5.1.1 任意角
1.若α是第四象限角，则180°－α是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是（ ）
A.80° B.－80°
C.960° D.－960°
3.已知集合A＝{α｜α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β｜－180°＜β＜180°}，则A∩B＝（ ）
A.{－36°，54°}
B.{－126°，144°}
C.{－126°，－36°，54°，144°}
D.{－126°，54°}
4.如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A.{α｜－45°≤α≤120°}
B.{α｜120°≤α≤315°}
C.{α｜－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
D.{α｜120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
5.（多选）给出的下列四个命题中正确的有（ ）
A.75°角是第一象限角
B.225°角是第三象限角
C.475°角是第二象限角
D.－315°角是第四象限角
6.（多选）角α＝45°＋k·180°（k∈Z）的终边落在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝ .
8.终边在x轴上的角的集合可表示为 .
9.设角α，β满足－180°＜α＜β＜180°，则α－β的范围是 .
10.在与530°角终边相同的角中，求满足下列条件的角：
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；
（3）－720°到－360°的角.
11.终边与坐标轴重合的角α的集合是（ ）
A.{α｜α＝k·360°，k∈Z}
B.{α｜α＝90°＋k·180°，k∈Z}
C.{α｜α＝k·180°，k∈Z}
D.{α｜α＝k·90°，k∈Z}
12.（多选）下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是（ ）
A.α＋β＝90°
B.α＋β＝180°
C.α＋β＝k·360°＋90°（k∈Z）
D.α＋β＝（2k＋1）·180°（k∈Z）
13.已知角α，β都是锐角，且角α＋β的终边与－280°角的终边相同，角α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝ ，β＝ .
14.已知集合A＝{α｜k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β｜k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}.
（1）在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；
（2）在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；
（3）求A∩B.
15.若α为△ABC的一个内角，且4α与120°的终边相同，则α＝ .
16.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已知点P在1秒内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限.
5.1.1 任意角
1.C 可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.
2.D 40÷60＝，360°×＝240°.由于时针、分针都是顺时针旋转，∴时针走过2小时40分，分针转过的角度为－2×360°－240°＝－960°.
3.C 在集合A中，令k取不同的整数，即取k＝－1，得α＝－126°；取k＝0，得α＝－36°；取k＝1，得α＝54°；取k＝2，得α＝144°.所以A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}，故选C.
4.C 如题图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{α｜－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}.
5.ABC 0°＜75°＜90°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°，－315°角是第一象限角，故A、B、C均正确.
6.AC 当k＝2m＋1（m∈Z）时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°（m∈Z），故α为第三象限角；当k＝2m（m∈Z）时，α＝m·360°＋45°（m∈Z），故α为第一象限角.故α的终边落在第一或第三象限.
7.270° 解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又180°＜α＜360°，∴α＝270°.
8.{α｜α＝k·180°，k∈Z} 解析：由题意，若α的终边在x轴上，则α＝m·360°，m∈Z或α＝180°＋m·360°，m∈Z，即α＝k·180°，k∈Z，故终边在x轴上的角的集合可表示成{α｜α＝k·180°，k∈Z}.
9.－360°＜α－β＜0° 解析：由－180°＜α＜180°，－180°＜β＜180°，可得－360°＜α－β＜360°，又α＜β，所以α－β＜0°，则－360°＜α－β＜0°.
10.解：与530°角终边相同的角的集合为{β｜β＝k·360°＋530°，k∈Z}.
（1）由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
（2）由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，
故所求的最小正角为170°.
（3）由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°.
11.D 终边在坐标轴上的角为90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α｜α＝k·90°，k∈Z}.
12.BD 假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝（2k＋1）·180°（k∈Z），所以D满足条件，A、C都不满足条件.
13.15° 65° 解析：∵角α，β都是锐角，∴0°＜α＋β＜180°，－90°＜α－β＜90°.由题意可知，α＋β＝－280°＋k1·360°，k1∈Z，∴α＋β＝80°①.又α－β＝670°＋k2·360°，k2∈Z，∴α－β＝－50°②.由①②得，α＝15°，β＝65°.
14.解：（1）角α终边所在区域如图①所示.
（2）角β终边所在区域如图②所示.
（3）由图①②知A∩B＝{γ｜k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z}.
15.120°或30° 解析：∵4α＝120°＋k·360°，k∈Z，∴α＝30°＋k·90°，k∈Z，又∵0°＜α＜180°，∴当k＝1时，α＝120°；当k＝0时，α＝30°.
16.解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.
又180°＜2θ＋45°＜270°，
即67.5°＜θ＜112.5°，
∴67.5°＜＜112.5°.
又k∈Z，∴k＝3或4，
∴所求的θ的值为或.
∵0°＜＜90°，90°＜＜180°，
∴θ在第一象限或第二象限.
2 / 2第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角
新课程标准解读 核心素养
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角，了解象限角的概念 数学抽象
2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合 直观想象
奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩.跳水（Diving）是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转体，并以特定动作入水的运动.
【问题】 如果跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，那么运动员转过的角度是多少？
知识点一 任意角的概念
1.角的概念
角可以看成 绕着它的 旋转所成的图形.
2.角的表示
如图，（1）始边：射线的 位置OA；
（2）终边：射线的 位置OB；
（3）顶点：射线的端点O；
（4）记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
3.角的分类
【想一想】
1.始边与终边重合的角一定是零角吗？
2.正角、负角、零角是根据什么区分的？
知识点二 角的加、减法
设α，β是任意两个角：
（1）角的加法：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是 .α＋β角的始边为α的始边，终边为β的终边；
（2）相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为 ，角α的相反角记为 ；
（3）角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α－β＝α＋（－β）.这样，角的减法可以转化为角的加法.
知识点三 象限角与终边相同的角
1.象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点与 重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
2.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 的和.
提醒 对集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解：①角α为任意角，“k∈Z”不能省略；②k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋（－α）；③相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.
1.若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为（ ）
A.120° B.－120°
C.－60° D.60°
2.设α＝－300°，则与α终边相同的角的集合为（ ）
A.{α｜α＝k·360°＋300°，k∈Z}
B.{α｜α＝k·360°＋60°，k∈Z}
C.{α｜α＝k·360°＋30°，k∈Z}
D.{α｜α＝k·360°－60°，k∈Z}
3.角α＝－60°＋k·180°（k∈Z）的终边落在（ ）
A.第四象限 B.第一、二象限
C.第一象限 D.第二、四象限
题型一 任意角的概念
【例1】 （多选）下列说法正确的是（ ）
A.锐角都是第一象限角 B.第一象限角一定不是负角
C.小于180°的角是钝角、直角或锐角 D.在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角
通性通法
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可.
【跟踪训练】
1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝（ ）
A.150° B.－150°
C.390° D.－390°
2.经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（ ）
A.60°，720° B.－60°，－720°
C.－30°，－360° D.－60°，720°
题型二 终边相同的角
【例2】 已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角：
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3）－360°～720°范围内的角.
通性通法
终边相同的角的表示
（1）终边相同的角都可以表示成α＋k·360°（k∈Z）的形式；
（2）终边相同的角相差360°的整数倍；
（3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
【跟踪训练】
1.若角2α与240°角的终边相同，则α＝（ ）
A.120°＋k·360°，k∈Z
B.120°＋k·180°，k∈Z
C.240°＋k·360°，k∈Z
D.240°＋k·180°，k∈Z
2.写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角.
题型三 象限角
【例3】 （1）（多选）在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是（ ）
A.① B.②
C.③ D.④
（2）已知α是第二象限角，则角所在的象限为（ ）
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
【母题探究】
（变设问）在本例（2）的条件下，求角2α的终边的位置.
通性通法
1.给定一个角，判断它是第几象限角的思路
判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k·360°（其中k∈Z，β在0°～360°范围内）的形式，观察角β的终边所在的象限即可.
2.nα或所在象限的判断方法
（1）用不等式表示出角nα或的范围；
（2）用旋转的观点确定角nα或所在象限.
【跟踪训练】
1.－1 060°的终边落在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知750°＜α＜800°，那么是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
题型四 区域（间）角及终边在已知直线上的角的表示
【例4】 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.
通性通法
1.求解终边在某条直（射）线上的角的集合的思路
（1）若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β｜β＝k·180°＋α，k∈Z}；
（2）若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β｜β＝k·360°＋α，k∈Z}.
2.表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
【跟踪训练】已知，如图所示.
（1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.
1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是（ ）
A.120° B.－120°
C.240° D.－240°
2.－495°角的终边与下列哪个角的终边相同（ ）
A.135° B.45° C.225° D.－225°
3.已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α＝（ ）
A.－480° B.－240°
C.150° D.480°
4.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们分别是第几象限角：
（1）－150°；（2）650°.
5.1.1 任意角
【基础知识·重落实】
知识点一
1.一条射线 端点 2.（1）起始 （2）终止
3.逆时针 顺时针 没有
想一想
1.提示：不一定.只有始边没有做任何旋转，始边与终边重合的角才是零角.
2.提示：根据组成角的射线是否旋转及旋转方向.
知识点二
（1）α＋β （2）相反角 －α
知识点三
1.原点 x 终边 象限角 坐标轴上 2.{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z} 整数个周角
自我诊断
1.B 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°.
2.B 因为α＝－300°＝－360°＋60°，所以角α的终边与60°角的终边相同，故选B.
3.D 令k＝0，则α＝－60°，角α的终边在第四象限；再令k＝1，则α＝－60°＋180°＝120°，角α的终边在第二象限，故选D.
【典型例题·精研析】
【例1】 AD 锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确.
跟踪训练
1.B 各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以∠AOC＝120°＋（－270°）＝－150°，故选B.
2.B 钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
【例2】 解：因为－1 845°＝－45°＋（－5）×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是{β｜β＝－45°＋k·360°，k∈Z}.
（1）最小的正角为315°.
（2）最大的负角为－45°.
（3）－360°～720°范围内的角分别是－45°，315°，675°.
跟踪训练
1.B 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.
2.解：与75°角终边相同的角的集合为S＝{β｜β＝k·360°＋75°，k∈Z}.
当360°≤β≤1 080°，即360°≤k·360°＋75°≤1 080°时，
解得≤k≤2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.
当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.
终上所述，在360°～1 080°范围内且与75°角终边相同的角为435°角和795°角.
【例3】 （1）ABC （2）A 解析：（1）第二象限角α需满足k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角.故选A、B、C.
（2）∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）.∴·360°＋45°＜＜·360°＋90°（k∈Z）.当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），得n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，这表明是第三象限角.∴为第一或第三象限角.
母题探究
解：∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）.
∴k·720°＋180°＜2α＜k·720°＋360°（k∈Z）.
∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.
跟踪训练
1.A 因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的终边落在第一象限.
2.A 因为750°＜α＜800°，所以375°＜＜400°，所以角终边位于第一象限，故选A.
【例4】 解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α｜α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α｜α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α｜30°＋k·180°≤α＜105°＋k·180°，k∈Z}.
跟踪训练
解：（1）终边落在OA位置上的角的集合为{α｜α＝210°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α｜α＝300°＋k·360°，k∈Z}.
（2）终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是{α｜210°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.
随堂检测
1.D 一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.
2.C 因为－495°＝－2×360°＋225°，所以与－495°角终边相同的是225°角.故选C.
3.D 由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为480°，∴α＝480°.
4.解：（1）因为－150°＝－360°＋210°，
所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.
（2）因为650°＝360°＋290°，
所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.
5 / 5(共66张PPT)
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5.1.1 任意角
新课程标准解读 核心素养
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角，了解象
限角的概念 数学抽象
2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的
角所组成的集合 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩.跳水
（Diving）是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转体，并以
特定动作入水的运动.
【问题】 如果跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，那么运动
员转过的角度是多少？
知识点一 任意角的概念
1. 角的概念
角可以看成 绕着它的 旋转所成的图形.
一条射线
端点
2. 角的表示
如图，（1）始边：射线的 位置 OA ；
（2）终边：射线的 位置 OB ；
（3）顶点：射线的端点 O ；
（4）记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠
AOB ”.
起始
终止
3. 角的分类
【想一想】
1. 始边与终边重合的角一定是零角吗？
提示：不一定.只有始边没有做任何旋转，始边与终边重合的角才
是零角.
2. 正角、负角、零角是根据什么区分的？
提示：根据组成角的射线是否旋转及旋转方向.
知识点二 角的加、减法
设α，β是任意两个角：
（1）角的加法：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角
是 .α＋β角的始边为α的始边，终边为β的终边；
（2）相反角：把射线 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的两
个角叫做互为 ，角α的相反角记为 ；
（3）角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反
数”一样，我们有α－β＝α＋（－β）.这样，角的减法可以
转化为角的加法.
α＋β
相反角
－α
知识点三 象限角与终边相同的角
1. 象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点与 重合，角的
始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象
限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在
，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
2. 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成
一个集合 S ＝ ，即任一与角α
终边相同的角，都可以表示成角α与 的和.
原点
x
终边
象限角
坐标轴
上
{β｜β＝α＋ k ·360°， k ∈Z}
整数个周角
提醒 对集合 S ＝{β｜β＝α＋ k ·360°， k ∈Z}的理解：①角α
为任意角，“ k ∈Z”不能省略；② k ·360°与α中间要用“＋”连
接， k ·360°－α可理解成 k ·360°＋（－α）；③相等的角的终
边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数
个，它们相差360°的整数倍.
1. 若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为（ ）
A. 120° B. －120°
C. －60° D. 60°
解析： 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即
为－ ×360°＝－120°.
2. 设α＝－300°，则与α终边相同的角的集合为（ ）
A. {α｜α＝ k ·360°＋300°， k ∈Z}
B. {α｜α＝ k ·360°＋60°， k ∈Z}
C. {α｜α＝ k ·360°＋30°， k ∈Z}
D. {α｜α＝ k ·360°－60°， k ∈Z}
解析： 因为α＝－300°＝－360°＋60°，所以角α的终边与
60°角的终边相同，故选B.
3. 角α＝－60°＋ k ·180°（ k ∈Z）的终边落在（ ）
A. 第四象限 B. 第一、二象限
C. 第一象限 D. 第二、四象限
解析： 令 k ＝0，则α＝－60°，角α的终边在第四象限；再令
k ＝1，则α＝－60°＋180°＝120°，角α的终边在第二象限，
故选D.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 任意角的概念
【例1】 （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 锐角都是第一象限角
B. 第一象限角一定不是负角
C. 小于180°的角是钝角、直角或锐角
D. 在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角
解析： 锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是
第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所
以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或
锐角，所以C错误；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°
角，所以不一定是钝角，所以D正确.
通性通法
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概
念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论
正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要
举一个反例即可.
【跟踪训练】
1. 射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转120°到达 OB 位置，由 OB 位置顺时
针旋转270°到达 OC 位置，则∠ AOC ＝（ ）
A. 150° B. －150°
C. 390° D. －390°
解析： 各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以∠ AOC ＝
120°＋（－270°）＝－150°，故选B.
2. 经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（ ）
A. 60°，720° B. －60°，－720°
C. －30°，－360° D. －60°，720°
解析： 钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都
是负的，而 ×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针
和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
题型二 终边相同的角
【例2】 已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列
条件的角：
（1）最小的正角；
（1）最小的正角为315°.
解：因为－1 845°＝－45°＋（－5）×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是{β｜β＝－45°＋
k ·360°， k ∈Z}.
（2）最大的负角；
解：最大的负角为－45°.
（3）－360°～720°范围内的角.
解： －360°～720°范围内的角分别是－45°，315°，
675°.
通性通法
终边相同的角的表示
（1）终边相同的角都可以表示成α＋ k ·360°（ k ∈Z）的形式；
（2）终边相同的角相差360°的整数倍；
（3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
【跟踪训练】
1. 若角2α与240°角的终边相同，则α＝（ ）
A. 120°＋ k ·360°， k ∈Z
B. 120°＋ k ·180°， k ∈Z
C. 240°＋ k ·360°， k ∈Z
D. 240°＋ k ·180°， k ∈Z
解析： 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋
k ·360°， k ∈Z，则α＝120°＋ k ·180°， k ∈Z.
2. 写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内
与75°角终边相同的角.
解：与75°角终边相同的角的集合为 S ＝{β｜β＝ k ·360°＋
75°， k ∈Z}.
当360°≤β≤1 080°，即360°≤ k ·360°＋75°≤1 080°时，
解得 ≤ k ≤2 .又 k ∈Z，所以 k ＝1或 k ＝2.
当 k ＝1时，β＝435°；当 k ＝2时，β＝795°.
终上所述，在360°～1 080°范围内且与75°角终边相同的角为
435°角和795°角.
题型三 象限角
【例3】 （1）（多选）在①160°；②480°；③－960°；④1
530°这四个角中，是第二象限角的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
解析： 第二象限角α需满足 k ·360°＋90°＜α＜ k ·360°
＋180°， k ∈Z，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限
角；③是第二象限角；④不是第二象限角.故选A、B、C.
（2）已知α是第二象限角，则角 所在的象限为（ ）
A. 第一或第三象限 B. 第一或第二象限
C. 第二或第四象限 D. 第三或第四象限
解析： ∵α是第二象限角，∴ k ·360°＋90°＜α＜ k ·360°＋
180°（ k ∈Z）.∴ ·360°＋45°＜ ＜ ·360°＋90°（ k
∈Z）.当 k 为偶数时，令 k ＝2 n （ n ∈Z），得 n ·360°＋45°＜
＜ n ·360°＋90°，这表明 是第一象限角；当 k 为奇数时，令
k ＝2 n ＋1（ n ∈Z），得 n ·360°＋225°＜ ＜ n ·360°＋
270°，这表明 是第三象限角.∴ 为第一或第三象限角.
【母题探究】
（变设问）在本例（2）的条件下，求角2α的终边的位置.
解：∵α是第二象限角，
∴ k ·360°＋90°＜α＜ k ·360°＋180°（ k ∈Z）.
∴ k ·720°＋180°＜2α＜ k ·720°＋360°（ k ∈Z）.
∴角2α的终边在第三或第四象限或在 y 轴的非正半轴上.
通性通法
1. 给定一个角，判断它是第几象限角的思路
判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋ k ·360°（其中
k ∈Z，β在0°～360°范围内）的形式，观察角β的终边所在的
象限即可.
2. n α或 所在象限的判断方法
（1）用不等式表示出角 n α或 的范围；
（2）用旋转的观点确定角 n α或 所在象限.
【跟踪训练】
1. －1 060°的终边落在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的
终边落在第一象限.
2. 已知750°＜α＜800°，那么 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析： 因为750°＜α＜800°，所以375°＜ ＜400°，所以
角 终边位于第一象限，故选A.
题型四 区域（间）角及终边在已知直线上的角的表示
【例4】 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值
范围.
解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为 S1＝{α｜α＝
30°＋ k ·180°， k ∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在
直线上的角的集合为 S2＝{α｜α＝105°＋ k ·180°， k ∈Z}，因此，
终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α｜30°＋ k ·180°≤α
＜105°＋ k ·180°， k ∈Z}.
通性通法
1. 求解终边在某条直（射）线上的角的集合的思路
（1）若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β｜β＝
k ·180°＋α， k ∈Z}；
（2）若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β｜β＝
k ·360°＋α， k ∈Z}.
2. 表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～
360°范围内的角α和β，写出最简区间{ x ｜α＜ x ＜β}，其中β
－α＜360°；
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即
得区域角集合.
【跟踪训练】
已知，如图所示.
（1）分别写出终边落在 OA ， OB 位置上的角的集合；
解： 终边落在 OA 位置上的角的集合为
{α｜α＝210°＋ k ·360°， k ∈Z}，终边落在
OB 位置上的角的集合为{α｜α＝300°＋
k ·360°， k ∈Z}.
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.
解： 终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是{α｜210°＋ k ·360°≤α≤300°＋ k ·360°， k ∈Z}.
1. 把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是
（ ）
A. 120° B. －120°
C. 240° D. －240°
解析： 一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角
是－240°，故选D.
2. －495°角的终边与下列哪个角的终边相同（ ）
A. 135° B. 45°
C. 225° D. －225°
解析： 因为－495°＝－2×360°＋225°，所以与－495°角
终边相同的是225°角.故选C.
3. 已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线 OA 与 y 轴正半
轴的夹角为30°，则α＝（ ）
A. －480° B. －240°
C. 150° D. 480°
解析： 由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为
480°，∴α＝480°.
4. 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们
分别是第几象限角：
（1）－150°；（2）650°.
解：（1）因为－150°＝－360°＋210°，
所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是
210°角，它是第三象限角.
（2）因为650°＝360°＋290°，
所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°
角，它是第四象限角.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若α是第四象限角，则180°－α是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析： 可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故
180°－α是第三象限角.
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2. 时针走过2小时40分，则分针转过的角度是（ ）
A. 80° B. －80°
C. 960° D. －960°
解析： 40÷60＝ ，360°× ＝240°.由于时针、分针都是顺
时针旋转，∴时针走过2小时40分，分针转过的角度为－2×360°
－240°＝－960°.
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3. 已知集合 A ＝{α｜α＝ k ·90°－36°， k ∈Z}， B ＝{β｜－
180°＜β＜180°}，则 A ∩ B ＝（ ）
A. {－36°，54°}
B. {－126°，144°}
C. {－126°，－36°，54°，144°}
D. {－126°，54°}
解析：C 在集合 A 中，令 k 取不同的整数，即取 k ＝－1，得α＝
－126°；取 k ＝0，得α＝－36°；取 k ＝1，得α＝54°；取 k ＝
2，得α＝144°.所以 A ∩ B ＝{－126°，－36°，54°，
144°}，故选C.
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4. 如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A. {α｜－45°≤α≤120°}
B. {α｜120°≤α≤315°}
C. {α｜－45°＋ k ·360°≤α≤120°＋ k ·360°， k
∈Z}
D. {α｜120°＋ k ·360°≤α≤315°＋ k ·360°， k
∈Z}
解析： 如题图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是
{α｜－45°＋ k ·360°≤α≤120°＋ k ·360°， k ∈Z}.
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5. （多选）给出的下列四个命题中正确的有（ ）
A. 75°角是第一象限角
B. 225°角是第三象限角
C. 475°角是第二象限角
D. －315°角是第四象限角
解析： 0°＜75°＜90°，180°＜225°＜270°，360°＋
90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°，－
315°角是第一象限角，故A、B、C均正确.
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6. （多选）角α＝45°＋ k ·180°（ k ∈Z）的终边落在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 当 k ＝2 m ＋1（ m ∈Z）时，α＝2 m ·180°＋225°＝
m ·360°＋225°（ m ∈Z），故α为第三象限角；当 k ＝2 m （ m
∈Z）时，α＝ m ·360°＋45°（ m ∈Z），故α为第一象限角.故
α的终边落在第一或第三象限.
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7. 若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边与终边，
则角α＝ .
解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝ k ·360°＋
α， k ∈Z，得4α＝ k ·360°， k ∈Z，∴α＝ k ·90°， k ∈Z. 又
180°＜α＜360°，∴α＝270°.
270°
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8. 终边在 x 轴上的角的集合可表示为
.
解析：由题意，若α的终边在 x 轴上，则α＝ m ·360°， m ∈Z或α
＝180°＋ m ·360°， m ∈Z，即α＝ k ·180°， k ∈Z，故终边在 x
轴上的角的集合可表示成{α｜α＝ k ·180°， k ∈Z}.
{α｜α＝ k ·180°， k
∈Z}
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9. 设角α，β满足－180°＜α＜β＜180°，则α－β的范围是
.
解析：由－180°＜α＜180°，－180°＜β＜180°，可得－
360°＜α－β＜360°，又α＜β，所以α－β＜0°，则－360°
＜α－β＜0°.
－
360°＜α－β＜0°
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10. 在与530°角终边相同的角中，求满足下列条件的角：
（1）最大的负角；
（1）由－360°＜ k ·360°＋530°＜0°且 k ∈Z，可得 k ＝
－2，故所求的最大负角为－190°.
解：与530°角终边相同的角的集合为{β｜β＝ k ·360°＋
530°， k ∈Z}.
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（3）－720°到－360°的角.
解：由－720°≤ k ·360°＋530°≤－360°且 k ∈Z，可得
k ＝－3，故所求的角为－550°.
（2）最小的正角；
解：由0°＜ k ·360°＋530°＜360°且 k ∈Z，可得 k
＝－1，
故所求的最小正角为170°.
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11. 终边与坐标轴重合的角α的集合是（ ）
A. {α｜α＝ k ·360°， k ∈Z}
B. {α｜α＝90°＋ k ·180°， k ∈Z}
C. {α｜α＝ k ·180°， k ∈Z}
D. {α｜α＝ k ·90°， k ∈Z}
解析： 终边在坐标轴上的角为90°的整数倍，所以终边与坐
标轴重合的角的集合为{α｜α＝ k ·90°， k ∈Z}.
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12. （多选）下列条件中，能使α和β的终边关于 y 轴对称的是
（ ）
A. α＋β＝90°
B. α＋β＝180°
C. α＋β＝ k ·360°＋90°（ k ∈Z）
D. α＋β＝（2 k ＋1）·180°（ k ∈Z）
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解析： 假设α，β为0°～180°内的角，如图
所示，因为α，β的终边关于 y 轴对称，所以α＋
β＝180°，所以B满足条件；结合终边相同的角的
概念，可得α＋β＝ k ·360°＋180°＝（2 k ＋
1）·180°（ k ∈Z），所以D满足条件，A、C都不
满足条件.
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13. 已知角α，β都是锐角，且角α＋β的终边与－280°角的终边相
同，角α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝ ，β
＝ .
解析：∵角α，β都是锐角，∴0°＜α＋β＜180°，－90°＜
α－β＜90°.由题意可知，α＋β＝－280°＋ k1·360°，
k1∈Z，∴α＋β＝80°①.又α－β＝670°＋ k2·360°，
k2∈Z，∴α－β＝－50°②.由①②得，α＝15°，β＝65°.
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14. 已知集合 A ＝{α｜ k ·180°＋45°＜α＜ k ·180°＋60°， k
∈Z}，集合 B ＝{β｜ k ·360°－55°＜β＜ k ·360°＋55°， k
∈Z}.
（1）在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；
解： 角α终边所在区域如图①所示.
（2）在平面直角坐标系中，表
示出角β终边所在区域；
解： 角β终边所在区
域如图②所示.
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（3）求 A ∩ B .
解： 由图①②知 A ∩ B ＝{γ｜ k ·360°＋45°＜γ＜
k ·360°＋55°， k ∈Z}.
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15. 若α为△ ABC 的一个内角，且4α与120°的终边相同，则α
＝ .
解析：∵4α＝120°＋ k ·360°， k ∈Z，∴α＝30°＋ k ·90°， k
∈Z，又∵0°＜α＜180°，∴当 k ＝1时，α＝120°；当 k ＝0
时，α＝30°.
120°或30°
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16. 如图，点 A 在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠ AOx ＝45°，点
P 从点 A 处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已知点 P 在1秒内
转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，
经过14秒钟又回到出发点 A ，求θ，并判断θ所在的象限.
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解：根据题意知，14秒钟后，点 P 在角14θ＋45°的终边上，
∴45°＋ k ·360°＝14θ＋45°， k ∈Z.
又180°＜2θ＋45°＜270°，
即67.5°＜θ＜112.5°，
∴67.5°＜ ＜112.5°.
又 k ∈Z，∴ k ＝3或4，
∴所求的θ的值为 或 .
∵0°＜ ＜90°，90°＜ ＜180°，
∴θ在第一象限或第二象限.
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谢 谢 观 看！
