4.5.3 函数模型的应用
1.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年（x∈N*），该产品的产量y满足（ ）
A.y＝a（1＋5%x） B.y＝a＋5%
C.y＝a（1＋5%）x－1 D.y＝a（1＋5%）x
2.某商场2024年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示，
时间t 1 2 3 4
利润y（千元） 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的（ ）
A.y＝log2t B.y＝2t
C.y＝t2 D.y＝2t
3.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I.若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝，则n≈（ ）
A.16 B.20 C.32 D.90
4.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg 3≈0.48）（ ）
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
5.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可为（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
6.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（ ）
A.当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态
B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C.当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态
D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
7.美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发A型芯片已经获得成功，正准备投入批量生产.经市场调研与预测，生产该芯片的利润y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y＝kxa（x＞0），其图象如图所示.若该公司准备投入9千万元生产A型芯片，则预测公司能获利润 千万元.
8.某商场将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为 元.
9.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为 .
10.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车行驶距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln（t＋1），S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为－1秒，当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100千米/时的高速公路上，求该汽车的安全距离为多少米？（精确到米）
11.某公司职工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区始终在同一直线上，位置如图所示，公司接送车筹划在此间只设一个停靠点，要使所有职工步行到停靠点路程总和最少，那么停靠点位置应在（ ）
A.A区 B.B区
C.C区 D.A，B两区之间
12.一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，答案采取四舍五入精确到0.1）（ ）
A.2.3 B.3.5
C.5.6 D.8.8
13.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度（J） 1.6× 1019 3.2× 1019 4.5× 1019 6.4× 1019
震级（里氏） 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量.
地震强度（x）和震级（y）的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b（其中a，b为常数），则a的值为 .（取lg 2≈0.3进行计算）
14.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度D（分贝）由公式D＝alg I＋b（a，b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量.
（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
（2）当人们低声说话时，声音能量为10－13 W/cm2，声音强度为30分贝；当人们正常说话时，声音能量为 10－12 W/cm2，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.
15.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒.出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为y＝函数的图象如图所示.如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
A.9：00 B.8：40
C.8：30 D.8：00
16.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝1＋（k为正常数），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Q（x）/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121元.
（1）求k的值；
（2）给出以下四种函数模型：①Q（x）＝ax＋b；②Q（x）＝a｜x－25｜＋b；③Q（x）＝a·bx；④Q（x）＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该小物品的日销售收入（单位：元）f（x）的最小值.
4.5.3 函数模型的应用
1.D 经过1年，y＝a（1＋5%），经过2年，y＝a（1＋5%）2，…，经过x年，y＝a（1＋5%）x.
2.B 作出散点图如图所示.由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；把t＝1，2，3，4代入B，C选项的函数中，函数y＝2t的函数值最接近表格中的对应值，故选B.
3.C 因为r＝0.6lg I，所以I＝1.当r＝6.5时，I1＝1；当r＝7.4时，I2＝1.所以n＝＝1÷1＝1＝10×≈32.
4.D 由已知得，lg ＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093.
5.D 设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×≤，即≤，即nlg≤－lg 20，即n（lg 2－ln 3）≤－（1＋lg 2），即n≥≈7.4，故选D.
6.D 对于A选项，当T＝220，P＝1 026，即lg P＝lg 1 026＞lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T＝270，P＝128，即lg P＝lg 128∈（lg 102，lg 103），即lg P∈（2，3）时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T＝300，P＝9 987，即lg P＝lg 9 987＜lg 104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当T＝360，P＝729，即lg P＝lg 729∈（lg 102，lg 103），即lg P＝lg 729∈（2，3）时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态.故D正确.
7.3 解析：由题意可知，因生产A芯片的利润y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式为y＝kxa（x＞0），又因函数y＝kxa（x＞0）的图象过点（1，1），（4，2），所以解得所以y＝，即当x＝9时，y＝3.
8.2 250 解析：设彩电的原价为a元，∴a（1＋0.4）·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元.
9.5 解析：∵5秒后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f（t）＝aent满足f（5）＝ae5n＝a，即5n＝ln ，得 n＝ln ，若k秒后甲桶中的水只有升，即f（k）＝，即·kln ＝ln ＝2ln ，得k＝10，故 m＝10－5＝5.
10.解：因为刹车反应时间为－1秒，
所以S1＝10ln（－1＋1）＝10ln ＝5，
当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·（60）2＝20，
解得b＝，即S2＝v2.
若v＝100，则S2＝×1002≈56，
S1＝5，
所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61（米）.
11.A 由题意得，若停靠在A区，所有员工路程和为15×100＋10×300＝4 500（米）；若停靠在B区，所有员工的路程和为30×100＋10×200＝5 000（米）；若停靠在C区，所有员工的路程和为30×300＋15×200＝12 000（米）；若停靠点在A区和B区之间，设距离A区为x米，所有员工的路程和为30x＋15×（100－x）＋10×（100＋200－x）＝5x＋4 500，当x＝0时取得最小值，故停靠点为A区.综上，若停靠点为A区，所有员工步行到停靠点的路程和最小，那么停靠点位置应在A区.
12.A 设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.则2 500×0.8x＝1 500，即0.8x＝0.6，所以lg 0.8x＝lg 0.6，即xlg 0.8＝lg 0.6，x＝＝＝≈≈2.3.
13. 解析：由记录的部分数据，可知当x＝1.6×1019时，y＝5.0，当x＝3.2×1019时，y＝5.2.
则两式相减得0.2＝alg ，即0.2＝alg 2.所以a＝≈＝.
14.解：（1）∵D1＋2D2＝3D3，
∴alg I1＋b＋2（alg I2＋b）＝3（alg I3＋b），
∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3，∴I1·＝.
（2）由题意得
解得∴100＜10lg I＋160＜120，
∴10－6＜I＜10－4.
故当声音能量I∈（10－6，10－4）时，人会暂时性失聪.
15.A 根据函数的图象，可得函数的图象过点（10，1），代入函数的解析式，可得＝1，解得a＝1，所以y＝令y≤0.25，可得0.1t≤0.25或≤0.25，解得0≤t≤2.5或t≥30，所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00.
16.解：（1）依题意知第10天的日销售收入为P（10）·Q（10）＝×110＝121，解得k＝1.
（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②
Q（x）＝a｜x－25｜＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q（x）＝125－｜x－25｜（1≤x≤30，x∈N*）.
（3）由（2）知Q（x）＝125－｜x－25｜
＝
所以f（x）＝P（x）·Q（x）
＝
当1≤x＜25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25）上单调递增，所以当x＝10时，f（x）取得最小值，f（x）min＝121；
当25≤x≤30时，y＝－x单调递减，所以当x＝30时，f（x）取得最小值，f（x）min＝124.
综上所述，当x＝10时，f（x）取得最小值，f（x）min＝121.
所以该小物品的日销售收入的最小值为121元.
3 / 34.5.3 函数模型的应用
新课程标准解读 核心素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具 数学建模
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律 数学运算
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.
【问题】 五期后的本利和是多少？
知识点 几种常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f（x）＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）
反比例函数模型 f（x）＝＋b（k，b为常数且k≠0）
二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
指数型函数模型 f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）
对数型函数模型 f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）
幂函数型模型 f（x）＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）
分段函数模型 y＝
1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（ ）
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
2.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为 .
题型一 已知函数模型解决实际问题
【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝（T0－Ta）×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要 20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
通性通法
利用已知函数模型解决实际问题的方法
（1）首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；
（2）利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
（3）涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.
【跟踪训练】
在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（m/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）的函数关系式是v＝2 000·ln（1＋）.当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒.
题型二 建立函数模型解决实际问题
【例2】 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减.
（1）求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（结果精确到0.1）.
通性通法
建立函数模型解决实际问题的步骤
（1）根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；
（2）根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；
（3）选择其中的几组数据求出函数模型；
（4）将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤（2）；若符合实际，则进入下一步；
（5）用所得函数模型解决实际问题.
【跟踪训练】
据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2024年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2024年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数解析式是（ ）
A.y＝0.9·m
B.y＝（1－0.0）·m
C.y＝0.9550－x·m
D.y＝（1－0.0550－x）·m
题型三 拟合函数模型解决实际问题
【例3】 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染情况：f（x）＝20｜x－4｜（x≥1），g（x）＝（x－4）2（x≥1），h（x）＝30｜log2x－2｜（x≥1），其中x表示月数，f（x），g（x），h（x）分别表示污染度.
（1）选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60.
通性通法
建立拟合函数与预测的基本步骤
【跟踪训练】
某纪念章从2024年2月1日开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
上市时间x天 4 10 36
市场价y元 90 51 90
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（ ）
A.分段函数 B.二次函数
C.指数函数 D.对数函数
2.若镭经过100年后剩余原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩余量为y，则x，y的函数关系是（ ）
A.y＝0.957 B.y＝0.957 6100x
C.y＝ D.y＝1－0.042
3.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是 .
4.（2024·济南月考）已知强度为x的声音对应的等级为f（x） dB时，有f（x）＝10·lg .喷气式飞机起飞时，声音约为140 dB；一般说话时，声音约为60 dB.则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的 倍.
4.5.3 函数模型的应用
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.D 由于一次函数、二次函数、指数型函数后期增长不会越来越慢，只有对数型函数后期增长越来越慢.
2.y＝2x＋1 解析：分裂一次后为2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个，…，分裂x次后为y＝2x＋1个，所以函数关系式y＝2x＋1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：先设定半衰期h，由题意知40－24＝（88－24）×，即＝，解得h＝10，
故原式可化简为T－24＝（88－24）×，
当T＝32时，代入上式，得32－24＝（88－24）×，即＝＝＝，
所以t＝30.因此，降温到32 ℃需要30 min.
跟踪训练
e6－1 解析：当v＝12 000 m/s时，2 000·ln＝12 000，所以ln＝6.所以＝e6－1.
【例2】 解：（1）最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500（1－10%）＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
（2）由题意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，
两边取以10为底的对数，得lg 0.9t＝lg 0.5，
即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年.
跟踪训练
A 设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知（q%）50＝0.95，所以q%＝0.9，所以从2024年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数解析式为y＝0.9·m.
【例3】 解：（1）选用h（x）模拟比较合理，理由如下：
计算各函数对应各月份污染度得下表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
f（x） 60 40 20 0 …
g（x） 60 26.7 6.7 0 …
h（x） 60 30 12.45 0 …
从上表可知，函数h（x）模拟比较合理，故选择h（x）作为模拟函数.
（2）令h（x）≤60，得｜log2x－2｜≤2，
得0≤log2x≤4，
解得1≤x≤16，
所以整治后有16个月的污染度不超过60.
跟踪训练
解：（1）选取②y＝ax2＋bx＋c.理由如下：
因为随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，所以选取y＝ax2＋bx＋c.
（2）把点（4，90），（10，51），（36，90）代入y＝ax2＋bx＋c中，得
解得a＝，b＝－10，c＝126.
所以y＝x2－10x＋126＝（x－20）2＋26，
所以当x＝20时，y有最小值，ymin＝26.
故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元.
随堂检测
1.A 由题图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型.
2.A 设镭的衰变率为p，则x，y的函数关系是y＝（1－p）x，当x＝100时，y＝0.957 6，即0.957 6＝（1－p）100，解得1－p＝0.957 .即y＝.
3.－1 解析：设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，则a（1＋x）11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.
4.108 解析：f（x）＝10lg ＝10（lg x＋12）.当f（x）＝140时，10（lg x＋12）＝140，所以x＝100.当f（x）＝60时，10（lg x＋12）＝60，所以x＝10－6.＝108，所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的108倍.
4 / 4(共67张PPT)
4.5.3
函数模型的应用
新课程标准解读 核心素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具 数学建模
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，
40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的
增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按
复利计算利率的一种储蓄，本金为 a 元，每期的利率为 r ，设本利和
为 y ，存期为 x ，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写
出本利和 y 随着存期 x 变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期
的利率为2.25%.
【问题】 五期后的本利和是多少？
知识点 几种常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数， k ≠0）
反比例函数模型
二次函数模型 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ， b ， c 为常数， a ≠0）
指数型函数模型 f （ x ）＝ bax ＋ c （ a ， b ， c 为常数， b ≠0， a ＞0且 a ≠1）
函数模型 函数解析式
对数型函数模型 f （ x ）＝ b log ax ＋ c （ a ， b ， c 为常数， b ≠0， a ＞0且
a ≠1）
幂函数型模型 f （ x ）＝ axn ＋ b （ a ， b 为常数， a ≠0）
分段函数模型
1. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利
润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映
该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系，可选用（ ）
A. 一次函数 B. 二次函数
C. 指数型函数 D. 对数型函数
解析： 由于一次函数、二次函数、指数型函数后期增长不会越
来越慢，只有对数型函数后期增长越来越慢.
2. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个
这样的细胞，分裂 x 次后得到细胞的个数 y 与 x 的关系可以表示
为 .
解析：分裂一次后为2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个，…，
分裂 x 次后为 y ＝2 x＋1个，所以函数关系式 y ＝2 x＋1.
y ＝2 x＋1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 已知函数模型解决实际问题
【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设
物体的初始温度是 T0，经过一定时间 t 后的温度是 T ，则 T － Ta ＝（ T0
－ Ta ）× ，其中 Ta 表示环境温度， h 称为半衰期，现有一杯用88
℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需
要 20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
解：先设定半衰期 h ，由题意知40－24＝（88－24）× ，即 ＝
，解得 h ＝10，
故原式可化简为 T －24＝（88－24）× ，
当 T ＝32时，代入上式，得32－24＝（88－24）× ，即 ＝
＝ ＝ ，
所以 t ＝30.因此，降温到32 ℃需要30 min.
通性通法
利用已知函数模型解决实际问题的方法
（1）首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；
（2）利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
（3）涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方
法，将指数运算转化为对数运算.
【跟踪训练】
在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v （m/s）和燃料的质量
M （kg）、火箭（除燃料外）的质量 m （kg）的函数关系式是 v ＝2
000·ln .当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大
速度可达12千米/秒.
解析：当 v ＝12 000 m/s时，2 000·ln ＝12 000，所以ln
＝6.所以 ＝e6－1.
e6－1
题型二 建立函数模型解决实际问题
【例2】 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减.
（1）求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式；
解： 最初的质量为500 g.
经过1年， w ＝500（1－10%）＝500×0.9；
经过2年， w ＝500×0.92；
由此推知， t 年后， w ＝500×0.9 t .
（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（结果精确
到0.1）.
解： 由题意得500×0.9 t ＝250，即0.9 t ＝0.5，
两边取以10为底的对数，得lg 0.9 t ＝lg 0.5，
即 t lg 0.9＝lg 0.5，
∴ t ＝ ≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年.
通性通法
建立函数模型解决实际问题的步骤
（1）根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；
（2）根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；
（3）选择其中的几组数据求出函数模型；
（4）将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合
实际，若不符合实际，则返回步骤（2）；若符合实际，则进入
下一步；
（5）用所得函数模型解决实际问题.
【跟踪训练】
据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了
5%，如果按此速度，设2024年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为 m ，则从
2024年起， x 年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积 y 与 x 的函数解析式是
（ ）
C. y ＝0.9550－ x · m D. y ＝（1－0.0550－ x ）· m
解析： 设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的 q %.由题意可
知（ q %）50＝0.95，所以 q %＝0.9 ，所以从2024年起， x 年后北
冰洋冬季冰雪覆盖面积 y 与 x 的函数解析式为 y ＝0.9 · m .
题型三 拟合函数模型解决实际问题
【例3】 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时污染
度为60，整治后前四个月的污染度如表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三
个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染情况： f （ x ）＝20｜ x
－4｜（ x ≥1）， g （ x ）＝ （ x －4）2（ x ≥1）， h （ x ）＝30｜
log2 x －2｜（ x ≥1），其中 x 表示月数， f （ x ）， g （ x ）， h （ x ）
分别表示污染度.
（1）选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
解： 选用 h （ x ）模拟比较合理，理由如下：
计算各函数对应各月份污染度得下表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
f （ x ） 60 40 20 0 …
g （ x ） 60 26.7 6.7 0 …
h （ x ） 60 30 12.45 0 …
从上表可知，函数 h （ x ）模拟比较合理，故选择 h （ x ）作为
模拟函数.
（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不
超过60.
解： 令 h （ x ）≤60，得｜log2 x －2｜≤2，
得0≤log2 x ≤4，
解得1≤ x ≤16，
所以整治后有16个月的污染度不超过60.
通性通法
建立拟合函数与预测的基本步骤
【跟踪训练】
某纪念章从2024年2月1日开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每
1枚的市场价 y （单位：元）与上市时间 x （单位：天）的数据如下：
上市时间 x 天 4 10 36
市场价 y 元 90 51 90
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念
章的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系并说明理由：① y ＝ ax ＋
b ；② y ＝ ax2＋ bx ＋ c ；③ y ＝ a log bx .
解： 选取② y ＝ ax2＋ bx ＋ c .理由如下：
因为随着时间 x 的增加， y 的值先减后增，而所给的三个函数中
y ＝ ax ＋ b 和 y ＝ a log bx 显然都是单调函数，不满足题意，所以
选取 y ＝ ax2＋ bx ＋ c .
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最
低的价格.
解： 把点（4，90），（10，51），（36，90）代入 y ＝
ax2＋ bx ＋ c 中，得
解得 a ＝ ， b ＝－10， c ＝126.
所以 y ＝ x2－10 x ＋126＝ （ x －20）2＋26，
所以当 x ＝20时， y 有最小值， ymin＝26.
故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价
为26元.
1. 一辆汽车在某段路程中的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（ ）
A. 分段函数 B. 二次函数
C. 指数函数 D. 对数函数
解析： 由题图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数
模型.
2. 若镭经过100年后剩余原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过 x 年
后的剩余量为 y ，则 x ， y 的函数关系是（ ）
B. y ＝0.957 6100 x
解析： 设镭的衰变率为 p ，则 x ， y 的函数关系是 y ＝（1－ p ）
x ，当 x ＝100时， y ＝0.957 6，即0.957 6＝（1－ p ）100，解得1－
p ＝0.957 .即 y ＝ .
3. 一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的 m 倍，那么该模具
厂这一年中产量的月平均增长率是 .
解析：设每月的产量增长率为 x ，1月份产量为 a ，则 a （1＋ x ）11
＝ ma ，所以1＋ x ＝ ，即 x ＝ －1.
－1
4. （2024·济南月考）已知强度为 x 的声音对应的等级为 f （ x ） dB
时，有 f （ x ）＝10lg .喷气式飞机起飞时，声音约为140
dB；一般说话时，声音约为60 dB. 则喷气式飞机起飞时的声音强
度是一般说话时声音强度的 倍.
解析： f （ x ）＝10lg ＝10（lg x ＋12）.当 f （ x ）＝140时，
10（lg x ＋12）＝140，所以 x ＝100.当 f （ x ）＝60时，10（lg x ＋
12）＝60，所以 x ＝10－6. ＝108，所以喷气式飞机起飞时的声
音强度是一般说话时声音强度的108倍.
108
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某种产品今年的产量是 a ，如果保持5%的年增长率，那么经过 x 年
（ x ∈N*），该产品的产量 y 满足（ ）
A. y ＝ a （1＋5% x ） B. y ＝ a ＋5%
C. y ＝ a （1＋5%） x－1 D. y ＝ a （1＋5%） x
解析： 经过1年， y ＝ a （1＋5%），经过2年， y ＝ a （1＋
5%）2，…，经过 x 年， y ＝ a （1＋5%） x .
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2. 某商场2024年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示，
时间 t 1 2 3 4
利润 y （千元） 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的（ ）
A. y ＝log2 t B. y ＝2 t
C. y ＝ t2 D. y ＝2 t
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解析： 作出散点图如图所示.
由散点图可知，图象不是直线，
排除选项D；图象不符合对数函
数的图象特征，排除选项A；把 t
＝1，2，3，4代入B，C选项的函
数中，函数 y ＝2 t 的函数值最接近
表格中的对应值，故选B.
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3. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 I 为地震时所散发出来
的相对能量程度，则里氏震级 r 可定义为 r ＝0.6lg I . 若6.5级地震
释放的相对能量为 I1，7.4级地震释放的相对能量为 I2，记 n ＝ ，
则 n ≈（ ）
A. 16 B. 20
C. 32 D. 90
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解析： 因为 r ＝0.6lg I ，所以 I ＝1 .当 r ＝6.5时， I1＝1
；当 r ＝7.4时， I2＝1 .所以 n ＝ ＝1 ÷1 ＝1 ＝
10× ≈32.
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4. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为3361，而可观测
宇宙中普通物质的原子总数 N 约为1080.则下列各数中与 最接近的
是（参考数据：lg 3≈0.48）（ ）
A. 1033 B. 1053
C. 1073 D. 1093
解析： 由已知得，lg ＝lg M －lg N ≈361×lg 3－80×lg
10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与 最接近的是1093.
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5. 某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这
种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质
含量减少 ，则使产品达到市场要求的过滤次数可为（参考数据：
lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
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解析： 设经过 n 次过滤，产品达到市场要求，则 × ≤
，即 ≤ ，即 n lg ≤－lg 20，即 n （lg 2－ln 3）≤－（1
＋lg 2），即 n ≥ ≈7.4，故选D.
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6. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳
跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一
定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和lg P 的关系，其中 T 表示温
度，单位是K； P 表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（ ）
A. 当 T ＝220， P ＝1 026时，二氧化碳处于液态
B. 当 T ＝270， P ＝128时，二氧化碳处于气态
C. 当 T ＝300， P ＝9 987时，二氧化碳处于超临
界状态
D. 当 T ＝360， P ＝729时，二氧化碳处于超临界
状态
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解析： 对于A选项，当 T ＝220， P ＝1 026，即lg P ＝lg 1 026＞
lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当
T ＝270， P ＝128，即lg P ＝lg 128∈（lg 102，lg 103），即lg P ∈
（2，3）时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当
T ＝300， P ＝9 987，即lg P ＝lg 9 987＜lg 104＝4时，根据图象可
知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当 T ＝360， P ＝729，即lg P
＝lg 729∈（lg 102，lg 103），即lg P ＝lg 729∈（2，3）时，根据
图象可知，二氧化碳处于超临界状态.故D正确.
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7. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司
研发A型芯片已经获得成功，正准备投入批量生产.经市场调研与
预测，生产该芯片的利润 y （千万元）与投入的资金 x （千万元）
的函数关系为 y ＝ kxa （ x ＞0），其图象如图所示.若该公司准备投
入9千万元生产A型芯片，则预测公司能获利润 千万元.
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解析：由题意可知，因生产A芯片的利润 y （千万元）与投入资金 x
（千万元）的函数关系式为 y ＝ kxa （ x ＞0），又因函数 y ＝ kxa
（ x ＞0）的图象过点（1，1），（4，2），所以解得
所以 y ＝ ，即当 x ＝9时， y ＝3.
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8. 某商场将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八
折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原
价为 元.
解析：设彩电的原价为 a 元，∴ a （1＋0.4）·80%－ a ＝270，
∴0.12 a ＝270，解得 a ＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元.
2 250
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9. 将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中， t 秒后甲桶剩余的水量符合
指数衰减曲线 y ＝ a e nt ，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若
再过 m 秒甲桶中的水只有 升，则 m 的值为 .
解析：∵5秒后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数 y ＝ f （ t ）＝ a e nt
满足 f （5）＝ a e5 n ＝ a ，即5 n ＝ln ，得 n ＝ ln ，若 k 秒后甲桶
中的水只有 升，即 f （ k ）＝ ，即 · k ln ＝ln ＝2ln ，得 k ＝
10，故 m ＝10－5＝5.
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10. 汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于
人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停
车安全距离为 S ，驾驶员反应时间内汽车行驶距离为 S1，刹车距
离为 S2，则 S ＝ S1＋ S2.而 S1与反应时间 t 有关， S1＝10ln（ t ＋
1）， S2与车速 v 有关， S2＝ bv2.某人刹车反应时间为 －1秒，
当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速
100千米/时的高速公路上，求该汽车的安全距离为多少米？（精
确到米）
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解：因为刹车反应时间为 －1秒，
所以 S1＝10ln（ －1＋1）＝10ln ＝5，
当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则 S2＝
b ·（60）2＝20，
解得 b ＝ ，即 S2＝ v2.
若 v ＝100，则 S2＝ ×1002≈56， S1＝5，
所以该汽车的安全距离 S ＝ S1＋ S2＝5＋56＝61（米）.
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11. 某公司职工分别住在 A ， B ， C 三个住宅区， A 区有30人， B 区有
15人， C 区有10人，三个区始终在同一直线上，位置如图所示，
公司接送车筹划在此间只设一个停靠点，要使所有职工步行到停
靠点路程总和最少，那么停靠点位置应在（ ）
A. A 区 B. B 区
C. C 区 D. A ， B 两区之间
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解析： 由题意得，若停靠在 A 区，所有员工路程和为15×100
＋10×300＝4 500（米）；若停靠在 B 区，所有员工的路程和为
30×100＋10×200＝5 000（米）；若停靠在 C 区，所有员工的路
程和为30×300＋15×200＝12 000（米）；若停靠点在 A 区和 B 区
之间，设距离 A 区为 x 米，所有员工的路程和为30 x ＋15×（100
－ x ）＋10×（100＋200－ x ）＝5 x ＋4 500，当 x ＝0时取得最小
值，故停靠点为 A 区.综上，若停靠点为 A 区，所有员工步行到停
靠点的路程和最小，那么停靠点位置应在 A 区.
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12. 一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，现给某病人
注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰
减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 小时
向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg 2≈0.301 0，lg
3≈0.477 1，答案采取四舍五入精确到0.1）（ ）
A. 2.3 B. 3.5
C. 5.6 D. 8.8
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解析： 设从现在起经过 x 小时向病人的血液补充这种药，才能
保持疗效.则2 500×0.8 x ＝1 500，即0.8 x ＝0.6，所以lg 0.8 x ＝lg
0.6，即 x lg 0.8＝lg 0.6， x ＝ ＝ ＝ ≈
≈2.3.
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13. 某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监
测，记录的部分数据如下表：
强度（J） 1.6× 1019 3.2× 1019 4.5× 1019 6.4×
1019
震级（里
氏） 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量.
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解析：由记录的部分数据，可知当 x ＝1.6×1019时， y ＝5.0，当
x ＝3.2×1019时， y ＝5.2.
则两式相减得0.2＝ a lg ，
即0.2＝ a lg 2.所以 a ＝ ≈ ＝ .
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14. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践
证明，声音强度 D （分贝）由公式 D ＝ a lg I ＋ b （ a ， b 为非零常
数）给出，其中 I （W/cm2）为声音能量.
（1）当声音强度 D1， D2， D3满足 D1＋2 D2＝3 D3时，求对应的
声音能量 I1， I2， I3满足的等量关系式；
解： ∵ D1＋2 D2＝3 D3，
∴ a lg I1＋ b ＋2（ a lg I2＋ b ）＝3（ a lg I3＋ b ），
∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3，∴ I1· ＝ .
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（2）当人们低声说话时，声音能量为10－13 W/cm2，声音强度为
30分贝；当人们正常说话时，声音能量为 10－12 W/cm2，声
音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般
人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声
音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.
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解： 由题意得
解得∴100＜10lg I ＋160＜120，
∴10－6＜ I ＜10－4.
故当声音能量 I ∈（10－6，10－4）时，人会暂时性失聪.
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15. 为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全
面消毒.出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药
物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场.已知从
喷洒药物开始，商场内部的药物浓度 y （毫克/立方米）与时间 t
（分钟）之间的函数关系为 y ＝函数的图象
如图所示.如果商场规定9：30顾客可以进入商场，
那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
A. 9：00 B. 8：40
C. 8：30 D. 8：00
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解析： 根据函数的图象，可得函数的图象过点（10，1），代
入函数的解析式，可得 ＝1，解得 a ＝1，所以 y ＝
令 y ≤0.25，可得0.1 t ≤0.25或
≤0.25，解得0≤ t ≤2.5或 t ≥30，所以如果商场规定9：30顾客
可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00.
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16. 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品
的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天
计）每件的销售价格 P （ x ）（单位：元）与时间 x （单位：
天）的函数关系近似满足 P （ x ）＝1＋ （ k 为正常数），日
销售量 Q （ x ）（单位：件）与时间 x （单位：天）的部分数
据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Q （ x ）/件 110 120 125 120
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已知第10天的日销售收入为121元.
（1）求 k 的值；
解： 依题意知第10天的日销售收入为 P （10）· Q
（10）＝ ×110＝121，解得 k ＝1.
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（2）给出以下四种函数模型：① Q （ x ）＝ ax ＋ b ；② Q （ x ）
＝ a ｜ x －25｜＋ b ；③ Q （ x ）＝ a · bx ；④ Q （ x ）＝ a ·log
bx .请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种
函数来描述日销售量 Q （ x ）与时间 x 的变化关系，并求出
该函数的解析式；
解：由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减
并不单调，故只能选② Q （ x ）＝ a ｜ x －25｜＋ b .从表中
任意取两组值代入可求得 Q （ x ）＝125－｜ x －25｜（1≤ x
≤30， x ∈N*）.
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（3）求该小物品的日销售收入（单位：元） f （ x ）的最小值.
解：由（2）知 Q （ x ）＝125－｜ x －25｜
＝
所以 f （ x ）＝ P （ x ）· Q （ x ）
＝
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当1≤ x ＜25时， y ＝ x ＋ 在[1，10]上单调递减，在
[10，25）上单调递增，所以当 x ＝10时， f （ x ）取得最小
值， f （ x ）min＝121；
当25≤ x ≤30时， y ＝ － x 单调递减，所以当 x ＝30时， f
（ x ）取得最小值， f （ x ）min＝124.
综上所述，当 x ＝10时， f （ x ）取得最小值， f （ x ）min＝121.
所以该小物品的日销售收入的最小值为121元.
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谢 谢 观 看！
