2025--2026年湖南省邵阳市九年级数学人教版上学期第25章--26章综合能力基础练习试卷（含解析）

2025--2026年湖南省邵阳市九年级数学人教版
上学期第25章--26章综合能力基础练习试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）
A． B．
C． D．
2．将一个正六面体骰子掷一次，它的点数恰好是4的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．下列事件是随机事件的是（ ）
A．通常加热到时，水沸腾
B．任意画一个四边形，其内角和是
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．明天太阳从东方升起
4．已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内 B．点P在上
C．点P在外 D．无法确定
5．如图，点A、B、C、D在上，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（ ）
A．4 B． C． D．2
7．下列说话正确的是（ ）
A．检测某城市的空气质量，用全面调查 B．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，用抽样调查
C．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是必然事件 D．任意画一个三角形，其内角和是是随机事件
8．下列事件是不可能事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心
B．投一枚图钉，钉尖朝上
C．把一粒种子种在花盆中，种子发芽
D．水中捞月
9．如图，在等腰中，，点O是边中点，的半径为1，点P是边上一动点，则由点P到的切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形内接于，，，的直径为，四边形的周长为，的长为，则关于的函数关系式是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
11．一个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0至9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了中间的数字，他一次就能打开该锁的概率是 ．
12．一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ；
13．如图，在 中，弦 等于 的半径， 交 于点 ，则 ．

14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为 m．

15．如图，是的直径，弦与交于点，若，，则的半径为 ．
16．如图1，在扇形中，点P从A点出发，沿运动至B点，再沿线段运动至O点．当点P运动到B点时，点Q从O点出发，沿方向运动（当点P到达O点时，P，Q同时停止运动）．已知，点P的速度为5个单位长度每秒，点Q的速度为4个单位长度每秒．P点到O点的距离d与运动时间t（秒）的关系如图2所示．
（1）m的值为 ．
（2）面积的最大值为 ．
17．点I是的内心，若，则等于 ，已知的周长为12，的面积为6，则该三角形内切圆的半径为 ．
18．如图，在中，弦和的延长线相交于点P，若，为，则为 °．
三、解答题
19．在一个不透明的袋子中装有8个红球和16个白球，它们只有颜色上的区别，现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，则取走多少个白球？
20．一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．
(1)求第一次摸出的球上的数字为奇数的概率；
(2)请用树状图或列表法求两次摸出的球上的数字之和不小于3的概率．
21．班级联欢会上有一个抽奖活动，每名同学均参加一次抽奖，活动规则如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上（如下图），每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后放回，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．
(1)“随机选中一个杯子，杯内彩蛋颜色是黑色”是 事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；
(2)请用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．
22．在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘，转盘A被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘B被分成三个相同的扇形，分别标有数字5、6、7，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）．小滨自由转动A盘，小河自由转动B盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为的倍数的概率．
23．如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，．
(1)求证：；
(2)若点在的延长线上，且，证明：是的切线；
(3)求的半径．
24．如图，在中，是直径，弦，垂足为点E，连结，．

(1)求证：．
(2)若，，求的长度．
25．用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是多少？
26．如图，在平面直角坐标系中，点，，
(1)以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的；
(2)在（1）的条件下，求点B经过的路径长．
试卷第1页，共3页
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《2025--2026年湖南省邵阳市九年级数学人教版 上学期第25章--26章综合能力基础练习试卷》参考答案
1．D
【分析】此题主要考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．利用指针落在阴影区域内的概率阴影部分面积总面积，分别求出概率比较即可．
【详解】解：A、指针落在阴影区域内的概率为；
B、指针落在阴影区域内的概率是；
C、指针落在阴影区域内的概率为；
D、指针落在阴影区域内的概率为，
，
指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是D选项．
故选：D．
2．A
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：骰子上有6个数，点数是4的只有6种情况，
∴点数是4的概率是．
故选：A．
【点睛】考查了列表法和树状图法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．注意本题是放回实验．
3．C
【分析】本题考查事件的分类，根据生活常识及四边形内角和即可判断答案，解决本题需要熟记事件分为必然事件、不可能事件、随机事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．熟记事件分类及相关定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、通常加热到时，水沸腾，是必然事件，不符合题意；
B、由四边形内角和为，则任意画一个四边形，其内角和是，是不可能事件，不符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，符合题意；
D、明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
故选：C．
4．A
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案．
【详解】解：∵
即的半径，
∴点P在内，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则，由平行线的性质以及等腰三角形得到，再由三角形内角和定理求出，再由角度和差计算即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质，根据等边对等角结合三角形内角和定理得出，由圆周角定理得出，，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：，，
∴，
∵，
，
为的直径，
，
在中，，
∴，
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了事件的分类，全面调查，抽样调查等知识．根据事件的分类，全面调查，抽样调查对各选项进行判断作答即可，熟练掌事件的分类，全面调查，抽样调查是解题的关键．
【详解】A、检测某城市的空气质量，用抽样调查，原说法错误，不符合题意；
B、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，用抽样调查，原说法正确，故符合题意；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
D、“任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件”，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了随机事件，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，可以有发生也可能不发生的事件叫随机事件是解题的关键．
根据不可能事件的定义判断即可．
【详解】解：A、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，不符合题意；
B、“投一枚图钉，钉尖朝上”是随机事件，不符合题意；
C、“把一粒种子种在花盆中，种子发芽”是随机事件，不符合题意；
D、“水中捞月”是不可能事件，符合题意；
故选：D．
9．B
【分析】本题考查动态几何和勾股定理，转化线段的最小值，找到位置是解题的关键．先确定最小值时的位置为最短时，线段最小，再利用勾股定理解题．
【详解】解：如图，连接，
与相切于点Q，
，
当最短时，线段最小，
当时，线段最小，
点O是边的中点，
，
，
，
，
，即P到的切线长的最小值为．
故选：B．
10．B
【分析】过点作交的延长线于，连接，先证明是等腰直角三角形，为直径，则，而得，证明是等腰直角三角形得，，然后证明和全等得，则，即可得出答案．
【详解】解：过点作交的延长线于，连接，如图所示：
四边形内接于，，，
为的直径，是等腰直角三角形，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
∴，
，，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
11．
【分析】根据中间一个数字共有0至9十种情况，其中只有一种能打开，利用概率公式进行求解即可．
【详解】因为密码由三个数字组成，个位和百位上的数字已经确定，中间一个数字为0至9这十个数字中的一个，所以一次就能打开该锁的概率是．
故答案为：
【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件A的概率．
12．
【分析】根据概率公式直接进行计算即可得解．
【详解】解：从袋子中随机摸出一个小球，共有9种等可能的结果，其中摸出的小球是红球的结果有6种，
∴摸出的小球是红球的概率是；
故答案为：．
【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
13．/30度
【分析】根据题意可得是等边三角形，再结合，得到．
【详解】解：∵弦 等于 的半径，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
14．1
【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；过点O作，交于点C，交于点H，则有，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：过点O作，交于点C，交于点H，如图所示：

∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
15．2
【分析】此题考查垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等，把式子进行变形是解题的关键．过点作， 连接，根据垂径定理可得根据得到对式子进行变换，即可求出半径．
【详解】解：设的半径为R，过点作， 连接，
，
∴是等腰直角三角形，
，
∴
，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴的半径为2．
故答案为：2．
16．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，列函数解析式是解题的关键．
（1）由图象得扇形的半径为10，根据弧长公式求出的长即可求解；
（2）根据二次函数的性质求解．
【详解】解：（1）由图象得：扇形的半径为10，
∴ ，
∴，
故答案为：；
（2）设从点B处开始经过时，面积的面积为y，
则：
∴
∵，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y取最大值，为，
故答案为：．
17． /52度 1
【分析】本题方要考查了三角形角平分线的性质、内切圆与内心性质、三角形面积公式等知识点，熟悉角平分线相关性质与结论是解答本题的关键．根据三角形两条内角平分线相交所形成的角，即可计算出，进而得到，由三角形内角和定理即可求出；根据三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，据此算出答案．
【详解】解：如图，
∵点I是的内心，，
∴，
∴，
∴．
设内切圆半径为r，则，
故答案为：，1．
18．
【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形外角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理求出的度数，由三角形外角的性质求出的度数，最后再根据圆周角定理求出的度数即可．
【详解】解：如图，连接．
，
，
，
．
故答案为：．
19．取走7个白球
【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．取走x个白球，则放入x个红球，根据题意可得=，解方程即可求得答案．
【详解】解：设取走x个白球，则放入x个红球，
根据题意可得，
解得，
所以取走7个白球．
20．(1)
(2)
【分析】直接根据概率公式用出现情况数除以总情况数即可．
画树状图即可．
【详解】（1）∵奇数出现的情况是2种，总情况有3种，
∴概率为：．
（2）画树状图为：
则共有9种等可能结果，
∴两次摸出的球上的数字之和不小于3的情况有8种，
∴概率为：．
【点睛】本题考查了概率的求法及树状图的画法，掌握概率=所求情况与总情况之比．
21．(1)不可能
(2)
【分析】（1）根据事件的分类标准判断解答即可．
（2）利用画树状图法解答即可．
本题考查了事件，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得杯内彩蛋颜色是黑色”是不可能事件，
故答案为：不可能．
（2）解：根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中两次选中的彩蛋颜色不同的有4种，
∴获一等奖的概率．
22．所得两数之和为3的倍数的概率为
【分析】本题考查列表法与树状图法，画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解；解题的关键是掌握：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，两数之和为3的倍数的情况有4种，
∴P（两数之和为3的倍数），
答：所得两数之和为3的倍数的概率为．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，又由，，即可证明；
（2）连接交于点．由得到，由圆周角定理得到，已知，得到，则．由点是弧的中点得到半径，则半径，即可证明是的切线；
（3）设的半径为．证明，．．求出，则．由得到．根据勾股定理得到，则，解方程即可求出的半径．
【详解】（1）证明：∵点是弧的中点，
∴
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
（2）证明：连接交于点．
∵，
∴，且，
∵，
∴，
∴．
∵点是弧的中点，
∴半径，
∴半径，
∴是的切线．
（3）解：设的半径为．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵点是的中点，
∴点是的中点．
∵点是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
∴的半径为．
【点睛】此题考查了圆周角定理、切线的判定、垂径定理、勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧长公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）因为是直径，所以，结合圆周角定理，即可作答．
（2）因为是直径，所以，即，故，则，再运用弧长公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明：，是直径，
，
；
（2）解：如图，连接，，．
，是直径，
，
，
，
，
，
的长．
25．
【分析】本题考查了圆锥的底面周长，弧长公式，利用底面周长展开图的弧长可得．解答本题的关键是有确定底面周长展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
【详解】解：扇形的弧长，
设圆锥底面半径为，
故可得，
解得．
底面圆的半径为．
26．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了作图-旋转变换，弧长公式，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，依次连接即可；
（2）由勾股定理求出，再利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：作出点、以点C为旋转中心，把逆时针旋转的对应点、，依次连接 、、，则即为所求，如图所示：
（2）解：由网格和勾股定理可得：，
由题意可得：，
点B经过的路径长为．
答案第1页，共2页