4.4.3 不同函数增长的差异
1.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x的函数关系较为近似的是（ ）
A.y＝0.2x B.y＝（x2＋2x）
C.y＝ D.y＝0.2＋log16x
2.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ）
A.y＝2x－2 B.y＝
C.y＝log2x D.y＝（x2－1）
3.有一组实验数据如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型适合的是（ ）
A.y＝logax（a＞1） B.y＝ax＋b（a＞1）
C.y＝ax2＋b（a＞0） D.y＝logax＋b（a＞1）
4.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
5.y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（ ）
A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y3＞y2 D.y2＞y3＞y1
6.（多选）下面对函数f（x）＝lox与g（x）＝在区间（0，＋∞）上的衰减情况的说法中正确的有（ ）
A.f（x）的衰减速度越来越慢
B.f（x）的衰减速度越来越快
C.g（x）的衰减速度越来越慢
D.g（x）的衰减速度越来越快
7.函数y＝x2与函数y＝xln x在区间（1，＋∞）上增长较快的一个是 .
8.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 年.（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30）
9.生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应 ；B对应 ；C对应 ；D对应 .
10.1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：
行星 编号（x） 1 （金星） 2 （地球） 3 （火星） 4 （ ） 5 （木星） 6 （土星）
离太阳的 距离（y） 0.7 1.0 1.6 5.21 10.01
（1）为了描述行星离太阳的距离y与行星编号x之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）.①y＝ax＋b；②y＝a×2x＋b；③y＝alog2x＋b.
（2）根据你的选择，依表中前两组数据求出函数解析式，并用最后两组数据检验模型的吻合情况.（误差小于0.2的为吻合）；请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.
11.下列函数图象中，估计有可能用函数y＝a＋blg x（b＞0）来模拟的是（ ）
12.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是（ ）
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝9x的图象于点C.若AC平行于y轴，则点A的坐标是 .
14.假设有一套住房的房价从2013年的20万元上涨到2023年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2013年以来经过的年数.
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 40
P2/万元 20 40
（1）求函数P1＝f（t）的解析式；
（2）求函数P2＝g（t）的解析式；
（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异.
15.如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：y＝at（t≥0，a＞0且a≠1）的图象.
有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于；②每月减少的有害物质质量都相等；③若残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中所有正确叙述的序号是 .
16.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制订一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.
（1）现有三个奖励函数模型：①f（x）＝0.03x＋8，②f（x）＝0.8x＋200，③f（x）＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000]，试分析这三个函数模型是否符合公司要求；
（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？
4.4.3 不同函数增长的差异
1.C 将x＝1，2，3，y＝0.2，0.4，0.76分别代入验算.
2.D 法一 相邻的自变量之差从左到右依次大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，抛物线拟合程度最好，故选D.
法二 可以采用特殊值代入法，取某个x的值代入，再比较函数值是否与表中数据相符.可取x＝4，经检验易知选D.
3.C 由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A、D中的函数模型增长速度越来越慢，B中的函数模型增长速度保持不变，故选C.
4.C 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D；后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.
5.B 由题意可知，三个函数在区间（2，4）上都是单调递增的，所以4＜y1＜16，4＜y2＜16，1＜y3＜2，所以y3最小，由函数y1，y2的图象可知，在区间（2，4）上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2＞y1＞y3.
6.AC 在平面直角坐标系中画出y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图所示.由图象可知，f（x）的衰减速度越来越慢，g（x）的衰减速度也越来越慢.故选A、C.
7.y＝x2 解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快.
8.2027 解析：设2023年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130（1＋12%）n.由130（1＋12%）n＞200，得1.12n＞，两边取对数，得n·lg 1.12＞lg 2－lg 1.3，∴n＞≈＝3.8，又n∈N*，∴n≥4，∴从2027年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.
9.（4） （1） （3） （2） 解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与（3）对应，D容器水高度变化慢，与（2）对应.
10.解：（1）散点图如图所示， 根据散点图可知，模型②符合题意.
（2）将（1，0.7），（2，1），分别代入y＝a×2x＋b，
得
解得a＝0.15，b＝0.4，
所以y＝0.15×2x＋0.4（x∈N*）.
当x＝5时，y＝0.15×25＋0.4＝5.2，误差为5.21－5.2＝0.01＜0.2，吻合，
当x＝6时，y＝0.15×26＋0.4＝10，误差为10.01－10＝0.01＜0.2，吻合，
所以，模型与数据吻合.
当x＝4时，y＝0.15×24＋0.4＝2.8，即谷神星距太阳的距离为2.8 AU.
11.C 由于函数y＝lg x在定义域内单调递增，且是上凸的，又b＞0，所以当x＞0时，y＝a＋blg x（b＞0）的图象是单调递增且上凸的.
12.B 开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B图象相吻合.
13.（log32，2） 解析：由题意设A（n，3n），B（m，3m），由9n＝32n＝3m得m＝2n，解得n＝，则C，A.又因为A，B，O三点共线，设直线AB对应的解析式为y＝kx（k＞0），则解得m＝2log32，所以n＝log32.所以点A的坐标为（log32，2）.
14.解：（1）设f（t）＝kt＋b（k≠0），
则
∴P1＝f（t）＝2t＋20.
（2）设g（t）＝mat（a＞0，且a≠1），
则
∴P2＝g（t）＝20×（）t＝20×.
（3）图象如图.
表格中的数据如下表所示：
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 30 40 50 60
P2/万元 20 20 40 40 80
由图象可以看出，在前10年，按P1增长的价格始终高于按P2增长的价格，但10年后，P2价格增长速度很快，远远超出P1的价格并且时间越长，差别越大.
15.①③ 解析：根据题意，函数的图象经过点，故函数解析式为y＝.当t＝4时，y＝＜，故①正确；当t＝1时，y＝，减少了，当t＝2时，y＝，减少了，每月减少的有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝lo，t2＝lo，t3＝lo，则t1＋t2＝t3，故③正确.
16.解：（1）由题意符合公司要求的函数f（x）在[3 000，9 000]上单调递增，且 x∈[3 000，9 000]，恒有f（x）≥100且f（x）≤.
对于①，函数f（x）＝0.03x＋8，当x＝3 000时，f（3 000）＝98＜100，不符合要求；
对于②，函数f（x）＝0.8x＋200为减函数，不符合要求；
对于③，函数f（x）＝100log20x＋50在[3 000，9 000]上单调递增，且当x＝3 000时，f（3 000）＞100×log203 000＋50≥100，
又因为f（x）≤f（9 000）＝100·log209 000＋50＜100·log20160 000＋50＝450，而≥＝600，
所以当x∈[3 000，9 000]时，f（x）max≤（）min，所以f（x）≤恒成立.
因此，f（x）＝100log20x＋50为满足条件的函数模型.
（2）由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8 000，
所以要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到8 000万元.
3 / 34.4.3 不同函数增长的差异
新课程标准解读 核心素养
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型 数学抽象
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义 逻辑推理
3.能根据具体问题选择合适的函数模型 数学建模
1859年，有人从欧洲带进澳大利亚几只兔子，由于澳大利亚有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已.他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气.
【问题】 想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75亿只？
知识点 三种常见函数模型的增长差异
函数 性质 y＝ax （a＞1） y＝logax （a＞1） y＝kx （k＞0）
在（0，＋∞） 上的增减性 单调 单调 单调
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax（a＞1）的增长速度最终都会大大超过 的增长速度；总存在一个x0，当x＞x0时，恒有logax＜kx
增长结果 存在一个x0，当x＞x0时，有
提醒 三种函数模型的再理解：①当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；②当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
1.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（ ）
A.y＝ex B.y＝ln x
C.y＝2x D.y＝e－x
2.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更有前途的生意是（ ）
A.y＝10×1.05x B.y＝20＋x1.5
C.y＝30＋lg（x－1） D.y＝50
题型一 几类函数模型增长的差异
【例1】 （1）下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A.y＝2 024x B.y＝x2 024
C.y＝log2 024x D.y＝2 024x
（2）三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是（ ）
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2
通性通法
常见的函数模型及增长特点
（1）一次函数模型：一次函数模型y＝kx＋b（k＞0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变；
（2）指数函数模型：指数函数模型y＝ax（a＞1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”；
（3）对数函数模型：对数函数模型y＝logax（a＞1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓；
（4）幂函数模型：幂函数y＝xn（n＞0）的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
【跟踪训练】
下列函数中，增长速度越来越慢的是（ ）
A.y＝6x B.y＝log6x
C.y＝x2 D.y＝6x
题型二 几类函数模型的比较
【例2】 函数f（x）＝2x和g（x）＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2.
（1）请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
（2）结合函数图象示意图，判断f（6），g（6），f（2 024），g（2 024）的大小.
通性通法
由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图象判断指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数，图象呈直线上升的函数是一次函数.
【跟踪训练】
函数f（x）＝lg x，g（x）＝0.3x－1的图象如图所示：
（1）指出曲线C1，C2分别对应题中哪一个函数；
（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）.
题型三 函数模型的选择问题
【例3】 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c均为待定系数，x∈N*）或函数y＝g（x）＝pqx＋r（p，q，r均为待定系数，x∈N*），现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
通性通法
建立函数模型应遵循的三个原则
（1）简化原则：建立函数模型，模型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型；
（2）可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论；
（3）反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
【跟踪训练】
某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份 1 2 3
月产量（千件） 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b（a，b为常数，a＞0且a≠1）来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系.请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由.
1.下列函数中，在（0，＋∞）上增长速度最快的是（ ）
A.y＝x2 B.y＝log2x
C.y＝2x D.y＝2x
2.在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是（ ）
A.y＝2x B.y＝x2－1
C.y＝2x－2 D.y＝log2x
3.已知函数f（x）＝3x，g（x）＝2x，当x∈R时，f（x）与g（x）的大小关系为 .
4.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋（θ1－θ0）·e－0.24t求得.把温度是100 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于 .（保留三位有效数字，参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693）
4.4.3 不同函数增长的差异
【基础知识·重落实】
知识点
递增 递增 递增 y＝kx（k＞0） ax＞kx＞logax
自我诊断
1.A
2.A 由于给出的指数型函数的底数大于1，且系数为正数，则其增长速度随着时间的推移越来越快，所以y＝10×1.05x是更有前途的生意.故选A.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A （2）C 解析：（1）比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快.
（2）由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数，故选C.
跟踪训练
B D中一次函数的增长速度不变；A、C中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.
【例2】 解：（1）C1对应的函数为g（x）＝x3，C2对应的函数为f（x）＝2x.
（2）因为f（1）＞g（1），f（2）＜g（2），f（9）＜g（9），f（10）＞g（10），
所以1＜x1＜2，9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2，2 024＞x2，
从图象上可以看出当x1＜x＜x2时，f（x）＜g（x），
所以f（6）＜g（6）；
当x＞x2时，f（x）＞g（x），
所以f（2 024）＞g（2 024）；
又因为g（2 024）＞g（6），
所以f（2 024）＞g（2 024）＞g（6）＞f（6）.
跟踪训练
解：（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lg x.
（2）当x∈（0，x1）时，g（x）＞f（x）；
当x∈（x1，x2）时，g（x）＜f（x）；
当x∈（x2，＋∞）时，g（x）＞f（x）.
【例3】 解：根据题意可列方程组
解得
所以y＝f（x）＝－5x2＋35x＋70. ①
同理y＝g（x）＝－80×0.5x＋140. ②
再将x＝4分别代入①式与②式得
f（4）＝－5×42＋35×4＋70＝130（t），g（4）＝－80×0.54＋140＝135（t）.
与f（4）相比，g（4）在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g（x）＝pqx＋r作为模拟函数较好.
跟踪训练
解：将（1，50），（2，52）分别代入两解析式得（a＞0且a≠1）
解得（两方程组的解相同）.
所以两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，所以选函数y＝ax＋b模拟较好.
随堂检测
1.D
2.D 将x＝0.50代入计算，可以排除A；将x＝2.01代入计算，可以排除B、C.故选D.
3.f（x）＞g（x） 解析：在同一直角坐标系中画出函数f（x）＝3x，g（x）＝2x的图象，如图所示，由于函数f（x）＝3x的图象在函数g（x）＝2x图象的上方，则f（x）＞g（x）.
4.4.58 解析：依题意将θ1＝100，θ0＝10，θ＝40代入公式θ＝θ0＋（θ1－θ0）e－0.24t， 可得e－0.24t＝，解得t＝≈4.58.
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4.4.3
不同函数增长的差异
新课程标准解读 核心素养
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型 数学抽象
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义 逻辑推理
3.能根据具体问题选择合适的函数模型 数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
1859年，有人从欧洲带进澳大利亚几只兔子，由于澳大利亚有茂盛
的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔
子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起
来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大
大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已.他
们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用
载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气.
【问题】 想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发
展到75亿只？
知识点 三种常见函数模型的增长差异
函数 性质 y ＝ ax （ a ＞1） y ＝log ax （ a ＞1） y ＝ kx
（ k ＞0）
在（0，＋∞） 上的增减性 单调 单调 单调
图象的变化 随 x 的增大逐渐
变“陡” 随 x 的增大逐渐
趋于稳定 增长速度不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
递增
递增
递增
函数 性质 y ＝ ax （ a ＞1） y ＝log ax （ a ＞1） y ＝ kx
（ k ＞0）
增长
速度 y ＝ ax （ a ＞1）的增长速度最终都会大大超过
的增长速度；总存在一个 x0，当 x ＞ x0时，恒有log ax ＜ kx
增长
结果 存在一个 x0，当 x ＞ x0时，有
y ＝ kx （ k
＞0）
ax ＞ kx ＞log ax
提醒 三种函数模型的再理解：①当描述增长速度变化很快时，常常
选用指数函数模型；②当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会
增长到很大时，常常选用对数函数模型.
1. 下列函数中随 x 的增大而增大且速度最快的是（ ）
A. y ＝e x B. y ＝ln x
C. y ＝2 x D. y ＝e－ x
2. 下列选项是四种生意预期的收益 y 关于时间 x 的函数，从足够长远
的角度看，更有前途的生意是（ ）
A. y ＝10×1.05 x B. y ＝20＋ x1.5
C. y ＝30＋lg（ x －1） D. y ＝50
解析： 由于给出的指数型函数的底数大于1，且系数为正数，
则其增长速度随着时间的推移越来越快，所以 y ＝10×1.05 x 是更
有前途的生意.故选A.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 几类函数模型增长的差异
【例1】 （1）下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A. y ＝2 024 x B. y ＝ x2 024
C. y ＝log2 024 x D. y ＝2 024 x
解析： 比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可
知，指数函数增长速度最快.
（2）三个变量 y1， y2， y3随着变量 x 的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与 x 呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依
次是（ ）
A. y1， y2， y3 B. y2， y1， y3
C. y3， y2， y1 D. y3， y1， y2
解析：由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，指数函
数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知， y1是幂函
数型函数， y2是指数型函数， y3是对数型函数，故选C.
通性通法
常见的函数模型及增长特点
（1）一次函数模型：一次函数模型 y ＝ kx ＋ b （ k ＞0）的增长特点是
直线上升，其增长速度不变；
（2）指数函数模型：指数函数模型 y ＝ ax （ a ＞1）的增长特点是随
着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急
剧，形象地称为“指数爆炸”；
（3）对数函数模型：对数函数模型 y ＝log ax （ a ＞1）的增长特点是
随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度
平缓；
（4）幂函数模型：幂函数 y ＝ xn （ n ＞0）的增长速度介于指数增长
和对数增长之间.
【跟踪训练】
下列函数中，增长速度越来越慢的是（ ）
A. y ＝6 x B. y ＝log6 x
C. y ＝ x2 D. y ＝6 x
解析： D中一次函数的增长速度不变；A、C中函数的增长速度越
来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.
题型二 几类函数模型的比较
【例2】 函数 f （ x ）＝2 x 和 g （ x ）＝ x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），且 x1＜ x2.
（1）请指出示意图中曲线 C1， C2分别对应哪一个函数；
解： C1对应的函数为 g （ x ）＝ x3， C2对应的函数为 f
（ x ）＝2 x .
（2）结合函数图象示意图，判断 f （6）， g （6）， f （2 024）， g
（2 024）的大小.
解：因为 f （1）＞ g （1）， f （2）＜ g （2）， f （9）＜ g
（9）， f （10）＞ g （10），
所以1＜ x1＜2，9＜ x2＜10，所以 x1＜6＜ x2，2 024＞ x2，
从图象上可以看出当 x1＜ x ＜ x2时， f （ x ）＜ g （ x ），
所以 f （6）＜ g （6）；
当 x ＞ x2时， f （ x ）＞ g （ x ），所以 f （2 024）＞ g （2 024）；
又因为 g （2 024）＞ g （6），
所以 f （2 024）＞ g （2 024）＞ g （6）＞ f （6）.
通性通法
由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图象判断指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函
数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指
数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数，图象呈直线上升的函数是
一次函数.
【跟踪训练】
函数 f （ x ）＝lg x ， g （ x ）＝0.3 x －1的图象如图所示：
（1）指出曲线 C1， C2分别对应题中哪一个函数；
解： C1对应的函数为 g （ x ）＝0.3 x
－1， C2对应的函数为 f （ x ）＝lg x .
（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对 f （ x ），
g （ x ）的大小进行比较）.
解： 当 x ∈（0， x1）时， g （ x ）＞ f
（ x ）；
当 x ∈（ x1， x2）时， g （ x ）＜ f （ x ）；
当 x ∈（ x2，＋∞）时， g （ x ）＞ f （ x ）.
题型三 函数模型的选择问题
【例3】 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量
依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这
三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量 y 与月序数 x 之间
的关系.对此模拟函数可选用二次函数 y ＝ f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c
（ a ， b ， c 均为待定系数， x ∈N*）或函数 y ＝ g （ x ）＝ pqx ＋ r
（ p ， q ， r 均为待定系数， x ∈N*），现在已知该厂这种新产品在第
四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数
较好？
解：根据题意可列方程组
解得
所以 y ＝ f （ x ）＝－5 x2＋35 x ＋70. ①
同理 y ＝ g （ x ）＝－80×0.5 x ＋140. ②
再将 x ＝4分别代入①式与②式得
f （4）＝－5×42＋35×4＋70＝130（t）， g （4）＝－80×0.54＋140
＝135（t）.
与 f （4）相比， g （4）在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所
以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数 y ＝ g （ x ）＝ pqx ＋ r
作为模拟函数较好.
通性通法
建立函数模型应遵循的三个原则
（1）简化原则：建立函数模型，模型一定要简化，抓主要因素，主
要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型；
（2）可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又
能计算、推理，且能得出正确结论；
（3）反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型
的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
【跟踪训练】
某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份 1 2 3
月产量（千件） 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函
数 y ＝ ax ＋ b 或 y ＝ ax ＋ b （ a ， b 为常数， a ＞0且 a ≠1）来模拟这种
电脑元件的月产量 y 千件与月份 x 的关系.请问：用以上哪个模拟函数
较好？说明理由.
解：将（1，50），（2，52）分别代入两解析式得
（ a ＞0且 a ≠1）
解得（两方程组的解相同）.
所以两函数分别为 y ＝2 x ＋48或 y ＝2 x ＋48.
当 x ＝3时，对于 y ＝2 x ＋48有 y ＝54；
对于 y ＝2 x ＋48有 y ＝56.
由于56与53.9的误差较大，所以选函数 y ＝ ax ＋ b 模拟较好.
1. 下列函数中，在（0，＋∞）上增长速度最快的是（ ）
A. y ＝ x2 B. y ＝log2 x
C. y ＝2 x D. y ＝2 x
2. 在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对 x ， y 最适合的拟合函数是（ ）
A. y ＝2 x B. y ＝ x2－1
C. y ＝2 x －2 D. y ＝log2 x
解析： 将 x ＝0.50代入计算，可以排除A；将 x ＝2.01代入计
算，可以排除B、C. 故选D.
3. 已知函数 f （ x ）＝3 x ， g （ x ）＝2 x ，当 x ∈R时， f （ x ）与 g
（ x ）的大小关系为 .
解析：在同一直角坐标系中画出函数 f （ x ）＝3
x ， g （ x ）＝2 x 的图象，如图所示，由于函数 f
（ x ）＝3 x 的图象在函数 g （ x ）＝2 x 图象的上
方，则 f （ x ）＞ g （ x ）.
f （ x ）＞ g （ x ）
4. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的
温度是θ0℃， t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋（θ1－
θ0）·e－0.24 t 求得.把温度是100 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却
t min后，物体的温度是40 ℃，那么 t 的值约等于 .（保留
三位有效数字，参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693）
解析：依题意将θ1＝100，θ0＝10，θ＝40代入公式θ＝θ0＋
（θ1－θ0）e－0.24 t ， 可得e－0.24 t ＝ ，解得 t ＝ ≈4.58.
4.58
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加
值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数 y
（万公顷）关于年数 x 的函数关系较为近似的是（ ）
A. y ＝0.2 x B. y ＝ （ x2＋2 x ）
C. y ＝ D. y ＝0.2＋log16 x
解析： 将 x ＝1，2，3， y ＝0.2，0.4，0.76分别代入验算.
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2. 某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是
（ ）
A. y ＝2 x －2 B. y ＝
C. y ＝log2 x D. y ＝ （ x2－1）
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解析： 法一 相邻的自变量之差从左到右依次大约为1，相邻
的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，抛
物线拟合程度最好，故选D.
法二 可以采用特殊值代入法，取某个 x 的值代入，再比较函数值是
否与表中数据相符.可取 x ＝4，经检验易知选D.
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3. 有一组实验数据如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型适合的是（ ）
A. y ＝log ax （ a ＞1） B. y ＝ ax ＋ b （ a ＞1）
C. y ＝ ax2＋ b （ a ＞0） D. y ＝log ax ＋ b （ a ＞1）
解析： 由所给数据可知 y 随 x 的增大而增大，且增长速度越来
越快，而A、D中的函数模型增长速度越来越慢，B中的函数模型
增长速度保持不变，故选C.
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4. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间
后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是
（ ）
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解析： 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越
来越近，故排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不
变，故排除D；后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.
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5. y1＝2 x ， y2＝ x2， y3＝log2 x ，当2＜ x ＜4时，有（ ）
A. y1＞ y2＞ y3 B. y2＞ y1＞ y3
C. y1＞ y3＞ y2 D. y2＞ y3＞ y1
解析：B 由题意可知，三个函数在区间（2，
4）上都是单调递增的，所以4＜ y1＜16，4＜
y2＜16，1＜ y3＜2，所以 y3最小，由函数 y1，
y2的图象可知，在区间（2，4）上，函数 y2的
图象恒在函数 y1的图象上方，所以 y2＞ y1＞ y3.
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6. （多选）下面对函数 f （ x ）＝lo x 与 g （ x ）＝ 在区间（0，
＋∞）上的衰减情况的说法中正确的有（ ）
A. f （ x ）的衰减速度越来越慢
B. f （ x ）的衰减速度越来越快
C. g （ x ）的衰减速度越来越慢
D. g （ x ）的衰减速度越来越快
解析： 在平面直角坐标系中画出 y ＝ f
（ x ）与 y ＝ g （ x ）的图象如图所示.由图象可
知， f （ x ）的衰减速度越来越慢， g （ x ）的
衰减速度也越来越慢.故选A、C.
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7. 函数 y ＝ x2与函数 y ＝ x ln x 在区间（1，＋∞）上增长较快的一个
是 .
解析：当 x 变大时， x 比ln x 增长要快，∴ x2要比 x ln x 增长的要快.
y ＝ x2
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解析：设2023年后的第 n 年该公司投入的研发资金为 y 万元，则 y
＝130（1＋12%） n .由130（1＋12%） n ＞200，得1.12 n ＞ ，两
边取对数，得 n ·lg 1.12＞lg 2－lg 1.3，∴ n ＞ ≈ ＝
3.8，又 n ∈N*，∴ n ≥4，∴从2027年开始，该公司全年投入的研
发资金开始超过200万元.
8. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年
全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比
上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元
的年份是 年.（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg
2≈0.30）
2027
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9. 生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）
时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹
配的图象，A对应 ；B对应 ；C对
应 ；D对应 .
（4）
（1）
（3）
（2）
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解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对
应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；
C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器
细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与（3）
对应，D容器水高度变化慢，与（2）对应.
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10. 1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、
木星和土星.科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：
AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规
律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星
（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出
了如下表所示的数据：
行星 编号 （ x ） 1（金
星） 2（地
球） 3（火
星） 4（ ） 5（木
星） 6（土
星）
离太阳的 距离（ y ） 0.7 1.0 1.6 5.21 10.01
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（1）为了描述行星离太阳的距离 y 与行星编号 x 之间的关系，根
据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，
从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型
（直接给出结论）.① y ＝ ax ＋ b ；② y ＝ a ×2 x ＋ b ；③ y ＝
a log2 x ＋ b .
解： 散点图如图所示，
根据散点图可知，模型②符合题
意.
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（2）根据你的选择，依表中前两组数据求出函数解析式，并用最
后两组数据检验模型的吻合情况.（误差小于0.2的为吻
合）；请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.
解： 将（1，0.7），（2，1），分别代入 y ＝ a ×2 x ＋b ，
得
解得 a ＝0.15， b ＝0.4，
所以 y ＝0.15×2 x ＋0.4（ x ∈N*）.
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当 x ＝5时， y ＝0.15×25＋0.4＝5.2，误差为5.21－5.2＝
0.01＜0.2，吻合，
当 x ＝6时， y ＝0.15×26＋0.4＝10，误差为10.01－10＝
0.01＜0.2，吻合，
所以，模型与数据吻合.
当 x ＝4时， y ＝0.15×24＋0.4＝2.8，即谷神星距太阳的距
离为2.8 AU.
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11. 下列函数图象中，估计有可能用函数 y ＝ a ＋ b lg x （ b ＞0）来模
拟的是（ ）
解析： 由于函数 y ＝lg x 在定义域内单调递增，且是上凸的，
又 b ＞0，所以当 x ＞0时， y ＝ a ＋ b lg x （ b ＞0）的图象是单调递
增且上凸的.
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12. 如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯
后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度 h 与注水时
间 t 之间的函数关系大致是（ ）
解析： 开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B图象相吻合.
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解析：由题意设 A （ n ，3 n ）， B （ m ，3 m ），由9 n
＝32 n ＝3 m 得 m ＝2 n ，解得 n ＝ ，则 C ，
A .又因为 A ， B ， O 三点共线，设直线
AB 对应的解析式为 y ＝ kx （ k ＞0），则
解得 m ＝2log32，所以 n ＝log32.所以点 A 的坐标为（log32，2）.
13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过原点 O 的直线与函数 y ＝3 x 的
图象交于 A ， B 两点，过 B 作 y 轴的垂线交函数 y ＝9 x 的图象于点
C . 若 AC 平行于 y 轴，则点 A 的坐标是 .
（log32，2）
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14. 假设有一套住房的房价从2013年的20万元上涨到2023年的40万元.
下表给出了两种价格增长方式，其中 P1是按直线上升的房价， P2
是按指数增长的房价， t 是2013年以来经过的年数.
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 40
P2/万元 20 40
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（1）求函数 P1＝ f （ t ）的解析式；
解： 设 f （ t ）＝ kt ＋ b （ k ≠0），
则
∴ P1＝ f （ t ）＝2 t ＋20.
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（2）求函数 P2＝ g （ t ）的解析式；
解： 设 g （ t ）＝ mat （ a ＞0，且 a ≠1），
则
∴ P2＝ g （ t ）＝20×（ ） t ＝20× .
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（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异.
解： 图象如图.
表格中的数据如下表所示：
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 30 40 50 60
P2/万元 20 20 40 40 80
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由图象可以看出，在前10年，按 P1增长的价格始终高于按
P2增长的价格，但10年后， P2价格增长速度很快，远远超出
P1的价格并且时间越长，差别越大.
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15. 如图是某受污染的湖泊在自然净
化过程中某种有害物质的残留量
y 与净化时间 t （月）的近似函数关系： y ＝ at （ t ≥0， a ＞0且 a
≠1）的图象.
有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于 ；②每月减少的有
害物质质量都相等；③若残留量为 ， ， 时，所经过的时间分
别是 t1， t2， t3，则 t1＋ t2＝ t3.其中所有正确叙述的序号是
.
①
③
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解析：根据题意，函数的图象经过点 ，故函数解析式为 y
＝ .当 t ＝4时， y ＝ ＜ ，故①正确；当 t ＝1时， y ＝ ，减
少了 ，当 t ＝2时， y ＝ ，减少了 ，每月减少的有害物质质量
不相等，故②不正确；分别令 y ＝ ， ， ，解得 t1＝lo ， t2
＝lo ， t3＝lo ，则 t1＋ t2＝ t3，故③正确.
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16. 科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000
万元的投资收益目标，准备制订一个激励研发人员的奖励方案：
当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金 y
（单位：万元）随投资收益 x （单位：万元）的增加而增加，奖
金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.
（1）现有三个奖励函数模型：① f （ x ）＝0.03 x ＋8，② f （ x ）
＝0.8 x ＋200，③ f （ x ）＝100log20 x ＋50， x ∈[3 000，9
000]，试分析这三个函数模型是否符合公司要求；
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解：由题意符合公司要求的函数 f （ x ）在[3 000，9 000]上单调递增，且 x ∈[3 000，9 000]，恒有 f （ x ）≥100且 f （ x ）≤ .
对于①，函数 f （ x ）＝0.03 x ＋8，当 x ＝3 000时， f （3 000）＝98＜100，不符合要求；
对于②，函数 f （ x ）＝0.8 x ＋200为减函数，不符合要求；
对于③，函数 f （ x ）＝100log20 x ＋50在[3 000，9 000]上单
调递增，
且当 x ＝3 000时， f （3 000）＞100×log203 000＋50≥100，
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又因为 f （ x ）≤ f （9 000）＝100log209 000＋50＜
100·log20160 000＋50＝450，而 ≥ ＝600，
所以当 x ∈[3 000，9 000]时， f （ x ）max≤（ ）min，所以 f
（ x ）≤ 恒成立.
因此， f （ x ）＝100log20 x ＋50为满足条件的函数模型.
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（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350
万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？
解： 由100log20 x ＋50≥350得log20 x ≥3，所以 x ≥8 000，
所以要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到
8 000万元.
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