5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1.用“五点法”画y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列不是五个关键点中的点的是（ ）
A.（，） B.（，2）
C.（π，1） D.（2π，1）
2.函数y＝－cos x（x＞0）的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（ ）
A. B.（π，1）
C.（0，1） D.（2π，1）
3.函数y＝cos x＋｜cos x｜，x∈[0，2π]的大致图象为（ ）
4.在[0，2π]上，函数y＝的定义域是（ ）
A.［0，］ B.［，］
C.［，］ D.［，π］
5.设0≤x≤2π，使sin x≥且cos x＜同时成立的x的取值范围是（ ）
A.［，］ B.［，］
C.［，］ D.（，］
6.（多选）下列命题中，真命题的是（ ）
A.y＝sin｜x｜的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称
B.y＝cos（－x）的图象与y＝cos｜x｜的图象相同
C.y＝｜sin x｜的图象与y＝sin（－x）的图象关于x轴对称
D.y＝cos x的图象与y＝cos（－x）的图象相同
7.已知函数f（x）＝3＋2cos x的图象经过点，则b＝ .
8.用“五点法”作函数y＝1＋cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是 .
9.已知y＝sin x和y＝cos x图象的连续三个交点A，B，C构成△ABC，则△ABC的面积为 .
10.用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
（1）y＞1；
（2）y＜1.
11.方程sin x＝lg｜x｜的实数根的个数是（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
12.（多选）下列x的取值范围能使cos x＞sin x成立的是（ ）
A. B.
C. D.∪
13.已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，图象如图所示，则不等式f（x）cos x＜0的解集是 .
14.求下列函数的定义域：
（1）y＝log3；
（2）y＝.
15.函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是 .
16.已知定义在区间上的函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f（x）＝－sin x.
（1）作出y＝f（x）的图象；
（2）求y＝f（x）的解析式；
（3）若关于x的方程f（x）＝－有解，将方程所有解的和记作M，结合（1）中的图象，求M的值.
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1.A 根据“五点法”作图时，当x∈[0，2π]，x应取0，，π，π，2π对应的五个关键点，所以（，）不是五个关键点中的点，故选A.
2.B 用“五点法”作出函数y＝－cos x（x＞0）在（0，2π]上的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为（π，1）.
3.D 由题意得
y＝
故选D.
4.B
依题意得2sin x－≥0，即sin x≥.作出y＝sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝，如图所示.由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是［，］.
5.D 因为0≤x≤2π，由正弦曲线得sin x≥时，x∈［，］，由余弦曲线得cos x＜时，x∈（，），因为［，］∩（，）＝（，］，所以使sin x≥且cos x＜同时成立的x的取值范围是（，］.
6.BD 对于B，y＝cos（－x）＝cos x，y＝cos｜x｜＝cos x，故其图象相同；对于D，y＝cos（－x）＝cos x，故这两个函数图象相同，作图（图略）可知A、C均是假命题.
7.4 解析：b＝f＝3＋2cos＝4.
8.（0，2），，（π，0），，（2π，2）
解析：x依次取0，，π，，2π得五个关键点（0，2），，（π，0），，（2π，2）.
9.π 解析：由正、余弦函数的图象可知，由y＝sin x和y＝cos x图象的连续三个交点A，B，C构成的△ABC是等腰三角形.∵△ABC的底边长为2π，高为，∴△ABC的面积为×2π×＝π.
10.解：列表如下：
x －π － 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2sin x 1 3 1 －1 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：
由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y＞1，在直线y＝1下方部分时y＜1，所以（1）当x∈（－π，0）时，y＞1.
（2）当x∈（0，π）时，y＜1.
11.D 令f（x）＝sin x，g（x）＝lg｜x｜，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图所示.
由图象可知，f（x）＝sin x与g（x）＝lg｜x｜的图象有6个交点，所以方程sin x＝lg｜x｜的实数根的个数为6.
12.AC 在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数在[0，2π]内的图象，如图所示.在[0，2π]内，当cos x＝sin x时，x＝或x＝，结合图象及选项可知满足cos x＞sin x的是和，故选A、C.
13.（0，1）∪（，3） 解析：由题意知或可得或所以f（x）cos x＜0的解集为（0，1）∪（，3）.
14.解：（1）要使函数有意义，则sin x＞，作出y＝sin x在[0，2π]内的图象如图所示.
由图象知，在[0，2π]内使sin x＞的x的取值范围是.
故原函数的定义域为（2kπ＋，2kπ＋π）（k∈Z）.
（2）要使函数有意义，则2cos x－≥0，
∴cos x≥，画出y＝cos x的图象及直线y＝，如图所示，
由图象可知函数的定义域为［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）.
15.4π 解析：如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
16.解：（1）y＝f（x）的图象如图所示.
（2）任取x∈，则－x∈，
因为函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，
所以f（x）＝f，
又当x≥时，f（x）＝－sin x，
所以f（x）＝f＝－sin（－x）＝－cos x.
所以f（x）＝
（3）当x＝时，f＝－.因为－∈，所以结合图象可知，f（x）＝－有4个解，分别设为x1，x2，x3，x4，且4个解满足x1＜x2＜＜x3＜x4，由图象的对称性可知x1＋x2＝0，x3＋x4＝π，
所以M＝x1＋x2＋x3＋x4＝π.
2 / 25.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
新课程标准解读 核心素养
1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象 数学抽象、直观想象
2.会用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题 数学运算、直观想象
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象.数学中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.
【问题】 （1）你能画出y＝sin x， x∈[0，2π]的图象吗？
（2）y＝sin x，x∈[0，2π]上的五个关键点的坐标是什么？
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1]
图象 画法 五点法 五点法
关键 五点 ，， ，， （0，1）， ，（π，－1）， ， （2π，1）
提醒 （1）“五点法”作图中的“五点”分别是函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点；（2）函数y＝sin x（x∈R）的图象向左平移个单位长度得到y＝cos x（x∈R）的图象.
1.下列叙述正确的个数为（ ）
①函数y＝sin x的图象关于y轴对称；
②函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点；
③将余弦曲线向右平移个单位长度就得到正弦曲线.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.函数y＝－cos x，x∈[0，2π]的图象与y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于 对称.
3.用“五点法”作函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点是（0，1），，（π，1）， ，（2π，1）.
题型一 正、余弦函数图象的初步认识
【例1】 下列叙述正确的个数为（ ）
①y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P（π，0）成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围.
A.0 B.1
C.2 D.3
通性通法
解决正、余弦函数图象问题的注意点
对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
【跟踪训练】
1.（多选）下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，正确的是（ ）
A.都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B.都是对称图形
C.都与x轴有无数个交点
D.y＝sin（－x）的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
2.已知函数y＝sin x的部分图象如图所示，完成下列各题：
（1）点A的坐标为 ，点E的坐标为 ；
（2）｜BD｜＝ ，｜DE｜＝ .
题型二 “五点法”作正、余弦函数的图象
【例2】 用“五点法”作出下列函数的简图：
（1）y＝＋sin x，x∈[0，2π]；
（2）y＝1－cos x，x∈[0，2π].
通性通法
作形如y＝asin x＋b（或y＝acos x＋b），x∈[0，2π]的图象的三个步骤
【跟踪训练】
用“五点法”在同一坐标系下画出下列函数在[－π，π]上的图象：
（1）y＝－sin x；（2）y＝2－cos x.
题型三 利用“图象变换”作三角函数的图象
【例3】 作函数y＝，x∈[0，4π]的图象.
通性通法
某些函数的图象可通过图象变换，如平移变换、对称变换作出，如将y＝sin x的图象在y轴右侧的保持不动，在左侧作右侧关于y轴的对称图形，便得到y＝sin｜x｜的图象，将y＝sin x的图象在x轴上方的保持不动，x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，便得到y＝｜sin x｜的图象等.
【跟踪训练】
利用图象变换作出函数y＝sin ｜x｜，x∈[－2π，2π]的简图.
题型四 正、余弦函数图象的简单应用
角度1 与函数图象有关的交点问题
【例4】 已知函数f（x）＝sin x＋2｜sin x｜，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 .
通性通法
求解与函数图象有关的交点问题的策略
函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，并画出函数图象，然后利用数形结合法平移直线y＝k，求得参数的取值范围.
提醒 作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件.
角度2 利用函数图象解不等式
【例5】 函数y＝log2（2sin x＋1）的定义域为 .
通性通法
用三角函数图象解三角不等式的方法
（1）作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
（2）写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
（3）写出不等式的解集.
【跟踪训练】
1.不等式＜sin x≤（x∈[0，2π]）的解集为 .
2.方程x2－cos x＝0的实数解的个数是 ，所有的实数解的和为 .
1.用“五点法”画函数y＝1＋sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是（ ）
A.0，，，，π
B.0，，π，，2π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，，，，
2.在[0，2π]内，不等式sin x＜－的解集是（ ）
A.（0，π） B.（，）
C.（，） D.（，2π）
3.（多选）函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为（ ）
A.（0，5） B.（，）
C.（，4） D.（，4）
4.若方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是 .
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
【基础知识·重落实】
知识点
（0，0） （π，0） （2π，0）
自我诊断
1.C ②③正确，①错误.
2.x轴
3.
【典型例题·精研析】
【例1】 D 分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象（图略），由图象观察可知①②③均正确.
跟踪训练
1.BCD 由正弦、余弦函数的图象知，B、C、D正确.
2.（1）（－2π，0） （2）2π
【例2】 解：（1）按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
＋sin x －
如图，描点并将它们用光滑的曲线连接起来.
（2）按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1－cos x 0 1 2 1 0
如图，描点并将它们用光滑的曲线连接起来.
跟踪训练
解：列表：
x －π － 0 π
－sin x 0 1 0 －1 0
2－cos x 3 2 1 2 3
图象如图.
【例3】 解：y＝＝｜sin x｜，先用“五点法”作出函数y＝sin x在[0，4π]上的图象，再将该图象在x轴上方的图象保持不动，下方的图象关于x轴对称翻折到上方，即得函数y＝｜sin x｜的图象（如图中实线部分）.
跟踪训练
解：y＝sin｜x｜＝为偶函数，首先作出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，
再将x∈[0，2π]的图象作出关于y轴对称的图象，即得x∈[－2π，0）的部分.
如图所示即为所求图象.
【例4】 （1，3） 解析：f（x）＝sin x＋2｜sin x｜＝画出函数的图象，如图.由图象可知，当1＜k＜3时，函数f（x）的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点.故实数k的取值范围为（1，3）.
【例5】 {x｜－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z}
解析：要使函数有意义，则必有2sin x＋1＞0，即sin x＞－.画出y＝sin x，x∈的草图，如图所示.当－＜x＜时，不等式sin x＞－成立，所以sin x＞－的解集为{x｜－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z}.可知函数y＝log2（2sin x＋1）的定义域为{x｜－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z}.
跟踪训练
1.{x｜＜x≤或≤x＜}
解析：作出正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，作出直线y＝和y＝，如图所示，由图可知，在[0，2π]上，当＜x≤或≤x＜时，不等式＜sin x≤成立.所以原不等式的解集为{x｜＜x≤或≤x＜}.
2.2 0 解析：作出函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，两函数图象有两个交点，且两个交点关于y轴对称，故原方程有两个实数解，且两个实数解之和为0.
随堂检测
1.B 所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π.
2.C 画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图，如图所示.当sin x＝－时，x＝或x＝，可知不等式sin x＜－在[0，2π]上的解集是（，）.
3.CD 由解得cos x＝0，当x∈[0，2π]时，x＝或，∴交点坐标为（，4），（，4）.
4.［－，0］ 解析：由正弦函数的图象（图略），知当x∈[0，2π]时，sin x∈[－1，1]，要使方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
4 / 4(共59张PPT)
5.4.1
正弦函数、余弦函数的图象
新课程标准解读 核心素养
1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法，会用“五
点法”画正弦函数、余弦函数的图象 数学抽象、
直观想象
2.会用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题 数学运算、
直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方
放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细
沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在
纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象.数学中把简谐运动的
图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.
【问题】 （1）你能画出 y ＝ sin x ， x ∈[0，2π]的图象吗？
（2） y ＝ sin x ， x ∈[0，2π]上的五个关键点的坐标是什么？
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
函数 y ＝ sin x y ＝ cos x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1]
函数 y ＝ sin x y ＝ cos x
图象 画法 五点法 五点法
关键 五点 （0，1）， ，
（π，－1）， ，
（2π，1）
（0，0）
（π，0）
（2π，0）
提醒 （1）“五点法”作图中的“五点”分别是函数图象的最高
点、最低点以及图象与坐标轴的交点；（2）函数 y ＝ sin x （ x ∈R）
的图象向左平移 个单位长度得到 y ＝ cos x （ x ∈R）的图象.
1. 下列叙述正确的个数为（ ）
①函数 y ＝ sin x 的图象关于 y 轴对称；②函数 y ＝ cos x 的图象与 y
轴只有一个交点；③将余弦曲线向右平移 个单位长度就得到正弦
曲线.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： ②③正确，①错误.
2. 函数 y ＝－ cos x ， x ∈[0，2π]的图象与 y ＝ cos x ， x ∈[0，2π]的
图象关于 对称.
3. 用“五点法”作函数 y ＝1－ sin x ， x ∈[0，2π]的图象时，应取的
五个关键点是（0，1）， ，（π，1）， ，
（2π，1）.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正、余弦函数图象的初步认识
【例1】 下列叙述正确的个数为（ ）
① y ＝ sin x ， x ∈[0，2π]的图象关于点 P （π，0）成中心对称；② y
＝ cos x ， x ∈[0，2π]的图象关于直线 x ＝π成轴对称；③正、余弦函
数的图象不超过直线 y ＝1和 y ＝－1所夹的范围.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析： 分别画出函数 y ＝ sin x ， x ∈[0，2π]和 y ＝ cos x ， x
∈[0，2π]的图象（图略），由图象观察可知①②③均正确.
通性通法
解决正、余弦函数图象问题的注意点
对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正、余弦曲线，掌
握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移
得到.
【跟踪训练】
1. （多选）下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，正确的是
（ ）
A. 都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B. 都是对称图形
C. 都与 x 轴有无数个交点
D. y ＝ sin （－ x ）的图象与 y ＝ sin x 的图象关于 x 轴对称
解析： 由正弦、余弦函数的图象知，B、C、D正确.
2. 已知函数 y ＝ sin x 的部分图象如图所示，完成下列各题：
（1）点 A 的坐标为 ，点 E 的坐标
为 ；
（2）｜ BD ｜＝ ，｜ DE ｜＝ .
（－2π，0）
2π
题型二 “五点法”作正、余弦函数的图象
【例2】 用“五点法”作出下列函数的简图：
（1） y ＝ ＋ sin x ， x ∈[0，2π]；
解： 按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
如图，描点并将它们用光滑的曲线连接起来.
（2） y ＝1－ cos x ， x ∈[0，2π].
解： 按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1－ cos x 0 1 2 1 0
如图，描点并将它们用光滑的曲
线连接起来.
通性通法
作形如 y ＝ a sin x ＋ b （或 y ＝ a cos x ＋ b ）， x ∈[0，2π]的图象的三
个步骤
【跟踪训练】
用“五点法”在同一坐标系下画出下列函数在[－π，π]上的图象：
（1） y ＝－ sin x ；（2） y ＝2－ cos x .
解：列表：
x －π 0 π
－ sin x 0 1 0 －1 0
2－ cos x 3 2 1 2 3
图象如图.
题型三 利用“图象变换”作三角函数的图象
【例3】 作函数 y ＝ ， x ∈[0，4π]的图象.
解： y ＝ ＝｜ sin x ｜，先用“五点法”作出函数 y ＝ sin
x 在[0，4π]上的图象，再将该图象在 x 轴上方的图象保持不动，下方
的图象关于 x 轴对称翻折到上方，即得函数 y ＝｜ sin x ｜的图象（如
图中实线部分）.
通性通法
某些函数的图象可通过图象变换，如平移变换、对称变换作出，
如将 y ＝ sin x 的图象在 y 轴右侧的保持不动，在左侧作右侧关于 y 轴的
对称图形，便得到 y ＝ sin ｜ x ｜的图象，将 y ＝ sin x 的图象在 x 轴上
方的保持不动， x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方，便得到 y ＝｜
sin x ｜的图象等.
【跟踪训练】
利用图象变换作出函数 y ＝ sin ｜ x ｜， x ∈[－2π，2π]的简图.
解： y ＝ sin ｜ x ｜＝
为偶函数，
首先作出函数 y ＝ sin x ， x ∈[0，
2π]的图象，
再将 x ∈[0，2π]的图象作出关于 y 轴对称的图象，即得 x ∈[－2π，0）的部分.
如图所示即为所求图象.
题型四 正、余弦函数图象的简单应用
角度1 与函数图象有关的交点问题
【例4】 已知函数 f （ x ）＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]的图象
与直线 y ＝ k 有且仅有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围
是 .
解析： f （ x ）＝ sin x ＋2｜ sin x ｜＝
画出函数的图象，如图.由
图象可知，当1＜ k ＜3时，函数 f （ x ）的图象与
直线 y ＝ k 有且仅有两个不同的交点.故实数 k 的取
值范围为（1，3）.
（1，3）
通性通法
求解与函数图象有关的交点问题的策略
函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化
为分段函数，并画出函数图象，然后利用数形结合法平移直线 y ＝
k ，求得参数的取值范围.
提醒 作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件.
角度2 利用函数图象解不等式
{ x ｜－ ＋2 k π＜ x
＜ ＋2 k π， k ∈Z}
解析：要使函数有意义，则必有2
sin x ＋1＞0，即 sin x ＞－ .画出 y
＝ sin x ， x ∈ 的草图，
如图所示.当－ ＜ x ＜ 时，不等式 sin x ＞－ 成立，所以 sin x ＞－
的解集为{ x ｜－ ＋2 k π＜ x ＜ ＋2 k π， k ∈Z}.可知函数 y ＝log2
（2 sin x ＋1）的定义域为{ x ｜－ ＋2 k π＜ x ＜ ＋2 k π， k ∈Z}.
通性通法
用三角函数图象解三角不等式的方法
（1）作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
（2）写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
（3）写出不等式的解集.
【跟踪训练】
1. 不等式 ＜ sin x ≤ （ x ∈[0，2π]）的解集为 { x ｜ ＜ x ≤ 或
.
解析：作出正弦函数 y ＝ sin x 在
[0，2π]上的图象，作出直线 y ＝
和 y ＝ ，如图所示，由图可知，
在[0，2π]上，当 ＜ x ≤ 或 ≤ x＜ 时，不等式 ＜ sin x ≤ 成立.所以原不等式的解集为{ x ｜ ＜ x ≤ 或 ≤ x ＜ }.
{ x ｜ ＜ x ≤ 或
≤ x ＜ }
2. 方程 x2－ cos x ＝0的实数解的个数是 ，所有的实数解的和
为 .
解析：作出函数 y ＝ cos x 与 y ＝ x2的图象，如
图所示，由图象可知，两函数图象有两个交
点，且两个交点关于 y 轴对称，故原方程有两
个实数解，且两个实数解之和为0.
2
0
1. 用“五点法”画函数 y ＝1＋ sin x 的图象时，首先应描出五点的横
坐标是（ ）
C. 0，π，2π，3π，4π
解析： 所描出的五点的横坐标与函数 y ＝ sin x 的五点的横坐标
相同，即0， ，π， ，2π.
2. 在[0，2π]内，不等式 sin x ＜－ 的解集是（ ）
A. （0，π）
解析：C 画出函数 y ＝ sin x ， x
∈[0，2π]的简图，如图所示.当 sin x
＝－ 时， x ＝ 或 x ＝ ，可知不
等式 sin x ＜－ 在[0，2π]上的解集是（ ， ）.
3. （多选）函数 y ＝ cos x ＋4， x ∈[0，2π]的图象与直线 y ＝4的交点
的坐标为（ ）
A. （0，5）
解析： 由解得 cos x ＝0，当 x ∈[0，2π]时， x
＝ 或 ，∴交点坐标为（ ，4），（ ，4）.
解析：由正弦函数的图象（图略），知当 x ∈[0，2π]时， sin x
∈[－1，1]，要使方程 sin x ＝4 m ＋1在 x ∈[0，2π]上有解，则－
1≤4 m ＋1≤1，故－ ≤ m ≤0.
［－ ，0］
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 用“五点法”画 y ＝1＋ sin x ， x ∈[0，2π]的图象时，下列不是五
个关键点中的点的是（ ）
C. （π，1） D. （2π，1）
解析： 根据“五点法”作图时，当 x ∈[0，2π]， x 应取0， ，
π， π，2π对应的五个关键点，所以（ ， ）不是五个关键点中
的点，故选A.
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2. 函数 y ＝－ cos x （ x ＞0）的图象中与 y 轴最近的最高点的坐标为
（ ）
B. （π，1）
C. （0，1） D. （2π，1）
解析： 用“五点法”作出函数 y ＝－
cos x （ x ＞0）在（0，2π]上的图象如图
所示，由图易知与 y 轴最近的最高点的
坐标为（π，1）.
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3. 函数 y ＝ cos x ＋｜ cos x ｜， x ∈[0，2π]的大致图象为（ ）
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解析： 由题意得
y ＝故选D.
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4. 在[0，2π]上，函数 y ＝ 的定义域是（ ）
解析： 依题意得2 sin x － ≥0，即 sin x ≥
.作出 y ＝ sin x 在[0，2π]上的图象及直线 y ＝
，如图所示.由图象可知，满足 sin x ≥ 的 x
的取值范围是［ ， ］.
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5. 设0≤ x ≤2π，使 sin x ≥ 且 cos x ＜ 同时成立的 x 的取值范围是
（ ）
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解析： 因为0≤ x ≤2π，由正弦曲线得 sin x ≥ 时， x ∈［ ，
］，由余弦曲线得 cos x ＜ 时， x ∈（ ， ），因为［ ，
］∩（ ， ）＝（ ， ］，所以使 sin x ≥ 且 cos x ＜ 同
时成立的 x 的取值范围是（ ， ］.
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6. （多选）下列命题中，真命题的是（ ）
A. y ＝ sin ｜ x ｜的图象与 y ＝ sin x 的图象关于 y 轴对称
B. y ＝ cos （－ x ）的图象与 y ＝ cos ｜ x ｜的图象相同
C. y ＝｜ sin x ｜的图象与 y ＝ sin （－ x ）的图象关于 x 轴对称
D. y ＝ cos x 的图象与 y ＝ cos （－ x ）的图象相同
解析： 对于B， y ＝ cos （－ x ）＝ cos x ， y ＝ cos ｜ x ｜＝
cos x ，故其图象相同；对于D， y ＝ cos （－ x ）＝ cos x ，故这两
个函数图象相同，作图（图略）可知A、C均是假命题.
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7. 已知函数 f （ x ）＝3＋2 cos x 的图象经过点 ，则 b ＝ .
解析： b ＝ f ＝3＋2 cos ＝4.
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8. 用“五点法”作函数 y ＝1＋ cos x ， x ∈[0，2π]的图象时，应取的
五个关键点分别是
.
解析： x 依次取0， ，π， ，2π得五个关键点（0，2），
，（π，0）， ，（2π，2）.
（0，2）， ，（π，0）， ，
（2π，2）
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解析：由正、余弦函数的图象可知，由 y ＝ sin x 和 y ＝ cos x 图象的
连续三个交点 A ， B ， C 构成的△ ABC 是等腰三角形.∵△ ABC 的
底边长为2π，高为 ，∴△ ABC 的面积为 ×2π× ＝ π.
π
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10. 用“五点法”作出函数 y ＝1－2 sin x ， x ∈[－π，π]的简图，并观
察函数图象，写出满足下列条件的 x 的区间：
（1） y ＞1；
解：列表如下：
x －π 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2 sin x 1 3 1 －1 1
（2） y ＜1.
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由图象可知，图象在直线 y ＝1上方部分时 y ＞1，在直线
y ＝1下方部分时 y ＜1，所以（1）当 x ∈（－π，0）
时， y ＞1.
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：
由图象可知，图象在直线 y ＝1
上方部分时 y ＞1，在直线 y ＝1
下方部分时 y ＜1，所以（2）
当 x ∈（0，π）时， y ＜1.
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11. 方程 sin x ＝lg｜ x ｜的实数根的个数是（ ）
A. 3 B. 4
解析： 令 f
（ x ）＝ sin x ， g
（ x ）＝lg｜ x ｜，
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图所示.由图象可知， f （ x ）＝ sin x 与 g （ x ）＝lg｜ x ｜的图象有6个交点，所以方程 sin x ＝lg｜ x ｜的实数根的个数为6.
C. 5 D. 6
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12. （多选）下列 x 的取值范围能使 cos x ＞ sin x 成立的是（ ）
解析： 在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数在[0，
2π]内的图象，如图所示.在[0，2π]内，当 cos x ＝ sin x 时， x ＝
或 x ＝ ，结合图象及选项可知满足 cos x ＞ sin x 的是 和
，故选A、C.
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（0，1）∪（ ，3）
解析：由题意知或
可得或所以 f （ x ） cos x ＜0的解集为（0，1）∪（ ，3）.
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14. 求下列函数的定义域：
（1） y ＝log3 ；
解： 要使函数有意义，则 sin x ＞ ，
作出 y ＝ sin x 在[0，2π]内的图象如图
所示.由图象知，在[0，2π]内使 sin x
＞ 的 x 的取值范围是 .
故原函数的定义域为 （ k ∈Z）.
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（2） y ＝ .
解： 要使函数有意义，则2
cos x － ≥0，
∴ cos x ≥ ，画出 y ＝ cos x 的图
象及直线 y ＝ ，如图所示，
由图象可知函数的定义域为［2 k π
－ ，2 k π＋ ］（ k ∈Z）.
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15. 函数 y ＝2 cos x ， x ∈[0，2π]的图象和直线 y ＝2围成的一个封闭
的平面图形的面积是 .
解析：如图所示，将余弦函数的图象在 x 轴
下方的部分补到 x 轴的上方，可得一个矩
形，其面积为2π×2＝4π.
4π
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16. 已知定义在区间 上的函数 y ＝ f （ x ）的图象关于直线 x
＝ 对称，当 x ≥ 时， f （ x ）＝－ sin x .
（1）作出 y ＝ f （ x ）的图象；
解： y ＝ f （ x ）的图象
如图所示.
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（2）求 y ＝ f （ x ）的解析式；
解： 任取 x ∈ ，则 － x ∈ ，
因为函数 y ＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝ 对称，
所以 f （ x ）＝ f ，
又当 x ≥ 时， f （ x ）＝－ sin x ，
所以 f （ x ）＝ f ＝－ sin ＝－ cos x .
所以 f （ x ）＝
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（3）若关于 x 的方程 f （ x ）＝－ 有解，将方程所有解的和记作
M ，结合（1）中的图象，求 M 的值.
解： 当 x ＝ 时， f ＝－ .因为－ ∈
，所以结合图象可知， f （ x ）＝－ 有4个解，
分别设为 x1， x2， x3， x4，且4个解满足 x1＜ x2＜ ＜ x3＜
x4，由图象的对称性可知 x1＋ x2＝0， x3＋ x4＝π，
所以 M ＝ x1＋ x2＋ x3＋ x4＝π.
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谢 谢 观 看！
