4.4 培优课 指(对)数型函数的综合问题(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册

文档属性

名称 4.4 培优课 指(对)数型函数的综合问题(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册
格式 zip
文件大小 2.5MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-03 13:06:09

文档简介

(共47张PPT)
培优课 
指(对)数型函数的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 指(对)数型函数图象的变换
【例1】 利用函数 y = f ( x )=2 x 的图象,作出下列各函数的图
象:
(1) f ( x -1);(2) f (| x |);(3) f ( x )-1;
(4)- f ( x );(5)| f ( x )-1|.
解:利用指数函数 y =2 x 的图象及变换作图法可作出所要作的函
数图象.如图所示.
通性通法
利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
① y = f ( x ) y =- f ( x );
② y = f ( x ) y = f (- x );
③ y = f ( x ) y =- f (- x );
④ y = ax ( a >0且 a ≠1) y =log ax ( a >0且 a≠1).
(2)对称变换
(3)翻折变换
① y = f ( x ) y =| f ( x )|;
② y = f ( x ) y = f (| x |).
【跟踪训练】
下列函数中,其图象与函数 y =ln x 的图象关于直线 x =1对称的是
(  )
A. y =ln(1- x ) B. y =ln(2- x )
C. y =ln(1+ x ) D. y =ln(2+ x )
法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数 y =ln x 的图象上也
在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A、
C、D,故选B.
解析:  法一 设所求函数图象上任一点的坐标为( x , y ),则其
关于直线 x =1的对称点的坐标为(2- x , y ),由对称性知点(2-
x , y )在函数 y =ln x 的图象上,所以 y =ln(2- x ).
题型二 指(对)数型复合函数的单调性
【例2】 判断函数 f ( x )=lo ( x2-2 x -3)的单调性.
解:由 x2-2 x -3>0,解得 x >3或 x <-1,
所以函数 f ( x )的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),
因函数 f ( x )=lo ( x2-2 x -3)可看作由 y =lo u 和 u = x2-2 x
-3复合而成,又由于 y =lo u 在定义域内是减函数,
而 u = x2-2 x -3在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单
调递增.
由复合函数单调性的判断法则“同增异减”可知, f ( x )=lo ( x2
-2 x -3)在(-∞,-1)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减.
通性通法
复合函数 y = f ( g ( x ))的单调性判断步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)将复合函数分解成两个简单函数: y = f ( u )与 u = g ( x );
(3)分别确定分解成的两个函数的单调性;
(4)若两个函数在对应区间上的单调性相同(即都单调递增,或都
单调递减),则复合后的函数 y = f ( g ( x ))单调递增;
若两个函数在对应区间上的单调性相异(即一个单调递增,
而另一个单调递减),则复合后的函数 y = f ( g ( x ))单
调递减.
【跟踪训练】
1. 函数 y = 的单调递减区间是(  )
A. (-∞,+∞)
B. (-∞,0)
C. (0,+∞)
D. (-∞,0)和(0,+∞)
解析:  设 u = ,则 y =3 u ,因为 u = 在(-∞,0)和(0,
+∞)上单调递减,且 y =3 u 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调
递增,所以函数 y = 的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+
∞).
2. 讨论函数 y =log a (3 x -1)的单调性.
解:由3 x -1>0,得函数的定义域为 .
当 a >1, x > 时,函数 f ( x )=log a (3 x -1)为增函数;
当0< a <1, x > 时,函数 f ( x )=log a (3 x -1)为减函数.
题型三 与指(对)数函数有关的恒成立问题
【例3】 已知函数 f ( x )=log2( +1)是奇函数, a ∈R.
(1)求 a 的值;
解: 令 +1>0,则 >0, x <- a -1或 x >-
a ,
f ( x )是奇函数,其定义域关于原点对称,- a -1- a =0, a
=- .
(2)对任意的 x ∈(-∞,0),不等式 f (2 x +1)>log2( m -2 x )
恒成立,求实数 m 的取值范围.
解: f (2 x +1)>log2( m -2 x ),
即log2( +1)>log2( m -2 x ),
整理得 m <2 x + + + ,
令 u =2 x + , x ∈(-∞,0),所以 u ∈( , ),
令 g ( u )= u + + ,易知 g ( u )≥ ,
当 u =1时取等号,所以 m < .
又由 m -2 x >0,即 m >2 x ,故 m ≥1,
所以 m 的取值范围是[1, ).
通性通法
解决恒成立问题的基本思路
(1)转换成求函数最值:① m ≥ f ( x )在 x ∈ D 上恒成立 m ≥ f
( x )max, x ∈ D ;② m ≤ f ( x )在 x ∈ D 上恒成立 m ≤ f
( x )min, x ∈ D .
(2)转换成函数图象问题:①若 f ( x )> g ( x )在 x ∈ D 上恒成
立,则在区间 D 上,函数 y = f ( x )的图象在函数 y = g ( x )
图象的上方;②若 f ( x )< g ( x )在 x ∈ D 上恒成立,则在区
间 D 上,函数 y = f ( x )的图象在函数 y = g ( x )图象的下方.
【跟踪训练】
已知函数 f ( x )=1- .
(1)判断函数 f ( x )在R上的单调性,并用单调性的定义证明;
解: 函数 f ( x )是增函数,任取 x1, x2∈R,不妨设 x1<x2,
f ( x1)- f ( x2)=(1- )-(1- )=

∵ x1< x2,∴ - <0,又 +1>0, +1>0,
∴ f ( x1)- f ( x2)<0,即 f ( x1)< f ( x2),
∴函数 f ( x )是R上的增函数.
(2)判断函数 f ( x )的奇偶性,并证明;
解: 函数 f ( x )为奇函数,证明如下:
由解析式可得 f ( x )= ,且定义域为R关于原点对称,
f (- x )= = =- f ( x ),
∴函数 f ( x )是定义域上的奇函数.
(3)若 f (-2 x2+ x )+ f (-2 x2- k )<0恒成立,求实数 k 的取值
范围.
解: f (-2 x2+ x )+ f (-2 x2- k )<0等价于 f (-2 x2
+ x )<- f (-2 x2- k )= f (2 x2+ k ),
∵ f ( x )是R上的增函数,∴-2 x2+ x <2 x2+ k ,即4 x2- x +
k >0恒成立,
由Δ=1-16 k <0,解得 k > .
∴实数 k 的取值范围为( ,+∞).
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 y =log a ( x -1)(0< a <1)的图象大致是(  )
解析:  ∵0< a <1,∴ y =log ax 在(0,+∞)上是减函数,故
排除C、D;又函数 y =log a ( x -1)的图象是由 y =log ax 的图象向
右平移1个单位长度得到的,故A正确.
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2. 已知函数 f ( x )=ln x +ln(2- x ),则(  )
A. f ( x )在(0,2)上单调递增
B. f ( x )在(0,2)上单调递减
C. y = f ( x )的图象关于直线 x =1对称
D. y = f ( x )的图象关于点(1,0)对称
解析:  ∵函数 f ( x )=ln x +ln(2- x ),∴ f (2- x )=ln
(2- x )+ln x ,即 f ( x )= f (2- x ),即 y = f ( x )的图象关
于直线 x =1对称.
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3. 若两个函数的图象经过平移后能够重合,则称两个函数为“同形函
数”.给出下列四个函数: f1( x )=2log2( x +1), f2( x )=
log2( x +2), f3( x )=log2 x2, f4( x )=log2(2 x ),则是“同
形函数”的是(  )
A. f2( x )与 f4( x ) B. f1( x )与 f3( x )
C. f1( x )与 f4( x ) D. f3( x )与 f4( x )
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解析:  因为 f4( x )=log2(2 x )=1+log2 x ,所以 f2
( x )=log2( x +2)的图象沿着 x 轴先向右平移2个单位长
度,得到 y =log2 x 的图象,然后再沿 y 轴向上平移1个单位长
度,得到 f4( x )=log2(2 x )=1+log2 x 的图象,根据“同
形函数”的定义,可知选A.
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4. 函数 f ( x )=( ) x -( ) x +1在[-1,2]上的最小值是
(  )
A. 1
D. 3
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解析:  由题意,得函数 f ( x )=( ) x -( ) x +1=( )2 x
-( ) x +1,设 t =( ) x ,因为 x ∈[-1,2],所以 t =( ) x
∈[ ,2],则函数 y = t2- t +1=( t - )2+ ,当 t = 时,
ymin= .
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5. 对于函数 f ( x )= ,下列描述正确的是(  )
A. 是减函数且值域为(-1,1)
B. 是增函数且值域为(-1,1)
C. 是减函数且值域为(-∞,1)
D. 是增函数且值域为(-∞,1)
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解析: 函数 f ( x )= =1- , x ∈R,因为函数 y =3 x
>0且为增函数,所以 y = 为减函数,所以 f ( x )为增函数,
又3 x ∈(0,+∞),所以3 x +1∈(1,+∞), ∈(0,
2),所以 f ( x )=1- ∈(-1,1),即 f ( x )的值域为
(-1,1).
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6. 若函数 f ( x )=lo (- x2+4 x +5)在区间(3 m -2, m +2)
内单调递增,则实数 m 的取值范围为(  )
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解析:  由- x2+4 x +5>0,解得-1< x <5.二次函数 y =- x2
+4 x +5的图象开口向下,对称轴为 x =2.由对数型函数的单调性
可得函数 f ( x )=lo (- x2+4 x +5)的单调递增区间为(2,
5).要使函数 f ( x )=lo (- x2+4 x +5)在区间(3 m -2, m
+2)内单调递增,只需解得 ≤ m <2.
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7. (多选)某数学课外兴趣小组对函数 f ( x )=2| x-1|的图象与性
质进行了探究,得到的下列四个结论中正确的有(  )
A. 该函数的值域为(0,+∞)
B. 该函数在区间[0,+∞)上单调递增
C. 该函数的图象关于直线 x =1对称
D. 该函数的图象与直线 y =- a2( a ∈R)不可能有交点
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解析:  画出 f ( x )=2| x-1|的图象如图.
对于A,根据 f ( x )的图象可知,函数 f ( x )的
值域为[1,+∞),A错误;对于B,根据 f
( x )的图象可知,函数 f ( x )在区间[0,1]上
单调递减,在[1,+∞)上单调递增,B错误;
对于C,根据 f ( x )的图象可知,函数 f ( x )的图象关于直线 x =1对称,C正确;对于D,因为 y =- a2≤0,所以函数 f ( x )的图象与直线 y =- a2( a ∈R)不可能有交点,D正确.故选C、D.
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8. (多选)关于函数 y =log2( x2-2 x +3)有以下4个结论,其中正
确的有(  )
A. 函数的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞)
B. 函数的单调递增区间为[1,+∞)
C. 函数的最小值为1
D. 函数的图象恒在 x 轴的上方
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解析:  函数 y = f ( x )=log2( x2-2 x +3)的定义域为R,
故A错误;令 t = x2-2 x +3,则 y =log2 t , t = x2-2 x +3的单调递
增区间为[1,+∞), y =log2 t 为增函数,故函数 y =log2( x2-2
x +3)的单调递增区间为[1,+∞),故B正确;当 x =1时函数取
最小值为1,故C正确;对于D,由C知最小值为1,而最小值1在 x
轴上方,故D正确.故选B、C、D.
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9. (多选)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有
“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学
家,用其名字命名的“高斯函数”为:设 x ∈R,用[ x ]表示不超
过 x 的最大整数,则 y =[ x ]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-
4,[2,1]=2.已知函数 f ( x )= - ,则关于函数 g ( x )=
[ f ( x )]的叙述中正确的是(  )
A. g ( x )是偶函数
B. f ( x )是奇函数
C. f ( x )在R上是增函数
D. g ( x )的值域是{-1,0,1}
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解析:  ∵ g (1)=[ f (1)]=[ - ]=0, g (-1)=
[ f (-1)]=[ - ]=-1,∴ g (-1)≠ g (1),则 g
( x )不是偶函数,故A错误;∵ f ( x )= - 的定义域为
R, f (- x )+ f ( x )= + -1= + -1
= -1=0,∴ f ( x )为奇函数,故B正确;
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∵ f ( x )= - = - = - ,又 y =2 x 在R上是增函
数,∴ f ( x )= - 在R上是增函数,故C正确;∵2 x >0,∴1+
2 x >1,则0< <1,可得- < - < .即- < f ( x )< ,
∴ g ( x )=[ f ( x )]∈{-1,0},故D错误.
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10. 设函数 f ( x )= - ,若 f (2 m -1)+ f ( m -2)<0,则
实数 m 的取值范围是 .
解析:∵函数的定义域为R, f (- x )= - = - =
- =- + =- f ( x ),∴ f ( x )为奇函数,又 f
( x )在R上是减函数,由 f (2 m -1)+ f ( m -2)<0得 f (2 m
-1)<- f ( m -2)= f (2- m ),∴2 m -1>2- m ,解得 m
>1.
(1,+∞) 
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解析:令 t =log2 x ,则 t ∈(0,2],∴原函数化为 y = t2-3 t +
4, t ∈(0,2],其对称轴方程为 t = ,∴当 t = 时, y 有最小
值为( )2-3× +4= ;当 t =0时, y 有最大值为4,但取不
到.∴ f ( x )的值域为[ ,4).
[ ,4) 
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12. 已知函数 f ( x )= b · ax (其中 a , b 为常数,且 a >0, a ≠1)的
图象经过点 A (1,6), B (3,24).
(1)求 f ( x )的表达式;
解: 因为 f ( x )的图象过点 A (1,6), B (3,24),
所以所以 a2=4,
又 a >0,所以 a =2, b =3,所以 f ( x )=3·2 x .
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(2)若不等式 + - m ≥0在(-∞,1]上恒成立,求实
数 m 的取值范围.
解: 由(1)知 a =2, b =3,则当 x ∈(-∞,1]
时, + - m ≥0恒成立,即 m ≤ + 在
(-∞,1]上恒成立.
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又因为 y = 与 y = 在(-∞,1]上均为减函数,所
以 y = + 在(-∞,1]上也是减函数,所以当 x =
1时, y = + 有最小值 ,所以 m ≤ ,即 m 的取值
范围是 .
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13. 已知函数 f ( x )=lg , f (1)=0,当 x >0时,恒有 f ( x )
- f ( )=lg x .
(1)求 f ( x )的表达式;
解: 当 x >0时, f ( x )- f ( )=lg x 恒成立.
即lg -lg =lg x 恒成立,
即( a - b ) x = a - b 恒成立,所以 a = b .
又 f (1)=0,即 a + b =2,从而 a = b =1,
即 f ( x )=lg .
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(2)若方程 f ( x )=lg(8 x + m )的解集为 ,求实数 m 的值.
解: 若原方程有解,则由lg =lg(8 x + m )可
得 =8 x + m 且 >0.
进一步等价为8 x2+(6+ m ) x + m =0,且 x <-1或 x
>0.
由于原方程的解集为 ,故有两种情况:
①方程8 x2+(6+ m ) x + m =0无解,即Δ<0,解得2
< m <18.
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②方程8 x2+(6+ m ) x + m =0有解,两根均在[-1,
0]内,令 g ( x )=8 x2+(6+ m ) x + m .
则解得即0≤ m ≤2.
综上,实数 m 的取值范围是[0,18).
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谢 谢 观 看!指(对)数型函数的综合问题
题型一 指(对)数型函数图象的变换
【例1】 利用函数y=f(x)=2x的图象,作出下列各函数的图象:
(1)f(x-1);(2)f(|x|);(3)f(x)-1;(4)-f(x);(5)|f(x)-1|.
通性通法
利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y=f(x)y=-f(x);
②y=f(x)y=f(-x);
③y=f(x)y=-f(-x);
④y=ax(a>0且a≠1)y=logax(a>0且a≠1).
(3)翻折变换
①y=f(x)y=|f(x)|;
②y=f(x)y=f(|x|).
【跟踪训练】
下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是(  )
A.y=ln(1-x)  B.y=ln(2-x)
C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)
题型二 指(对)数型复合函数的单调性
【例2】 判断函数f(x)=lo(x2-2x-3)的单调性.
通性通法
复合函数y=f(g(x))的单调性判断步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)将复合函数分解成两个简单函数:y=f(u)与u=g(x);
(3)分别确定分解成的两个函数的单调性;
(4)若两个函数在对应区间上的单调性相同(即都单调递增,或都单调递减),则复合后的函数y=f(g(x))单调递增;
若两个函数在对应区间上的单调性相异(即一个单调递增,而另一个单调递减),则复合后的函数y=f(g(x))单调递减.
【跟踪训练】
1.函数y=的单调递减区间是(  )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞)
2.讨论函数y=loga(3x-1)的单调性.
题型三 与指(对)数函数有关的恒成立问题
【例3】 已知函数f(x)=log2(+1)是奇函数,a∈R.
(1)求a的值;
(2)对任意的x∈(-∞,0),不等式f(2x+1)>log2(m-2x)恒成立,求实数m的取值范围.
通性通法
解决恒成立问题的基本思路
(1)转换成求函数最值:①m≥f(x)在x∈D上恒成立 m≥f(x)max,x∈D;②m≤f(x)在x∈D上恒成立 m≤f(x)min,x∈D.
(2)转换成函数图象问题:①若f(x)>g(x)在x∈D上恒成立,则在区间D上,函数y=f(x)的图象在函数y=g(x)图象的上方;②若f(x)<g(x)在x∈D上恒成立,则在区间D上,函数y=f(x)的图象在函数y=g(x)图象的下方.
【跟踪训练】
已知函数f(x)=1-.
(1)判断函数f(x)在R上的单调性,并用单调性的定义证明;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(3)若f(-2x2+x)+f(-2x2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
培优课 指(对)数型函数的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 解:利用指数函数y=2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象.如图所示.
跟踪训练
 B 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数y=ln x的图象上,所以y=ln(2-x).
法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=ln x的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A、C、D,故选B.
【例2】 解:由x2-2x-3>0,解得x>3或x<-1,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),
因函数f(x)=lo(x2-2x-3)可看作由y=lou和u=x2-2x-3复合而成,
又由于y=lou在定义域内是减函数,
而u=x2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增.
由复合函数单调性的判断法则“同增异减”可知,f(x)=lo(x2-2x-3)在(-∞,-1)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减.
跟踪训练
1.D 设u=,则y=3u,因为u=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,且y=3u在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,所以函数y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞).
2.解:由3x-1>0,得函数的定义域为.
当a>1,x>时,函数f(x)=loga(3x-1)为增函数;
当0<a<1,x>时,函数f(x)=loga(3x-1)为减函数.
【例3】 解:(1)令+1>0,则>0,x<-a-1或x>-a,
f(x)是奇函数,其定义域关于原点对称,-a-1-a=0,a=-.
(2)f(2x+1)>log2(m-2x),
即log2(+1)>log2(m-2x),
整理得m<2x+++,
令u=2x+,x∈(-∞,0),所以u∈(,),
令g(u)=u++,易知g(u)≥,
当u=1时取等号,所以m<.
又由m-2x>0,即m>2x,故m≥1,
所以m的取值范围是[1,).
跟踪训练
 解:(1)函数f(x)是增函数,任取x1,x2∈R,不妨设x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(1-)-(1-)=,
∵x1<x2,∴-<0,又+1>0,+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)是R上的增函数.
(2)函数f(x)为奇函数,证明如下:
由解析式可得f(x)=,且定义域为R关于原点对称,
f(-x)===-f(x),
∴函数f(x)是定义域上的奇函数.
(3)f(-2x2+x)+f(-2x2-k)<0等价于f(-2x2+x)<-f(-2x2-k)=f(2x2+k),
∵f(x)是R上的增函数,∴-2x2+x<2x2+k,即4x2-x+k>0恒成立,
由Δ=1-16k<0,解得k>.
∴实数k的取值范围为(,+∞).
2 / 2培优课 指(对)数型函数的综合问题
1.函数y=loga(x-1)(0<a<1)的图象大致是(  )
2.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则(  )
A.f(x)在(0,2)上单调递增 B.f(x)在(0,2)上单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
3.若两个函数的图象经过平移后能够重合,则称两个函数为“同形函数”.给出下列四个函数:f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),则是“同形函数”的是(  )
A.f2(x)与f4(x)  B.f1(x)与f3(x)
C.f1(x)与f4(x) D.f3(x)与f4(x)
4.函数f(x)=()x-()x+1在[-1,2]上的最小值是(  )
A.1         B. C.         D.3
5.对于函数f(x)=,下列描述正确的是(  )
A.是减函数且值域为(-1,1) B.是增函数且值域为(-1,1)
C.是减函数且值域为(-∞,1) D.是增函数且值域为(-∞,1)
6.若函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m的取值范围为(  )
A.[,3] B.[,2]
C.[,2) D.[,+∞)
7.(多选)某数学课外兴趣小组对函数f(x)=2|x-1|的图象与性质进行了探究,得到的下列四个结论中正确的有(  )
A.该函数的值域为(0,+∞)
B.该函数在区间[0,+∞)上单调递增
C.该函数的图象关于直线x=1对称
D.该函数的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点
8.(多选)关于函数y=log2(x2-2x+3)有以下4个结论,其中正确的有(  )
A.函数的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞) B.函数的单调递增区间为[1,+∞)
C.函数的最小值为1 D.函数的图象恒在x轴的上方
9.(多选)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2,1]=2.已知函数f(x)=-,则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是(  )
A.g(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数 D.g(x)的值域是{-1,0,1}
10.设函数f(x)=-,若f(2m-1)+f(m-2)<0,则实数m的取值范围是    .
11.函数f(x)=(log2x)2-log2x3+4,x∈(1,4]的值域为    .
12.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的表达式;
(2)若不等式+-m≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
13.已知函数f(x)=lg,f(1)=0,当x>0时,恒有f(x)-f()=lg x.
(1)求f(x)的表达式;
(2)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为 ,求实数m的值.
培优课 指(对)数型函数的综合问题
1.A ∵0<a<1,∴y=logax在(0,+∞)上是减函数,故排除C、D;又函数y=loga(x-1)的图象是由y=logax的图象向右平移1个单位长度得到的,故A正确.
2.C ∵函数f(x)=ln x+ln(2-x),∴f(2-x)=ln(2-x)+ln x,即f(x)=f(2-x),即y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
3.A 因为f4(x)=log2(2x)=1+log2x,所以f2(x)=log2(x+2)的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度,得到y=log2x的图象,然后再沿y轴向上平移1个单位长度,得到f4(x)=log2(2x)=1+log2x的图象,根据“同形函数”的定义,可知选A.
4.C 由题意,得函数f(x)=()x-()x+1=()2x-()x+1,设t=()x,因为x∈[-1,2],所以t=()x∈[,2],则函数y=t2-t+1=(t-)2+,当t=时,ymin=.
5.B 函数f(x)==1-,x∈R,因为函数y=3x>0且为增函数,所以y=为减函数,所以f(x)为增函数,又3x∈(0,+∞),所以3x+1∈(1,+∞),∈(0,2),所以f(x)=1-∈(-1,1),即f(x)的值域为(-1,1).
6.C 由-x2+4x+5>0,解得-1<x<5.二次函数y=-x2+4x+5的图象开口向下,对称轴为x=2.由对数型函数的单调性可得函数f(x)=lo(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).要使函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,只需解得≤m<2.
7.CD 画出f(x)=2|x-1|的图象如图.对于A,根据f(x)的图象可知,函数f(x)的值域为[1,+∞),A错误;对于B,根据f(x)的图象可知,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,B错误;对于C,根据f(x)的图象可知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,C正确;对于D,因为y=-a2≤0,所以函数f(x)的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点,D正确.故选C、D.
8.BCD 函数y=f(x)=log2(x2-2x+3)的定义域为R,故A错误;令t=x2-2x+3,则y=log2t,t=x2-2x+3的单调递增区间为[1,+∞),y=log2t为增函数,故函数y=log2(x2-2x+3)的单调递增区间为[1,+∞),故B正确;当x=1时函数取最小值为1,故C正确;对于D,由C知最小值为1,而最小值1在x轴上方,故D正确.故选B、C、D.
9.BC ∵g(1)=[f(1)]=[-]=0,g(-1)=[f(-1)]=[-]=-1,∴g(-1)≠g(1),则g(x)不是偶函数,故A错误;∵f(x)=-的定义域为R,f(-x)+f(x)=+-1=+-1=-1=0,∴f(x)为奇函数,故B正确;∵f(x)=-=-=-,又y=2x在R上是增函数,∴f(x)=-在R上是增函数,故C正确;∵2x>0,∴1+2x>1,则0<<1,可得-<-<.即-<f(x)<,∴g(x)=[f(x)]∈{-1,0},故D错误.
10.(1,+∞) 解析:∵函数的定义域为R,f(-x)=-=-=-=-+=-f(x),∴f(x)为奇函数,又f(x)在R上是减函数,由f(2m-1)+f(m-2)<0得f(2m-1)<-f(m-2)=f(2-m),∴2m-1>2-m,解得m>1.
11.[,4) 解析:令t=log2x,则t∈(0,2],∴原函数化为y=t2-3t+4,t∈(0,2],其对称轴方程为t=,∴当t=时,y有最小值为()2-3×+4=;当t=0时,y有最大值为4,但取不到.∴f(x)的值域为[,4).
12.解:(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),
所以所以a2=4,
又a>0,所以a=2,b=3,所以f(x)=3·2x.
(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,即m≤+在(-∞,1]上恒成立.
又因为y=与y=在(-∞,1]上均为减函数,所以y=+在(-∞,1]上也是减函数,所以当x=1时,y=+有最小值,所以m≤,即m的取值范围是.
13.解:(1)当x>0时,f(x)-f()=lg x恒成立.
即lg-lg=lg x恒成立,
即(a-b)x=a-b恒成立,
所以a=b.
又f(1)=0,即a+b=2,从而a=b=1,
即f(x)=lg.
(2)若原方程有解,则由lg=lg(8x+m)可得=8x+m且>0.
进一步等价为8x2+(6+m)x+m=0,且x<-1或x>0.
由于原方程的解集为 ,故有两种情况:
①方程8x2+(6+m)x+m=0无解,即Δ<0,解得2<m<18.
②方程8x2+(6+m)x+m=0有解,两根均在[-1,0]内,
令g(x)=8x2+(6+m)x+m.

解得即0≤m≤2.
综上,实数m的取值范围是[0,18).
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