三角函数中的对称性及参数求解
题型一 三角函数的对称性
【例1】 （1）函数y＝tan（x＋）的一个对称中心是（ ）
A.（0，0） B.（，0）
C.（，0） D.（π，0）
（2）函数y＝sin（2x＋）的图象的对称轴是直线 ，对称中心是 .
通性通法
1.正弦函数y＝sin x的对称中心为（kπ，0）（k∈Z）；对称轴为x＝＋kπ（k∈Z）.
2.余弦函数y＝cos x的对称中心为（＋kπ，0）（k∈Z）；对称轴为x＝kπ（k∈Z）.
3.正切函数只有对称中心，没有对称轴，对称中心为（，0）（k∈Z）.
4.对于函数y＝sin（ωx＋φ），y＝cos（ωx＋φ）及y＝tan（ωx＋φ）的图象的对称问题，应将ωx＋φ看作一个整体，利用整体思想求解.
【跟踪训练】
1.设函数f（x）＝cos（ωx－）（ω＞0）的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ）
A.x＝ B.x＝－
C.x＝ D.x＝－
2.求函数y＝2sin（－2x＋）的对称轴、对称中心.
题型二 三角函数中的参数求解
角度1 由三角函数的最值求参数
【例2】 若函数y＝a－bcos x（b＞0）的最大值为，最小值为－，则实数a、b的值分别为 ， .
通性通法
求形如y＝asin x＋b（或y＝acos x＋b）型三角函数中的参数a、b的值时，一般利用正弦（余弦）函数的有界性列方程组求解，注意参数a的正负.
角度2 由三角函数的图象求参数
【例3】 已知函数f（x）＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为（，0）和（，0），则函数f（x）＝ .
通性通法
由三角函数的图象求参数一般涉及A、ω、φ：（1）A可由图象中的最高点、最低点及对称中心的坐标确定；
（2）ω可由相邻两对称轴或相邻两对称中心确定；
（3）φ可由某关键点、线确定.
角度3 由三角函数的奇偶性求参数
【例4】 已知函数f（x）＝sin（x＋＋φ）是奇函数，则φ的值可以是（ ）
A.0 B.－ C. D.π
通性通法
由三角函数的奇偶性求参数φ的思路
（1）要使y＝Asin（ωx＋φ）（Aω≠0）为奇函数，需φ＝kπ（k∈Z）；
（2）要使y＝Asin（ωx＋φ）（Aω≠0）为偶函数，需φ＝kπ＋（k∈Z）；
（3）要使y＝Acos（ωx＋φ）（Aω≠0）为奇函数，需φ＝kπ＋（k∈Z）；
（4）要使y＝Acos（ωx＋φ）（Aω≠0）为偶函数，需φ＝kπ（k∈Z）.
角度4 由三角函数的对称性求参数
【例5】 已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜｜φ｜＜）的最小正周期为π，且关于（，0）中心对称，则φ＝ .
通性通法
由三角函数的对称性求参数φ的思路
（1）对于函数y＝sin（ωx＋φ），y＝cos（ωx＋φ），应将ωx＋φ看成一个整体，利用整体思想，令ωx＋φ等于kπ或kπ＋（k∈Z），求出φ的值；
（2）对于函数y＝tan（ωx＋φ），令ωx＋φ＝（k∈Z），求出φ的值.
角度5 由三角函数的单调性求参数
【例6】 已知函数y＝sin（ωx＋）（ω＞0）在区间（－，）上单调递增，则ω的取值范围是 .
通性通法
对于已知函数单调区间的某一部分确定参数ω的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系列方程（不等式组）求解.
培优课 三角函数中的对称性及参数求解
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）C （2）x＝＋（k∈Z） （－，0）（k∈Z）
解析：（1）令x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，∴函数y＝tan（x＋）的对称中心是（－，0），k∈Z.令k＝2，可得函数的一个对称中心为（，0）.
（2）要使sin（2x＋）＝±1，必有2x＋＝kπ＋（k∈Z），∴x＝＋（k∈Z），故函数y＝sin（2x＋）的图象的对称轴是直线x＝＋（k∈Z）.∵函数y＝sin（2x＋）的图象与x轴的交点为对称中心，令y＝0，即sin（2x＋）＝0，∴2x＋＝kπ（k∈Z），即x＝－（k∈Z）.故函数y＝sin（2x＋）的图象的对称中心是（－，0）（k∈Z）.
跟踪训练
1.B 因为函数f（x）＝cos（ωx－）的最小正周期为，所以＝，解得ω＝10，所以f（x）＝cos（10x－），令10x－＝kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，结合选项当k＝－1时，x＝－.
2.解：y＝2sin（－2x＋）＝－2sin（2x－），
令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
所以函数y＝2sin（－2x＋）的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，
对称中心的横坐标满足2x－＝kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z.
所以函数y＝2sin（－2x＋）的对称中心为（＋，0），k∈Z.
【例2】 1 解析：∵y＝a－bcos x（b＞0），∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.由解得
【例3】 tan（x－） 解析：由题意可得f（x）的周期为T＝－＝＝，所以ω＝，得f（x）＝tan（x＋φ），又其图象过点（，0），所以tan（×＋φ）＝0，即tan（＋φ）＝0，所以＋φ＝kπ（k∈Z），得φ＝kπ－，k∈Z，又｜φ｜＜，所以φ＝－.所以f（x）＝tan（x－）.
【例4】 B 法一 f（x）＝sin（x＋＋φ）为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z.显然当k＝0时，φ＝－满足题意.
法二 因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，即sin（＋φ）＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.令k＝0，则φ＝－.
【例5】 － 解析：因为f（x）的最小正周期为π，所以T＝＝π，得ω＝2，则f（x）＝sin（2x＋φ）.又f（x）关于（，0）中心对称，所以2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，所以取k＝0，得φ＝－.
【例6】 （0，］ 解析：函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）在区间（－，）上单调递增，当－＜x＜时，－＋＜ωx＋＜＋，∵当x＝0时，ωx＋＝，由于函数y＝sin（ωx＋）（ω＞0）在区间（－，）上单调递增，∴解得ω≤，∵ω＞0，∴0＜ω≤，因此，ω的取值范围是（0，］.
2 / 2(共49张PPT)
培优课
三角函数中的对称性及参数求解
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 三角函数的对称性
【例1】 （1）函数 y ＝tan（ x ＋ ）的一个对称中心是（ C ）
A. （0，0）
D. （π，0）
解析： 令 x ＋ ＝ ， k ∈Z，得 x ＝ － ， k ∈Z，∴函
数 y ＝tan（ x ＋ ）的对称中心是（ － ，0）， k ∈Z. 令 k ＝
2，可得函数的一个对称中心为（ ，0）.
（2）函数 y ＝ sin （2 x ＋ ）的图象的对称轴是直线 x ＝ ＋
，对称中心是 .
解析： 要使 sin （2 x ＋ ）＝±1，必有2 x ＋ ＝ k π＋
（ k ∈Z），∴ x ＝ ＋ （ k ∈Z），故函数 y ＝ sin （2 x ＋
）的图象的对称轴是直线 x ＝ ＋ （ k ∈Z）.∵函数 y ＝ sin
（2 x ＋ ）的图象与 x 轴的交点为对称中心，令 y ＝0，即 sin
（2 x ＋ ）＝0，∴2 x ＋ ＝ k π（ k ∈Z），即 x ＝ － （ k
∈Z）.故函数 y ＝ sin （2 x ＋ ）的图象的对称中心是（ －
，0）（ k ∈Z）.
x ＝ ＋
（ k ∈Z）
（ － ，0）（ k ∈Z）
通性通法
1. 正弦函数 y ＝ sin x 的对称中心为（ k π，0）（ k ∈Z）；对称轴为 x
＝ ＋ k π（ k ∈Z）.
2. 余弦函数 y ＝ cos x 的对称中心为（ ＋ k π，0）（ k ∈Z）；对称轴
为 x ＝ k π（ k ∈Z）.
3. 正切函数只有对称中心，没有对称轴，对称中心为（ ，0）（ k
∈Z）.
4. 对于函数 y ＝ sin （ω x ＋φ）， y ＝ cos （ω x ＋φ）及 y ＝tan（ω x
＋φ）的图象的对称问题，应将ω x ＋φ看作一个整体，利用整体思
想求解.
【跟踪训练】
1. 设函数 f （ x ）＝ cos （ω x － ）（ω＞0）的最小正周期为 ，则
它的一条对称轴方程为（ ）
解析： 因为函数 f （ x ）＝ cos （ω x － ）的最小正周期为 ，
所以 ＝ ，解得ω＝10，所以 f （ x ）＝ cos （10 x － ），令10 x
－ ＝ k π， k ∈Z，所以 x ＝ ＋ ， k ∈Z，结合选项当 k ＝－1
时， x ＝－ .
2. 求函数 y ＝2 sin （－2 x ＋ ）的对称轴、对称中心.
解： y ＝2 sin （－2 x ＋ ）＝－2 sin （2 x － ），
令2 x － ＝ ＋ k π， k ∈Z，得 x ＝ ＋ ， k ∈Z，
所以函数 y ＝2 sin （－2 x ＋ ）的对称轴为直线 x ＝ ＋ ， k
∈Z，
对称中心的横坐标满足2 x － ＝ k π， k ∈Z，即 x ＝ ＋ ， k ∈Z.
所以函数 y ＝2 sin （－2 x ＋ ）的对称中心为（ ＋ ，0）， k
∈Z.
题型二 三角函数中的参数求解
角度1 由三角函数的最值求参数
【例2】 若函数 y ＝ a － b cos x （ b ＞0）的最大值为 ，最小值为－
，则实数 a 、 b 的值分别为 ， .
解析：∵ y ＝ a － b cos x （ b ＞0），∴ ymax＝ a ＋ b ＝ ， ymin＝ a － b
＝－ .由解得
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通性通法
求形如 y ＝ a sin x ＋ b （或 y ＝ a cos x ＋ b ）型三角函数中的参数
a 、 b 的值时，一般利用正弦（余弦）函数的有界性列方程组求解，
注意参数 a 的正负.
角度2 由三角函数的图象求参数
【例3】 已知函数 f （ x ）＝tan（ω x ＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ）的
图象与 x 轴相交的两相邻点的坐标为（ ，0）和（ ，0），则函数 f
（ x ）＝ .
tan（ x － ）
解析：由题意可得 f （ x ）的周期为 T ＝ － ＝ ＝ ，所以ω＝
，得 f （ x ）＝tan（ x ＋φ），又其图象过点（ ，0），所以tan（
× ＋φ）＝0，即tan（ ＋φ）＝0，所以 ＋φ＝ k π（ k ∈Z），得φ＝
k π－ ， k ∈Z，又｜φ｜＜ ，所以φ＝－ .所以 f （ x ）＝tan（ x －
）.
通性通法
由三角函数的图象求参数一般涉及 A 、ω、φ：（1） A 可由图象
中的最高点、最低点及对称中心的坐标确定；
（2）ω可由相邻两对称轴或相邻两对称中心确定；
（3）φ可由某关键点、线确定.
角度3 由三角函数的奇偶性求参数
【例4】 已知函数 f （ x ）＝ sin （ x ＋ ＋φ）是奇函数，则φ的值
可以是（ ）
A. 0 D. π
解析： 法一 f （ x ）＝ sin （ x ＋ ＋φ）为奇函数，则只需
＋φ＝ k π， k ∈Z，从而φ＝ k π－ ， k ∈Z. 显然当 k ＝0时，φ＝－ 满
足题意.
法二 因为 f （ x ）是奇函数，所以 f （0）＝0，即 sin （ ＋φ）＝
0，所以φ＋ ＝ k π， k ∈Z，即φ＝ k π－ ， k ∈Z. 令 k ＝0，则φ＝－ .
通性通法
由三角函数的奇偶性求参数φ的思路
（1）要使 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ω≠0）为奇函数，需φ＝ k π（ k
∈Z）；
（2）要使 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ω≠0）为偶函数，需φ＝ k π＋
（ k ∈Z）；
（3）要使 y ＝ A cos （ω x ＋φ）（ A ω≠0）为奇函数，需φ＝ k π＋
（ k ∈Z）；
（4）要使 y ＝ A cos （ω x ＋φ）（ A ω≠0）为偶函数，需φ＝ k π（ k
∈Z）.
角度4 由三角函数的对称性求参数
【例5】 已知函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）（ω＞0，0＜｜φ｜＜
）的最小正周期为π，且关于（ ，0）中心对称，则φ＝ － .
解析：因为 f （ x ）的最小正周期为π，所以 T ＝ ＝π，得ω＝2，则 f
（ x ）＝ sin （2 x ＋φ）.又 f （ x ）关于（ ，0）中心对称，所以2×
＋φ＝ k π， k ∈Z，即φ＝－ ＋ k π， k ∈Z，又｜φ｜＜ ，所以取 k ＝
0，得φ＝－ .
－
通性通法
由三角函数的对称性求参数φ的思路
（1）对于函数 y ＝ sin （ω x ＋φ）， y ＝ cos （ω x ＋φ），应将ω x ＋φ
看成一个整体，利用整体思想，令ω x ＋φ等于 k π或 k π＋ （ k
∈Z），求出φ的值；
（2）对于函数 y ＝tan（ω x ＋φ），令ω x ＋φ＝ （ k ∈Z），求出φ
的值.
角度5 由三角函数的单调性求参数
【例6】 已知函数 y ＝ sin （ω x ＋ ）（ω＞0）在区间（－ ， ）
上单调递增，则ω的取值范围是 .
（0， ］
解析：函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋ ）（ω＞0）在区间（－ ， ）上
单调递增，当－ ＜ x ＜ 时，－ ＋ ＜ω x ＋ ＜ ＋ ，∵当 x ＝
0时，ω x ＋ ＝ ，由于函数 y ＝ sin （ω x ＋ ）（ω＞0）在区间（－
， ）上单调递增，∴解得ω≤ ，∵ω＞0，∴0
＜ω≤ ，因此，ω的取值范围是（0， ］.
通性通法
对于已知函数单调区间的某一部分确定参数ω的范围问题，首
先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定
已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系列方程（不等式
组）求解.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 y ＝ sin （2 x ＋φ）的图象关于点（ ，0）对称，则φ的可
能取值为（ ）
解析： 因为函数 y ＝ sin （2 x ＋φ）的图象关于点（ ，0）对
称，所以2× ＋φ＝ k π（ k ∈Z），解得φ＝ k π－ （ k ∈Z）.结合
选项，当 k ＝0时，φ＝－ .
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2. f （ x ）＝ sin ω x （ω＞0）在区间［0， ］上单调递增，在［ ，
］上单调递减，则ω＝（ ）
A. 2
解析： 当 x ＝ 时，函数 f （ x ）取得最大值，则 sin ＝1，所
以 ＝2 k π＋ （ k ∈Z），所以ω＝6 k ＋ ， k ∈Z，又ω＞0，结
合选项ω＝ .
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3. 已知直线 x ＝ 和 x ＝ 是曲线 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）（－π＜
φ≤π）的两条对称轴，且函数 f （ x ）在（ ， ）上单调递减，
则φ＝（ ）
B. 0
D. π
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解析： 由 f （ x ）在（ ， ）上单调递减可知， f （ ）是最
小值，由两条对称轴为直线 x ＝ 和 x ＝ 可知，直线 x ＝0也是对
称轴，且 f （0）＝－1为最小值，故 sin φ＝－1.又－π＜φ≤π，解
得φ＝－ .
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4. 已知函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋ ）（ω＞0）在区间（ ， ）上单
调递减，则ω的取值范围是（ ）
C. [1，3] D. （0，3]
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解析： 设 f （ x ）的最小正周期为 T . 因为｜ － ｜≤ ，所以
≤ ，解得ω≤3.由 ＋2 k π≤ω x ＋ ≤ ＋2 k π（ k ∈Z），解
得 ＋ ≤ x ≤ ＋ （ k ∈Z），即 f （ x ）在区间［ ＋
， ＋ ］（ k ∈Z）上单调递减.因为0＜ω≤3，显然 k 只能
取0，所以 ≤ ，且 ≥ ，解得ω∈［1， ］.故选B.
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5. 已知函数 f （ x ）＝ cos （ω x － ）（ω＞0），对任意 x ∈R都有 f
（ x ）≤ f （ ），并且 f （ x ）在区间［－ ， ］上不单调，则ω
的最小值是（ ）
A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
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解析： 由题意，得 f （ ）是函数 f （ x ）的最大值，∴ －
＝2 k π， k ∈Z，即ω＝6 k ＋1， k ∈Z. ∵ω＞0，∴ k ∈N. 当 k ＝0
时，ω＝1， f （ x ）＝ cos （ x － ）在［－ ， ］上单调递增，
不符合题意；当 k ＝1时，ω＝7， f （ x ）＝ cos （7 x － ）在［－
， ］上不单调，符合题意.∴ω的最小值为7.
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6. 已知函数 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，｜φ｜≤ ）
的图象离原点最近的对称轴为 x ＝ x0，若满足｜ x0｜≤ ，则称 f
（ x ）为“近轴函数”.若函数 y ＝2 sin （2 x －φ）是“近轴函
数”，则φ的取值范围是（ ）
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解析： y ＝2 sin （2 x －φ）靠近原点的对称轴为 x ＝ x0，则2 x0
－φ＝± x0＝ ± ，要为近轴函数，则｜ x0｜≤ ，∵ ＞
，∴φ＞0， x0＝ － ，φ＜0， x0＝ ＋ ，∴或
解得φ∈［－ ，－ ］∪［ ， ］.
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7. （多选）已知函数 f （ x ）＝3 sin （ω x ＋ ）（ω＞0）的图象的对
称轴与对称中心的最小距离为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. f （ x ）的最小正周期为2π
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解析： 因为 f （ x ）的图象的对称轴与对称中心的最小距离为
，所以 ＝ ，即 T ＝π，选项A错误；由 T ＝ ＝π，得ω＝2，即
f （ x ）＝3 sin （2 x ＋ ），因为 f （－ ）＝3 sin （－ ＋ ）＝3
sin 0＝0，所以 f （ x ）的图象关于点（－ ，0）对称，选项B正
确；当－ ＜ x ＜ 时，有－ ＜2 x ＋ ＜ ，所以 f （ x ）＝3 sin
（2 x ＋ ）在（－ ， ）上单调递增，选项C错误；
因为 f （ ）＝3 sin （ ＋ ）＝3 sin ＝－3，所以 f （ x ）的图象
关于直线 x ＝ 对称，选项D正确.
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8. （多选）已知函数 f （ x ）＝tan（ω x － ）（ω＞0），则下列说法
正确的是（ ）
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解析： 对于A选项，由 T ＝ ＝2π，ω＞0，得ω＝ ，故
A正确；对于B选项，当ω＝1时， f （ x ）＝tan（ x － ），令 x －
＝ ， k ∈Z，解得 x ＝ ＋ ， k ∈Z，所以函数图象的对称中心
的坐标为（ ＋ ，0）（ k ∈Z），故B错误；对于C选项，当ω＝
2时， f （ x ）＝tan（2 x － ）， f （－ ）＝tan［2×（－ ）－
］＝tan（－ ）＝tan（－ ）. f （ ）＝tan（2× － ）＝
tan ＝tan（－ ）.由于 y ＝tan x 在（－ ，0）上单调递增，故
tan（－ ）＜tan（－ ），即 f （－ ）＞ f （ ），故C错
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误；对于D选项，由 x ∈（ ，π）得ω x － ∈（ － ，ωπ－
）.从而（ － ，ωπ－ ） （ k π－ ， k π＋ ）， k ∈Z，即
k ∈Z，解得3 k －1≤ω≤ k ＋ ， k ∈Z，从而3
k －1≤ k ＋ ，所以 k ≤ .又因为ω＞0，所以 k ＋ ＞0，故 k ＝0，
从而0＜ω≤ .
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9. 已知函数 y ＝tan ω x （ω＞0）在 上单调递增，则ω的最大
值为 .
解析：∵ ＜ ，∴由正切函数的单调性可得 ≥ ×2，且ω＞
0，解得0＜ω≤2，故ω的最大值为2.
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10. 已知函数 f （ x ）＝2 cos （ω x ＋φ）（ω＞0）的图象关于直线 x ＝
对称，且 f （ ）＝0，则ω的最小值为 .
解析：由题设知直线 x ＝ 与点（ ，0）分别为函数 f （ x ）图象
的对称轴与对称中心，故 ＋φ＝ k1π（ k1∈Z）， ＋φ＝ k2π＋
（ k2∈Z），于是 ＝（ k2－ k1）π＋ （ k1， k2∈Z），即ω＝4
（ k2－ k1）＋2（ k1， k2∈Z），且ω＞0，故ω的最小值是2.
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11. 函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ） ，给出下列4个
论断：
①图象关于直线 x ＝ 对称；②图象关于点 对称；③最小
正周期是π；④在 上单调递增.
以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的
两个命题：
（1） ；
②③ ①④
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由最小正周期为π，ω＞0，得 ＝π，得ω＝2.由②得2× ＋φ＝ k π，
k ∈Z，又－ ＜φ＜ ，得φ＝ .故函数 f （ x ）＝ sin .由 f
＝ sin ＝1，知 f （ x ）的图象关于直线 x ＝ 对称.由－ ＋2 k
π≤2 x ＋ ≤ ＋2 k π， k ∈Z，得 k π－ ≤ x ≤ k π＋ ， k ∈Z，故函
数 f （ x ）的单调递增区间为 ， k ∈Z. ∴ f （ x ）在
上单调递增，即②③ ①④.
解析： ②③ ①④.
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（2） .
解析： ①③ ②④.
①③ ②④
由最小正周期为π，ω＞0，得 ＝π，得ω＝2.由①得2× ＋φ＝ k π
＋ ， k ∈Z. 又－ ＜φ＜ ，得φ＝ ，故函数 f （ x ）＝ sin .
由 f ＝ sin π＝0，∴ f （ x ）的图象关于点 对称.由－ ＋2 k
π≤2 x ＋ ≤ ＋2 k π， k ∈Z，得 k π－ ≤ x ≤ k π＋ ， k ∈Z，故函
数 f （ x ）的单调递增区间为 ， k ∈Z，∴ f （ x ）
在［－ ，0］上单调递增.即①③ ②④.
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12. 设函数 y ＝tan（ω x ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜ ），若函数图象与 x
轴的两个相邻的交点间的距离为 ，且图象关于点 M （－ ，0）
对称.
（1）求函数的解析式；
解： 由已知得函数的最小正周期为 ，
因而 T ＝ ＝ ，则ω＝2.
由2×（－ ）＋φ＝ （ k ∈Z），
得φ＝ ＋ （ k ∈Z）.
又0＜φ＜ ，则φ＝ .
从而函数解析式为 y ＝tan（2 x ＋ ）.
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（2）求函数的单调区间；
解： 令－ ＋ k π＜2 x ＋ ＜ ＋ k π（ k ∈Z），得－
＋ ＜ x ＜ ＋ （ k ∈Z），
从而函数的单调递增区间为（－ ＋ ， ＋ ）（ k
∈Z），无单调递减区间.
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（3）求不等式－1＜ f （ x ）＜ 的解集.
解： 若－1＜ f （ x ）＜ ，则－ ＋ k π＜2 x ＋ ＜
＋ k π（ k ∈Z），
得－ ＋ ＜ x ＜ ＋ （ k ∈Z），
因而不等式的解集为{ x ｜－ ＋ ＜ x ＜ ＋ ， k ∈Z}.
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13. 已知函数 f （ x ）＝ a sin （ x ＋ ）＋1－ a （ a ∈R）， x ∈
［0， ］，定义在非零实数集上的奇函数 g （ x ）在（0，＋∞）
上单调递增，且 g （2）＝0.若 g （ f （ x ））＜0恒成立，求实数 a
的取值范围.
解： f （ x ）＝ a sin （ x ＋ ）＋1－ a ，根据已知条件，由 g
（ x ）＜0可得 x ∈（－∞，－2）∪（0，2）.
由题意，要使 g （ f （ x ））＜0恒成立，则 f （ x ）∈（－∞，－
2）或 f （ x ）∈（0，2）恒成立.
若 a sin （ x ＋ ）＋1－ a ＜－2恒成立，
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则 a ［ sin （ x ＋ ）－1］＜－3.
∵ x ∈［0， ］，∴ sin （ x ＋ ）∈[1， ].
当 x ＝0或 x ＝ 时， sin （ x ＋ ）－1＝0， a ×0＝0＞－3.故
这时的 a 不存在.
若0＜ a sin （ x ＋ ）＋1－ a ＜2恒成立，
则－1＜ a ［ sin （ x ＋ ）－1］＜1.
只需 a ［ sin （ x ＋ ）－1］的最大值和最小值同时在（－1，
1）中，
即解得－1－ ＜ a ＜1＋ .综上，
实数 a 的取值范围为{ a ｜－1－ ＜ a ＜1＋ }.
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谢 谢 观 看！培优课 三角函数中的对称性及参数求解
1.已知函数y＝sin（2x＋φ）的图象关于点（，0）对称，则φ的可能取值为（ ）
A.－ B. C.－ D.
2.f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［0，］上单调递增，在［，］上单调递减，则ω＝（ ）
A.2 B. C. D.
3.已知直线x＝和x＝是曲线f（x）＝sin（ωx＋φ）（－π＜φ≤π）的两条对称轴，且函数f（x）在（，）上单调递减，则φ＝（ ）
A.－ B.0 C. D.π
4.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）在区间（，）上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A.（0，］ B.［1，］ C.[1，3] D.（0，3]
5.已知函数f（x）＝cos（ωx－）（ω＞0），对任意x∈R都有f（x）≤f（），并且f（x）在区间［－，］上不单调，则ω的最小值是（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
6.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤）的图象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足｜x0｜≤，则称f（x）为“近轴函数”.若函数y＝2sin（2x－φ）是“近轴函数”，则φ的取值范围是（ ）
A.［，］ B.［－，－］∪［，］
C.［－，－］ D.［－，］
7.（多选）已知函数f（x）＝3sin（ωx＋）（ω＞0）的图象的对称轴与对称中心的最小距离为，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的最小正周期为2π B.f（x）的图象关于点（－，0）对称
C.f（x）在（－，）上单调递减 D.f（x）的图象关于直线x＝对称
8.（多选）已知函数f（x）＝tan（ωx－）（ω＞0），则下列说法正确的是（ ）
A.若f（x）的最小正周期是2π，则ω＝
B.当ω＝1时，f（x）图象的对称中心的坐标为（kπ＋，0）（k∈Z）
C.当ω＝2时，f（－）＜f（）
D.若f（x）在区间（，π）上单调递增，则0＜ω≤
9.已知函数y＝tan ωx（ω＞0）在上单调递增，则ω的最大值为 .
10.已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）（ω＞0）的图象关于直线x＝对称，且f（）＝0，则ω的最小值为 .
11.函数f（x）＝sin（ωx＋φ），给出下列4个论断：
①图象关于直线x＝对称； ②图象关于点对称；
③最小正周期是π； ④在上单调递增.
以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题：
（1） ；
（2） .
12.设函数y＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜），若函数图象与x轴的两个相邻的交点间的距离为，且图象关于点M（－，0）对称.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）求不等式－1＜f（x）＜的解集.
13.已知函数f（x）＝asin（x＋）＋1－a（a∈R），x∈［0，］，定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，且g（2）＝0.若g（f（x））＜0恒成立，求实数a的取值范围.
培优课 三角函数中的对称性及参数求解
1.C 因为函数y＝sin（2x＋φ）的图象关于点（，0）对称，所以2×＋φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝kπ－（k∈Z）.结合选项，当k＝0时，φ＝－.
2.D 当x＝时，函数f（x）取得最大值，则sin ＝1，所以＝2kπ＋（k∈Z），所以ω＝6k＋，k∈Z，又ω＞0，结合选项ω＝.
3.A 由f（x）在（，）上单调递减可知，f（）是最小值，由两条对称轴为直线x＝和x＝可知，直线x＝0也是对称轴，且f（0）＝－1为最小值，故sin φ＝－1.又－π＜φ≤π，解得φ＝－.
4.B 设f（x）的最小正周期为T.因为｜－｜≤，所以≤，解得ω≤3.由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ（k∈Z），解得＋≤x≤＋（k∈Z），即f（x）在区间［＋，＋］（k∈Z）上单调递减.因为0＜ω≤3，显然k只能取0，所以≤，且≥，解得ω∈［1，］.故选B.
5.D 由题意，得f（）是函数f（x）的最大值，∴－＝2kπ，k∈Z，即ω＝6k＋1，k∈Z.∵ω＞0，∴k∈N.当k＝0时，ω＝1，f（x）＝cos（x－）在［－，］上单调递增，不符合题意；当k＝1时，ω＝7，f（x）＝cos（7x－）在［－，］上不单调，符合题意.∴ω的最小值为7.
6.B y＝2sin（2x－φ）靠近原点的对称轴为x＝x0，则2x0－φ＝± x0＝±，要为近轴函数，则｜x0｜≤，∵＞，∴φ＞0，x0＝－，φ＜0，x0＝＋，∴或解得φ∈［－，－］∪［，］.
7.BD 因为f（x）的图象的对称轴与对称中心的最小距离为，所以＝，即T＝π，选项A错误；由T＝＝π，得ω＝2，即f（x）＝3sin（2x＋），因为f（－）＝3sin（－＋）＝3sin 0＝0，所以f（x）的图象关于点（－，0）对称，选项B正确；当－＜x＜时，有－＜2x＋＜，所以f（x）＝3sin（2x＋）在（－，）上单调递增，选项C错误；因为f（）＝3sin（＋）＝3sin ＝－3，所以f（x）的图象关于直线x＝对称，选项D正确.
8.AD 对于A选项，由T＝＝2π，ω＞0，得ω＝，故A正确；对于B选项，当ω＝1时，f（x）＝tan（x－），令x－＝，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以函数图象的对称中心的坐标为（＋，0）（k∈Z），故B错误；对于C选项，当ω＝2时，f（x）＝tan（2x－），f（－）＝tan［2×（－）－］＝tan（－）＝tan（－）.f（）＝tan（2×－）＝tan ＝tan（－）.由于y＝tan x在（－，0）上单调递增，故tan（－）＜tan（－），即f（－）＞f（），故C错误；对于D选项，由x∈（，π）得ωx－∈（－，ωπ－）.从而（－，ωπ－） （kπ－，kπ＋），k∈Z，即k∈Z，解得3k－1≤ω≤k＋，k∈Z，从而3k－1≤k＋，所以k≤.又因为ω＞0，所以k＋＞0，故k＝0，从而0＜ω≤.
9.2 解析：∵＜，∴由正切函数的单调性可得≥×2，且ω＞0，解得0＜ω≤2，故ω的最大值为2.
10.2 解析：由题设知直线x＝与点（，0）分别为函数f（x）图象的对称轴与对称中心，故＋φ＝k1π（k1∈Z），＋φ＝k2π＋（k2∈Z），于是＝（k2－k1）π＋（k1，k2∈Z），即ω＝4（k2－k1）＋2（k1，k2∈Z），且ω＞0，故ω的最小值是2.
11.（1）②③ ①④ （2）①③ ②④
解析：（1）②③ ①④.
由最小正周期为π，ω＞0，得＝π，得ω＝2.由②得2×＋φ＝kπ，k∈Z，又－＜φ＜，得φ＝.故函数f（x）＝sin.由f＝sin ＝1，知f（x）的图象关于直线x＝对称.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.∴f（x）在上单调递增，即②③ ①④.
（2）①③ ②④.
由最小正周期为π，ω＞0，得＝π，得ω＝2.由①得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.又－＜φ＜，得φ＝，故函数f（x）＝sin.由f＝sin π＝0，∴f（x）的图象关于点对称.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z，∴f（x）在［－，0］上单调递增.即①③ ②④.
12.解：（1）由已知得函数的最小正周期为，
因而T＝＝，则ω＝2.
由2×（－）＋φ＝（k∈Z），
得φ＝＋（k∈Z）.
又0＜φ＜，则φ＝.
从而函数解析式为y＝tan（2x＋）.
（2）令－＋kπ＜2x＋＜＋kπ（k∈Z），得－＋＜x＜＋（k∈Z），
从而函数的单调递增区间为（－＋，＋）（k∈Z），无单调递减区间.
（3）若－1＜f（x）＜，则－＋kπ＜2x＋＜＋kπ（k∈Z），
得－＋＜x＜＋（k∈Z），
因而不等式的解集为{x｜－＋＜x＜＋，k∈Z}.
13.解：f（x）＝asin（x＋）＋1－a，根据已知条件，由g（x）＜0可得x∈（－∞，－2）∪（0，2）.
由题意，要使g（f（x））＜0恒成立，则f（x）∈（－∞，－2）或f（x）∈（0，2）恒成立.
若asin（x＋）＋1－a＜－2恒成立，
则a［sin（x＋）－1］＜－3.
∵x∈［0，］，∴sin（x＋）∈[1，].
当x＝0或x＝时，sin（x＋）－1＝0，a×0＝0＞－3.故这时的a不存在.
若0＜asin（x＋）＋1－a＜2恒成立，
则－1＜a［sin（x＋）－1］＜1.
只需a［sin（x＋）－1］的最大值和最小值同时在（－1，1）中，
即解得－1－＜a＜1＋.综上，实数a的取值范围为{a｜－1－＜a＜1＋}.
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