<1.013.5,故B错;因为f(x)=x0.3在(0,+∞)上单调递增,且3.5>3.4,所以3.50.3>3.40.3,故C错;设函数f(x)=log7x,g(x)=log6x,则这两个函数在定义域内都是增函数,所以log76<log77=1=log66<log67,所以D正确.
【例3】 解:(1)由题意可得
解得0<x<2.
所以原不等式的解集为(0,2).
(2)当x>1时,logx>1=logxx,
解得x<,此时不等式无解.
当0<x<1时,logx>1=logxx,
解得x>,所以<x<1.
综上所述,原不等式的解集为.
跟踪训练
 解:(1)原不等式等价于
解得<x≤3.
所以不等式的解集为.
(2)当a>1时,原不等式等价于
解得x>4.
当0<a<1时,原不等式等价于解得<x<4.
综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4}.当0<a<1时,原不等式的解集为.
随堂检测
1.B c=0.5-0.2=(=>20=1,b=lo=log53<log54=a<1,所以b<a<c.故选B.
2.A ∵y=log2x在(0,+∞)上是增函数,而a2+a+1=+≥,∴log2(a2+a+1)≥log2.
3.A 函数y=的定义域是{x|x≠0},且易得函数为奇函数,所以函数图象关于原点对称,可排除B、C;当x=1时,y=ln 1=0,故函数图象与x轴相交,且其中一个交点为(1,0),只有A中图象符合.
4.解:当a>1时,满足条件;
当0<a<1时,由得0<a<,
综上,实数a的取值范围是(0,)∪(1,+∞).
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