5.2.2 同角三角函数的基本关系
1.已知sin α＝，且α为第二象限角，则＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
2.已知cos θ＝且＜θ＜2π，则sin θ＋tan θ＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
3.已知tan α＝2，则＝（ ）
A. B.
C. D.
4.已知＝5，则sin2α－sin αcos α＝（ ）
A. B.－
C.－2 D.2
5.（多选）＋的值可能为（ ）
A.0 B.1
C.－3 D.3
6.（多选）已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是（ ）
A.θ∈ B.cos θ＝－
C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝
7.化简＝ .
8.已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ＝ .
9.化简·sin2x＝ .
10.化简下列各式：
（1）cos4α＋sin2α（1＋cos2α）；
（2）－.
11.若α∈（0，），则＋的最小值是（ ）
A.16 B.17
C.18 D.19
12.（多选）已知角α是锐角，若sin α，cos α是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是（ ）
A.m2－2n－1＝0 B.mn＞0
C.m＋n＋1＞0 D.m2－4n＜0
13.若1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，则tan θ＝ .
14.已知函数f（x）＝ln x，g（x）＝2x.
（1）当f（sin α）＋f（cos α）＝f（）时，求sin α＋cos α的值；
（2）当g2（sin α）＝g（cos α）时，求＋tan α的值.
15.若sin θ＝，cos θ＝，θ∈（，π），则实数m＝ .
16.（1）分别计算cos4－sin4和cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？
（2）计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？
（3）证明：x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x；
（4）推测：x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明.
5.2.2 同角三角函数的基本关系
1.A 法一 因为sin α＝且α为第二象限角，所以cos α＝－，所以＝＝－.
法二 因为sin α＝，且α为第二象限角，故tan α＝－，＝＝＝－.故选A.
2.A 由cos θ＝且＜θ＜2π，得sin θ＝－＝－，∴tan θ＝＝－.∴sin θ＋tan θ＝－－＝－.故选A.
3.A 因为tan α＝2，sin2α＋cos2α＝1，所以＝＝＝.故选A.
4.A 由＝5得sin α＋3cos α＝5（3cos α－sin α），即sin α＝2cos α，所以tan α＝2，所以sin2α－sin αcos α＝＝＝＝.
5.BCD 令f（x）＝＋＝＋，当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，则f（x）＝2＋1＝3，当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，则f（x）＝2－1＝1，当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，则f（x）＝－2－1＝－3，当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，则f（x）＝－2＋1＝－1.
6.ABD 由题知sin θ＋cos θ＝①，∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝－＜0.又∵θ∈（0，π），∴＜θ＜π，sin θ－cos θ＞0.∵（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，∴sin θ－cos θ＝②.联立①②，得∴tan θ＝－.故选A、B、D .
7.cos 20° 解析：＝＝＝＝｜cos 20°｜＝cos 20°.
8. 解析：由sin4θ＋cos4θ＝，得（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝，∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝.
9.tan x 解析：原式＝·sin2x＝·sin2x＝＝tan x.
10.解：（1）原式＝cos4α＋（1－cos2α）（1＋cos2α）＝cos4α＋1－cos4α＝1.
（2）原式＝－＝－＝＝sin x＋cos x.
11.A ∵sin2α＋cos2α＝1，∴（＋）·（sin2α＋cos2α）＝10＋＋≥10＋2＝16，∵α∈（0，），当且仅当sin α＝cos α时，等号成立，∴＋的最小值是16.
12.AC sin α，cos α是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，所以sin α＋cos α＝－m，sin αcos α＝n，因为角α是锐角，所以m＜0，n＞0，则mn＜0，故B错误；又（sin α＋cos α）2＝1＋2sin αcos α＝m2，即1＋2n＝m2，所以m2－2n－1＝0，故A正确；又m≠－1，m＋n＋1＝m＋＋1＝＞0，故C正确；因为方程有两个实根，所以m2－4n≥0，故D错误.
13.1或2 解析：由1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，得sin2θ＋2cos2θ＝3sin θ·cos θ，显然cos θ≠0，sin θ≠0，所以tan2θ＋2＝3tan θ，解得tan θ＝1或2.
14.解：（1）因为f（sin α）＋f（cos α）＝f（），
所以ln（sin α）＋ln（cos α）＝ln ，
即
所以（sin α＋cos α）2＝1＋2sin αcos α＝，
所以sin α＋cos α＝.
（2）因为g2（sin α）＝g（cos α），
所以（2sin α）2＝2cos α，即2sin α＝cos α.
又cos α≠0，故tan α＝.
因为2sin α＝cos α，且sin2α＋cos2α＝1，
解得sin2α＝，cos2α＝，
所以＋tan α＝.
15.8 解析：∵θ∈（，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0，由题意可得即解得m＝8.
16.解：（1）cos4－sin4＝
＝cos2－sin2
＝－＝＝cos.
（2）cos4－sin4＝（cos2＋sin2）（cos2－sin2）＝cos2－sin2＝－＝0＝cos.
（3）证明：cos4x－sin4x
＝（cos2x＋sin2x）（cos2x－sin2x）
＝cos2x－sin2x.
（4）推测：cos2x－sin2x＝cos 2x.
2 / 25.2.2 同角三角函数的基本关系
新课程标准解读 核心素养
1.理解同角三角函数基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x 逻辑推理、数学运算
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明 逻辑推理、数学运算
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.如图，设点P（x，y）是角α的终边与单位圆的交点.
【问题】 你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？
知识点 同角三角函数的基本关系
1.基本关系
关系式 文字表述
平方 关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的 等于1
商数 关系 ＝ （α≠＋kπ，k∈Z） 同一个角α的正弦、余弦的 等于角α的
提醒 （1）“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在式子有意义的前提下）关系式都成立；（2）sin2α是（sin α）2的缩写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的.
2.公式变形
sin2α＋cos2α＝1
tan α＝
1.已知α∈，sin α＝，则cos α＝（ ）
A. B.－ C.－ D.
2.已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α＝（ ）
A. B.－ C.－ D.
3.化简：（1＋tan2α）·cos2α＝ .
题型一 利用同角基本关系式求值
角度1 直接利用基本关系式求值
【例1】 （1）已知sin α＝，求cos α，tan α 的值；
（2）已知α∈，tan α＝2，求cos α的值.
通性通法
求三角函数值的方法
（1）已知sin θ（或cos θ）求tan θ常用以下方法求解：
（2）已知tan θ求sin θ（或cos θ）常用以下方法求解：
提醒 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常根据三角函数值的符号对角θ分区间（象限）讨论.
角度2 利用弦切互化求值
【例2】 已知tan α＝－4，求下列各式的值：
（1）sin2α；（2）cos2α－sin2α；
（3）3sin αcos α；（4）.
通性通法
已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
（1）关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；
（2）若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值.
【跟踪训练】
1.已知tan α＝－，＜α＜π，则sin α＝（ ）
A. B.－
C.－ D.
2.已知＝－1，求下列各式的值：
（1）tan α；
（2）sin2α＋sin αcos α＋1.
题型二 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
【例3】 已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π.
（1）求sin αcos α的值；
（2）求sin α－cos α的值.
通性通法
sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.
提醒 求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置来判断它们的符号.
【跟踪训练】
若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝ .
题型三 三角函数式的化简与证明
角度1 三角函数式的化简
【例4】 化简：sin2αtan α＋＋2sin αcos α.
通性通法
三角函数式的化简技巧
（1）化切为弦，即把正切函数转化为正、余弦函数，从而减少函数类型，达到化繁为简的目的；
（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
角度2 三角恒等式的证明
【例5】 求证：（1－cos α）＝sin α.
通性通法
证明三角恒等式常用的方法
（1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
（2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
（3）化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；
（4）变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等；
（5）比较法，即设法证明“左边—右边＝0”或“＝1”.
【跟踪训练】
1.化简：＋（1＋tan2α）cos2α.
2.求证：（1－tan4A）cos2A＋tan2A＝1.
1.已知sin θ＝，θ∈，则tan θ＝（ ）
A.－2 B.－
C.－ D.－
2.cos2x＝（ ）
A.tan x B.sin x
C.cos x D.
3.若α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝ .
4.若2sin α＋cos α＝0，求－的值.
5.2.2 同角三角函数的基本关系
【基础知识·重落实】
知识点
1.平方和 tan α 商 正切
自我诊断
1.B 因为α∈，且sin α＝，所以cos α＝－＝－＝－.
2.C 由题意得（sin α－cos α）2＝，则1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝（1－）＝－.
3.1 解析：原式＝cos2α＝sin2α＋cos2α＝1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）∵sin α＝＞0，∴α是第一或第二象限角.
当α为第一象限角时，cos α＝＝＝，tan α＝＝；
当α为第二象限角时，cos α＝－，
tan α＝－.
（2）由已知得
由①得sin α＝2cos α，代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝，又α∈，
∴cos α＜0，
∴cos α＝－.
【例2】 解：（1）sin2α＝＝＝＝.
（2）cos2α－sin2α＝＝＝＝－.
（3）3sin αcos α＝＝＝＝－.
（4）＝＝＝.
跟踪训练
1.D 由tan α＝＝－，得cos α＝－2sin α.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝.因为＜α＜π，所以sin α＝.故选D.
2.解：（1）因为＝－1，所以＝－1，解得tan α＝1.
（2）sin2α＋sin αcos α＋1
＝
＝
＝
＝＝2.
【例3】 解：（1）由sin α＋cos α＝－得（sin α＋cos α）2＝，
sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，
sin αcos α＝－.
（2）因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，
所以sin α＞0，cos α＜0 sin α－cos α＞0.
（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝，
所以sin α－cos α＝.
跟踪训练
－2 解析：由已知得（sin θ－cos θ）2＝2，∴sin θcos θ＝－，∴tan θ＋＝＋＝＝－2.
【例4】 解：原式＝sin2α＋cos2α·＋2sin αcos α
＝
＝＝.
【例5】 证明：左边＝（1－cos α）
＝（1－cos α）
＝·（1－cos α）
＝＝＝sin α.
所以左边＝右边，原等式成立.
跟踪训练
1.解：原式＝＋cos2α
＝＋·cos2α＝1＋1＝2.
2.证明：∵左边＝·cos2A＋＝＋＝＋＝＝1＝右边，∴原等式成立.
随堂检测
1.D ∵sin θ＝，θ∈，∴cos θ＝－＝－，∴tan θ＝＝＝－.
2.D cos2x＝sin xcos x＋＝＝＝，故选D.
3.－ 解析：因为tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝±.因为α是第四象限角，所以sin α＝－.
4.解：因为2sin α＋cos α＝0，
所以tan α＝－，
原式＝
＝
＝＝－2tan2α＝－.
4 / 4(共60张PPT)
5.2.2
同角三角函数的基本关系
新课程标准解读 核心素养
逻辑推理、
数学运算
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式
的求值、化简和证明 逻辑推理、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所
以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.我们不妨讨论同
一个角的三个三角函数值之间的关系.如图，设点 P （ x ， y ）是角α
的终边与单位圆的交点.
【问题】 你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？
知识点 同角三角函数的基本关系
1. 基本关系
关系式 文字表述
平方 关系 sin 2α＋ cos 2α＝1 同一个角α的正弦、余弦
的 等于1
商数 关系 同一个角α的正弦、余弦
的 等于角α的
平方和
tan α
商
正切
提醒 （1）“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对
“任意”一个角（在式子有意义的前提下）关系式都成立；（2）
sin 2α是（ sin α）2的缩写，读作“ sin α的平方”，不能将 sin
2α写成 sin α2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的.
2. 公式变形
sin 2α＋ cos 2α＝1
tan α＝
1. 已知α∈ ， sin α＝ ，则 cos α＝（ ）
解析： 因为α∈ ，且 sin α＝ ，所以 cos α＝－
＝－ ＝－ .
2. 已知 sin α－ cos α＝－ ，则 sin α cos α＝（ ）
解析： 由题意得（ sin α－ cos α）2＝ ，则1－2 sin α cos
α＝ ，∴ sin α cos α＝ （1－ ）＝－ .
3. 化简：（1＋tan2α）· cos 2α＝ .
解析：原式＝ cos 2α＝ sin 2α＋ cos 2α＝1.
1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用同角基本关系式求值
角度1 直接利用基本关系式求值
【例1】 （1）已知 sin α＝ ，求 cos α，tan α 的值；
解： ∵ sin α＝ ＞0，∴α是第一或第二象限角.
当α为第一象限角时， cos α＝ ＝ ＝ ，
tan α＝ ＝ ；
当α为第二象限角时， cos α＝－ ，tan α＝－ .
（2）已知α∈ ，tan α＝2，求 cos α的值.
解： 由已知得&sinαcosα=2， ①
&sin2α＋cos2α=1，②
由①得 sin α＝2 cos α，代入②得4 cos 2α＋ cos 2α＝1，
∴ cos 2α＝ ，又α∈ ，∴ cos α＜0，
∴ cos α＝－ .
通性通法
求三角函数值的方法
（1）已知 sin θ（或 cos θ）求tan θ常用以下方法求解：
（2）已知tan θ求 sin θ（或 cos θ）常用以下方法求解：
提醒 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常根据三角函数值
的符号对角θ分区间（象限）讨论.
角度2 利用弦切互化求值
【例2】 已知tan α＝－4，求下列各式的值：
（1） sin 2α；
解： sin 2α＝ ＝ ＝ ＝ .
解： cos 2α－ sin 2α＝ ＝ ＝ ＝－ .
（2） cos 2α－ sin 2α；
解： 3 sin α cos α＝ ＝ ＝ ＝－ .
解： ＝ ＝ ＝ .
（3）3 sin α cos α；
（4） .
通性通法
已知角α的正切求关于 sin α， cos α的齐次式的方法
（1）关于 sin α， cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin
α， cos α的式子且它们的次数之和相同，设为 n 次，将分子、
分母同除以 cos α的 n 次幂，其式子可化为关于tan α的式子，
再代入求值；
（2）若无分母时，把分母看作1，并将1用 sin 2α＋ cos 2α来代换，
将分子、分母同除以 cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入
求值.
【跟踪训练】
1. 已知tan α＝－ ， ＜α＜π，则 sin α＝（ ）
解析： 由tan α＝ ＝－ ，得 cos α＝－2 sin α.又因为 sin
2α＋ cos 2α＝1，所以 sin 2α＋4 sin 2α＝1，即 sin 2α＝ .因为
＜α＜π，所以 sin α＝ .故选D.
2. 已知 ＝－1，求下列各式的值：
（1）tan α；
解： 因为 ＝－1，所以 ＝－1，解得tan
α＝1.
（2） sin 2α＋ sin α cos α＋1.
解： sin 2α＋ sin α cos α＋1
＝
＝
＝
＝ ＝2.
题型二 sin α± cos α与 sin α cos α关系的应用
【例3】 已知 sin α＋ cos α＝－ ，0＜α＜π.
（1）求 sin α cos α的值；
解： 由 sin α＋ cos α＝－ 得（ sin α＋ cos α）2＝ ，
sin 2α＋2 sin α cos α＋ cos 2α＝ ， sin α cos α＝－ .
（2）求 sin α－ cos α的值.
解： 因为0＜α＜π， sin α cos α＜0，
所以 sin α＞0， cos α＜0 sin α－ cos α＞0.
（ sin α－ cos α）2＝1－2 sin α cos α＝ ，
所以 sin α－ cos α＝ .
通性通法
sin α＋ cos α， sin α－ cos α， sin α cos α三个式子中，已
知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系
是：（ sin α± cos α）2＝1±2 sin α cos α.
提醒 求 sin α＋ cos α或 sin α－ cos α的值，要注意根据角的终边
位置来判断它们的符号.
【跟踪训练】
若 sin θ－ cos θ＝ ，则tan θ＋ ＝ .
解析：由已知得（ sin θ－ cos θ）2＝2，∴ sin θ cos θ＝－ ，
∴tan θ＋ ＝ ＋ ＝ ＝－2.
－2
题型三 三角函数式的化简与证明
角度1 三角函数式的化简
【例4】 化简： sin 2αtan α＋ ＋2 sin α cos α.
解：原式＝ sin 2α ＋ cos 2α ＋2 sin α cos α
＝ ＝ ＝ .
通性通法
三角函数式的化简技巧
（1）化切为弦，即把正切函数转化为正、余弦函数，从而减少函数
类型，达到化繁为简的目的；
（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后
去根号达到化简的目的；
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造
sin 2α＋ cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
角度2 三角恒等式的证明
【例5】 求证： （1－ cos α）＝ sin α.
证明：左边＝ （1－ cos α）
＝ （1－ cos α）
＝ ·（1－ cos α）
＝ ＝ ＝ sin α.
所以左边＝右边，原等式成立.
通性通法
证明三角恒等式常用的方法
（1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
（2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
（3）化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以
消除差异；
（4）变更命题法，如要证明 ＝ ，可证 ad ＝ bc 或证 ＝ 等；
（5）比较法，即设法证明“左边—右边＝0”或“ ＝1”.
【跟踪训练】
1. 化简： ＋（1＋tan2α） cos 2α.
解：原式＝ ＋ cos 2α
＝ ＋ · cos 2α＝1＋1＝2.
2. 求证：（1－tan4 A ） cos 2 A ＋tan2 A ＝1.
证明：∵左边＝ · cos 2 A ＋ ＝
＋ ＝ ＋ ＝
＝1＝右边，∴原等式成立.
1. 已知 sin θ＝ ，θ∈ ，则tan θ＝（ ）
A. －2
解析： ∵ sin θ＝ ，θ∈ ，∴ cos θ＝－
＝－ ，∴tan θ＝ ＝ ＝－ .
2. cos 2 x ＝（ ）
A. tan x B. sin x
C. cos x
解析： cos 2 x ＝ sin x cos x ＋ ＝
＝ ＝ ，故选D.
3. 若α是第四象限角，tan α＝－ ，则 sin α＝ － .
解析：因为tan α＝ ＝－ ， sin 2α＋ cos 2α＝1，所以 sin α
＝± .因为α是第四象限角，所以 sin α＝－ .
－
4. 若2 sin α＋ cos α＝0，求 － 的值.
解：因为2 sin α＋ cos α＝0，
所以tan α＝－ ，
原式＝
＝
＝ ＝－2tan2α＝－ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 sin α＝ ，且α为第二象限角，则 ＝（ ）
解析： 法一 因为 sin α＝ 且α为第二象限角，所以 cos α＝
－ ，所以 ＝ ＝－ .
法二 因为 sin α＝ ，且α为第二象限角，故tan α＝－ ，
＝ ＝ ＝－ .故选A.
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2. 已知 cos θ＝ 且 ＜θ＜2π，则 sin θ＋tan θ＝（ ）
解析： 由 cos θ＝ 且 ＜θ＜2π，得 sin θ＝－
＝－ ，∴tan θ＝ ＝－ .∴ sin θ＋tan θ＝－ － ＝－ .
故选A.
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3. 已知tan α＝2，则 ＝（ ）
解析： 因为tan α＝2， sin 2α＋ cos 2α＝1，所以
＝ ＝ ＝ .故选A.
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4. 已知 ＝5，则 sin 2α－ sin α cos α＝（ ）
C. －2 D. 2
解析： 由 ＝5得 sin α＋3 cos α＝5（3 cos α－ sin
α），即 sin α＝2 cos α，所以tan α＝2，所以 sin 2α－ sin α
cos α＝ ＝ ＝ ＝ .
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5. （多选） ＋ 的值可能为（ ）
A. 0 B. 1
解析： 令 f （ x ）＝ ＋ ＝ ＋
，当 x 为第一象限角时， sin x ＞0， cos x ＞0，则 f （ x ）＝
2＋1＝3，当 x 为第二象限角时， sin x ＞0， cos x ＜0，则 f （ x ）＝
2－1＝1，当 x 为第三象限角时， sin x ＜0， cos x ＜0，则 f （ x ）＝
－2－1＝－3，当 x 为第四象限角时， sin x ＜0， cos x ＞0，则 f
（ x ）＝－2＋1＝－1.
C. －3 D. 3
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6. （多选）已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos θ＝ ，则下列结论正
确的是（ ）
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解析： 由题知 sin θ＋ cos θ＝ ①，∴（ sin θ＋ cos θ）
2＝1＋2 sin θ cos θ＝ ，∴2 sin θ cos θ＝－ ＜0.又∵θ∈
（0，π），∴ ＜θ＜π， sin θ－ cos θ＞0.∵（ sin θ－ cos
θ）2＝1－2 sin θ cos θ＝1－ ＝ ，∴ sin θ－ cos θ＝
②.联立①②，得∴tan θ＝－ .故选A、B、D .
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7. 化简 ＝ .
解析： ＝ ＝ ＝
＝｜ cos 20°｜＝ cos 20°.
cos 20°
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8. 已知θ是第三象限角，且 sin 4θ＋ cos 4θ＝ ，则 sin θ cos θ
＝ .
解析：由 sin 4θ＋ cos 4θ＝ ，得（ sin 2θ＋ cos 2θ）2－2 sin 2θ
cos 2θ＝ ，∴ sin 2θ cos 2θ＝ .∵θ是第三象限角，∴ sin θ＜
0， cos θ＜0，∴ sin θ cos θ＝ .
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9. 化简 · sin 2 x ＝ .
解析：原式＝ · sin 2 x ＝ · sin 2 x ＝ ＝tan x .
tan x
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10. 化简下列各式：
（1） cos 4α＋ sin 2α（1＋ cos 2α）；
解： 原式＝ cos 4α＋（1－ cos 2α）（1＋ cos 2α）＝
cos 4α＋1－ cos 4α＝1.
（2） － .
解： 原式＝ － ＝ －
＝ ＝ sin x ＋ cos x .
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11. 若α∈（0， ），则 ＋ 的最小值是（ ）
A. 16 B. 17
C. 18 D. 19
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解析： ∵ sin 2α＋ cos 2α＝1，∴（ ＋ ）·（ sin 2α
＋ cos 2α）＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝16，
∵α∈（0， ），当且仅当 sin α＝ cos α时，等号成立，
∴ ＋ 的最小值是16.
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12. （多选）已知角α是锐角，若 sin α， cos α是关于 x 的方程 x2＋
mx ＋ n ＝0的两个实数根，则下列关于实数 m ， n 的判断正确的是
（ ）
A. m2－2 n －1＝0 B. mn ＞0
C. m ＋ n ＋1＞0 D. m2－4 n ＜0
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解析： sin α， cos α是关于 x 的方程 x2＋ mx ＋ n ＝0的两个
实数根，所以 sin α＋ cos α＝－ m ， sin α cos α＝ n ，因为角
α是锐角，所以 m ＜0， n ＞0，则 mn ＜0，故B错误；又（ sin α
＋ cos α）2＝1＋2 sin α cos α＝ m2，即1＋2 n ＝ m2，所以 m2－2
n －1＝0，故A正确；又 m ≠－1， m ＋ n ＋1＝ m ＋ ＋1＝
＞0，故C正确；因为方程有两个实根，所以 m2－4 n
≥0，故D错误.
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13. 若1＋ cos 2θ＝3 sin θ· cos θ，则tan θ＝ .
解析：由1＋ cos 2θ＝3 sin θ· cos θ，得 sin 2θ＋2 cos 2θ＝3 sin
θ· cos θ，显然 cos θ≠0， sin θ≠0，所以tan2θ＋2＝3tan
θ，解得tan θ＝1或2.
1或2
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14. 已知函数 f （ x ）＝ln x ， g （ x ）＝2 x .
（1）当 f （ sin α）＋ f （ cos α）＝ f （ ）时，求 sin α＋ cos
α的值；
解： 因为 f （ sin α）＋ f （ cos α）＝ f （ ），
所以ln（ sin α）＋ln（ cos α）＝ln ，
即
所以（ sin α＋ cos α）2＝1＋2 sin α cos α＝ ，
所以 sin α＋ cos α＝ .
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（2）当 g2（ sin α）＝ g （ cos α）时，求 ＋tan α的值.
解： 因为 g2（ sin α）＝ g （ cos α），
所以（2 sin α）2＝2 cos α，即2 sin α＝ cos α.
又 cos α≠0，故tan α＝ .
因为2 sin α＝ cos α，且 sin 2α＋ cos 2α＝1，
解得 sin 2α＝ ， cos 2α＝ ，
所以 ＋tan α＝ .
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15. 若 sin θ＝ ， cos θ＝ ，θ∈（ ，π），则实数 m
＝ .
8
解析：∵θ∈（ ，π），∴ sin θ＞0， cos θ＜0，由题意
可得即
解得 m ＝8.
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16. （1）分别计算 cos 4 － sin 4 和 cos 2 － sin 2 ， cos 的值，你
有什么发现？
解： cos 4 － sin 4
＝
＝ cos 2 － sin 2
＝ － ＝ ＝ cos .
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（2）计算 cos 4 － sin 4 ， cos 2 － sin 2 ， cos 的值，你有什
么发现？
解： cos 4 － sin 4
＝
＝ cos 2 － sin 2 ＝ － ＝0＝ cos .
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（3）证明： x ∈R， cos 2 x － sin 2 x ＝ cos 4 x － sin 4 x ；
解： 证明： cos 4 x － sin 4 x
＝（ cos 2 x ＋ sin 2 x ）（ cos 2 x － sin 2 x ）
＝ cos 2 x － sin 2 x .
（4）推测： x ∈R， cos 2 x － sin 2 x 与 cos 2 x 的关系，不需证明.
解： 推测： cos 2 x － sin 2 x ＝ cos 2 x .
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