4.5.1 函数的零点与方程的解
1.函数f（x）＝lg｜x｜的零点是（ ）
A.（1，0） B.（1，0）和（－1，0）
C.1 D.1和－1
2.有以下三个命题：
①“方程f（x）＝0有实数解”是“函数y＝f（x）有零点”的充要条件；
②“方程f（x）＝0有实数解”是“函数y＝f（x）的图象与x轴有交点”的充要条件；
③“函数y＝f（x）有零点”是“函数y＝f（x）的图象与x轴有交点”的充要条件.
其中正确命题的个数是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
3.函数f（x）＝2x－3的零点所在的区间是（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
4.已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下x，f（x）的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f（x） 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（ ）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
5.（多选）下列函数存在零点的是（ ）
A.y＝x－
B.y＝
C.y＝logax2（a＞0且a≠1）
D.y＝
6.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.函数f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为（－1，0）
B.函数f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1
C.函数f（x）的零点，即函数f（x）的图象与x轴的交点
D.函数f（x）的零点，即函数f（x）的图象与x轴的交点的横坐标
7.已知函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是 .
8.请写出同时满足以下条件的一个函数： .
①该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；
②该函数是偶函数；
③该函数恰有2个零点.
9.方程（）x－＝0的解的个数为 .
10.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点：
（1）f（x）＝－x2＋2x－1；
（2）f（x）＝x4－x2；
（3）f（x）＝4x＋5；
（4）f（x）＝log3（x＋1）.
11.若函数f（x）在定义域{x｜x∈R且x≠0}上是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，f（2）＝0，则函数f（x）的零点（ ）
A.只有一个 B.只有两个
C.至少有两个 D.无法判断
12.已知函数f（x）＝若k＞0，则函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
13.已知函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是 .（用“＜”连接）
14.已知函数f（x）＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g（x）＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间.
15.（多选）已知定义域和值域均为[－a，a]（a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解
B.方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解
C.方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解
D.方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解
16.已知二次函数f（x）满足f（0）＝1，且f（x＋1）－f（x）＝2x－1，g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）＝f（x）.
（1）求f（x）的解析式；
（2）在给定的坐标系内画出g（x）的图象；
（3）讨论函数h（x）＝g（x）－t（t∈R）的零点个数.
4.5.1 函数的零点与方程的解
1.D 函数f（x）的定义域为{x｜x≠0}，令f（x）＝0，则lg｜x｜＝0，解得x＝±1，即函数f（x）的零点是1和－1.
2.D 方程f（x）＝0有实数解 函数y＝f（x）有零点 函数y＝f（x）的图象与x轴有交点，故命题①②③均正确，故选D.
3.B 因为f（1）＝2－3＝－1＜0，f（2）＝4－3＝1＞0，所以f（1）·f（2）＜0，即f（x）的零点所在的区间为（1，2）.
4.B 由题表可知f（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＜0，f（4）·f（5）＜0，又函数f（x）的图象是连续不断的，故f（x）在区间[1，6]上至少有3个零点.
5.ABC 令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；选项B中函数的零点为－和1；只有选项D中函数无零点.
6.BD 根据函数零点的定义，可知f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，即函数f（x）的图象与x轴的交点的横坐标.因此B、D正确.
7.－，－ 解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2，3，∴即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－，－，即为函数g（x）的零点.
8.f（x）＝x2－1（答案不唯一） 解析：因为函数为定义在R上的偶函数，且恰有两个零点，故可取f（x）＝x2－1（答案不唯一）.
9.2 解析：方程（）x－＝0的解的个数，即函数y＝（）x和函数y＝的图象的交点个数，如图所示.数形结合可得，函数y＝（）x和函数y＝的图象的交点个数为2，故方程（）x－＝0的解的个数为2.
10.解：（1）令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，
所以函数f（x）＝－x2＋2x－1的零点为1.
（2）令f（x）＝x2（x－1）（x＋1）＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数 f（x）＝x4－x2的零点为0，－1和1.
（3）令4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x＞0，－5＜0，所以方程4x＋5＝0无实数解.
所以函数f（x）＝4x＋5不存在零点.
（4）令log3（x＋1）＝0，解得x＝0，
所以函数f（x）＝log3（x＋1）的零点为0.
11.B 因为f（x）在（0，＋∞）上单调递减，f（2）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上有且仅有一个零点2.又f（x）是偶函数，所以f（x）在（－∞，0）上有且仅有一个零点－2.故函数f（x）只有两个零点－2和2.
12.D 法一 令y＝｜f（x）｜－1＝0，得｜f（x）｜＝1，即f（x）＝1或f（x）＝－1.当x＞0时，由ln x＝1或ln x＝－1，得x＝e或x＝；当x≤0时，由kx＋2＝1或kx＋2＝－1，得x＝－＜0或x＝－＜0.则函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是4.
法二 y＝f（x）的图象如图①所示，
故y＝｜f（x）｜的图象如图②所示.
令y＝｜f（x）｜－1＝0，即｜f（x）｜＝1，y＝｜f（x）｜的图象与y＝1有4个交点，故函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是4.
13.a＜b＜c 解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.
14.解：∵－1和2是函数f（x）＝x2＋ax＋b的零点，
∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的两个实数解，
∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2.
∴g（x）＝－x3－2x＋4.
∵g（1）＝1，g（2）＝－8，g（1）g（2）＜0，
∴g（x）在区间（1，2）内有零点.
又∵g（x）在R上是单调函数，
∴g（x）只有一个零点.
综上可知，函数g（x）的零点所在的大致区间为（1，2）.
15.AD 设f（x）的零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3.由f[g（x）]＝0，得g（x）＝x1或g（x）＝x2或g（x）＝x3.由g（x）的图象可知满足条件的x的值有三个.故方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解，故A正确；同理，f[f（x）]＝0最多有九个解，故C错误；因为g（x）＝0有一个解，又g（x）每个对应的值只有一个相应的解，故g[g（x）]＝0有且仅有一个解，而g[f（x）]＝0最多有三个解，故B错误，D正确.
16.解：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则f（0）＝c＝1，
因为f（x＋1）－f（x）＝[a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1]－（ax2＋bx＋1）＝2ax＋a＋b，
故2ax＋a＋b＝2x－1，
所以解得
因此f（x）＝x2－2x＋1.
（2）当x≥0时，g（x）＝f（x）＝x2－2x＋1，
当x＜0时，－x＞0，则g（－x）＝（－x）2－2（－x）＋1＝x2＋2x＋1，
因为g（x）为偶函数，故g（－x）＝g（x），
故g（x）＝x2＋2x＋1，x＜0，
综上，g（x）＝
函数g（x）的图象如图所示：
（3）由图可知，g（1）＝g（－1）＝0，g（0）＝1，
当t＜0时，函数h（x）没有零点；
当t＝0时，函数h（x）有两个零点；
当0＜t＜1时，函数h（x）有四个零点；
当t＝1时，函数h（x）有三个零点；
当t＞1时，函数h（x）有两个零点.
3 / 34.5 函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的解
新课程标准解读 核心素养
1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系 数学抽象、直观想象
2.了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数 直观想象、逻辑推理
奇奇，小东，小明，妙妙是要好的四位同学，他们的家都住在同一小河的附近，且具体位置如图所示，周末奇奇同学要骑自行车去妙妙家里玩.
【问题】 依据以下四种情境，画出奇奇同学的骑行较近路线的轨迹，并推断他与小河有过几次接触？
情境1：奇奇同学骑车直接去了妙妙家；
情境2：奇奇同学骑车到小河边的小东家约小东同学一起去妙妙家；
情境3：奇奇同学过桥到河对岸的小明家，约小明一起去妙妙家；
情境4：奇奇同学到河边小东家约了小东又过桥到了小明家，而后三人相约一起到妙妙家玩.
知识点一 函数的零点
1.概念：使 的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的实数解的关系：
提醒 （1）函数的零点是实数，而不是点.如函数f（x）＝x＋1的零点是－1，而不是（－1，0）；（2）并不是所有的函数都有零点，如函数f（x）＝，y＝x2＋1均没有零点；（3）若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内.
知识点二 函数零点存在定理
1.条件：函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 .
2.结论：函数y＝f（x）在区间（a，b）内 零点，即 ，使f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解.
【想一想】
1.函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f（a）f（b）＜0时，能否判断函数在区间（a，b）上的零点个数？
2.函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点，是不是一定有f（a）·f（b）＜0？
1.下列图象表示的函数中有两个零点的是（ ）
2.函数f（x）＝2x2－3x＋1的零点是（ ）
A.－，－1 B.，1
C.，－1 D.－，1
3.方程x3－3x－3＝0的根x0所在的范围为（ ）
A.－1＜x0＜0 B.0＜x0＜1
C.1＜x0＜2 D.2＜x0＜3
题型一 求函数的零点
【例1】 （1）（多选）方程（x2－4）＝0的解可以是（ ）
A.x＝－2 B.x＝－
C.x＝ D.x＝2
（2）已知函数f（x）＝ax－b（a≠0）的零点为3，则函数g（x）＝bx2＋ax的零点为 .
通性通法
函数零点的求法
（1）代数法：求方程f（x）＝0的实数根；
（2）几何法：对于不能用求根公式的方程f（x）＝0，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
【跟踪训练】
函数f（x）＝的所有零点构成的集合为（ ）
A.{1} B.{－1}
C.{－1，1} D.{－1，0，1}
题型二 函数零点所在区间问题
【例2】 f（x）＝ex＋x－2的零点所在的区间是（ ）
A.（－2，－1） B.（－1，0）
C.（0，1） D.（1，2）
通性通法
确定函数f（x）零点所在区间的常用方法
（1）解方程法：当对应方程f（x）＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；
（2）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点；
（3）数形结合法：通过函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【跟踪训练】
函数f（x）＝2x－的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
题型三 函数零点个数问题
【例3】 函数f（x）＝的零点个数为（ ）
A.3 B.2
C.1 D.0
通性通法
判断函数零点个数的4种常用方法
（1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点；
（2）画出函数y＝f（x）的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数；
（3）结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f（x）在（a，b）上零点的个数；
（4）转化成两个函数图象的交点问题.
【跟踪训练】
函数f（x）＝ln x＋x2－3的零点个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
1.函数f（x）＝x2－8x＋16的零点是（ ）
A.（0，4） B.（4，0）
C.4 D.8
2.已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4
f（x） 6.1 2.9 －3.5 －1
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（ ）
A.（－∞，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
3.对于函数f（x），若f（－1）f（3）＜0，则（ ）
A.方程f（x）＝0一定有一实数解
B.方程f（x）＝0一定无实数解
C.方程f（x）＝0一定有两实根
D.方程f（x）＝0可能无实数解
4.函数f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）的零点有 个.
4.5.1 函数的零点与方程的解
【基础知识·重落实】
知识点一
1.f（x）＝0 2.x轴 f（x）＝0
知识点二
1.f（a）f（b）＜0
2.至少有一个 存在c∈（a，b）
想一想
1.提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数.
2.提示：不一定，如f（x）＝x2在区间（－1，1）上有零点0，但是f（－1）f（1）＝1×1＝1＞0.
自我诊断
1.D 有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故选D.
2.B 方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f（x）＝2x2－3x＋1的零点是，1，故选B.
3.D 令f（x）＝x3－3x－3，∵f（－1）＝（－1）3－3×（－1）－3＝－1＜0，f（0）＝－3＜0，f（1）＝13－3×1－3＝－5＜0，f（2）＝23－3×2－3＝－1＜0，f（3）＝33－3×3－3＝15＞0，∴f（2）·f（3）＜0，∴2＜x0＜3.故选D.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）CD （2）0，－ 解析：（1）由方程（x2－4）＝0，得x2－4＝0或2x－1＝0，解得x＝±2或x＝，又由2x－1≥0，解得x≥，所以方程（x2－4）＝0的解为x＝2或x＝.
（2）由已知得f（3）＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，故g（x）＝3ax2＋ax＝ax（3x＋1）.令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，解得x＝0或x＝－.所以函数g（x）＝bx2＋ax的零点为0，－.
跟踪训练
C 当x≤0时，f（x）＝x＋1＝0 x＝－1；当x＞0时，f（x）＝log2x＝0 x＝1，所以函数f（x）的所有零点构成的集合为{－1，1}.
【例2】 C 法一 ∵f（0）＝－1＜0，f（1）＝e－1＞0，∴f（x）在（0，1）内有零点.
法二 ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间.如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为（0，1）.
跟踪训练
B ∵f＝－2＜0，f（1）＝2－1＝1＞0，∴ff（1）＜0，∴函数的零点所在的区间是.
【例3】 B 当x≤0时，令f（x）＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1（舍去）.当x＞0时，令f（x）＝0，即x－2＋ln x＝0，即ln x＝－x＋2.在同一直角坐标系中作出两函数y＝ln x与y＝－x＋2（x＞0）的图象，如图，由图可知两图象只有一个交点.综上可知，函数f（x）的零点个数为2.
跟踪训练
B 法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数.在同一平面直角坐标系中，作出两函数的图象（如图）.由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个根，即函数f（x）＝ln x＋x2－3只有一个零点.
法二 由于f（1）＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f（2）＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，所以f（1）f（2）＜0，又f（x）＝ln x＋x2－3的图象是连续的，所以f（x）在（1，2）上必有零点，又f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以f（x）只有一个零点.
随堂检测
1.C 由f（x）＝x2－8x＋16＝0，得x＝4，所以函数f（x）＝x2－8x＋16的零点是4，故选C.
2.C 由表可知f（1）f（2）＞0，f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＞0，由函数零点存在定理可知f（x）一定存在零点的区间是（2，3）.故选C.
3.D ∵函数f（x）的图象在（－1，3）上未必连续，故尽管有f（－1）f（3）＜0，但方程f（x）＝0在（－1，3）上可能无实数解.
4.3 解析：∵f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）＝（x－1）（x＋5）（x－2），∴由f（x）＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
4 / 4(共56张PPT)
4.5.1
函数的零点与方程的解
新课程标准解读 核心素养
1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系 数学抽象、
直观想象
2.了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数 直观想象、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
奇奇，小东，小明，妙妙是要好的四位同学，他们的家都住在同
一小河的附近，且具体位置如图所示，周末奇奇同学要骑自行车去妙
妙家里玩.
【问题】 依据以下四种情境，画出奇奇同学的骑行较近路线的轨
迹，并推断他与小河有过几次接触？
情境1：奇奇同学骑车直接去了妙妙家；
情境2：奇奇同学骑车到小河边的小东家约小东同学一起去妙妙家；
情境3：奇奇同学过桥到河对岸的小明家，约小明一起去妙妙家；
情境4：奇奇同学到河边小东家约了小东又过桥到了小明家，而后三
人相约一起到妙妙家玩.
知识点一 函数的零点
1. 概念：使 的实数 x 叫做函数 y ＝ f （ x ）的零点.
2. 函数的零点、函数的图象与 x 轴的交点、对应方程的实数解的
关系：
f （ x ）＝0
提醒 （1）函数的零点是实数，而不是点.如函数 f （ x ）＝ x ＋1
的零点是－1，而不是（－1，0）；（2）并不是所有的函数都有零
点，如函数 f （ x ）＝ ， y ＝ x2＋1均没有零点；（3）若函数有零
点，则零点一定在函数的定义域内.
知识点二 函数零点存在定理
1. 条件：函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是一条连续不断的
曲线，且有 .
2. 结论：函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）内 零点，
即 ，使 f （ c ）＝0，这个 c 也就是方程 f
（ x ）＝0的解.
f （ a ） f （ b ）＜0
至少有一个
存在 c ∈（ a ， b ）
【想一想】
1. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是连续不断的一条曲
线， f （ a ） f （ b ）＜0时，能否判断函数在区间（ a ， b ）上
的零点个数？
提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数.
2. 函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）上有零点，是不是一定有 f
（ a ）· f （ b ）＜0？
提示：不一定，如 f （ x ）＝ x2在区间（－1，1）上有零点0，但是 f
（－1） f （1）＝1×1＝1＞0.
1. 下列图象表示的函数中有两个零点的是（ ）
解析： 有两个零点就是函数图象与 x 轴有两个交点，故选D.
2. 函数 f （ x ）＝2 x2－3 x ＋1的零点是（ ）
解析： 方程2 x2－3 x ＋1＝0的两根分别为 x1＝1， x2＝ ，所以
函数 f （ x ）＝2 x2－3 x ＋1的零点是 ，1，故选B.
3. 方程 x3－3 x －3＝0的根 x0所在的范围为（ ）
A. －1＜ x0＜0 B. 0＜ x0＜1
C. 1＜ x0＜2 D. 2＜ x0＜3
解析： 令 f （ x ）＝ x3－3 x －3，∵ f （－1）＝（－1）3－3×
（－1）－3＝－1＜0， f （0）＝－3＜0， f （1）＝13－3×1－3＝
－5＜0， f （2）＝23－3×2－3＝－1＜0， f （3）＝33－3×3－3＝
15＞0，∴ f （2）· f （3）＜0，∴2＜ x0＜3.故选D.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求函数的零点
【例1】 （1）（多选）方程（ x2－4） ＝0的解可以是（ ）
A. x ＝－2
D. x ＝2
解析： 由方程（ x2－4） ＝0，得 x2－4＝0或2 x －1
＝0，解得 x ＝±2或 x ＝ ，又由2 x －1≥0，解得 x ≥ ，所以方
程（ x2－4） ＝0的解为 x ＝2或 x ＝ .
（2）已知函数 f （ x ）＝ ax － b （ a ≠0）的零点为3，则函数 g （ x ）
＝ bx2＋ ax 的零点为 .
解析： 由已知得 f （3）＝0，即3 a － b ＝0，则 b ＝3 a ，故
g （ x ）＝3 ax2＋ ax ＝ ax （3 x ＋1）.令 g （ x ）＝0，即 ax （3 x
＋1）＝0，解得 x ＝0或 x ＝－ .所以函数 g （ x ）＝ bx2＋ ax 的
零点为0，－ .
0，－
通性通法
函数零点的求法
（1）代数法：求方程 f （ x ）＝0的实数根；
（2）几何法：对于不能用求根公式的方程 f （ x ）＝0，可以将它与函
数 y ＝ f （ x ）的图象联系起来.图象与 x 轴的交点的横坐标即为
函数的零点.
【跟踪训练】
函数 f （ x ）＝的所有零点构成的集合为（ ）
A. {1} B. {－1}
C. {－1，1} D. {－1，0，1}
解析： 当 x ≤0时， f （ x ）＝ x ＋1＝0 x ＝－1；当 x ＞0时， f
（ x ）＝log2 x ＝0 x ＝1，所以函数 f （ x ）的所有零点构成的集合为
{－1，1}.
题型二 函数零点所在区间问题
【例2】 f （ x ）＝e x ＋ x －2的零点所在的区间是（ ）
A. （－2，－1） B. （－1，0）
C. （0，1） D. （1，2）
解析： 法一 ∵ f （0）＝－1＜0， f （1）＝e－1
＞0，∴ f （ x ）在（0，1）内有零点.
法二 e x ＋ x －2＝0，即e x ＝2－ x ，∴原函数的零点所在区间即为函
数 y ＝e x 和 y ＝2－ x 的图象交点的横坐标所在的区间.如图，由图象可
得函数 y ＝e x 和 y ＝2－ x 的图象交点所在的区间为（0，1）.
通性通法
确定函数 f （ x ）零点所在区间的常用方法
（1）解方程法：当对应方程 f （ x ）＝0易解时，可先解方程，再看求
得的根是否落在给定区间上；
（2）利用函数零点存在定理：首先看函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]
上的图象是否连续，再看是否有 f （ a ）· f （ b ）＜0.若有，则
函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）内必有零点；
（3）数形结合法：通过函数图象与 x 轴在给定区间上是否有交点
来判断.
【跟踪训练】
函数 f （ x ）＝2 x － 的零点所在的区间是（ ）
解析： ∵ f ＝ －2＜0， f （1）＝2－1＝1＞0，∴ f f （1）
＜0，∴函数的零点所在的区间是 .
题型三 函数零点个数问题
【例3】 函数 f （ x ）＝的零点个数为（ ）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
解析： 当 x ≤0时，令 f （ x ）＝0，即 x2＋2 x －3＝
0，解得 x1＝－3， x2＝1（舍去）.当 x ＞0时，令 f
（ x ）＝0，即 x －2＋ln x ＝0，即ln x ＝－ x ＋2.在同一
直角坐标系中作出两函数 y ＝ln x 与 y ＝－ x ＋2（ x ＞
0）的图象，如图，由图可知两图象只有一个交点.综上可知，函数 f （ x ）的零点个数为2.
通性通法
判断函数零点个数的4种常用方法
（1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个
零点；
（2）画出函数 y ＝ f （ x ）的图象，判定它与 x 轴的交点个数，从而判
定零点的个数；
（3）结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定 y ＝ f （ x ）在
（ a ， b ）上零点的个数；
（4）转化成两个函数图象的交点问题.
【跟踪训练】
函数 f （ x ）＝ln x ＋ x2－3的零点个数为（ ）
A. 0 B. 1
解析：B 法一 函数对应的方程为ln x ＋ x2－3＝
0，所以原函数零点的个数即为函数 y ＝ln x 与 y ＝3
－ x2的图象交点的个数.在同一平面直角坐标系中，
作出两函数的图象（如图）.由图象知，函数 y ＝3－ x2与 y ＝ln x 的图象只有一个交点.从而方程ln x ＋ x2－3＝0只有一个根，即函数 f （ x ）＝ln x ＋ x2－3只有一个零点.
C. 2 D. 3
法二 由于 f （1）＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f （2）＝ln 2＋22－3＝ln
2＋1＞0，所以 f （1） f （2）＜0，又 f （ x ）＝ln x ＋ x2－3的图象是连
续的，所以 f （ x ）在（1，2）上必有零点，又 f （ x ）在（0，＋∞）
上是增函数，所以 f （ x ）只有一个零点.
1. 函数 f （ x ）＝ x2－8 x ＋16的零点是（ ）
A. （0，4） B. （4，0）
C. 4 D. 8
解析： 由 f （ x ）＝ x2－8 x ＋16＝0，得 x ＝4，所以函数 f （ x ）
＝ x2－8 x ＋16的零点是4，故选C.
2. 已知定义在R上的函数 f （ x ）的图象是连续不断的，且有如下对应
值表：
x 1 2 3 4
f （ x ） 6.1 2.9 －3.5 －1
那么函数 f （ x ）一定存在零点的区间是（ ）
A. （－∞，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
解析： 由表可知 f （1） f （2）＞0， f （2） f （3）＜0， f （3）
f （4）＞0，由函数零点存在定理可知 f （ x ）一定存在零点的区间
是（2，3）.故选C.
3. 对于函数 f （ x ），若 f （－1） f （3）＜0，则（ ）
A. 方程 f （ x ）＝0一定有一实数解
B. 方程 f （ x ）＝0一定无实数解
C. 方程 f （ x ）＝0一定有两实根
D. 方程 f （ x ）＝0可能无实数解
解析： ∵函数 f （ x ）的图象在（－1，3）上未必连续，故尽管
有 f （－1） f （3）＜0，但方程 f （ x ）＝0在（－1，3）上可能无
实数解.
4. 函数 f （ x ）＝（ x －1）（ x2＋3 x －10）的零点有 个.
解析：∵ f （ x ）＝（ x －1）（ x2＋3 x －10）＝（ x －1）·（ x ＋
5）（ x －2），∴由 f （ x ）＝0得 x ＝－5或 x ＝1或 x ＝2.
3
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝lg｜ x ｜的零点是（ ）
A. （1，0） B. （1，0）和（－1，0）
C. 1 D. 1和－1
解析： 函数 f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ≠0}，令 f （ x ）＝0，则
lg｜ x ｜＝0，解得 x ＝±1，即函数 f （ x ）的零点是1和－1.
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2. 有以下三个命题：
①“方程 f （ x ）＝0有实数解”是“函数 y ＝ f （ x ）有零点”的充
要条件；②“方程 f （ x ）＝0有实数解”是“函数 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴有交点”的充要条件；③“函数 y ＝ f （ x ）有零点”是“函数 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴有交点”的充要条件.
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
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解析： 方程 f （ x ）＝0有实数解 函数 y ＝ f （ x ）有零点 函
数 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴有交点，故命题①②③均正确，故选D.
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3. 函数 f （ x ）＝2 x －3的零点所在的区间是（ ）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
解析： 因为 f （1）＝2－3＝－1＜0， f （2）＝4－3＝1＞0，所
以 f （1）· f （2）＜0，即 f （ x ）的零点所在的区间为（1，2）.
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4. 已知函数 f （ x ）的图象是连续不断的，有如下 x ， f （ x ）的对应
值表：
x 1 2 3 4 5 6
f （ x ） 15 10 －7 6 －4 －5
则函数 f （ x ）在区间[1，6]上的零点至少有（ ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
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解析： 由题表可知 f （2）· f （3）＜0， f （3）· f （4）＜0， f
（4）· f （5）＜0，又函数 f （ x ）的图象是连续不断的，故 f （ x ）
在区间[1，6]上至少有3个零点.
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5. （多选）下列函数存在零点的是（ ）
C. y ＝log ax2（ a ＞0且 a ≠1）
解析：ABC 令 y ＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；
选项B中函数的零点为－ 和1；只有选项D中函数无零点.
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6. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 函数 f （ x ）＝ x ＋1， x ∈[－2，0]的零点为（－1，0）
B. 函数 f （ x ）＝ x ＋1， x ∈[－2，0]的零点为－1
C. 函数 f （ x ）的零点，即函数 f （ x ）的图象与 x 轴的交点
D. 函数 f （ x ）的零点，即函数 f （ x ）的图象与 x 轴的交点的横坐标
解析：BD 根据函数零点的定义，可知 f （ x ）＝ x ＋1， x ∈[－
2，0]的零点为－1，即函数 f （ x ）的图象与 x 轴的交点的横坐标.
因此B、D正确.
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7. 已知函数 f （ x ）＝ x2－ ax － b 的两个零点是2和3，则函数 g （ x ）
＝ bx2－ ax －1的零点是 .
解析：由题意知，方程 x2－ ax － b ＝0的两根为2，3，
∴即 a ＝5， b ＝－6，∴方程 bx2－ ax －1＝－6 x2－5
x －1＝0的根为－ ，－ ，即为函数 g （ x ）的零点.
－ ，－
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8. 请写出同时满足以下条件的一个函数：
.
①该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；
②该函数是偶函数；
f （ x ）＝ x2－1（答案不
唯一）
③该函数恰有2个零点.
解析：因为函数为定义在R上的偶函数，且恰有两个零点，故可取
f （ x ）＝ x2－1（答案不唯一）.
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9. 方程（ ） x － ＝0的解的个数为 .
解析：方程（ ） x － ＝0的解的个数，
即函数 y ＝（ ） x 和函数 y ＝ 的图象的
交点个数，如图所示.数形结合可得，函数 y ＝
（ ） x 和函数 y ＝ 的图象的交点个数为2，故方程（ ） x － ＝0的解的个数为2.
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10. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点：
（1） f （ x ）＝－ x2＋2 x －1；
解： 令－ x2＋2 x －1＝0，解得 x1＝ x2＝1，
所以函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x －1的零点为1.
（2） f （ x ）＝ x4－ x2；
解： 令 f （ x ）＝ x2（ x －1）（ x ＋1）＝0，
解得 x ＝0或 x ＝1或 x ＝－1，
故函数 f （ x ）＝ x4－ x2的零点为0，－1和1.
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（3） f （ x ）＝4 x ＋5；
解： 令4 x ＋5＝0，则4 x ＝－5，
因为4 x ＞0，－5＜0，所以方程4 x ＋5＝0无实数解.
所以函数 f （ x ）＝4 x ＋5不存在零点.
（4） f （ x ）＝log3（ x ＋1）.
解： 令log3（ x ＋1）＝0，解得 x ＝0，
所以函数 f （ x ）＝log3（ x ＋1）的零点为0.
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11. 若函数 f （ x ）在定义域{ x ｜ x ∈R且 x ≠0}上是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减， f （2）＝0，则函数 f （ x ）的零点（ ）
A. 只有一个 B. 只有两个
C. 至少有两个 D. 无法判断
解析： 因为 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减， f （2）＝0，
所以 f （ x ）在（0，＋∞）上有且仅有一个零点2.又 f （ x ）是偶
函数，所以 f （ x ）在（－∞，0）上有且仅有一个零点－2.故函
数 f （ x ）只有两个零点－2和2.
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12. 已知函数 f （ x ）＝若 k ＞0，则函数 y ＝｜ f
（ x ）｜－1的零点个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析： 法一 令 y ＝｜ f （ x ）｜－1＝0，得｜ f （ x ）｜＝1，
即 f （ x ）＝1或 f （ x ）＝－1.当 x ＞0时，由ln x ＝1或ln x ＝－1，
得 x ＝e或 x ＝ ；当 x ≤0时，由 kx ＋2＝1或 kx ＋2＝－1，得 x ＝
－ ＜0或 x ＝－ ＜0.则函数 y ＝｜ f （ x ）｜－1的零点个数是4.
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法二 y ＝ f （ x ）的图象如图①所示，
故 y ＝｜ f （ x ）｜的图象如图②所示.
令 y ＝｜ f （ x ）｜－1＝0，即｜ f （ x ）｜＝1， y ＝｜ f （ x ）｜的图
象与 y ＝1有4个交点，故函数 y ＝｜ f （ x ）｜－1的零点个数是4.
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13. 已知函数 f （ x ）＝3 x ＋ x ， g （ x ）＝log3 x ＋2， h （ x ）＝log3 x
＋ x 的零点依次为 a ， b ， c ，则 a ， b ， c 的大小关系是
.（用“＜”连接）
解析：画出函数 y ＝3 x ， y ＝log3 x ， y ＝－
x ， y ＝－2的图象，如图所示，观察图象可
知，函数 f （ x ）＝3 x ＋ x ， g （ x ）＝log3 x
＋2， h （ x ）＝log3 x ＋ x 的零点依次是点
A ， B ， C 的横坐标，由图象可知 a ＜ b ＜
c .
a ＜ b
＜ c
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14. 已知函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 的零点是－1和2，判断函数 g （ x ）
＝ ax3＋ bx ＋4的零点所在的大致区间.
解：∵－1和2是函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 的零点，
∴－1和2是 x2＋ ax ＋ b ＝0的两个实数解，
∴－1＋2＝－ a ，－1×2＝ b ，即 a ＝－1， b ＝－2.
∴ g （ x ）＝－ x3－2 x ＋4.
∵ g （1）＝1， g （2）＝－8， g （1） g （2）＜0，
∴ g （ x ）在区间（1，2）内有零点.
又∵ g （ x ）在R上是单调函数，∴ g （ x ）只有一个零点.
综上可知，函数 g （ x ）的零点所在的大致区间为（1，2）.
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15. （多选）已知定义域和值域均为[－ a ， a ]（ a ＞0）的函数 y ＝ f
（ x ）和 y ＝ g （ x ）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 方程 f [ g （ x ）]＝0有且仅有三个解
B. 方程 g [ f （ x ）]＝0有且仅有三个解
C. 方程 f [ f （ x ）]＝0有且仅有九个解
D. 方程 g [ g （ x ）]＝0有且仅有一个解
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解析： 设 f （ x ）的零点为 x1， x2， x3，且 x1＜ x2＜ x3.由 f [ g
（ x ）]＝0，得 g （ x ）＝ x1或 g （ x ）＝ x2或 g （ x ）＝ x3.由 g
（ x ）的图象可知满足条件的 x 的值有三个.故方程 f [ g （ x ）]＝0
有且仅有三个解，故A正确；同理， f [ f （ x ）]＝0最多有九个
解，故C错误；因为 g （ x ）＝0有一个解，又 g （ x ）每个对应的
值只有一个相应的解，故 g [ g （ x ）]＝0有且仅有一个解，而 g [ f
（ x ）]＝0最多有三个解，故B错误，D正确.
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16. 已知二次函数 f （ x ）满足 f （0）＝1，且 f （ x ＋1）－ f （ x ）＝2
x －1， g （ x ）为偶函数，且当 x ≥0时， g （ x ）＝ f （ x ）.
（1）求 f （ x ）的解析式；
解： 设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c
（ a ≠0），则 f （0）＝ c ＝1，
因为 f （ x ＋1）－ f （ x ）＝[ a （ x
＋1）2＋ b （ x ＋1）＋1]－（ ax2＋
bx ＋1）＝2 ax ＋ a ＋ b ，
故2 ax ＋ a ＋ b ＝2 x －1，
所以解得因此 f （ x ）＝ x2－2 x ＋1.
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（2）在给定的坐标系内画出 g （ x ）的图象；
解： 当 x ≥0时， g （ x ）＝ f
（ x ）＝ x2－2 x ＋1，
当 x ＜0时，－ x ＞0，则 g （－ x ）
＝（－ x ）2－2（－ x ）＋1＝ x2＋2
x ＋1，
因为 g （ x ）为偶函数，故 g （－ x ）
＝ g （ x ），故 g （ x ）＝ x2＋2 x ＋1，
x ＜0，综上， g （ x ）＝
函数 g （ x ）的图象如图所示：
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（3）讨论函数 h （ x ）＝ g （ x ）－ t （ t ∈R）的零点个数.
解：由图可知， g （1）＝ g （－1）＝0， g （0）＝1，
当 t ＜0时，函数 h （ x ）没有零点；
当 t ＝0时，函数 h （ x ）有两个零点；
当0＜ t ＜1时，函数 h （ x ）有四个零点；
当 t ＝1时，函数 h （ x ）有三个零点；
当 t ＞1时，函数 h （ x ）有两个零点.
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谢 谢 观 看！
