5.1.2 弧度制
1.角终边所在的象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知扇形的面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ）
A. B.
C. D.
3.集合{α｜kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
4.把角－570°化为2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式为（ ）
A.－3π－π B.－4π＋150°
C.－3kπ－30° D.－4π＋π
5.（多选）下列转化结果正确的是（ ）
A.67°30'化成弧度是
B.－化成角度是－600°
C.－150°化成弧度是－
D.化成角度是15°
6.（多选）下列表示中正确的是（ ）
A.终边在x轴上的角的集合是{α｜α＝kπ，k∈Z}
B.终边在第二象限的角的集合为{α｜＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z}
C.终边在坐标轴上的角的集合是{α｜α＝，k∈Z}
D.终边在直线y＝x上的角的集合是{α｜α＝＋2kπ，k∈Z}
7.一场数学科目考试需要两个小时，则时针走了 弧度.
8.已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，则α，β，γ，θ的大小关系为 .
9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.
10.已知角α＝1 200°.
（1）将α改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限角；
（2）在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角.
11.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动（如图所示），设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转（ ）
A. B.
C. D.π
12.若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为（ ）
A.α＋β＝0
B.α－β＝0
C.α＋β＝2kπ（k∈Z）
D.α－β＝2kπ＋（k∈Z）
13.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为 .
14.已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R.
（1）若α＝，R＝6 cm，求该扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为12 cm，问当α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积.
15.某学生在手工课上设计制作了一款树叶形状的书签（如图所示），该书签的边缘由两段圆弧组成，每段圆弧均为其所在圆周的四分之一，这两段圆弧关于直线AB对称.若AB＝10 cm，则该书签的面积为 cm2.
16.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知OA＝10 m，OB＝x（0＜x＜10），线段BA，CD，与弧BC，弧AD的长度之和为30 m，设圆心角为θ弧度.
（1）求θ关于x的函数解析式；
（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
5.1.2 弧度制
1.A ＝2π＋，是第一象限角，故是第一象限角.
2.C 设扇形的圆心角是α，则＝α×12，解得α＝.故选C.
3.C 当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分（包含边界）；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分（包含边界）.
4.D 因为－570°＝－570×＝－＝－2×2π＋π，与π的终边相同，所以把角－570°化为2kπ＋α（0≤α＜2π）的形式为－4π＋π.
5.ABD 对于A，67°30'＝67.5×＝，正确；对于B，－＝－×（）°＝－600°，正确；对于C，－150°＝－150×＝－，错误；对于D，＝×（）°＝15°，正确.
6.ABC A，B显然正确；对于C，终边在x轴上的角的集合为{α｜α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α｜α＝＋kπ，k∈Z}，其并集为{α｜α＝，k∈Z}，故C正确；对于D，终边在y＝x上的角的集合为{α｜α＝＋2kπ，k∈Z}或{α｜α＝＋2kπ，k∈Z}，其并集为{α｜α＝＋kπ，k∈Z}，故D不正确.
7.－ 解析：由于时针按顺时针方向转动，形成的角是负角，又由于时针转动一小时，转动的弧度数为－，因此时针转动两小时，走的弧度数为－.
8.α＜β＜γ＜θ 解析：法一（化为弧度） α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝.显然＜＜1＜，故α＜β＜γ＜θ.
法二（化为角度） β＝＝×（）°＝18°，γ＝1≈57.30°，显然15°＜18°＜57.30°＜105°，故α＜β＜γ＜θ.
9. 解析：设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α（0＜α＜2π），则现在的圆的半径为3r，弧长为l，设弧所对的圆心角为β（0＜β＜2π），于是l＝αr＝β·3r，∴β＝α.
10.解：（1）因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，
所以角α与的终边相同.
所以角α是第二象限角.
（2）因为与角α终边相同的角（含角α在内）为2kπ＋，k∈Z，
所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，.
11.B 设从动轮N逆时针旋转θ rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝×θ，解得θ＝，故选B.
12.D 因为α＝x＋＋2k1π（k1∈Z），β＝x－＋2k2π（k2∈Z），所以α－β＝＋2（k1－k2）π（k1∈Z，k2∈Z）.因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.所以α－β＝＋2kπ（k∈Z）.
13. 解析：如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R，∴弧长l＝R，∴α＝＝＝.
14.解：（1）l＝αR＝×6＝2π（cm），
即扇形的弧长为2π cm.
（2）依题意，得2R＋l＝12，则l＝12－2R，
扇形的面积S＝lR＝（12－2R）R＝－R2＋6R，
所以当R＝3 cm时，扇形面积S有最大值9.
此时弧长l＝6 cm，得α＝＝2，
即当α＝2时，该扇形面积最大，最大面积为9 cm2.
15.25π－50 解析：由题知每段圆弧均为其所在圆周的四分之一，则每段圆弧所对的圆心角均为，且两圆弧所在圆的半径相等，设其为r，则r＝5 cm，所以书签的面积S＝2×＝25π－50（cm2）.
16.解：（1）根据题意，可算得＝θx（m），
＝10θ（m）.
因为AB＋CD＋＋＝30，所以2（10－x）＋θx＋10θ＝30，
所以θ＝（0＜x＜10）.
（2）根据题意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC＝θ（102－x2）＝×＝（x＋5）·（10－x）＝－x2＋5x＋50＝－（x－）2＋，
当x＝（m）时，ymax＝（m2）.
综上所述，当x＝ m时铭牌的截面面积最大，且最大面积为 m2.
2 / 25.1.2 弧度制
新课程标准解读 核心素养
1.理解1弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化 数学抽象、数学运算
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数的一一对应关系 数学抽象
3.理解弧度制下弧长与扇形面积公式并能应用 数学运算
公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算.
【问题】 按照上述定义30°是多少弧度？
知识点一 度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度 的角 1度的角等于周角的 ，记作1°
弧度制 定义 用弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度 的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad（rad可省略不写）
提醒 不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值.
知识点二 角度与弧度的换算
1.弧度数的计算
2.弧度与角度的换算
【想一想】
一个角的度数是否对应一个弧度数？
知识点三 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α（0＜α＜2π）为其圆心角，则：
（1）弧长公式：l＝ ；
（2）扇形面积公式：S＝ ＝ .
提醒 在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算.
1.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
C.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
D.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对的扇形的面积不变
2.（1）－π rad化为角度是 ；
（2）105°的弧度数是 .
3.已知扇形的半径r＝30，圆心角α＝，则该扇形的弧长等于 ，面积等于 .
题型一 角度与弧度的互化
【例1】 将下列角度与弧度进行互化：
（1）π；（2）－；
（3）10°；（4）－855°.
通性通法
角度与弧度互化的原则和方法
（1）原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算；
（2）方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则α rad＝α·（）°；n°＝n· rad.
【跟踪训练】
1.把下列角度化为弧度：
（1）－300°＝ ；
（2）22°30'＝ .
2.把下列弧度化为角度：
（1）＝ ；
（2）－＝ .
题型二 用弧度制表示角的集合
【例2】 把下列角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合.
（1）－；（2）－1 485°.
通性通法
弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β｜β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
提醒 （1）角度与弧度不能混用；
（2）在任意角范围内，表示终边相同的角需加2kπ，k∈Z.
【跟踪训练】
用弧度制表示与150°角终边相同的角α的集合为 .
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
【例3】 （1）已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，求该扇形的面积；
（2）已知扇形的周长为10 cm，面积等于4 cm2，求其圆心角的弧度数.
通性通法
关于弧度制下扇形问题的解决方法
（1）三个公式：｜α｜＝，S＝lr，S＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程（组）求值；
（2）弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长（面积），利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解.
【跟踪训练】
1.在直径为20 cm的圆中，的圆心角所对弧的长为 cm.
2.已知扇形的面积为25，当扇形的圆心角（正角）为多大时，扇形的周长取得最小值？
1.1 920°转化为弧度数是（ ）
A. B.
C. D.
2.将弧度化成角度为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.已知扇形的圆心角为，弧长为π，则扇形的面积为 .
4.已知α＝.
（1）写出所有与α终边相同的角；
（2）写出在（－4π，2π）内与α终边相同的角.
扇形的弧长公式的应用
如图，点P，Q从点A（4，0）同时出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转.
【问题探究】
1.点P，Q第一次相遇时用了多少秒？
2.点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？
3.若点Q也按逆时针方向转，则点P，Q第一次相遇时用了多少秒？
【迁移应用】
某时针的秒针端点A到中心O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合.设秒针端点A转过的路程为d cm，所形成的扇形面积为S cm2，分别求d与S关于时间t（s）的函数，其中t∈[0，60]. 5.1.2 弧度制
【基础知识·重落实】
知识点一
半径长
知识点二
1.正数 负数 0
2.2π 360° π 180° （）°
想一想
提示：是.一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的.
知识点三
（1）αR （2）lR αR2
自我诊断
1.AC
2.（1）－144° （2） rad 解析：（1）－π＝－π×°＝－144°.
（2）105°＝105× rad＝ rad.
3.5π 75π
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）π＝×（）°＝15 330°.
（2）－＝－×（）°＝－105°.
（3）10°＝10×＝.
（4）－855°＝－855×＝－.
跟踪训练
1.（1）－ （2） 解析：（1）－300°＝－300×＝－.
（2）22°30'＝22.5°＝22.5×＝.
2.（1）690° （2）－40° 解析：（1）＝×（）°＝690°.
（2）－＝－×（）°＝－40°.
【例2】 解：（1）－＝－8×2π＋，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.
（2）－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋，它是第四象限角，与终边相同的角的集合为{α}.
跟踪训练
解析：150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为αα＝＋2kπ，k∈Z.
【例3】 解：（1）设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.
故扇形的面积S＝rl＝×2×4＝4（cm2）.
（2）设圆心角弧度数为α（0＜α＜2π），弧长为l，半径为r，则有解得或
当时，α＝＝8＞2π，不符合题意，舍去；
当时，α＝＝.
综上，圆心角的弧度数为.
跟踪训练
1.π 解析：由弧长公式l＝｜α｜R可得，弧长为×＝（cm）.
2.解：设扇形的半径为r，弧长为l，周长为y，则y＝l＋2r.
由题意知lr＝25，则l＝，
∴y＝＋2r≥2＝20，当且仅当＝2r，即r＝5时，y取得最小值，最小值为20，此时l＝10，圆心角α＝＝2.
即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值.
随堂检测
1.D 1 920°＝1 920×＝.
2.C rad＝×°＝120°.故选C.
3.2π 解析：由扇形的圆心角α＝，弧长l＝π，得扇形的半径r＝＝4，则扇形的面积S＝lr＝×π×4＝2π.
4.解：（1）所有与α终边相同的角可表示为θ｜θ＝2kπ＋，k∈Z.
（2）在（－4π，2π）内与α终边相同的角有－，－，.
拓视野 扇形的弧长公式的应用
问题探究
1.提示：设点P，Q第一次相遇所用的时间是t s，则t·＋t·＝2π，解得t＝4，所以第一次相遇时用了4 s.
2.提示：第一次相遇时，点P运动到角的终边与圆相交的位置，点Q运动到角－的终边与圆相交的位置，
所以点P走过的弧长为·4＝，点Q走过的弧长为×4＝.
3.提示：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则t·－t·＝2π，解得t＝12 s.所以第一次相遇时用了12 s.
迁移应用
解：∵秒针的旋转方向为顺时针，
∴t s后秒针端点A转过的角α＝－ rad，
∴秒针端点A转过的路程为d＝｜α｜·r＝（cm），
∴形成的扇形面积为S＝｜α｜·r2＝（cm2），
∴d＝（t∈[0，60]），S＝（t∈[0，60]）.
4 / 4(共61张PPT)
5.1.2 弧度制
新课程标准解读 核心素养
1.理解1弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能
进行角度与弧度之间的互化 数学抽象、
数学运算
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实
数的一一对应关系 数学抽象
3.理解弧度制下弧长与扇形面积公式并能应用 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆
周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学
家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》
中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周
角等于2π弧度，1弧度等于周角的 .这一思想将线段与
弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算.
【问题】 按照上述定义30°是多少弧度？
知识点一 度量角的两种制度
角
度
制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的 ，记作1°
弧
度
制 定义 用弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧
度的角.1弧度记作1 rad（rad可省略不写）
半径长
提醒 不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径
大小无关的定值.
知识点二 角度与弧度的换算
1. 弧度数的计算
2. 弧度与角度的换算
【想一想】
一个角的度数是否对应一个弧度数？
提示：是.一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的.
知识点三 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为 R ，弧长为 l ，α（0＜α＜2π）为其圆心角，则：
（1）弧长公式： l ＝ ；
（2）扇形面积公式： S ＝ lR ＝ α R2 .
提醒 在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是
“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则
应先化成“弧度”，再代入计算.
α R
lR
α R2
1. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
D. 圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对
的扇形的面积不变
2. （1）－ π rad化为角度是 ；
解析： － π＝－ π× °＝－144°.
（2）105°的弧度数是 .
解析： 105°＝105× rad＝ rad.
3. 已知扇形的半径 r ＝30，圆心角α＝ ，则该扇形的弧长等
于 ，面积等于 .
－144°
rad
5π
75π
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 角度与弧度的互化
【例1】 将下列角度与弧度进行互化：
（1） π；（2）－ ；（3）10°；（4）－855°.
解：（1） π＝ ×（ ）°＝15 330°.
（2）－ ＝－ ×（ ）°＝－105°.
（3）10°＝10× ＝ .
（4）－855°＝－855× ＝－ .
通性通法
角度与弧度互化的原则和方法
（1）原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝
°进行换算；
（2）方法：设一个角的弧度数为α，角度数为 n °，则α rad＝
α·（ ）°； n °＝ n · rad.
【跟踪训练】
1. 把下列角度化为弧度：
解析： －300°＝－300× ＝－ .
解析： 22°30'＝22.5°＝22.5× ＝ .
－
2. 把下列弧度化为角度：
（1） ＝ ；
解析： ＝ ×（ ）°＝690°.
（2）－ ＝ .
解析： － ＝－ ×（ ）°＝－40°.
690°
－40°
题型二 用弧度制表示角的集合
【例2】 把下列角化成2 k π＋α（0≤α＜2π， k ∈Z）的形式，指出
它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合.
（1）－ ；（2）－1 485°.
解： － ＝－8×2π＋ ，它是第二象限角，与 终边
相同的角的集合为 .
（2）－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋ ，它是第四象限角，与 终边相同的角的集合为{α }.
通性通法
弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β｜β＝2 k π＋
α， k ∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
提醒 （1）角度与弧度不能混用；
（2）在任意角范围内，表示终边相同的角需加2 k π， k ∈Z.
【跟踪训练】
用弧度制表示与150°角终边相同的角α的集合为 .
解析：150°＝150× ＝ ，故与150°角终边相同的角的集合为
.
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
【例3】 （1）已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，求该扇形的
面积；
解： 设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心角为2
rad，依据弧长公式可得 l ＝2 r ，从而扇形的周长为 l ＋2 r ＝4 r ＝
8，解得 r ＝2，则 l ＝4.
故扇形的面积 S ＝ rl ＝ ×2×4＝4（cm2）.
（2）已知扇形的周长为10 cm，面积等于4 cm2，求其圆心角的弧
度数.
解： 设圆心角弧度数为α（0＜α＜2π），弧长为 l ，半径
为 r ，则有解得或
当时，α＝ ＝8＞2π，不符合题意，舍去；
当时，α＝ ＝ .综上，圆心角的弧度数为 .
通性通法
关于弧度制下扇形问题的解决方法
（1）三个公式：｜α｜＝ ， S ＝ lr ， S ＝ α r2，要恰当选择公
式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程（组）求值；
（2）弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长
（面积），利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值
求解.
【跟踪训练】
1. 在直径为20 cm的圆中， 的圆心角所对弧的长为 π cm.
解析：由弧长公式 l ＝｜α｜ R 可得，弧长为 × ＝ （cm）.
π
2. 已知扇形的面积为25，当扇形的圆心角（正角）为多大时，扇形的
周长取得最小值？
解：设扇形的半径为 r ，弧长为 l ，周长为 y ，则 y ＝ l ＋2 r .
由题意知 lr ＝25，则 l ＝ ，
∴ y ＝ ＋2 r ≥2 ＝20，当且仅当 ＝2 r ，即 r ＝5时， y 取
得最小值，最小值为20，此时 l ＝10，圆心角α＝ ＝2.
即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值.
1.1 920°转化为弧度数是（ ）
解析： 1 920°＝1 920× ＝ .
2. 将 弧度化成角度为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： rad＝ × °＝120°.故选C.
3. 已知扇形的圆心角为 ，弧长为π，则扇形的面积为 .
解析：由扇形的圆心角α＝ ，弧长 l ＝π，得扇形的半径 r ＝ ＝
4，则扇形的面积 S ＝ lr ＝ ×π×4＝2π.
2π
4. 已知α＝ .
（1）写出所有与α终边相同的角；
解： 所有与α终边相同的角可表示为 θ｜θ＝2 k π＋
， k ∈Z .
（2）写出在（－4π，2π）内与α终边相同的角.
解： 在（－4π，2π）内与α终边相同的角有－ ，－
， .
扇形的弧长公式的应用
如图，点 P ， Q 从点 A （4，0）同时出发，沿圆周运动，点 P 按逆时
针方向每秒钟转 ，点 Q 按顺时针方向每秒钟转 .
【问题探究】
1. 点 P ， Q 第一次相遇时用了多少秒？
提示：设点 P ， Q 第一次相遇所用的时间是 t s，则 t · ＋ t · ＝
2π，解得 t ＝4，所以第一次相遇时用了4 s.
2. 点 P ， Q 第一次相遇时各自走过的弧长是多少？
提示：第一次相遇时，点 P 运动到角 的终边与圆相交的位置，点
Q 运动到角－ 的终边与圆相交的位置，
所以点 P 走过的弧长为 ·4＝ ，点 Q 走过的弧长为 ×4＝
.
3. 若点 Q 也按逆时针方向转，则点 P ， Q 第一次相遇时用了多少秒？
提示：设点 P ， Q 第一次相遇的时间为 t s，则 t · － t · ＝2π，解得
t ＝12 s.所以第一次相遇时用了12 s.
【迁移应用】
某时针的秒针端点 A 到中心 O 的距离为5 cm，秒针均匀地绕点 O 旋
转，当时间 t ＝0时，点 A 与钟面上标12的点 B 重合.设秒针端点 A 转过
的路程为 d cm，所形成的扇形面积为 S cm2，分别求 d 与 S 关于时间 t
（s）的函数，其中 t ∈[0，60].
解：∵秒针的旋转方向为顺时针，
∴ t s后秒针端点 A 转过的角α＝－ rad，
∴秒针端点 A 转过的路程为 d ＝｜α｜· r ＝ （cm），
∴形成的扇形面积为 S ＝ ｜α｜· r2＝ （cm2），
∴ d ＝ （ t ∈[0，60]）， S ＝ （ t ∈[0，60]）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 角 终边所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： ＝2π＋ ， 是第一象限角，故 是第一象限角.
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2. 已知扇形的面积为 ，半径是1，则扇形的圆心角是（ ）
解析： 设扇形的圆心角是α，则 ＝ α×12，解得α＝ .故
选C.
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3. 集合{α｜ k π＋ ≤α≤ k π＋ ， k ∈Z}中角所表示的范围（阴影
部分）是（ ）
解析： 当 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线 y ＝ x
的左上部分（包含边界）；当 k 为奇数时，集合对应的区域为第三
象限内直线 y ＝ x 的右下部分（包含边界）.
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4. 把角－570°化为2 k π＋α（0≤α＜2π， k ∈Z）的形式为
（ ）
B. －4π＋150°
C. －3 k π－30°
解析： 因为－570°＝－570× ＝－ ＝－2×2π＋ π，与
π的终边相同，所以把角－570°化为2 k π＋α（0≤α＜2π）的形
式为－4π＋ π.
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5. （多选）下列转化结果正确的是（ ）
解析： 对于A，67°30'＝67.5× ＝ ，正确；对于B，
－ ＝－ ×（ ）°＝－600°，正确；对于C，－150°＝
－150× ＝－ ，错误；对于D， ＝ ×（ ）°＝15°，
正确.
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6. （多选）下列表示中正确的是（ ）
A. 终边在 x 轴上的角的集合是{α｜α＝ k π， k ∈Z}
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解析： A，B显然正确；对于C，终边在 x 轴上的角的集合为
{α｜α＝ k π， k ∈Z}，终边在 y 轴上的角的集合为{α｜α＝ ＋ k
π， k ∈Z}，其并集为{α｜α＝ ， k ∈Z}，故C正确；对于D，
终边在 y ＝ x 上的角的集合为{α｜α＝ ＋2 k π， k ∈Z}或{α｜α
＝ ＋2 k π， k ∈Z}，其并集为{α｜α＝ ＋ k π， k ∈Z}，故D不
正确.
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解析：由于时针按顺时针方向转动，形成的角是负角，又由于时针
转动一小时，转动的弧度数为－ ，因此时针转动两小时，走的弧
度数为－ .
－
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8. 已知α＝15°，β＝ ，γ＝1，θ＝105°，则α，β，γ，θ
的大小关系为 .
解析：法一（化为弧度） α＝15°＝15× ＝ ，θ＝
105°＝105× ＝ .显然 ＜ ＜1＜ ，故α＜β＜γ
＜θ.
法二（化为角度） β＝ ＝ ×（ ）°＝18°，γ＝
1≈57.30°，显然15°＜18°＜57.30°＜105°，故α＜β＜
γ＜θ.
α＜β＜γ＜θ
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解析：设原来圆的半径为 r ，弧长为 l ，弧所对的圆心角为α（0＜
α＜2π），则现在的圆的半径为3 r ，弧长为 l ，设弧所对的圆心角
为β（0＜β＜2π），于是 l ＝α r ＝β·3 r ，∴β＝ α.
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10. 已知角α＝1 200°.
（1）将α改写成β＋2 k π（ k ∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出
α是第几象限角；
解： 因为α＝1 200°＝1 200× ＝ ＝3×2π＋ ，
所以角α与 的终边相同.
所以角α是第二象限角.
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（2）在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角.
解： 因为与角α终边相同的角（含角α在内）为2 k π
＋ ， k ∈Z，
所以由－4π≤2 k π＋ ≤π，得－ ≤ k ≤ .
因为 k ∈Z，所以 k ＝－2或 k ＝－1或 k ＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－ ，－
， .
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11. 已知某机械采用齿轮传动，由主动轮 M 带着从动轮 N 转动（如图
所示），设主动轮 M 的直径为150 mm，从动轮 N 的直径为300
mm，若主动轮 M 顺时针旋转 ，则从动轮 N 逆时针旋转（ ）
解析： 设从动轮 N 逆时针旋转θ rad，由题意，知主动轮 M 与
从动轮 N 转动的弧长相等，所以 × ＝ ×θ，解得θ＝ ，
故选B.
D. π
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12. 若角α与角 x ＋ 有相同的终边，角β与角 x － 有相同的终边，
那么α与β间的关系为（ ）
A. α＋β＝0
B. α－β＝0
C. α＋β＝2 k π（ k ∈Z）
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解析： 因为α＝ x ＋ ＋2 k1π（ k1∈Z），β＝ x － ＋2 k2π
（ k2∈Z），所以α－β＝ ＋2（ k1－ k2）π（ k1∈Z， k2∈Z）.
因为 k1∈Z， k2∈Z，所以 k1－ k2∈Z. 所以α－β＝ ＋2 k π（ k
∈Z）.
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13. 一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆
弧所对的圆心角为 .
解析：如图，设圆的半径为 R ，则正方形边长为
R ，∴弧长 l ＝ R ，∴α＝ ＝ ＝ .
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14. 已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为 R .
（1）若α＝ ， R ＝6 cm，求该扇形的弧长 l ；
解： l ＝α R ＝ ×6＝2π（cm），
即扇形的弧长为2π cm.
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（2）若扇形的周长为12 cm，问当α多大时，该扇形有最大面
积？并求出这个最大面积.
解： 依题意，得2 R ＋ l ＝12，则 l ＝12－2 R ，
扇形的面积 S ＝ lR ＝ （12－2 R ） R ＝－ R2＋6 R ，
所以当 R ＝3 cm时，扇形面积 S 有最大值9.
此时弧长 l ＝6 cm，得α＝ ＝2，
即当α＝2时，该扇形面积最大，最大面积为9 cm2.
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15. 某学生在手工课上设计制作了一款树叶形状的书签（如图所
示），该书签的边缘由两段圆弧组成，每段圆弧均为其所在圆周
的四分之一，这两段圆弧关于直线 AB 对称.若 AB ＝10 cm，则该
书签的面积为 cm2.
25π－50
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解析：由题知每段圆弧均为其所在圆周的四分之一，则每段圆弧
所对的圆心角均为 ，且两圆弧所在圆的半径相等，设其为 r ，则
r ＝5 cm，所以书签的面积 S ＝2×
＝25π－50（cm2）.
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16. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图
所示的扇形环面（由扇形 OAD 挖去扇形 OBC 后构成的）.已知 OA
＝10 m， OB ＝ x （0＜ x ＜10），线段 BA ， CD ，与弧 BC ，弧
AD 的长度之和为30 m，设圆心角为θ弧度.
（1）求θ关于 x 的函数解析式；
解： 根据题意，可算得 ＝θ x （m），
＝10θ（m）.
因为 AB ＋ CD ＋ ＋ ＝30，所以2（10－ x ）＋θ x ＋10θ＝30，所以θ＝ （0＜ x ＜10）.
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（2）记铭牌的截面面积为 y ，试问 x 取何值时， y 的值最大？并
求出最大值.
解： 根据题意，可知 y ＝ S扇形 AOD － S扇
形 BOC ＝ θ（102－ x2）＝ ×
＝（ x ＋5）·（10－ x ）＝－ x2＋5 x ＋50＝－（ x － ）2＋ ，当 x ＝ （m）时， ymax＝ （m2）.
综上所述，当 x ＝ m时铭牌的截面面积最大，且最大面积为 m2.
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谢 谢 观 看！
