(共57张PPT)
第1课时
正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
新课程标准解读 核心素养
1.了解周期函数的概念、正弦函数与余弦函数的
周期性，会求函数的周期 数学抽象、
数学运算
2.了解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给
定函数的奇偶性 数学抽象、直观想象、逻辑推理
3.了解正弦函数与余弦函数的单调性，并会利用函数单调性求函数的最值和值域，会求函数 y ＝
A sin （ω x ＋φ）及 y ＝ A cos （ω x ＋φ）的单调区
间 数学抽象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
（1）盛夏到来，天气异常炎热.随着人民生活水平的提高，外出旅
游，消夏避暑成为人们生活的一种常态.当我们来到内蒙古大草
原，顿时感到心旷神怡，精神焕发，密密麻麻的风力发电机成
为一道靓丽的风景.风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转
动，这种周而复始的转动就是周期现象.
（2）
【问题】 （1）你能用数学语言刻画出函数的周期性吗？
（2）从它们的图象上你能得到哪些信息？
知识点一 正弦、余弦函数的周期性
1. 周期函数
一般地，设函数 f （ x ）的定义域为 D ，如果存在一个
，使得对每一个 x ∈ D 都有 x ＋ T ∈ D ，且
，那么函数 f （ x ）就叫做周期函数.非零常数 T 叫做这个
函数的周期.
非零常数
T
f （ x ＋ T ）＝ f
（ x ）
2. 最小正周期
如果在周期函数 f （ x ）的所有周期中存在一个最小的 ，
那么这个最小 就叫做 f （ x ）的 .
3. 正弦、余弦函数的周期性
（1）正弦函数是 ，2 k π（ k ∈Z且 k ≠0）都是它的周
期，最小正周期是 ；
正数
正数
最小正周期
周期函数
2π
（2）余弦函数是 ，2 k π（ k ∈Z且 k ≠0）都是它的周
期，最小正周期是 .
提醒 （1）对周期函数与周期定义中的“当 x 取定义域内的
每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求；（2）并不
是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期
不唯一，任何 T 的非零整数倍都是函数的周期；（3）周期性
是三角函数的整体性质，我们在研究三角函数时，只需研究
一个周期上的图象和性质即可；（4）若不加特殊说明，一般
求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期.
周期函数
2π
知识点二 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数是 ，余弦函数是 .
奇函数
偶函数
1. 函数 f （ x ）＝ sin 2 x 的奇偶性为（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
解析： f （ x ）＝ sin 2 x 的定义域为R， f （－ x ）＝ sin 2
（－ x ）＝－ sin 2 x ＝－ f （ x ），所以 f （ x ）是奇函数.
2. 函数 f （ x ）＝ cos 的最小正周期为 .
解析：∵ f （ x ）＝ cos ＝ cos ＝ cos
＝ （ x ＋π），即 （ x ＋π）＝ （ x ），∴函数
（ x ）＝ cos 的最小正周期 T ＝π.
π
3. 若函数 y ＝ f （ x ）是以2为周期的函数，且 f （5）＝6，则 f （1）
＝ .
解析：∵ f （ x ）的周期为2，∴ f （5）＝ f （2×2＋1）＝ f
（1）＝6.
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 三角函数的周期性
【例1】 求下列三角函数的一个周期：
（1） f （ x ）＝ sin 2 x ， x ∈R；
解： 法一（公式法） f （ x ）的周期 T ＝ ＝π，
所以 f （ x ）＝ sin 2 x ， x ∈R的一个周期为π.
法二（定义法） 因为 f （ x ＋π）＝ sin 2（π＋ x ）＝ sin （2π＋
2 x ）＝ sin 2 x ＝ f （ x ），
所以 f （ x ）＝ sin 2 x ， x ∈R的一个周期为π.
（2） f （ x ）＝｜ cos x ｜， x ∈R；
解： 法一（定义法）
因为 f （ x ）＝｜ cos x ｜， x
∈R，
所以 f （ x ＋π）＝｜ cos （π＋ x ）｜＝｜－ cos x ｜＝｜ cos x ｜＝ f （ x ），所以 f （ x ）＝｜ cos x ｜， x ∈R的一个周期为π.
法二（图象法） f （ x ）＝｜ cos x ｜的图象如图（实线部分）所示.由图象可知， f （ x ）＝｜ cos x ｜， x ∈R的一个周期为π.
（3） f （ x ）＝ cos （ sin x ）， x ∈R.
解： 因为 f （ x ）＝ cos （ sin x ）， x ∈R，
所以 f （ x ＋π）＝ cos [ sin （π＋ x ）]＝ cos （－ sin x ）＝ cos
（ sin x ）＝ f （ x ），
所以 f （ x ）＝ cos （ sin x ）， x ∈R的一个周期为π.
通性通法
求三角函数的周期的方法
（1）定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f （ x
＋ T ）＝ f （ x ）的非零常数 T . 该方法主要适用于抽象函数；
（2）公式法：对形如 y ＝ A sin （ω x ＋φ）和 y ＝ A cos （ω x ＋φ）
（其中 A ，ω，φ是常数，且 A ≠0，ω≠0）的函数，可利用 T ＝
来求；
（3）图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特
别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
【跟踪训练】
求下列三角函数的最小正周期：
（1） f （ x ）＝｜ sin x ｜；
解： 由 f （ x ）＝｜ sin x ｜， f （ x ＋π）＝｜ sin （ x ＋
π）｜＝｜ sin x ｜＝ f （ x ），
得 f （ x ）＝｜ sin x ｜的最小正周期为π（或通过图象判断）.
（2） f （ x ）＝ cos 4 x ；
解： 由 f （ x ）＝ cos 4 x ，得 T ＝ ＝ ＝ .
（3） f （ x ）＝2 cos （2 x － ）.
解： 由 f （ x ）＝2 cos （2 x － ），得 T ＝ ＝
＝π.
题型二 正弦、余弦函数的奇偶性
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝ cos ；
解： 函数的定义域为R，因为 x ∈R，都有－ x ∈R，
且 f （ x ）＝ cos ＝－ sin 2 x .
又 f （－ x ）＝－ sin （－2 x ）＝ sin 2 x ＝－ f （ x ），
所以函数 f （ x ）＝ cos 是奇函数.
（2） f （ x ）＝｜ sin x ｜＋ cos x ；
解： 函数 f （ x ）＝｜ sin x ｜＋ cos x 的定义域为R，
因为 x ∈R，都有－ x ∈R，
又 f （－ x ）＝｜ sin （－ x ）｜＋ cos （－ x ）＝｜ sin x ｜＋
cos x ＝ f （ x ），
所以函数 f （ x ）＝｜ sin x ｜＋ cos x 是偶函数.
（3） f （ x ）＝ cos （2π－ x ）－ x3· sin x .
解： 函数的定义域为R，因为 x ∈R，都有－ x ∈R，
且 f （ x ）＝ cos x － x3· sin x ，
又 f （－ x ）＝ cos （－ x ）－（－ x ）3· sin （－ x ）
＝ cos x － x3· sin x ＝ f （ x ），
所以 f （ x ）为偶函数.
通性通法
判断函数奇偶性的方法
（1）判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否
关于原点对称；二看 f （ x ）与 f （－ x ）的关系；
（2）对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式
化简后再判断.
提醒 研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.
【跟踪训练】
判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝ sin ；
解： 函数的定义域为R，因为 f （ x ）＝ sin （ ＋ ）＝
－ cos ，且 f （－ x ）＝－ cos ＝－ cos ＝ f （ x ），
所以函数 f （ x ）＝ sin 是偶函数.
（2） （ x ）＝ sin （ cos x ）.
解： 函数 （ x ）的定义域为R，
因为 （－ x ）＝ sin ＝ sin （ cos x ）＝ （ x ），
所以 （ x ）为偶函数.
题型三 三角函数的奇偶性与周期性的应用
【例3】 函数 f （ x ）为R上的偶函数， f （ x － ）＝ f （ x ＋ ），
且当 x ∈［0， ］时， f （ x ）＝ sin x ，求 f （ π）.
解：∵ f （ x － ）＝ f （ x ＋ ），
∴ f （ x ）＝ f （ x ＋π），即 f （ x ）为周期为π的周期函数，
∴ f （ π）＝ f （ π－2π）＝ f （－ ），
又∵ f （ x ）为R上的偶函数，
∴ f （－ ）＝ f （ ）＝ sin ＝ ，
∴ f （ π）＝ .
【母题探究】
1. （变条件）若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求
的值.
解： ＝ ＝－ ＝－ sin ＝－ .
2. （变设问）若本例条件不变，求 的值.
解： ＝ ＝ ＝ ＝ sin ＝ .
通性通法
1. 解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的
周期性，可以把 x ＋ nT （ n ∈Z）的函数值转化为 x 的函数值.
利用函数的奇偶性，可以找到－ x 与 x 的函数值的关系，从而可
解决求值问题.
2. 推得函数周期的若干形式
（1）若 f （ x ＋ t ）＝ f （ x ），则函数周期为 t ；
（2）若 f （ x ＋ t ）＝－ f （ x ），则函数周期为2 t ；
（3）若 f （ x ＋ t ）＝ ，则函数周期为2 t ；
（4）若 f （ x ＋ t ）＝－ ，则函数周期为2 t .
【跟踪训练】
函数 f （ x ）＝ sin （ω x － ）（ω≠0），则 f （ x ）是
（填“奇函数”或“偶函数”），若 f （ x ）的周期为π，则ω
＝ .
解析： f （ x ）＝ sin （ω x － ）＝－ cos ω x .∴ f （－ x ）＝－ cos
（－ω x ）＝－ cos ω x ＝ f （ x ），∴ f （ x ）为偶函数，又 T ＝π，
∴ ＝π，∴ω＝±2.
偶函数
±2
1. 函数 f （ x ）＝ cos （－ x ）（ ）
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 是非奇非偶函数
解析： 由于 x ∈R，且 f （－ x ）＝ cos x ＝ f （ x ），所以 f （ x ）
为偶函数.
2. 下列函数中，周期为π的是（ ）
B. y ＝ sin 2 x
D. y ＝ cos （－4 x ）
解析： y ＝ sin 2π， T ＝ ＝π.
3. 图象为如图的函数可能是（ ）
A. y ＝ x · cos x B. y ＝ x · sin x
C. y ＝ x ·｜ cos x ｜ D. y ＝ x ·2 x
解析： 根据图象可看到函数为奇函数，并且与 x 轴交点不止一
个，而 y ＝ x · sin x 是偶函数， y ＝ x ·2 x 非奇非偶，由此可排除B、
D；当 x ＞0时， y ＝ x ·｜ cos x ｜＞0，由此可排除C. 故选A.
4. 已知 f （ x ）为奇函数，且周期为 ，若 f （ ）＝－1，则 f
（ ）＝ .
解析：∵ T ＝ ，又 f （ x ）为奇函数，∴ f （ ）＝ f （8× －
）＝ f （－ ）＝－ f （ ）＝－（－1）＝1.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝ x · cos x （ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 是非奇非偶函数
解析： f （ x ）的定义域为R. ∵ f （－ x ）＝（－ x ）· cos （－
x ）＝－ x · cos x ＝－ f （ x ），∴ f （ x ）＝ x · cos x 是奇函数.
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2. 函数 f （ x ）＝7 sin 是（ ）
A. 周期为3π的偶函数 B. 周期为2π的偶函数
C. 周期为3π的奇函数
解析： 因为 f （ x ）＝7 sin ＝－7 cos ，所以 f
（ x ）是偶函数，周期 T ＝ ＝3π.
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3. 已知函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋ ）（ω＞0）的最小正周期为π，则
f （ ）＝（ ）
A. 1
C. －1
解析： ∵函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋ ）（ω＞0）的最小正周期
为π，∴周期 T ＝ ＝π，解得ω＝2，即 f （ x ）＝ sin （2 x ＋ ），
∴ f （ ）＝ sin （2× ＋ ）＝ sin （ ＋ ）＝ sin ＝1.
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4. 已知 f （ x ）在R上是奇函数，且满足 f （ x ＋4）＝ f （ x ），当 x ∈
（0，2）时， f （ x ）＝2 sin （ x ），则 f （7）＝（ ）
A. 2 B. －2
C. －98 D. 98
解析： 因为 f （ x ＋4）＝ f （ x ），所以函数的周期是4.因
为 f （ x ）在R上是奇函数，且当 x ∈（0，2）时， f （ x ）＝2
sin （ x ），所以 f （7）＝ f （7－8）＝ f （－1）＝－ f （1）
＝－2.故选B.
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5. （多选）下列函数中，周期为2π的是（ ）
D. y ＝｜ cos 2 x ｜
解析： y ＝ cos 的周期为 T ＝ ＝4π； y ＝ cos 的周
期为 T ＝2π； y ＝ 的周期为 T ＝2π； y ＝｜ cos 2 x ｜的周期
为 T ＝ .故选B、C.
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6. （多选）设函数 f （ x ）＝ sin ， x ∈R，则关于 f （ x ）的
说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为π
C. 奇函数 D. 偶函数
解析： f （ x ）＝ sin ＝－ sin （ －2 x ）＝－ cos 2
x ，因此 f （ x ）是偶函数，且是最小正周期为 ＝π的周期函数，
故选A、D.
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7. 函数 f （ x ）＝ cos 2 x ＋1的图象关于 对称.（填“原
点”或“ y 轴”）
解析：函数的定义域为R， f （－ x ）＝ cos 2（－ x ）＋1＝
cos （－2 x ）＋1＝ cos 2 x ＋1＝ f （ x ），故 f （ x ）为偶函数，
所以图象关于 y 轴对称.
y 轴
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8. 函数 y ＝ cos （ k ＞0）的最小正周期不大于2，则正整数 k
的最小值为 .
解析：∵ k ＞0，∴ T ＝ ≤2，即 k ≥4π，∴正整数 k 的最小值是
13.
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9. 奇函数 f （ x ）满足 f （ x ＋ ）＝ f （ x ），当 x ∈（－ ，0）时， f
（ x ）＝ cos x ，则 f （－ ）＝ － .
解析：∵ f （ x ＋ ）＝ f （ x ），∴ T ＝ ，∴ f （－ ）＝ f （－
＋6× ）＝ f （ ）＝－ f （－ ）＝－ cos （－ ）＝－
cos ＝－ .
－
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10. 判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝ cos cos （π＋ x ）；
解： ∵ x ∈R， f （ x ）＝ cos cos （π＋ x ）＝
－ sin 2 x ·（－ cos x ）＝ sin 2 x cos x ，
∴ （－ x ）＝ sin （－2 x ） cos （－ x ）＝－ sin 2 x cos x ＝
－ （ x ）.
∴函数 （ x ）是奇函数.
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（2） f （ x ）＝ ＋ .
解： 对任意 x ∈R，－1≤ sin x ≤1，
∴1＋ sin x ≥0，1－ sin x ≥0.
∴ （ x ）＝ ＋ 的定义域为R.
∵ （－ x ）＝ ＋
＝ ＋ ＝ （ x ），
∴函数 f （ x ）是偶函数.
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11. 已知 k ∈Z，则“函数 f （ x ）＝ sin （2 x ＋θ）为偶函数”是“θ
＝ ＋2 k π， k ∈Z”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 当 f （ x ）＝ sin （2 x ＋θ）为偶函数时，θ＝ ＋ k
π， k ∈Z；当θ＝ ＋2 k π， k ∈Z时， f （ x ）＝ sin （2 x ＋ ）＝
cos 2 x 为偶函数.综上，“函数 f （ x ）＝ sin （2 x ＋θ）为偶函
数”是“θ＝ ＋2 k π， k ∈Z”的必要不充分条件.
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12. 设 f （ x ）是定义域为R，最小正周期为 的函数，若 f （ x ）＝
则 f （ ）－ f （－ ）＝（ ）
A. 1
C. 0
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解析： f （ ）＝ f （ －2× ）＝ f （－ ）＝ cos （－
）＝ ， f （－ ）＝ f （－ ＋3× ）＝ f （ ）＝ sin
＝ ，∴ f （ ）－ f （－ ）＝ － ＝0.故选C.
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13. 已知 f （ x ）＝ ，若 f （5）＝－2，则 f （－5）＝ .
解析：因为 f （ x ）＝ ，所以 f （－ x ）＝
＝－ ＝－ f （ x ），所以 f （－5）＝
－ f （5）＝2.
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14. 已知函数 f （ x ）对于任意实数 x 满足条件 f （ x ＋2）＝－
（ f （ x ）≠0）.
（1）求证：函数 f （ x ）是周期函数；
解： 证明：∵ f （ x ＋2）＝－ ，
∴ f （ x ＋4）＝－ ＝－ ＝ f （ x ），
∴ f （ x ）是周期函数，4是它的一个周期.
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（2）若 x ∈（0， ）时 f （ x ）＝－ sin x ，求 f （ f （5））的值.
解： ∵4是 f （ x ）的一个周期，
∴ f （5）＝ f （1）＝－ sin ＝－1，
∴ f （ f （5））＝ f （－1）＝ f （－3＋2）＝－ ，
又 f （ x ）是以4为周期的周期函数，
∴ f （－3）＝ f （1），故 f （ f （5））＝－ ＝1.
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15. 已知定义域为R的函数 f （ x ）同时满足以下三个条件：①函数的
图象不过原点；②对任意 x ∈R，都有 f （ x ）＝ f （－ x ）；③对
任意 x ∈R，都有 f （ x ＋π）＝ f （ x ）. f （ x ）的解析式为 f （ x ）
＝ .（写出一个即可）
解析：由题意，根据②可知函数 f （ x ）为偶函数，由③可知函数
f （ x ）的周期为π，再由函数 f （ x ）的图象不过原点，可得满足
条件的一个函数为 f （ x ）＝ cos 2 x .
cos 2 x （答案不唯一）
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16. 已知函数 f （ x ）＝ cos x ，求 f （1）＋ f （2）＋ f （3）＋…＋ f
（2 024）的值.
解：由ω＝ ，得 T ＝6，因为 f （1）＝ cos ＝ ， f （2）＝ cos
＝－ ， f （3）＝ cos π＝－1， f （4）＝ cos ＝－ ， f （5）＝
cos ＝ ， f （6）＝ cos 2π＝1，
所以 f （1）＋ f （2）＋ f （3）＋ f （4）＋ f （5）＋ f （6）＝0，
即每连续六项的和均为0.
所以 f （1）＋ f （2）＋ f （3）＋…＋ f （2 024）＝ f （2 023）＋ f
（2 024）＝ f （1）＋ f （2）＝ － ＝0.
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谢 谢 观 看！5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
1.函数f（x）＝x·cos x（ ）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
2.函数f（x）＝7sin是（ ）
A.周期为3π的偶函数
B.周期为2π的偶函数
C.周期为3π的奇函数
D.周期为的偶函数
3.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（）＝（ ）
A.1 B.
C.－1 D.－
4.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2sin（x），则f（7）＝（ ）
A.2 B.－2
C.－98 D.98
5.（多选）下列函数中，周期为2π的是（ ）
A.y＝cos B.y＝cos
C.y＝ D.y＝｜cos 2x｜
6.（多选）设函数f（x）＝sin，x∈R，则关于f（x）的说法正确的是（ ）
A.最小正周期为π B.最小正周期为
C.奇函数 D.偶函数
7.函数f（x）＝cos 2x＋1的图象关于 对称.（填“原点”或“y轴”）
8.函数y＝cos（k＞0）的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值为 .
9.奇函数f（x）满足f（x＋）＝f（x），当x∈（－，0）时，f（x）＝cos x，则f（－）＝ .
10.判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝coscos（π＋x）；
（2）f（x）＝＋.
11.已知k∈Z，则“函数f（x）＝sin（2x＋θ）为偶函数”是“θ＝＋2kπ，k∈Z”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.设f（x）是定义域为R，最小正周期为的函数，若f（x）＝则f（）－f（－）＝（ ）
A.1 B.
C.0 D.－
13.已知f（x）＝，若f（5）＝－2，则f（－5）＝ .
14.已知函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x＋2）＝－（f（x）≠0）.
（1）求证：函数f（x）是周期函数；
（2）若x∈（0，）时f（x）＝－sinx，求f（f（5））的值.
15.已知定义域为R的函数f（x）同时满足以下三个条件：①函数的图象不过原点；②对任意x∈R，都有f（x）＝f（－x）；③对任意x∈R，都有f（x＋π）＝f（x）.f（x）的解析式为f（x）＝ .（写出一个即可）
16.已知函数f（x）＝cos x，求f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 024）的值.
第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
1.A f（x）的定义域为R.∵f（－x）＝（－x）·cos（－x）＝－x·cos x＝－f（x），∴f（x）＝x·cos x是奇函数.
2.A 因为f（x）＝7sin＝－7cos ，所以f（x）是偶函数，周期T＝＝3π.
3.A ∵函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，∴周期T＝＝π，解得ω＝2，即f（x）＝sin（2x＋），∴f（）＝sin（2×＋）＝sin（＋）＝sin ＝1.
4.B 因为f（x＋4）＝f（x），所以函数的周期是4.因为f（x）在R上是奇函数，且当x∈（0，2）时，f（x）＝2sin（x），所以f（7）＝f（7－8）＝f（－1）＝－f（1）＝－2.故选B.
5.BC y＝cos 的周期为T＝＝4π；y＝cos的周期为T＝2π；y＝的周期为T＝2π；y＝｜cos 2x｜的周期为T＝.故选B、C.
6.AD f（x）＝sin＝－sin（－2x）＝－cos 2x，因此f（x）是偶函数，且是最小正周期为＝π的周期函数，故选A、D.
7.y轴 解析：函数的定义域为R，f（－x）＝cos 2（－x）＋1＝cos（－2x）＋1＝cos 2x＋1＝f（x），故f（x）为偶函数，所以图象关于y轴对称.
8.13 解析：∵k＞0，∴T＝≤2，即k≥4π，∴正整数k的最小值是13.
9.－ 解析：∵f（x＋）＝f（x），∴T＝，∴f（－）＝f（－＋6×）＝f（）＝－f（－）＝－cos（－）＝－cos ＝－.
10.解：（1）∵x∈R，f（x）＝cos（＋2x）·cos（π＋x）＝－sin 2x·（－cos x）＝sin 2xcos x，
∴ （－x）＝sin（－2x）cos（－x）＝－sin 2xcos x＝－ （x）.
∴函数 （x）是奇函数.
（2）对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
∴1＋sin x≥0，1－sin x≥0.
∴ （x）＝＋的定义域为R.
∵ （－x）＝＋
＝＋＝ （x），
∴函数f（x）是偶函数.
11.B 当f（x）＝sin（2x＋θ）为偶函数时，θ＝＋kπ，k∈Z；当θ＝＋2kπ，k∈Z时，f（x）＝sin（2x＋）＝cos 2x为偶函数.综上，“函数f（x）＝sin（2x＋θ）为偶函数”是“θ＝＋2kπ，k∈Z”的必要不充分条件.
12.C f（）＝f（－2×）＝f（－）＝cos（－）＝，f（－）＝f（－＋3×）＝f（）＝sin＝，∴f（）－f（－）＝－＝0.故选C.
13.2 解析：因为f（x）＝，所以f（－x）＝＝－＝－f（x），所以f（－5）＝－f（5）＝2.
14.解：（1）证明：∵f（x＋2）＝－，
∴f（x＋4）＝－＝－＝f（x），
∴f（x）是周期函数，4是它的一个周期.
（2）∵4是f（x）的一个周期，
∴f（5）＝f（1）＝－sin＝－1，
∴f（f（5））＝f（－1）＝f（－3＋2）＝－，
又f（x）是以4为周期的周期函数，
∴f（－3）＝f（1），故f（f（5））＝－＝1.
15.cos 2x（答案不唯一） 解析：由题意，根据②可知函数f（x）为偶函数，由③可知函数f（x）的周期为π，再由函数f（x）的图象不过原点，可得满足条件的一个函数为f（x）＝cos 2x.
16.解：由ω＝，得T＝6，因为f（1）＝cos ＝，f（2）＝cos ＝－，f（3）＝cos π＝－1，f（4）＝cos ＝－，f（5）＝cos ＝，f（6）＝cos 2π＝1，
所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＝0，即每连续六项的和均为0.
所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 024）＝f（2 023）＋f（2 024）＝f（1）＋f（2）＝－＝0.
2 / 25.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解周期函数的概念、正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期 数学抽象、数学运算
2.了解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性 数学抽象、直观想象、逻辑推理
3.了解正弦函数与余弦函数的单调性，并会利用函数单调性求函数的最值和值域，会求函数y＝Asin（ωx＋φ）及y＝Acos（ωx＋φ）的单调区间 数学抽象、数学运算
第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
（1）盛夏到来，天气异常炎热.随着人民生活水平的提高，外出旅游，消夏避暑成为人们生活的一种常态.当我们来到内蒙古大草原，顿时感到心旷神怡，精神焕发，密密麻麻的风力发电机成为一道靓丽的风景.风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动，这种周而复始的转动就是周期现象.
（2）
【问题】 （1）你能用数学语言刻画出函数的周期性吗？
（2）从它们的图象上你能得到哪些信息？
知识点一 正弦、余弦函数的周期性
1.周期函数
一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的 ，那么这个最小 就叫做f（x）的 .
3.正弦、余弦函数的周期性
（1）正弦函数是 ，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是 ；
（2）余弦函数是 ，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是 .
提醒 （1）对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求；（2）并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期；（3）周期性是三角函数的整体性质，我们在研究三角函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可；（4）若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期.
知识点二 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数是 ，余弦函数是 .
1.函数f（x）＝sin 2x的奇偶性为（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2.函数f（x）＝cos的最小正周期为 .
3.若函数y＝f（x）是以2为周期的函数，且f（5）＝6，则f（1）＝ .
题型一 三角函数的周期性
【例1】 求下列三角函数的一个周期：
（1）f（x）＝sin 2x，x∈R；
（2）f（x）＝｜cos x｜，x∈R；
（3）f（x）＝cos（sin x），x∈R.
通性通法
求三角函数的周期的方法
（1）定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f（x＋T）＝f（x）的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；
（2）公式法：对形如y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0）的函数，可利用T＝来求；
（3）图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
【跟踪训练】
求下列三角函数的最小正周期：
（1）f（x）＝｜sin x｜；
（2）f（x）＝cos 4x；
（3）f（x）＝2cos（2x－）.
题型二 正弦、余弦函数的奇偶性
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝cos；
（2）f（x）＝｜sin x｜＋cos x；
（3）f（x）＝cos（2π－x）－x3·sin x.
通性通法
判断函数奇偶性的方法
（1）判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f（x）与f（－x）的关系；
（2）对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
提醒 研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.
【跟踪训练】
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝sin；
（2） （x）＝sin（cos x）.
题型三 三角函数的奇偶性与周期性的应用
【例3】 函数f（x）为R上的偶函数，f（x－）＝f（x＋），且当x∈［0，］时，f（x）＝sin x，求f（π）.
【母题探究】
1.（变条件）若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求 的值.
2.（变设问）若本例条件不变，求 的值.
通性通法
1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把x＋nT（n∈Z）的函数值转化为x的函数值.利用函数的奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题.
2.推得函数周期的若干形式
（1）若f（x＋t）＝f（x），则函数周期为t；
（2）若f（x＋t）＝－f（x），则函数周期为2t；
（3）若f（x＋t）＝，则函数周期为2t；
（4）若f（x＋t）＝－，则函数周期为2t.
【跟踪训练】
函数f（x）＝sin（ωx－）（ω≠0），则f（x）是 （填“奇函数”或“偶函数”），若f（x）的周期为π，则ω＝ .
1.函数f（x）＝cos（－x）（ ）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
2.下列函数中，周期为π的是（ ）
A.y＝sin B.y＝sin 2x C.y＝cos D.y＝cos（－4x）
3.图象为如图的函数可能是（ ）
A.y＝x·cos x
B.y＝x·sin x
C.y＝x·｜cos x｜
D.y＝x·2x
4.已知f（x）为奇函数，且周期为，若f（）＝－1，则f（）＝ .
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
【基础知识·重落实】
知识点一
1.非零常数T f（x＋T）＝f（x）
2.正数 正数 最小正周期
3.（1）周期函数 2π （2）周期函数 2π
知识点二
奇函数 偶函数
自我诊断
1.A f（x）＝sin 2x的定义域为R，f（－x）＝sin 2（－x）＝－sin 2x＝－f（x），所以f（x）是奇函数.
2.π 解析：∵f（x）＝cos＝cos（2x＋＋2π）＝cos［2（x＋π）＋］＝ （x＋π），即 （x＋π）＝ （x），∴函数 （x）＝cos的最小正周期T＝π.
3.6 解析：∵f（x）的周期为2，∴f（5）＝f（2×2＋1）＝f（1）＝6.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）法一（公式法） f（x）的周期T＝＝π，
所以f（x）＝sin 2x，x∈R的一个周期为π.
法二（定义法） 因为f（x＋π）＝sin 2（π＋x）＝sin（2π＋2x）＝sin 2x＝f（x），
所以f（x）＝sin 2x，x∈R的一个周期为π.
（2）法一（定义法） 因为f（x）＝｜cos x｜，x∈R，
所以f（x＋π）＝｜cos（π＋x）｜＝｜－cos x｜＝｜cos x｜＝f（x），
所以f（x）＝｜cos x｜，x∈R的一个周期为π.
法二（图象法） f（x）＝｜cos x｜的图象如图（实线部分）所示.
由图象可知，f（x）＝｜cos x｜，x∈R的一个周期为π.
（3）因为f（x）＝cos（sin x），x∈R，
所以f（x＋π）＝cos[sin（π＋x）]＝cos（－sin x）＝cos（sin x）＝f（x），
所以f（x）＝cos（sin x），x∈R的一个周期为π.
跟踪训练
解：（1）由f（x）＝｜sin x｜，f（x＋π）＝｜sin（x＋π）｜＝｜sin x｜＝f（x），
得f（x）＝｜sin x｜的最小正周期为π（或通过图象判断）.
（2）由f（x）＝cos 4x，得T＝＝＝.
（3）由f（x）＝2cos（2x－），得T＝＝＝π.
【例2】 解：（1）函数的定义域为R，因为 x∈R，都有－x∈R，
且f（x）＝cos＝－sin 2x.
又f（－x）＝－sin（－2x）＝sin 2x＝－f（x），
所以函数f（x）＝cos是奇函数.
（2）函数f（x）＝｜sin x｜＋cos x的定义域为R，
因为 x∈R，都有－x∈R，
又f（－x）＝｜sin（－x）｜＋cos（－x）＝｜sin x｜＋cos x＝f（x），
所以函数f（x）＝｜sin x｜＋cos x是偶函数.
（3）函数的定义域为R，因为 x∈R，都有－x∈R，
且f（x）＝cos x－x3·sin x，
又f（－x）＝cos（－x）－（－x）3·sin（－x）
＝cos x－x3·sin x＝f（x），
所以f（x）为偶函数.
跟踪训练
解：（1）函数的定义域为R，因为f（x）＝sin（＋）＝－cos ，且f（－x）＝－cos＝－cos ＝f（x），
所以函数f（x）＝sin是偶函数.
（2）函数 （x）的定义域为R，
因为 （－x）＝sin＝sin（cos x）＝ （x），
所以 （x）为偶函数.
【例3】 解：∵f（x－）＝f（x＋），
∴f（x）＝f（x＋π），即f（x）为周期为π的周期函数，
∴f（π）＝f（π－2π）＝f（－），
又∵f（x）为R上的偶函数，
∴f（－）＝f（）＝sin＝，
∴f（π）＝.
母题探究
1.解： ＝ ＝－ ＝－sin＝－.
2.解： ＝ ＝ ＝ ＝sin ＝.
跟踪训练
偶函数 ±2 解析：f（x）＝·sin（ωx－）＝－cos ωx.∴f（－x）＝－cos（－ωx）＝－cos ωx＝f（x），∴f（x）为偶函数，又T＝π，∴＝π，∴ω＝±2.
随堂检测
1.B 由于x∈R，且f（－x）＝cos x＝f（x），所以f（x）为偶函数.
2.B y＝sin 2π，T＝＝π.
3.A 根据图象可看到函数为奇函数，并且与x轴交点不止一个，而y＝x·sin x是偶函数，y＝x·2x非奇非偶，由此可排除B、D；当x＞0时，y＝x·｜cos x｜＞0，由此可排除C.故选A.
4.1 解析：∵T＝，又f（x）为奇函数，∴f（）＝f（8×－）＝f（－）＝－f（）＝－（－1）＝1.
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