4.5.2 用二分法求方程的近似解
1.用二分法求如图所示的函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
2.用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是（ ）
A.｜a－b｜＜0.1 B.｜a－b｜＜0.001
C.｜a－b｜＞0.001 D.｜a－b｜＝0.001
3.若函数f（x）在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f（a）·f（b）＜0，f（a）·f＞0，则（ ）
A.f（x）在上有零点
B.f（x）在上有零点
C.f（x）在上无零点
D.f（x）在上无零点
4.用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3
则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为（ ）
A.1.6 B.1.7
C.1.8 D.1.9
5.（多选）下列关于函数f（x），x∈[a，b]的命题中，不正确的是（ ）
A.若x0∈[a，b]且满足f（x0）＝0，则x0是f（x）的一个零点
B.若x0是f（x） 在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C.函数f（x）的零点是方程f（x）＝0的根，但f（x）＝0的根不一定是函数f（x）的零点
D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
6.（多选）在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值可以为（ ）
A.0.68 B.0.72
C.0.7 D.0.6
7.函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 .
8.用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是 .
9.在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称 次就可以发现假币.
10.已知方程2x＋2x＝5.
（1）判断该方程解的个数以及所在区间；
（2）用二分法求出方程的近似解（精确度为0.1）.
参考数值：
x 1.25 1.281 25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.378 2.430 2.484 2.594 2.828
11.用二分法求方程x－2lg ＝3的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
12.用二分法求函数f（x）＝ln（x＋1）＋x－1在区间（0，1）上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
13.某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解（精确度为0.1）”时，设f（x）＝lg x＋x－2，算得f（1）＜0，f（2）＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是 .
14.已知函数f（x）＝x3－x2＋1.
（1）证明方程f（x）＝0在区间（0，2）内有实数解；
（2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f（x）＝0（x∈[0，2]）的实数解x0在哪个较小的区间内.
15.已知定义在区间[a，b]上的增函数f（x），在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，［a，］，［a＋，］，又f（）＝0，则函数f（x）的零点为（ ）
A.－ B.－
C.－ D.－
16.已知函数f（x）＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数.
（1）若m＝－4，判断f（x）在（－1，1）上是否有零点.若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点x0所在的区间；
（2）若函数f（x）在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围.
4.5.2 用二分法求方程的近似解
1.C 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f（a）f（b）＜0.而x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件.
2.B 根据二分法的步骤知当｜b－a｜小于精确度ε时，便可结束计算.
3.B 由f（a）·f（b）＜0，f（a）·f＞0可知f·f（b）＜0，根据函数零点存在定理可知f（x）在上有零点.
4.C 由表格可得，函数f（x）＝x3＋2x－9的零点在区间（1.75，1.812 5）内.结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为1.8.故选C.
5.BCD 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f（x）＝0的根也一定是函数f（x）的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确.
6.ABC 已知f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，则函数f（x）的零点的初始区间为（0.64，0.72），又因为0.68＝×（0.64＋0.72），且f（0.68）＜0，所以零点在区间（0.68，0.72）上，｜0.72－0.68｜＝0.04＜0.05，所以0.68，0.7，0.72都符合.
7.a2＝4b 解析：∵函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，∴函数f（x）＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
8. 解析：令f（x）＝ln x－2＋x，∵f（1）＝－1＜0，f（2）＝ln 2＞0，f＝ln －＜0，∴下一个含根的区间是.
9.3 解析：将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚硬币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币.
10.解：（1）令f（x）＝2x＋2x－5.
因为函数f（x）＝2x＋2x－5在R上是增函数，所以函数f（x）＝2x＋2x－5至多有一个零点.
因为f（1）＝21＋2×1－5＝－1＜0，
f（2）＝22＋2×2－5＝3＞0，
所以方程2x＋2x＝5有一解在（1，2）内.
（2）用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数 值符号
（1，2） 1.5 f（1.5）＞0
（1，1.5） 1.25 f（1.25）＜0
（1.25，1.5） 1.375 f（1.375）＞0
（1.25，1.375） 1.312 5 f（1.312 5）＞0
（1.25，1.312 5） 1.281 25 f（1.281 25）＜0
因为｜1.375－1.25｜＝0.125＞0.1，
且｜1.312 5－1.25｜＝0.062 5＜0.1，
所以函数零点的近似值可取为1.312 5，
即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.
11.C 令f（x）＝x－2lg －3，则f（2）＝2－2lg －3＝2－2×（－）lg 2－3＝lg 2－1＜0，f（3）＝3－3lg －3＝lg 3＞0，∴用二分法求方程x－2lg ＝3的近似解，可以取的一个区间是（2，3）.
12.C 开区间（0，1）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以＜0.01.又n∈N*，所以n≥7且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.
13.1.5，1.75，1.875，1.812 5 解析：第一次用二分法计算得区间（1.5，2），第二次得区间（1.75，2），第三次得区间（1.75，1.875），第四次得区间（1.75，1.812 5）.
14.解：（1）证明：因为f（0）＝1＞0，f（2）＝－＜0，所以f（0）·f（2）＜0，由函数零点存在定理可得方程f（x）＝0在区间（0，2）内有实数解.
（2）取x1＝×（0＋2）＝1，得f（1）＝＞0，
由此可得f（1）·f（2）＜0，下一个有解区间为（1，2）.
再取x2＝×（1＋2）＝，
得f＝－＜0，
所以f（1）·f＜0，下一个有解区间为.
再取x3＝×＝，得f＝＞0，
所以f·f＜0，下一个有解区间为.
综上所述，所求的实数解x0在区间内.
15.C 由题意得，f（a）＜0，f（b）＞0，又a＋＞a恒成立，则解得∵f（）＝0，∴f（x）的零点为＝－.故选C.
16.解：（1）m＝－4时，f（x）＝2x2－8x－1，
∴f（－1）＝9，f（1）＝－7，则f（－1）f（1）＜0，
∵f（x）为R上的连续函数，
∴f（x）在（－1，1）上必有零点x0，
取其中点0，代入函数解析式得f（0）＝－1＜0，
∴f（－1）f（0）＜0，∴零点x0∈（－1，0），
再取中点－，计算得f（－）＝＞0，
∴f（0）f（－）＜0，
∴零点x0∈（－，0），
取其中点－，计算得f（－）＝＞0，
∴f（0）f（－）＜0，∴零点x0∈（－，0），
再取其中点－，计算得f（－）＝＞0，
∴f（0）f（－）＜0，
∴零点x0∈（－，0），又＜，
∴符合要求，故在精确度为0.2的条件下，零点x0所在的区间为（－，0）.
（2）f（x）＝2x2－8x＋m＋3的图象开口向上，对称轴为直线x＝－＝2，∴在区间[－1，1]上，函数f（x）单调递减，又f（x）在区间[－1，1]上存在零点，
∴即
∴－13≤m≤3，即m的取值范围是[－13，3].
2 / 24.5.2 用二分法求方程的近似解
新课程标准解读 核心素养
1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图 数学抽象
2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解 数学运算
3.了解用二分法求方程近似解具有一般性 数学运算、逻辑推理
电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”.例如参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”.参赛者又猜50元，主持人说“低了”.参赛者再猜80元，主持人说“低了”.这样一直猜下去，直到猜中为止.
【问题】 （1）我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？
（2）这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？
知识点一 二分法
条件 （1）函数y＝f（x）的图象在区间[a，b]上 ； （2）在区间端点的函数值满足
方法 不断地把函数y＝f（x）的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步 ，进而得到零点近似值
提醒 用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
知识点二 二分法求函数零点近似值的步骤
提醒 二分法求函数零点近似值口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；
同号去，异号算，零点落在异号间；
周而复始怎么办？精确度上来判断.
1.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（ ）
2.用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈ ，第二次应计算 .
题型一 二分法概念的理解
【例1】 （1）已知函数f（x）的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为（ ）
A.4，4 B.3，4
C.5，4 D.4，3
（2）（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ）
A.f（x）＝3x－1
B.f（x）＝x2－2x＋1
C.f（x）＝4x
D.f（x）＝ex－2
通性通法
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
【跟踪训练】
在用二分法求函数f（x）零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是（ ）
A.[1，4] B.[－2，1]
C. D.
题型二 用二分法求方程的近似解
【例2】 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解.（精确度为0.1）
【母题探究】
（变条件）若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”结论又如何？
通性通法
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
（1）需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）；
（2）取区间端点的中点c，计算f（c），确定有解区间是（m，c）还是（c，n），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
【跟踪训练】
用二分法求方程x2－2x－1＝0的正实数解的近似值.（精确度为0.1）
题型三 二分法的实际应用
【例3】 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测几次就能找出故障地点所在区域（精确到100 m范围内）？
通性通法
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.
【跟踪训练】
一块电路板的AB段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测几次？
1.下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）
2.用二分法求函数f（x）＝2x－3的零点时，初始区间可选为（ ）
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（1，2） D.（2，3）
3.设f（x）＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在（2，3）内近似解的过程中得f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，f（2.5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间（ ）
A.（2，2.25） B.（2.25，2.5）
C.（2.5，2.75） D.（2.75，3）
4.若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f（1）＝－2 f（1.5）＝0.625
f（1.25）＝－0.984 f（1.375）＝－0.260
f（1.438）＝0.165 f（1.406 5）＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确度为0.05）为（ ）
A.1.5 B.1.375
C.1.438 D.1.25
4.5.2 用二分法求方程的近似解
【基础知识·重落实】
知识点一
（1）连续不断 （2）f（a）f（b）＜0 一分为二 逼近零点
自我诊断
1.C 只有选项C中零点左右的函数值符号相反，且函数的图象连续不断，可以利用二分法求解.
2.（0，0.5） f（0.25）
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D （2）ACD 解析：（1）图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
（2）f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，f（1）＝0，当x＜1时，f（x）＞0；当x＞1时，f（x）＞0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中函数的零点两侧的函数值异号.故选A、C、D.
跟踪训练
D ∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.
【例2】 解：令f（x）＝2x3＋3x－3，
经计算，f（0）＝－3＜0，f（1）＝2＞0，f（0）·f（1）＜0，
所以函数f（x）在（0，1）内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在（0，1）内有解.
取（0，1）的中点0.5，经计算f（0.5）＜0，
又f（1）＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在（0.5，1）内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
（a，b） 中点c f（a）
（0，1） 0.5 f（0）＜0
（0.5，1） 0.75 f（0.5）＜0
（0.5，0.75） 0.625 f（0.5）＜0
（0.625，0.75） 0.687 5 f（0.625）＜0
（a，b） f（b） f
（0，1） f（1）＞0 f（0.5）＜0
（0.5，1） f（1）＞0 f（0.75）＞0
（0.5，0.75） f（0.75）＞0 f（0.625）＜0
（0.625，0.75） f（0.75）＞0 f（0.687 5）＜0
（0.687 5，0.75） ｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1
由于｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.
母题探究
解：在本例的基础上，取区间（0.687 5，0.75）的中点x＝0.718 75，因为f（0.718 75）＜0，f（0.75）＞0且｜0.718 75－0.75｜＝0.031 25＜0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解.
跟踪训练
解：令f（x）＝x2－2x－1，∵f（2）＝－1＜0，f（3）＝2＞0，
又∵f（x）在（2，3）上单调递增，
∴在（2，3）内方程x2－2x－1＝0有唯一的实数解，记作x0.
取区间中点x1＝，∵f（）＝＞0，∴x0∈（2，）；
再取区间（2，）的中点x2＝，∵f（）＝－＜0，∴x0∈（，）；
再取区间（，）的中点x3＝，∵f（）＝－－1＝－＜0，∴x0∈（，），
此时－＝＝0.125＞0.1；
再取区间（，）的中点x4＝，∵f（）＝（）2－2×－1＝＞0，∴x0∈（，），
此时－＝＝0.062 5＜0.1且＝2.437 5.
故方程x2－2x－1＝0的正实数解的近似值可取为2.4.
【例3】 解：如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；…，由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为 m，则有≤100，即2n≥100，又26＝64，27＝128，故至多检测7次就能找到故障地点所在区域.
跟踪训练
解：第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法；
第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法；
第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法；
第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法；
第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；
第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次.
随堂检测
1.D 根据函数零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D.
2.C f（－1）＝－＜0，f（0）＝－2＜0，f（1）＝－1＜0，f（2）＝1＞0，f（3）＝5＞0，则f（1）f（2）＜0，即初始区间可选（1，2）.
3.C 因为f（2.5）＜0，f（2.75）＞0，由零点存在定理知，方程的根在区间（2.5，2.75）内，故选C.
4.C ∵f（1.406 5）＜0，f（1.438）＞0，∴f（1.406 5）·f（1.438）＜0，∴该方程的根在区间（1.406 5，1.438）内，又∵｜1.406 5－1.438｜＝0.031 5＜0.05，∴方程的近似根可以是1.438.
4 / 4(共59张PPT)
4.5.2
用二分法求方程的近似解
新课程标准解读 核心素养
1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程
序框图 数学抽象
2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解 数学运算
3.了解用二分法求方程近似解具有一般性 数学运算、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种
商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”.例如
参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”.参赛者又猜50
元，主持人说“低了”.参赛者再猜80元，主持人说“低了”.这样一
直猜下去，直到猜中为止.
【问题】 （1）我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？
（2）这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？
知识点一 二分法
条
件 （1）函数 y ＝ f （ x ）的图象在区间[ a ， b ]上 ；
（2）在区间端点的函数值满足
方
法 不断地把函数 y ＝ f （ x ）的零点所在区间 ，使所得
区间的两个端点逐步 ，进而得到零点近似值
提醒 用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相
反，比如 y ＝ x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
连续不断
f （ a ） f （ b ）＜0
一分为二
逼近零点
知识点二 二分法求函数零点近似值的步骤
提醒 二分法求函数零点近似值口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；
同号去，异号算，零点落在异号间；
周而复始怎么办？精确度上来判断.
1. 下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是
（ ）
解析： 只有选项C中零点左右的函数值符号相反，且函数的图
象连续不断，可以利用二分法求解.
2. 用二分法研究函数 f （ x ）＝ x3＋3 x －1的零点时，第一次经计算得
f （0）＜0， f （0.5）＞0，可得其中一个零点 x0∈
，第二次应计算 .
（0，
0.5）
f （0.25）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二分法概念的理解
【例1】 （1）已知函数 f （ x ）的图象如图所示，其中零点的个数与
可以用二分法求解的个数分别为（ ）
A. 4，4 B. 3，4
C. 5，4 D. 4，3
解析： 图象与 x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右
函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，
故选D.
（2）（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ）
A. f （ x ）＝3 x －1 B. f （ x ）＝ x2－2 x ＋1
C. f （ x ）＝4 x D. f （ x ）＝e x －2
解析： f （ x ）＝ x2－2 x ＋1＝（ x －1）2， f （1）＝0，当 x ＜1
时， f （ x ）＞0；当 x ＞1时， f （ x ）＞0，在零点两侧函数值同
号，不能用二分法求零点，其余选项中函数的零点两侧的函数
值异号.故选A、C、D.
通性通法
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零
点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函
数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变
号零点不适用.
【跟踪训练】
在用二分法求函数 f （ x ）零点的近似值时，第一次所取的区间是
[－2，4]，则第三次所取的区间可能是（ ）
A. [1，4] B. [－2，1]
解析： ∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可
能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为 ，
， ， .
题型二 用二分法求方程的近似解
【例2】 用二分法求方程2 x3＋3 x －3＝0的一个正实数近似解.（精
确度为0.1）
解：令 f （ x ）＝2 x3＋3 x －3，
经计算， f （0）＝－3＜0， f （1）＝2＞0， f （0）· f （1）＜0，
所以函数 f （ x ）在（0，1）内存在零点，
即方程2 x3＋3 x －3＝0在（0，1）内有解.
取（0，1）的中点0.5，经计算 f （0.5）＜0，
又 f （1）＞0，所以方程2 x3＋3 x －3＝0在（0.5，1）内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
（ a ， b ） 中点 c f （ a ） f （ b ）
（0，1） 0.5 f （0）＜0 f （1）＞0 f （0.5）＜0
（0.5，1） 0.75 f （0.5）
＜0 f （1）＞0 f （0.75）＞0
（0.5，0.75） 0.625 f （0.5）
＜0 f （0.75）＞0 f （0.625）＜0
（0.625，0.75） 0.687 5 f （0.625）＜0 f （0.75）＞0 f （0.687 5）＜0
（0.687 5，0.75） ｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1 由于｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1，所以0.75可作为方程的一个
正实数近似解.
【母题探究】
（变条件）若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”结论
又如何？
解：在本例的基础上，取区间（0.687 5，0.75）的中点 x ＝0.718
75，因为 f （0.718 75）＜0， f （0.75）＞0且｜0.718 75－0.75｜＝
0.031 25＜0.05，所以 x ＝0.72可作为方程的一个近似解.
通性通法
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
（1）需依据图象估计零点所在的初始区间[ m ， n ]（一般采用估计值
的方法完成）；
（2）取区间端点的中点 c ，计算 f （ c ），确定有解区间是（ m ， c ）
还是（ c ， n ），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端
点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
【跟踪训练】
用二分法求方程 x2－2 x －1＝0的正实数解的近似值.（精确度为0.1）
解：令 f （ x ）＝ x2－2 x －1，∵ f （2）＝－1＜0， f （3）＝2＞0，
又∵ f （ x ）在（2，3）上单调递增，
∴在（2，3）内方程 x2－2 x －1＝0有唯一的实数解，记作 x0.
取区间中点 x1＝ ，∵ f （ ）＝ ＞0，∴ x0∈（2， ）；
再取区间（2， ）的中点 x2＝ ，∵ f （ ）＝－ ＜0，∴ x0∈（ ，
）；
再取区间（ ， ）的中点 x3＝ ，∵ f （ ）＝ － －1＝－ ＜
0，∴ x0∈（ ， ），
此时 － ＝ ＝0.125＞0.1；
再取区间（ ， ）的中点 x4＝ ，∵ f （ ）＝（ ）2－2× －1
＝ ＞0，∴ x0∈（ ， ），
此时 － ＝ ＝0.062 5＜0.1且 ＝2.437 5.
故方程 x2－2 x －1＝0的正实数解的近似值可取为2.4.
题型三 二分法的实际应用
【例3】 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电
话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线
路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路
的工人师傅至多检测几次就能找出故障地点所在区域（精确到100 m
范围内）？
解：如图，工人师傅首先从中点 C 检
测，用随身带的话机向两端测试，发现
AC 段正常，可见故障在 BC 段；再从线段 BC 的中点 D 检测，发现 BD 段正常，可见故障在 CD 段；再从 CD 段的中点 E 检测；…，由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过 n 次检测，所剩线路的长度为 m，则有 ≤100，即2 n ≥100，又26＝64，27＝128，故至多检测7次就能找到故障地点所在区域.
通性通法
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线
路、水管、煤气管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资
金分配等.
【跟踪训练】
一块电路板的 AB 段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原
因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至
多需要检测几次？
解：第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法；
第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法；
第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，
从剩余的8个中继续二分法；
第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法；
第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；
第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次.
1. 下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）
解析： 根据函数零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，
函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D.
2. 用二分法求函数 f （ x ）＝2 x －3的零点时，初始区间可选为
（ ）
A. （－1，0） B. （0，1）
C. （1，2） D. （2，3）
解析： f （－1）＝－ ＜0， f （0）＝－2＜0， f （1）＝－1＜
0， f （2）＝1＞0， f （3）＝5＞0，则 f （1） f （2）＜0，即初始
区间可选（1，2）.
3. 设 f （ x ）＝lg x ＋ x －3，用二分法求方程lg x ＋ x －3＝0在（2，
3）内近似解的过程中得 f （2.25）＜0， f （2.75）＞0， f （2.5）
＜0， f （3）＞0，则方程的根落在区间（ ）
A. （2，2.25） B. （2.25，2.5）
C. （2.5，2.75） D. （2.75，3）
解析： 因为 f （2.5）＜0， f （2.75）＞0，由零点存在定理
知，方程的根在区间（2.5，2.75）内，故选C.
4. 若函数 f （ x ）＝ x3＋ x2－2 x －2的一个正数零点附近的函数值用二
分法逐次计算，参考数据如下表：
f （1）＝－2 f （1.5）＝0.625
f （1.25）＝－0.984 f （1.375）＝－0.260
f （1.438）＝0.165 f （1.406 5）＝－0.052
那么方程 x3＋ x2－2 x －2＝0的一个近似根（精确度为0.05）为（ ）
A. 1.5 B. 1.375
C. 1.438 D. 1.25
解析： ∵ f （1.406 5）＜0， f （1.438）＞0，∴ f （1.406 5）· f
（1.438）＜0，∴该方程的根在区间（1.406 5，1.438）内，又
∵｜1.406 5－1.438｜＝0.031 5＜0.05，∴方程的近似根可以是
1.438.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 用二分法求如图所示的函数 f （ x ）的零点时，不可能求出的零点
是（ ）
A. x1 B. x2
C. x3 D. x4
解析： 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[ a ， b ]上连
续不断，且 f （ a ） f （ b ）＜0.而 x3左右两侧的函数值都小于零，
不满足区间端点处函数值符号相异的条件.
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2. 用二分法求函数 f （ x ）在（ a ， b ）内的唯一零点时，精确度为
0.001，则结束计算的条件是（ ）
A. ｜ a － b ｜＜0.1 B. ｜ a － b ｜＜0.001
C. ｜ a － b ｜＞0.001 D. ｜ a － b ｜＝0.001
解析： 根据二分法的步骤知当｜ b － a ｜小于精确度ε时，便
可结束计算.
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3. 若函数 f （ x ）在[ a ， b ]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时
满足 f （ a ）· f （ b ）＜0， f （ a ）· f ＞0，则（ ）
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解析： 由 f （ a ）· f （ b ）＜0， f （ a ）· f ＞0可知 f
· f （ b ）＜0，根据函数零点存在定理可知 f （ x ）在
上有零点.
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4. 用二分法求方程的近似解，求得 f （ x ）＝ x3＋2 x －9的部分函数值
数据如表所示：
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f （ x ） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3
则当精确度为0.1时，方程 x3＋2 x －9＝0的近似解可取为（ ）
A. 1.6 B. 1.7
解析： 由表格可得，函数 f （ x ）＝ x3＋2 x －9的零点在区间
（1.75，1.812 5）内.结合选项可知，方程 x3＋2 x －9＝0的近似解
可取为1.8.故选C.
C. 1.8 D. 1.9
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5. （多选）下列关于函数 f （ x ）， x ∈[ a ， b ]的命题中，不正确的
是（ ）
A. 若 x0∈[ a ， b ]且满足 f （ x0）＝0，则 x0是 f （ x ）的一个零点
B. 若 x0是 f （ x ） 在[ a ， b ]上的零点，则可以用二分法求 x0的近似值
C. 函数 f （ x ）的零点是方程 f （ x ）＝0的根，但 f （ x ）＝0的根不一定是函数 f （ x ）的零点
D. 用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
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解析： 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B
不正确； f （ x ）＝0的根也一定是函数 f （ x ）的零点，C不正确；
用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有
A正确.
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6. （多选）在用二分法求函数 f （ x ）的一个正实数零点时，经计
算， f （0.64）＜0， f （0.72）＞0， f （0.68）＜0，则函数的一
个精确度为0.05的正实数零点的近似值可以为（ ）
A. 0.68 B. 0.72
C. 0.7 D. 0.6
解析： 已知 f （0.64）＜0， f （0.72）＞0，则函数 f （ x ）
的零点的初始区间为（0.64，0.72），又因为0.68＝ ×（0.64＋
0.72），且 f （0.68）＜0，所以零点在区间（0.68，0.72）上，｜
0.72－0.68｜＝0.04＜0.05，所以0.68，0.7，0.72都符合.
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7. 函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 有零点，但不能用二分法求出，则 a ， b
的关系是 .
解析：∵函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 有零点，但不能用二分法求
出，∴函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 的图象与 x 轴相切，∴Δ＝ a2－4 b
＝0，∴ a2＝4 b .
a2＝4 b
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8. 用二分法求方程ln x －2＋ x ＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先
取区间中点 c ＝ ，则下一个含根的区间是 .
解析：令 f （ x ）＝ln x －2＋ x ，∵ f （1）＝－1＜0， f （2）＝ln 2
＞0， f ＝ln － ＜0，∴下一个含根的区间是 .
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9. 在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小
一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称
次就可以发现假币.
解析：将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚
硬币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里
面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚
即是假币；若不平衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最
多称3次就可以发现这枚假币.
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10. 已知方程2 x ＋2 x ＝5.
（1）判断该方程解的个数以及所在区间；
解： 令 f （ x ）＝2 x ＋2 x －5.
因为函数 f （ x ）＝2 x ＋2 x －5在R上是增函数，所以函数 f
（ x ）＝2 x ＋2 x －5至多有一个零点.
因为 f （1）＝21＋2×1－5＝－1＜0，
f （2）＝22＋2×2－5＝3＞0，
所以方程2 x ＋2 x ＝5有一解在（1，2）内.
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（2）用二分法求出方程的近似解（精确度为0.1）.
参考数值：
x 1.25 1.281 25 1.312 5 1.375 1.5
2 x 2.378 2.430 2.484 2.594 2.828
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解： 用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值符号
（1，2） 1.5 f （1.5）＞0
（1，1.5） 1.25 f （1.25）＜0
（1.25，1.5） 1.375 f （1.375）＞0
（1.25，1.375） 1.312 5 f （1.312 5）＞0
（1.25，1.312 5） 1.281 25 f （1.281 25）＜0
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因为｜1.375－1.25｜＝0.125＞0.1，
且｜1.312 5－1.25｜＝0.062 5＜0.1，
所以函数零点的近似值可取为1.312 5，
即方程2 x ＋2 x ＝5的近似解可取为1.312 5.
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11. 用二分法求方程 x －2lg ＝3的近似解，可以取的一个区间是
（ ）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
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解析： 令 f （ x ）＝ x －2lg －3，则 f （2）＝2－2lg －3＝2
－2×（－ ）lg 2－3＝lg 2－1＜0， f （3）＝3－3lg －3＝ lg 3
＞0，∴用二分法求方程 x －2lg ＝3的近似解，可以取的一个区
间是（2，3）.
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12. 用二分法求函数 f （ x ）＝ln（ x ＋1）＋ x －1在区间（0，1）上的
零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为
（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 开区间（0，1）的长度等于1，每经过一次操作，区间
长度变为原来的一半，经过 n 次操作后，区间长度变为 .因为精
确度为0.01，所以 ＜0.01.又 n ∈N*，所以 n ≥7且 n ∈N*，故所
需二分区间的次数最少为7，故选C.
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13. 某同学在借助计算器求“方程lg x ＝2－ x 的近似解（精确度为
0.1）”时，设 f （ x ）＝lg x ＋ x －2，算得 f （1）＜0， f （2）＞
0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个 x 的值，计算了其
函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是 x ≈1.8.那么他再取
的 x 的4个值依次是 .
解析：第一次用二分法计算得区间（1.5，2），第二次得区间
（1.75，2），第三次得区间（1.75，1.875），第四次得区间
（1.75，1.812 5）.
1.5，1.75，1.875，1.812 5
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14. 已知函数 f （ x ）＝ x3－ x2＋1.
（1）证明方程 f （ x ）＝0在区间（0，2）内有实数解；
解： 证明：因为 f （0）＝1＞0， f （2）＝－ ＜0，所
以 f （0）· f （2）＜0，由函数零点存在定理可得方程 f （ x ）
＝0在区间（0，2）内有实数解.
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（2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程 f （ x ）＝0（ x
∈[0，2]）的实数解 x0在哪个较小的区间内.
解： 取 x1＝ ×（0＋2）＝1，得 f （1）＝ ＞0，
由此可得 f （1）· f （2）＜0，下一个有解区间为（1，2）.
再取 x2＝ ×（1＋2）＝ ，得 f ＝－ ＜0，
所以 f （1）· f ＜0，下一个有解区间为 .
再取 x3＝ × ＝ ，得 f ＝ ＞0，
所以 f · f ＜0，下一个有解区间为 .
综上所述，所求的实数解 x0在区间 内.
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15. 已知定义在区间[ a ， b ]上的增函数 f （ x ），在用二分法寻找零
点的过程中，依次确定了零点所在区间为[ a ， b ]，［ a ，
］，［ a ＋ ， ］，又 f （ ）＝0，则函数 f （ x ）的
零点为（ ）
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解析： 由题意得， f （ a ）＜0， f （ b ）＞0，又 a ＋ ＞ a 恒成
立，则解得∵ f （ ）＝0，
∴ f （ x ）的零点为 ＝－ .故选C.
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16. 已知函数 f （ x ）＝2 x2－8 x ＋ m ＋3为R上的连续函数.
（1）若 m ＝－4，判断 f （ x ）在（－1，1）上是否有零点.若没
有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2的条件下，用二
分法求出这个零点 x0所在的区间；
解： m ＝－4时， f （ x ）＝2 x2－8 x －1，
∴ f （－1）＝9， f （1）＝－7，则 f （－1） f （1）＜0，
∵ f （ x ）为R上的连续函数，
∴ f （ x ）在（－1，1）上必有零点 x0，
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取其中点0，代入函数解析式得 f （0）＝－1＜0，
∴ f （－1） f （0）＜0，∴零点 x0∈（－1，0），
再取中点－ ，计算得 f （－ ）＝ ＞0，
∴ f （0） f （－ ）＜0，
∴零点 x0∈（－ ，0），
取其中点－ ，计算得 f （－ ）＝ ＞0，
∴ f （0） f （－ ）＜0，∴零点 x0∈（－ ，0），
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再取其中点－ ，计算得 f （－ ）＝ ＞0，
∴ f （0） f （－ ）＜0，
∴零点 x0∈（－ ，0），又 ＜ ，
∴符合要求，故在精确度为0.2的条件下，零点 x0所在的区间为（－ ，0）.
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（2）若函数 f （ x ）在区间[－1，1]上存在零点，求实数 m 的取
值范围.
解： f （ x ）＝2 x2－8 x ＋ m ＋3的图象开口向上，对称
轴为直线 x ＝－ ＝2，∴在区间[－1，1]上，函数 f （ x ）
单调递减，又 f （ x ）在区间[－1，1]上存在零点，
∴即
∴－13≤ m ≤3，即 m 的取值范围是[－13，3].
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