第2课时 对数函数的图象和性质的应用
1.已知函数f（x）＝5－log3x，x∈（3，27]，则f（x）的值域是（ ）
A.（2，4] B.[2，4）
C.[－4，4） D.（6，9]
2.函数y＝lg｜x｜是（ ）
A.偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增
B.偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递减
C.奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递增
D.奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递减
3.函数f（x）＝log2（1－x）的图象为（ ）
4.已知函数y＝log2（x2－2kx＋k）的值域为R，则k的取值范围是（ ）
A.0＜k＜1 B.0≤k＜1
C.k≤0或k≥1 D.k＝0或k≥1
5.（多选）函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x2）＝2f（x）
B.f（2x）＝f（x）＋f（2）
C.f＝f（x）－f（2）
D.f（2x）＝2f（x）
6.（多选）已知函数f（x）＝（log2x）2－log2x2－3，则下列说法正确的是（ ）
A.f（4）＝－3
B.函数y＝f（x）的图象与x轴有两个交点
C.函数y＝f（x）的最小值为－4
D.函数y＝f（x）的最大值为4
7.如果函数f（x）＝（3－a）x与g（x）＝logax的单调性相同，则实数a的取值范围是 .
8.设a＞1，函数f（x）＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝ .
9.函数f（x）＝log2·lo（2x）的最小值为 .
10.已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值.
11.函数f（x）＝lg（＋x）的奇偶性为（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
12.（多选）任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f（）＞恒成立，则f（x）称为[a，b]上的凸函数，下列函数中在其定义域上为凸函数的是（ ）
A.y＝2x B.y＝log2x
C.y＝－x2 D.y＝
13.设函数f（x）＝｜log2x｜.若0＜a＜1＜b且f（b）＝f（a）＋1，则a＋4b的取值范围为 .
14.设函数f（x）＝lg （a∈R），且f（1）＝0.
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性，并用单调性的定义证明.
15.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax（a＞1）的图象上，则实数a＝ .
16.对于等式ab＝c（a＞0，a≠1），如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于a（即x）的函数，记为y，那么y＝xb，是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c为关于b（即x）的函数，记为y，那么y＝ax，是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量x，b为关于c（即x）的函数，记为y，那么 y＝logax，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.
（1）如果c为常数e（e为自然对数的底数），将a视为自变量x（x＞0，x≠1），则b为x的函数，记为y，那么xy＝e.试将y表示成x的函数f（x）；
（2）研究函数f（x）的性质.你还能运用这个等式得到什么样的函数？这些函数分别具有哪些性质？
第2课时 对数函数的图象和性质的应用
1.B f（x）＝5－log3x在x∈（3，27]上单调递减，所以f（27）≤f（x）＜f（3），即2≤f（x）＜4.
2.B 易知函数y＝lg｜x｜是偶函数.当x＞0时，y＝lg｜x｜＝lg x，所以在区间（0，＋∞）上单调递增.由偶函数的性质知，函数在区间（－∞，0）上单调递减.
3.A 函数的定义域为（－∞，1），排除B、D项，函数f（x）＝log2（1－x）为减函数，排除C项，故A项正确.
4.C 令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2（x2－2kx＋k）的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
5.ABC 因为函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，所以f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.所以f（x2）＝logax2＝2logax＝2f（x），f（2x）＝loga2x＝loga2＋logax＝f（x）＋f（2），f＝logax＝logax－loga2＝f（x）－f（2）.所以选项A、B、C正确.
6.ABC A正确，f（4）＝（log24）2－log242－3＝－3；B正确，令f（x）＝0，得（log2x＋1）（log2x－3）＝0，解得x＝或x＝8，即f（x）的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f（x）＝（log2x－1）2－4（x＞0），所以当log2x＝1，即x＝2时，f（x）取最小值－4；D错误，f（x）没有最大值.
7.（1，2） 解析：若f（x），g（x）均为增函数，则即1＜a＜2；若f（x），g（x）均为减函数，则无解，故1＜a＜2.
8.4 解析：∵a＞1，∴f（x）＝logax在[a，2a]上单调递增，∴loga（2a）－logaa＝，即loga2＝，∴＝2，a＝4.
9.－ 解析：由题意得f（x）＝log2x·（2＋2log2x）＝（log2x）2＋log2x＝（log2x＋）2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时，等号成立，因此函数f（x）的最小值为－.
10.解：（1）由题意得解得－1＜x＜3.所以f（x）的定义域为（－1，3）.
（2）f（x）＝loga[（1＋x）（3－x）]＝loga（－x2＋2x＋3）＝loga[－（x－1）2＋4]，－1＜x＜3，
若0＜a＜1，则当x＝1时，f（x）有最小值loga4，
所以loga4＝－2，即a－2＝4.又0＜a＜1，所以a＝.
若a＞1，则当x＝1时，f（x）有最大值loga4，f（x）无最小值.
综上可知，a＝.
11.A 易知该函数的定义域为R，又f（x）＋f（－x）＝lg（＋x）＋lg（－x）＝lg[（＋x）·（－x）]＝lg 1＝0，∴f（x）＝－f（－x），∴f（x）为奇函数.
12.BCD 由题意知，若函数f（x）为凸函数，则在函数y＝f（x）的图象上任取两个不同的点A，B，线段AB（原点除外）总在f（x）图象的下方，分别作出四个函数的图象，如图所示.观察各函数在定义域上的图象，知y＝log2x，y＝－x2，y＝是凸函数，故选B、C、D.
13.（9，＋∞） 解析：函数f（x）＝｜log2x｜的图象如图所示.∵0＜a＜1＜b且f（b）＝f（a）＋1，∴log2b＝－log2a＋1，∴log2b＋log2a＝1，log2（ab）＝1，即ab＝2，∴a＋4b＝a＋4×＝a＋.利用对勾函数的性质知，函数y＝a＋在（0，1）上单调递减，∴y＞1＋＝9，∴a＋4b的取值范围为（9，＋∞）.
14.解：（1）函数f（x）＝lg （a∈R），且f（1）＝0，
则f（1）＝lg ＝0.则＝1，解得a＝2.
（2）f（x）＝lg 在区间（0，＋∞）上单调递减.
证明：设0＜x1＜x2，f（x1）－f（x2）＝lg －lg ＝lg ＝lg（x2＋1）－lg（x1＋1），
因为0＜x1＜x2，所以lg（x2＋1）＞lg（x1＋1），
即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减.
15. 解析：设B（x，2logax），∵BC平行于x轴，∴C（x'，2logax），即logax'＝2logax，∴x'＝x2，∴正方形ABCD的边长｜BC｜＝x2－x＝2，解得x＝2.由已知得AB垂直于x轴，∴A（x，3logax），正方形ABCD边长｜AB｜＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a＝.
16.解：（1）易知f（x）＝.
（2）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，＋∞）；
值域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
单调性：在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递减.
函数1：在ab＝c中，令c＝e，b＝x视为自变量（x≠0），a＝y为关于x的函数.则yx＝e y＝（x≠0）.
此函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），值域为（0，1）∪（1，＋∞）.在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递减.
函数2：在ab＝c中，将c视为自变量x，b视为常数3，a＝y（a＞0，且a≠1）视为关于x的函数.
则y3＝x，y＝，定义域为（0，1）∪（1，＋∞），值域为（0，1）∪（1，＋∞），在（0，1），（1，＋∞）上单调递增.
2 / 2(共53张PPT)
第2课时
对数函数的图象和性质的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 反函数
【例1】 若函数 f （ x ）与 g （ x ）的图象关于直线 y ＝ x 对称，函数 f
（ x ）＝（ ）－ x ，则 f （2）＋ g （4）＝（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析： ∵函数 f （ x ）与 g （ x ）的图象关于直线 y ＝ x 对称， f
（ x ）＝（ ）－ x ＝2 x ，∴ g （ x ）＝log2 x ，∴ f （2）＋ g （4）＝22
＋log24＝6.
通性通法
反函数的性质
（1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数；
（2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换；
（3）互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ＝ x 对称.
【跟踪训练】
若函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝2 x 的反函数，则 f （ f （2））＝（ ）
A. 16 B. 0 C. 1 D. 2
解析： 函数 y ＝2 x 的反函数是 y ＝log2 x ，即 f （ x ）＝log2 x .∴ f （ f
（2））＝ f （log22）＝ f （1）＝log21＝0.
题型二 对数型函数图象的应用
【例2】 （1）如图所示，函数 f （ x ）的图象为折线 ACB ，则不等
式 f （ x ）≥log2（ x ＋1）的解集是（ ）
A. { x ｜－1＜ x ≤0} B. { x ｜－1≤ x ≤1}
C. { x ｜－1＜ x ≤1} D. { x ｜－1＜ x ≤2}
解析： 在平面直角坐标系中作出函
数 y ＝log2（ x ＋1）的大致图象，如图所
示，且 y ＝log2（ x ＋1）的定义域为（－
1，＋∞）.由图可知， f （ x ）≥log2（ x
＋1）的解集是{ x ｜－1＜ x ≤1}.
（2）（多选）已知 f （ x ）＝｜log2 x ｜，若 f （ a ）＞ f （2），则 a 的
值可以是（ ）
D. 3
解析：作出函数 f （ x ）的图象，如图所示，
由于 f （2）＝ f ，故结合图象可知0＜ a
＜ 或 a ＞2.
通性通法
正确作出函数 y ＝ f （ x ）的图象，由数形结合思想将对数型不等
式转化为代数不等式，此方法是求解对数型不等式或求参数值（范
围）的常用方法.
【跟踪训练】
当 x ∈（1，2）时，不等式（ x －1）2＜log ax 恒成立，则实数 a 的取值
范围是（ ）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （1，2]
解析： 设 f1（ x ）＝（ x －1）2， f2（ x ）＝log
ax ，要使当 x ∈（1，2）时，不等式（ x －1）2＜log
ax 恒成立，只需 f1（ x ）＝（ x －1）2在（1，2）上的
图象在 f2（ x ）＝log ax 在（1，2）上的图象的下方即
可.当0＜ a ＜1时，显然不成立.当 a ＞1时，如图所示，要使在区间（1，2）上， f1（ x ）＝（ x －1）2的图象在 f2（ x ）＝log ax 的图象下方，只需 f1（2）≤ f2（2），即（2－1）2≤log a 2，log a 2≥1，解得1＜ a ≤2，故选C.
题型三 对数型函数的最值与值域
【例3】 求下列函数的值域：
（1） y ＝log3（2 x －1）， x ∈[1，2]；
解： ∵1≤ x ≤2，∴1≤2 x －1≤3，∴0＝log31≤log3（2 x
－1）≤log33＝1.
∴函数 y ＝log3（2 x －1）， x ∈[1，2]的值域是[0，1].
（2） f （ x ）＝log2 ·log2 （1≤ x ≤4）.
解： ∵ f （ x ）＝log2 ·log2
＝（log2 x －2）·（log2 x －1）
＝ － ，
又∵1≤ x ≤4，∴0≤log2 x ≤2，
∴当log2 x ＝ ，即 x ＝ ＝2 时， f （ x ）取最小值－ ；
当log2 x ＝0，即 x ＝1时， f （ x ）取得最大值2，
∴函数 f （ x ）的值域是 .
通性通法
求对数型函数值域（最值）的方法
对于形如 y ＝log af （ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）的复合函数，其值域
（最值）的求解步骤如下：
（1）分解成 y ＝log au ， u ＝ f （ x ）两个函数；
（2）求 f （ x ）的定义域；
（3）求 u 的取值范围；
（4）利用 y ＝log au 的单调性求解.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）＝3lo x 的定义域为[3，9]，则函数 f （ x ）的值
域是 .
解析：∵ y ＝lo x 在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤ x ≤9时，
lo 9≤lo x ≤lo 3，即－2≤lo x ≤－1，∴－6≤3lo x ≤－
3，∴函数 f （ x ）的值域是[－6，－3].
[－6，－3]
解析：当 a ＞1时，函数 y ＝log ax 在[2，4]上单调递增，所以log a 4
－log a 2＝1，即log a ＝1，所以 a ＝2.当0＜ a ＜1时，函数 y ＝log ax
在[2，4]上单调递减，所以log a 2－log a 4＝1，即log a ＝1，所以 a
＝ .综上可知 a ＝2或 a ＝ .
2或
题型四 对数函数性质的综合应用
【例4】 已知 f （ x ）＝log4（4 x －1）.
（1）求 f （ x ）的定义域；
解： 由4 x －1＞0，解得 x ＞0，
因此 f （ x ）的定义域为（0，＋∞）.
（2）讨论 f （ x ）的单调性；
解： 设0＜ x1＜ x2，则0＜ －1＜ －1，
因此log4（ －1）＜log4（ －1），
即 f （ x1）＜ f （ x2），故 f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数.
（3）求 f （ x ）在区间 上的值域.
解： 因为 f （ x ）在区间 上单调递增，
又 f ＝0， f （2）＝log415，
因此 f （ x ）在 上的值域为[0，log415].
通性通法
解决对数函数性质的综合问题的注意点
（1）注意代数式的变形，如分式通分，因式分解、配方法、分母
（或分子）有理化等变形技巧；
（2）解答问题时应注意定义域优先的原则；
（3）由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需分类讨论.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ln（ ax ＋1）＋ln（ x －1）的图象经过点（3，
3ln 2）.
（1）求 a 的值，及 f （ x ）的定义域；
解： 由题意可得ln（3 a ＋1）＋ln（3－1）＝3ln 2，
即ln（3 a ＋1）＝2ln 2，所以3 a ＋1＝4，
解得 a ＝1，则 f （ x ）＝ln（ x ＋1）＋ln（ x －1）.
由解得 x ＞1.
所以 f （ x ）的定义域为（1，＋∞）.
（2）求关于 x 的不等式 f （ x ）≤ln 2 x 的解集.
解： 由（1）可得 f （ x ）＝ln（ x ＋1）＋ln（ x －1）＝ln
（ x2－1）， x ＞1，
不等式 f （ x ）≤ln 2 x 可化为ln（ x2－1）≤ln 2 x ，
因为 y ＝ln x 在（0，＋∞）上是增函数，
所以
解得1＜ x ≤1＋ .
故不等式 f （ x ）≤ln 2 x 的解集为{ x ｜1＜ x ≤1＋ }.
1. 函数 y ＝2＋log2 x （ x ≥2）的值域为（ ）
A. （3，＋∞） B. （－∞，3）
C. [3，＋∞） D. （－∞，3]
解析： 因为 x ≥2，所以log2 x ≥1，所以 y ≥3.
2. 若函数 f （ x ）＝ ax ＋log a （ x ＋1）在[0，1]上的最大值和最小值
之和为 a ，则 a ＝（ ）
C. 2 D. 4
解析： 由题意得 f （ x ）在[0，1]上单调递增或单调递减，∴ f
（ x ）的最大值或最小值在端点处取得，即 f （0）＋ f （1）＝ a ，
即1＋ a ＋log a 2＝ a ，∴log a 2＝－1，解得 a ＝ .
3. 若函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）的反函数，其
图象经过点（ ， ），则 a ＝ .
解析：由题意得 f （ x ）＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1， x ＞0），因为 f
（ x ）的图象过点（ ， ），所以log a ＝ ，所以 ＝ ，
所以 a2＝2，所以 a ＝ （负值舍去）.
4. 已知函数 f （ x ）＝log2（1＋ x2）.
求证：（1）函数 f （ x ）是偶函数；
证明： 函数 f （ x ）的定义域是R，
f （－ x ）＝log2[1＋（－ x ）2]＝log2（1＋ x2）＝ f （ x ），
所以函数 f （ x ）是偶函数.
（2）函数 f （ x ）在区间（0，＋∞）上单调递增.
证明： 设 x1， x2为区间（0，＋∞）内的任意两个实
数，且 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝log2（1＋ ）－log2（1＋ ）＝log2
.
由于0＜ x1＜ x2，
则0＜ ＜ ，0＜1＋ ＜1＋ ，
所以0＜ ＜1，所以log2 ＜0，
所以 f （ x1）＜ f （ x2），
所以函数 f （ x ）在区间（0，＋∞）上单调递增.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f （ x ）＝5－log3 x ， x ∈（3，27]，则 f （ x ）的值域是
（ ）
A. （2，4] B. [2，4）
C. [－4，4） D. （6，9]
解析： f （ x ）＝5－log3 x 在 x ∈（3，27]上单调递减，所以 f
（27）≤ f （ x ）＜ f （3），即2≤ f （ x ）＜4.
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2. 函数 y ＝lg｜ x ｜是（ ）
A. 偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增
B. 偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递减
C. 奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递增
D. 奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递减
解析： 易知函数 y ＝lg｜ x ｜是偶函数.当 x ＞0时， y ＝lg｜ x ｜
＝lg x ，所以在区间（0，＋∞）上单调递增.由偶函数的性质知，
函数在区间（－∞，0）上单调递减.
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3. 函数 f （ x ）＝log2（1－ x ）的图象为（ ）
解析： 函数的定义域为（－∞，1），排除B、D项，函数 f
（ x ）＝log2（1－ x ）为减函数，排除C项，故A项正确.
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4. 已知函数 y ＝log2（ x2－2 kx ＋ k ）的值域为R，则 k 的取值范围是
（ ）
A. 0＜ k ＜1 B. 0≤ k ＜1
C. k ≤0或 k ≥1 D. k ＝0或 k ≥1
解析： 令 t ＝ x2－2 kx ＋ k ，由 y ＝log2（ x2－2 kx ＋ k ）的值域为
R，得函数 t ＝ x2－2 kx ＋ k 的图象一定恒与 x 轴有交点，所以Δ＝4
k2－4 k ≥0，即 k ≤0或 k ≥1.
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5. （多选）函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的反函
数，则下列结论正确的是（ ）
A. f （ x2）＝2 f （ x ）
B. f （2 x ）＝ f （ x ）＋ f （2）
D. f （2 x ）＝2 f （ x ）
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解析： 因为函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）
的反函数，所以 f （ x ）＝log ax （ a ＞0且 a ≠1）.所以 f （ x2）＝
log ax2＝2log ax ＝2 f （ x ）， f （2 x ）＝log a 2 x ＝log a 2＋log ax ＝ f
（ x ）＋ f （2）， f ＝log a x ＝log ax －log a 2＝ f （ x ）－ f
（2）.所以选项A、B、C正确.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）＝（log2 x ）2－log2 x2－3，则下列说法正
确的是（ ）
A. f （4）＝－3
B. 函数 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴有两个交点
C. 函数 y ＝ f （ x ）的最小值为－4
D. 函数 y ＝ f （ x ）的最大值为4
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解析： A正确， f （4）＝（log24）2－log242－3＝－3；B正
确，令 f （ x ）＝0，得（log2 x ＋1）（log2 x －3）＝0，解得 x ＝
或 x ＝8，即 f （ x ）的图象与 x 轴有两个交点；C正确，因为 f （ x ）
＝（log2 x －1）2－4（ x ＞0），所以当log2 x ＝1，即 x ＝2时， f
（ x ）取最小值－4；D错误， f （ x ）没有最大值.
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7. 如果函数 f （ x ）＝（3－ a ） x 与 g （ x ）＝log ax 的单调性相同，则
实数 a 的取值范围是 .
解析：若 f （ x ）， g （ x ）均为增函数，则即1＜ a ＜
2；若 f （ x ）， g （ x ）均为减函数，则无解，故
1＜ a ＜2.
（1，2）
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8. 设 a ＞1，函数 f （ x ）＝log ax 在区间[ a ，2 a ]上的最大值与最小值
之差为 ，则 a ＝ .
解析：∵ a ＞1，∴ f （ x ）＝log ax 在[ a ，2 a ]上单调递增，∴log a
（2 a ）－log aa ＝ ，即log a 2＝ ，∴ ＝2， a ＝4.
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9. 函数 f （ x ）＝log2 ·lo （2 x ）的最小值为 － .
解析：由题意得 f （ x ）＝ log2 x ·（2＋2log2 x ）＝（log2 x ）2＋log2
x ＝（log2 x ＋ ）2－ ≥－ ，当且仅当log2 x ＝－ ，即 x ＝ 时，
等号成立，因此函数 f （ x ）的最小值为－ .
－
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10. 已知函数 f （ x ）＝log a （1＋ x ）＋log a （3－ x ）（ a ＞0，且 a
≠1）.
（1）求函数 f （ x ）的定义域；
解： 由题意得解得－1＜ x ＜3.所以 f
（ x ）的定义域为（－1，3）.
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（2）若函数 f （ x ）的最小值为－2，求实数 a 的值.
解： f （ x ）＝log a [（1＋ x ）（3－ x ）]＝log a （－ x2
＋2 x ＋3）＝log a [－（ x －1）2＋4]，－1＜ x ＜3，
若0＜ a ＜1，则当 x ＝1时， f （ x ）有最小值log a 4，
所以log a 4＝－2，即 a－2＝4.又0＜ a ＜1，所以 a ＝ .
若 a ＞1，则当 x ＝1时， f （ x ）有最大值log a 4， f （ x ）无
最小值.
综上可知， a ＝ .
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11. 函数 f （ x ）＝lg（ ＋ x ）的奇偶性为（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数
解析： 易知该函数的定义域为R，又 f （ x ）＋ f （－ x ）＝lg
（ ＋ x ）＋lg（ － x ）＝lg[（ ＋
x ）·（ － x ）]＝lg 1＝0，∴ f （ x ）＝－ f （－ x ），∴ f
（ x ）为奇函数.
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12. （多选）任取 x1， x2∈[ a ， b ]，且 x1≠ x2，若 f （ ）＞
恒成立，则 f （ x ）称为[ a ， b ]上的凸函数，下
列函数中在其定义域上为凸函数的是（ ）
A. y ＝2 x B. y ＝log2 x
C. y ＝－ x2
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解析： 由题意知，若函数 f （ x ）为
凸函数，则在函数 y ＝ f （ x ）的图象上任
取两个不同的点 A ， B ，线段 AB （原点除
外）总在 f （ x ）图象的下方，分别作出四
个函数的图象，如图所示.观察各函数在
定义域上的图象，知 y ＝log2 x ， y ＝－
x2， y ＝ 是凸函数，故选B、C、D.
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13. 设函数 f （ x ）＝｜log2 x ｜.若0＜ a ＜1＜ b 且 f （ b ）＝ f （ a ）＋
1，则 a ＋4 b 的取值范围为 .
解析：函数 f （ x ）＝｜log2 x ｜的图象如图所
示.∵0＜ a ＜1＜ b 且 f （ b ）＝ f （ a ）＋1，
∴log2 b ＝－log2 a ＋1，∴log2 b ＋log2 a ＝1，log2
（ ab ）＝1，即 ab ＝2，∴ a ＋4 b ＝ a ＋4× ＝ a
＋ .利用对勾函数的性质知，函数 y ＝ a ＋ 在（0，1）上单调递减，∴ y ＞1＋ ＝9，∴ a ＋4 b 的取值范围为（9，＋∞）.
（9，＋∞）
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14. 设函数 f （ x ）＝lg （ a ∈R），且 f （1）＝0.
（1）求 a 的值；
解： 函数 f （ x ）＝lg （ a ∈R），且 f （1）＝0，
则 f （1）＝lg ＝0.则 ＝1，解得 a ＝2.
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（2）判断 f （ x ）在区间（0，＋∞）上的单调性，并用单调性的
定义证明.
解： f （ x ）＝lg 在区间（0，＋∞）上单调递减.
证明：设0＜ x1＜ x2， f （ x1）－ f （ x2）＝lg －lg ＝
lg ＝lg（ x2＋1）－lg（ x1＋1），
因为0＜ x1＜ x2，所以lg（ x2＋1）＞lg（ x1＋1），
即 f （ x1）＞ f （ x2），即函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调
递减.
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解析：设 B （ x ，2log ax ），∵ BC 平行于 x 轴，∴ C （x'，2log
ax ），即log a x'＝2log ax ，∴x'＝ x2，∴正方形 ABCD 的边长｜
BC ｜＝ x2－ x ＝2，解得 x ＝2.由已知得 AB 垂直于 x 轴，∴ A
（ x ，3log ax ），正方形 ABCD 边长｜ AB ｜＝3log ax －2log ax ＝log
ax ＝2，即log a 2＝2，∴ a ＝ .
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16. 对于等式 ab ＝ c （ a ＞0， a ≠1），如果将 a 视为自变量 x ， b 视为
常数， c 为关于 a （即 x ）的函数，记为 y ，那么 y ＝ xb ，是幂函
数；如果将 a 视为常数， b 视为自变量 x ， c 为关于 b （即 x ）的函
数，记为 y ，那么 y ＝ ax ，是指数函数；如果将 a 视为常数， c 视
为自变量 x ， b 为关于 c （即 x ）的函数，记为 y ，那么 y ＝log ax ，
是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.
（1）如果 c 为常数e（e为自然对数的底数），将 a 视为自变量 x
（ x ＞0， x ≠1），则 b 为 x 的函数，记为 y ，那么 xy ＝e.试
将 y 表示成 x 的函数 f （ x ）；
解： 易知 f （ x ）＝ .
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（2）研究函数 f （ x ）的性质.你还能运用这个等式得到什么样的
函数？这些函数分别具有哪些性质？
解： 函数 f （ x ）的定义域为（0，1）∪（1，＋
∞）；值域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
单调性：在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调
递减.
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函数1：在 ab ＝ c 中，令 c ＝e， b ＝ x 视为自变量（ x
≠0）， a ＝ y 为关于 x 的函数.则 yx ＝e y ＝ （ x
≠0）.
此函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），值域为
（0，1）∪（1，＋∞）.在（－∞，0）上单调递减，在
（0，＋∞）上单调递减.
函数2：在 ab ＝ c 中，将 c 视为自变量 x ， b 视为常数3，
a ＝ y （ a ＞0，且 a ≠1）视为关于 x 的函数.
则 y3＝ x ， y ＝ ，定义域为（0，1）∪（1，＋∞），值域为
（0，1）∪（1，＋∞），在（0，1），（1，＋∞）上单调递增.
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谢 谢 观 看！第2课时 对数函数的图象和性质的应用
题型一 反函数
【例1】 若函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数f（x）＝（）－x，则f（2）＋g（4）＝（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
通性通法
反函数的性质
（1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数；
（2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换；
（3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
【跟踪训练】
若函数y＝f（x）是函数y＝2x的反函数，则f（f（2））＝（ ）
A.16 B.0
C.1 D.2
题型二 对数型函数图象的应用
【例2】 （1）如图所示，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是（ ）
A.{x｜－1＜x≤0}
B.{x｜－1≤x≤1}
C.{x｜－1＜x≤1}
D.{x｜－1＜x≤2}
（2）（多选）已知f（x）＝｜log2x｜，若f（a）＞f（2），则a的值可以是（ ）
A. B. C. D.3
通性通法
正确作出函数y＝f（x）的图象，由数形结合思想将对数型不等式转化为代数不等式，此方法是求解对数型不等式或求参数值（范围）的常用方法.
【跟踪训练】
当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2＜logax恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（1，2] D.（0，）
题型三 对数型函数的最值与值域
【例3】 求下列函数的值域：
（1）y＝log3（2x－1），x∈[1，2]；
（2）f（x）＝log2·log2（1≤x≤4）.
通性通法
求对数型函数值域（最值）的方法
对于形如y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1）的复合函数，其值域（最值）的求解步骤如下：
（1）分解成y＝logau，u＝f（x）两个函数；
（2）求f（x）的定义域；
（3）求u的取值范围；
（4）利用y＝logau的单调性求解.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）＝3lox的定义域为[3，9]，则函数f（x）的值域是 .
2.函数y＝logax（a＞0，且a≠1）在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝ .
题型四 对数函数性质的综合应用
【例4】 已知f（x）＝log4（4x－1）.
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）求f（x）在区间上的值域.
通性通法
解决对数函数性质的综合问题的注意点
（1）注意代数式的变形，如分式通分，因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧；
（2）解答问题时应注意定义域优先的原则；
（3）由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需分类讨论.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝ln（ax＋1）＋ln（x－1）的图象经过点（3，3ln 2）.
（1）求a的值，及f（x）的定义域；
（2）求关于x的不等式f（x）≤ln 2x的解集.
1.函数y＝2＋log2x（x≥2）的值域为（ ）
A.（3，＋∞） B.（－∞，3）
C.[3，＋∞） D.（－∞，3]
2.若函数f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a＝（ ）
A. B.
C.2 D.4
3.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，），则a＝ .
4.已知函数f（x）＝log2（1＋x2）.
求证：（1）函数f（x）是偶函数；
（2）函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.
第2课时 对数函数的图象和性质的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 D ∵函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，f（x）＝（）－x＝2x，∴g（x）＝log2x，∴f（2）＋g（4）＝22＋log24＝6.
跟踪训练
B 函数y＝2x的反函数是y＝log2x，即f（x）＝log2x.∴f（f（2））＝f（log22）＝f（1）＝log21＝0.
【例2】 （1）C （2）ABD 解析：（1）在平面直角坐标系中作出函数y＝log2（x＋1）的大致图象，
如图所示，且y＝log2（x＋1）的定义域为（－1，＋∞）.由图可知，f（x）≥log2（x＋1）的解集是{x｜－1＜x≤1}.
（2）作出函数f（x）的图象，如图所示，由于f（2）＝f，故结合图象可知0＜a＜或a＞2.
跟踪训练
C 设f1（x）＝（x－1）2，f2（x）＝logax，要使当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2＜logax恒成立，只需f1（x）＝（x－1）2在（1，2）上的图象在f2（x）＝logax在（1，2）上的图象的下方即可.当0＜a＜1时，显然不成立.当a＞1时，如图所示，要使在区间（1，2）上，f1（x）＝（x－1）2的图象在f2（x）＝logax的图象下方，只需f1（2）≤f2（2），即（2－1）2≤loga2，loga2≥1，解得1＜a≤2，故选C.
【例3】 解：（1）∵1≤x≤2，∴1≤2x－1≤3，∴0＝log31≤log3（2x－1）≤log33＝1.
∴函数y＝log3（2x－1），x∈[1，2]的值域是[0，1].
（2）∵f（x）＝log2·log2
＝（log2x－2）·（log2x－1）
＝－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，即x＝＝2时，f（x）取最小值－；
当log2x＝0，即x＝1时，f（x）取得最大值2，
∴函数f（x）的值域是.
跟踪训练
1.[－6，－3] 解析：∵y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤x≤9时，lo9≤lox≤lo3，即－2≤lox≤－1，∴－6≤3lox≤－3，∴函数f（x）的值域是[－6，－3].
2.2或 解析：当a＞1时，函数y＝logax在[2，4]上单调递增，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2.当0＜a＜1时，函数y＝logax在[2，4]上单调递减，所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.综上可知a＝2或a＝.
【例4】 解：（1）由4x－1＞0，解得x＞0，
因此f（x）的定义域为（0，＋∞）.
（2）设0＜x1＜x2，则0＜－1＜－1，
因此log4（－1）＜log4（－1），
即f（x1）＜f（x2），故f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
（3）因为f（x）在区间上单调递增，
又f＝0，f（2）＝log415，
因此f（x）在上的值域为[0，log415].
跟踪训练
解：（1）由题意可得ln（3a＋1）＋ln（3－1）＝3ln 2，
即ln（3a＋1）＝2ln 2，所以3a＋1＝4，
解得a＝1，则f（x）＝ln（x＋1）＋ln（x－1）.
由解得x＞1.
所以f（x）的定义域为（1，＋∞）.
（2）由（1）可得f（x）＝ln（x＋1）＋ln（x－1）＝ln（x2－1），x＞1，
不等式f（x）≤ln 2x可化为ln（x2－1）≤ln 2x，
因为y＝ln x在（0，＋∞）上是增函数，
所以
解得1＜x≤1＋.
故不等式f（x）≤ln 2x的解集为{x｜1＜x≤1＋}.
随堂检测
1.C 因为x≥2，所以log2x≥1，所以y≥3.
2.B 由题意得f（x）在[0，1]上单调递增或单调递减，∴f（x）的最大值或最小值在端点处取得，即f（0）＋f（1）＝a，即1＋a＋loga2＝a，∴loga2＝－1，解得a＝.
3. 解析：由题意得f（x）＝logax（a＞0，且a≠1，x＞0），因为f（x）的图象过点（，），所以loga＝，所以＝，所以a2＝2，所以a＝（负值舍去）.
4.证明：（1）函数f（x）的定义域是R，
f（－x）＝log2[1＋（－x）2]＝log2（1＋x2）＝f（x），
所以函数f（x）是偶函数.
（2）设x1，x2为区间（0，＋∞）内的任意两个实数，且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝log2（1＋）－log2（1＋）＝log2.
由于0＜x1＜x2，则0＜＜，0＜1＋＜1＋，
所以0＜＜1，所以log2＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.
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