一、指数、对数的运算
指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，并会利用运算性质进行化简、计算和证明.
【例1】 计算：
（1）（＋－（3＋（－）0；
（2）log20.25＋ln＋＋lg 4＋2lg 5－.
反思感悟
要熟练掌握指数与对数的运算法则，注意把握运算法则中式子的结构特征，同时也要注意符号与运算顺序.
二、指数、对数函数的图象及应用
掌握指数、对数函数图象的作法及简单的图象变换，会利用指数、对数函数的图象解决与方程和不等式有关的一些问题.
【例2】 （1）已知f（x）是函数y＝log2x的反函数，则y＝f（1－x）的图象是（ ）
（2）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝k有两个不等实数根，则k的取值范围是（ ）
A.（0，＋∞） B.（－∞，0）
C.（1，＋∞） D.（0，1]
反思感悟
指数、对数函数的图象及其应用要点
（1）已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断；
（2）进行图象识别与应用时，可从基本的指数、对数函数图象入手，通过平移、对称、翻折变换得到相关函数的图象；
（3）与方程根的个数有关的问题，通常不具体解方程，而是转化为判断指数、对数函数等图象的交点个数问题.
三、指数、对数函数的性质及应用
掌握指数、对数函数的图象和性质，能利用指数、对数函数的性质比较大小、解方程和不等式等.
【例3】 （1）设a＝log2π，b＝loπ，c＝π－2，则（ ）
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.a＞c＞b D.c＞b＞a
（2）已知a＞0，a≠1且loga3＞loga2，若函数f（x）＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝（logax）2－loga＋2的值域.
反思感悟
1.指数、对数函数由于底数的不同取值而具有不同的单调性，因此利用函数单调性比较大小、解决不等关系等问题时应特别注意底数范围对函数单调性的影响.
2.含有对数式或指数式的函数也常通过换元（注意取值范围）转化，再求解相关问题.
提醒 在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围.
四、函数的零点
函数的零点主要考查零点个数及零点所在区间，主要利用转化思想把零点问题转化成函数与x轴的交点以及两函数图象的交点问题.
【例4】 （1）方程＝（）x的根x0所在的区间为（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
（2）已知函数f（x）＝g（x）＝f（x）·[f（x）－b]，b∈（0，1），求函数g（x）的零点个数.
反思感悟
转化是解决函数零点问题的基本思想，主要体现在函数的零点、方程的实数根、函数图象与x轴交点的横坐标、两函数图象交点的横坐标这四个问题间的相互转化，解决问题的过程中要注意等价转换.
五、函数模型的应用
函数模型的应用一般分为两类
（1）已知函数模型解决实际问题；
（2）根据实际生活情境抽象构建出切合实际的函数模型，并应用模型解决实际问题.
【例5】 （1）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（≈1.259）（ ）
A.1.5 B.1.2
C.0.8 D.0.6
（2）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（mg/L）与时间t（h）的关系为P＝P0e－kt.如果在前5 h消除了10%的污染物，求污染物减少19%需要花费的时间.
反思感悟
建立函数模型解决实际问题的步骤
章末复习与总结
【例1】 解：（1）（＋－（3＋（－）0
＝＋2－－［（）3＋1
＝＋2－－＋1＝.
（2）log20.25＋ln＋＋lg 4＋2lg 5－
＝log2＋ln ＋＋lg 4＋lg 52－
＝－2＋＋81＋lg 100－2＝.
【例2】 （1）C （2）D 解析：（1）函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f（x）＝2x，于是f（1－x）＝21－x＝（）x－1，此函数的图象为函数y＝（）x的图象向右平移1个单位长度所得，所以选项C中的图象符合要求.
（2）画出函数y＝f（x）和y＝k的图象，如图所示.由图可知，当方程f（x）＝k有两个不等实数根时，实数k的取值范围是（0，1].
【例3】 （1）C 因为a＝log2π＞log22＝1，b＝loπ＜lo1＝0，c＝π－2＝，即0＜c＜1，所以a＞c＞b.
（2）解：①因为a＞0，a≠1且loga3＞loga2，则有a＞1，
所以f（x）＝logax在[a，3a]上单调递增.
又f（x）在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga（3a）－logaa＝1，
即loga3＝1，所以a＝3.
②函数y＝（log3x）2－log3＋2
＝（log3x）2－log3x＋2＝（log3x－）2＋.
令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.
所以y＝（t－）2＋∈［，］，
所以所求函数的值域为［，］.
【例4】 （1）B 构造函数f（x）＝－（）x，因为y＝和y＝－（）x均为增函数，所以f（x）＝－（）x也为增函数，由函数解析式可得f（0）＝0－1＝－1＜0，f（1）＝－＝－＜0，f（2）＝2－＝＞0，所以f（1）f（2）＜0，由函数零点存在定理可得f（x）＝－（）x在（1，2）内存在零点，即方程＝（）x的根x0所在的区间为（1，2）.故选B.
（2）解：由g（x）＝0得，f（x）[f（x）－b]＝0，所以有f（x）＝0或f（x）－b＝0，作出f（x）的图象如图.
由函数图象知，函数图象与x轴有两个不同的交点，即f（x）＝0有2个根，
同样的f（x）＝b（0＜b＜1）有3个根，则方程g（x）＝0有5个实根，
即函数g（x）有5个零点.
【例5】 （1）C 4.9＝5＋lg V lg V＝－0.1 V＝1＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
（2）解：由题意可知，（1－0.1）P0＝P0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln 0.9，
又（1－0.19）P0＝P0e－kt，即0.81＝e－kt，
所以－kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k，所以t＝10.
所以需要花费的时间为10 h.
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章末复习与总结
一、指数、对数的运算
指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运
算性质以及换底公式等，并会利用运算性质进行化简、计算和证明.
【例1】 计算：
（1）（ ＋ －（3 ＋（ － ）0；
解： （ ＋ －（3 ＋（ － ）0＝ ＋
2－ －［（ ）3 ＋1＝ ＋2－ － ＋1＝ .
解： log20.25＋ln ＋ ＋lg 4＋2lg 5－ ＝log2
＋ln ＋ ＋lg 4＋lg 52－ ＝－2＋ ＋81＋lg 100－2
＝ .
（2）log20.25＋ln ＋ ＋lg 4＋2lg 5－ .
反思感悟
要熟练掌握指数与对数的运算法则，注意把握运算法则中式子的
结构特征，同时也要注意符号与运算顺序.
二、指数、对数函数的图象及应用
掌握指数、对数函数图象的作法及简单的图象变换，会利用指
数、对数函数的图象解决与方程和不等式有关的一些问题.
【例2】 （1）已知 f （ x ）是函数 y ＝log2 x 的反函数，则 y ＝ f （1－
x ）的图象是（ ）
解析： 函数 y ＝log2 x 的反函数为 y ＝2 x ，故 f （ x ）＝2 x ，
于是 f （1－ x ）＝21－ x ＝（ ） x－1，此函数的图象为函数 y ＝
（ ） x 的图象向右平移1个单位长度所得，所以选项C中的图象
符合要求.
（2）已知函数 f （ x ）＝若关于 x 的方程 f （ x ）＝ k
有两个不等实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A. （0，＋∞） B. （－∞，0）
C. （1，＋∞） D. （0，1]
解析：画出函数 y ＝ f （ x ）和 y ＝ k 的
图象，如图所示.由图可知，当方程 f
（ x ）＝ k 有两个不等实数根时，实数
k 的取值范围是（0，1].
反思感悟
指数、对数函数的图象及其应用要点
（1）已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊
点来进行分析判断；
（2）进行图象识别与应用时，可从基本的指数、对数函数图象入
手，通过平移、对称、翻折变换得到相关函数的图象；
（3）与方程根的个数有关的问题，通常不具体解方程，而是转化为
判断指数、对数函数等图象的交点个数问题.
三、指数、对数函数的性质及应用
掌握指数、对数函数的图象和性质，能利用指数、对数函数的性
质比较大小、解方程和不等式等.
【例3】 （1）设 a ＝log2π， b ＝lo π， c ＝π－2，则（ ）
A. a ＞ b ＞ c B. b ＞ a ＞ c
C. a ＞ c ＞ b D. c ＞ b ＞ a
解析： 因为 a ＝log2π＞log22＝1， b ＝lo π＜lo 1＝0， c
＝π－2＝ ，即0＜ c ＜1，所以 a ＞ c ＞ b .
（2）已知 a ＞0， a ≠1且log a 3＞log a 2，若函数 f （ x ）＝log ax 在区间
[ a ，3 a ]上的最大值与最小值之差为1.
①求 a 的值；
②若1≤ x ≤3，求函数 y ＝（log ax ）2－log a ＋2的值域.
解：①因为 a ＞0， a ≠1且log a 3＞log a 2，则有 a ＞1，
所以 f （ x ）＝log ax 在[ a ，3 a ]上单调递增.
又 f （ x ）在[ a ，3 a ]上的最大值与最小值之差为1，
所以log a （3 a ）－log aa ＝1，
即log a 3＝1，所以 a ＝3.
②函数 y ＝（log3 x ）2－log3 ＋2
＝（log3 x ）2－ log3 x ＋2＝（log3 x － ）2＋ .
令 t ＝log3 x ，因为1≤ x ≤3，所以0≤log3 x ≤1，即0≤ t ≤1.
所以 y ＝（ t － ）2＋ ∈［ ， ］，
所以所求函数的值域为［ ， ］.
反思感悟
1. 指数、对数函数由于底数的不同取值而具有不同的单调性，因此利
用函数单调性比较大小、解决不等关系等问题时应特别注意底数范
围对函数单调性的影响.
2. 含有对数式或指数式的函数也常通过换元（注意取值范围）转化，
再求解相关问题.
提醒 在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于
0，以免出现增根或扩大范围.
四、函数的零点
函数的零点主要考查零点个数及零点所在区间，主要利用转化思
想把零点问题转化成函数与 x 轴的交点以及两函数图象的交点问题.
【例4】 （1）方程 ＝（ ） x 的根 x0所在的区间为（ ）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
解析：B 构造函数 f （ x ）＝ －（ ） x ，因为 y ＝ 和 y ＝－
（ ） x 均为增函数，所以 f （ x ）＝ －（ ） x 也为增函数，由
函数解析式可得 f （0）＝0－1＝－1＜0， f （1）＝ － ＝－
＜0， f （2）＝2－ ＝ ＞0，所以 f （1） f （2）＜0，由函数零
点存在定理可得 f （ x ）＝ －（ ） x 在（1，2）内存在零点，
即方程 ＝（ ） x 的根 x0所在的区间为（1，2）.故选B.
解析： 构造函数 f （ x ）＝ －（ ） x ，因为 y ＝ 和 y ＝－
（ ） x 均为增函数，所以 f （ x ）＝ －（ ） x 也为增函数，由
函数解析式可得 f （0）＝0－1＝－1＜0， f （1）＝ － ＝－
＜0， f （2）＝2－ ＝ ＞0，所以 f （1） f （2）＜0，由函数零
点存在定理可得 f （ x ）＝ －（ ） x 在（1，2）内存在零点，
即方程 ＝（ ） x 的根 x0所在的区间为（1，2）.故选B.
（2）已知函数 f （ x ）＝ g （ x ）＝ f （ x ）·[ f
（ x ）－ b ]， b ∈（0，1），求函数 g （ x ）的零点个数.
解：由 g （ x ）＝0得， f （ x ）·[ f （ x ）
－ b ]＝0，所以有 f （ x ）＝0或 f （ x ）－ b ＝
0，作出 f （ x ）的图象如图.
由函数图象知，函数图象与 x 轴有两个不同的
交点，即 f （ x ）＝0有2个根，
同样的 f （ x ）＝ b （0＜ b ＜1）有3个根，则
方程 g （ x ）＝0有5个实根，
即函数 g （ x ）有5个零点.
反思感悟
转化是解决函数零点问题的基本思想，主要体现在函数的零点、
方程的实数根、函数图象与 x 轴交点的横坐标、两函数图象交点的横
坐标这四个问题间的相互转化，解决问题的过程中要注意等价转换.
五、函数模型的应用
函数模型的应用一般分为两类
（1）已知函数模型解决实际问题；
（2）根据实际生活情境抽象构建出切合实际的函数模型，并应用模
型解决实际问题.
【例5】 （1）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况
可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数
据，五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 满足 L ＝5＋lg
V . 已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小
数记录法的数据约为（ ≈1.259）（ ）
A. 1.5 B. 1.2
C. 0.8 D. 0.6
解析： 4.9＝5＋lg V lg V ＝－0.1 V ＝1 ＝ ≈
≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
（2）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物
数量 P （mg/L）与时间 t （h）的关系为 P ＝ P0e－ kt .如果在前5 h
消除了10%的污染物，求污染物减少19%需要花费的时间.
解：由题意可知，（1－0.1） P0＝ P0e－5 k ，即0.9＝e－5
k ，故－5 k ＝ln 0.9，
又（1－0.19） P0＝ P0e－ kt ，即0.81＝e－ kt ，
所以－ kt ＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10 k ，所以 t ＝10.
所以需要花费的时间为10 h.
反思感悟
建立函数模型解决实际问题的步骤
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