(共64张PPT)
第2课时
正弦、余弦函数的单调性与最值
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险
的快感令不少人着迷.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑
落、倒转（儿童过山车没有倒转）这几个循环路径.
【问题】 （1）函数 y ＝ sin x 与 y ＝ cos x 图象也像过山车一样“爬
升”“滑落”，这是 y ＝ sin x ， y ＝ cos x 的什么性质？
（2）过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数 y
＝ sin x ， y ＝ cos x 的什么性质？函数 y ＝ sin x ， y ＝ cos x 的图
象在什么位置取得最大（小）值？
知识点 正弦、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [－1，1] [－1，1]
正弦函数 余弦函数
单调 性 增区间 [－π＋2 k π，2 k π]， k ∈Z
减区间 [2 k π，π＋2 k π]， k ∈Z
最值 ymax＝1 x ＝
ymin＝－1 x ＝ x ＝
2 k π， k ∈Z
－ ＋ 2 k π， k ∈Z
π＋2 k π， k ∈Z
提醒 （1）正弦、余弦函数的单调性是函数的局部性质，只针对区
间，不能针对象限；（2）正弦、余弦函数都不是单调函数，但它们
都有无数个单调区间；（3）利用单调性，可以比较同一个单调区间
内的同名三角函数值的大小.
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 正弦函数 y ＝ sin x 在R上是增函数
B. 余弦函数 y ＝ cos x 的一个单调减区间是[0，π]
C. x ∈[0，2π]满足 sin x ＝2
D. 当余弦函数 y ＝ cos x 取最大值时， x ＝π＋2 k π， k ∈Z
2. 函数 y ＝ sin x 的值域为 .
解析：因为 ≤ x ≤ ，所以 ≤ sin x ≤1，即所求的值域为
.
3. 函数 y ＝2－ sin x 取得最大值时 x 的取值集合为 .
解析：当 sin x ＝－1时， ymax＝2－（－1）＝3，此时 x ＝2 k π－ ，
k ∈Z.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用三角函数的单调性比较大小
【例1】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1） cos 与 cos ；
解： cos ＝ cos ， cos ＝ cos ，
因为0＜ ＜ ＜π，又 y ＝ cos x 在[0，π]上单调递减，
所以 cos ＞ cos ，即 cos ＞ cos .
（2） cos 1与 sin 1；
解： 因为 cos 1＝ sin （ －1），又0＜ －1＜1＜ ，
且 y ＝ sin x 在［0， ］上单调递增，
所以 sin （ －1）＜ sin 1，即 cos 1＜ sin 1.
（3） sin ， sin 与 cos .
解：因为 y ＝ sin x 在［0， ］上单调递增，0＜ ＜ ＜ ，
所以 sin ＜ sin ＜ sin ，则 sin ＜ sin ，
又因为 y ＝ cos x 在［0， ］上单调递减，0＜ ＜ ，
所以 cos ＞ cos ＝ sin ＞ sin ，则 cos ＞ sin .
即 cos ＞ sin ＞ sin .
通性通法
比较三角函数值大小的方法
（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化
为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；
（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三
角函数，后面步骤同上.
【跟踪训练】
1. 下列关系式中正确的是（ ）
A. sin 11°＜ sin 168°＜ cos 10°
B. sin 168°＜ sin 11°＜ cos 10°
C. sin 11°＜ cos 10°＜ sin 168°
D. sin 168°＜ cos 10°＜ sin 11°
解析： 因为 sin 168°＝ sin 12°， cos 10°＝ sin 80°，所以只
需比较 sin 11°， sin 12°， sin 80°的大小.因为 y ＝ sin x 在
（0°，90°）上单调递增，所以 sin 11°＜ sin 12°＜ sin 80°，
即 sin 11°＜ sin 168°＜ cos 10°.
2. 已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是
（ ）
A. sin α＜ sin β B. cos α＜ sin β
C. cos α＜ cos β D. cos α＞ cos β
解析： 因为α，β是锐角三角形的两个内角，故有α＋β
＞ ，所以0＜ －β＜α＜ ，所以 cos α＜ cos （ －β）
＝ sin β.
题型二 求正弦、余弦型函数的单调区间
【例2】 求函数 y ＝2 sin （ x － ）的单调区间.
解：令 z ＝ x － ，则 y ＝2 sin z .
∵ z ＝ x － 是增函数，
∴ y ＝2 sin z 单调递增（减）时，函数 y ＝2 sin （ x － ）也单调递增
（减）.
由 z ∈［2 k π－ ，2 k π＋ ］（ k ∈Z），
得 x － ∈［2 k π－ ，2 k π＋ ］（ k ∈Z），
即 x ∈［2 k π－ ，2 k π＋ ］（ k ∈Z），
故函数 y ＝2 sin （ x － ）的单调递增区间为［2 k π－ ，2 k π＋ ］
（ k ∈Z）.
同理可求函数 y ＝2 sin （ x － ）的单调递减区间为［2 k π＋ ，2 k π
＋ ］（ k ∈Z）.
【母题探究】
（变条件）求函数 y ＝2 sin （ x － ）， x ∈[0，2π]的单调区间.
解：由例题知 y ＝2 sin （ x － ）的单调递增区间为［2 k π－ ，2 k π
＋ ］， k ∈Z，
又∵ x ∈[0，2π]，∴0≤ x ≤ 或 ≤ x ≤2π，
∴函数 y ＝2 sin （ x － ）， x ∈[0，2π]的单调递增区间为［0，
］，［ ，2π］，
同理函数 y ＝2 sin （ x － ）， x ∈[0，2π]的单调递减区间为［ ，
］.
综上，函数 y ＝2 sin （ x － ）， x ∈[0，2π]的单调递增区间为［0，
］，［ ，2π］，单调递减区间为［ ， ］.
通性通法
求正弦、余弦型函数的单调区间的策略
（1）结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；
（2）在求形如 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（其中 A ，ω，φ为常数，且 A
≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代
换，将“ω x ＋φ”看作一个整体“ z ”，即通过求 y ＝ A sin z 的
单调区间而求出原函数的单调区间.求形如 y ＝ A cos （ω x ＋φ）
（其中 A ，ω，φ为常数，且 A ≠0，ω＞0）的函数的单调区间
时，同上.
【跟踪训练】
1. 函数 y ＝ sin （ － x ）， x ∈[0，2π]的单调递减区间为
.
解析： y ＝ sin （ － x ）＝－ sin （ x － ），令－ ＋2 k π≤ x －
≤ ＋2 k π， k ∈Z，解得－ ＋2 k π≤ x ≤ ＋2 k π， k ∈Z，又 x
∈[0，2π]，∴0≤ x ≤ 或 ≤ x ≤2π，∴原函数的单调递减区间
为［0， ］，［ ，2π］.
［0，
］，［ ，2π］
2. 求函数 y ＝2 cos （2 x － ）的单调区间.
解：令2 k π－π≤2 x － ≤2 k π（ k ∈Z），
即2 k π－ ≤2 x ≤2 k π＋ （ k ∈Z），
∴ k π－ ≤ x ≤ k π＋ （ k ∈Z）.
∴单调递增区间为［ k π－ ， k π＋ ］（ k ∈Z）.
令2 k π≤2 x － ≤2 k π＋π（ k ∈Z），
即2 k π＋ ≤2 x ≤2 k π＋ （ k ∈Z），
∴ k π＋ ≤ x ≤ k π＋ （ k ∈Z），
∴单调递减区间为［ k π＋ ， k π＋ ］（ k ∈Z）.
∴函数 y ＝2 cos （2 x － ）的单调递增区间为［ k π－ ， k π＋
］（ k ∈Z），
单调递减区间为［ k π＋ ， k π＋ ］（ k ∈Z）.
题型三 正弦、余弦型函数的值域及最值
角度1 可转化为 y ＝ A sin z ＋ b （或 y ＝ A cos z ＋ b ）的最值（值域）
问题
【例3】 （1）求 y ＝ sin （ x ＋ ）， x ∈［0， ］的值域；
解： 令 t ＝ x ＋ ，∵ x ∈［0， ］，∴ t ∈［ ， ］.
∵函数 y ＝ sin t 在［ ， ］上单调递增，在［ ， ］上单调
递减，当 t ＝ 时， y ＝ ，当 t ＝ 时， y ＝1，当 t ＝ 时， y ＝
，∴所求函数的值域为［ ，1］.
（2）已知函数 f （ x ）＝ a cos （2 x － ）＋ b （ a ≠0），当 x ∈［0，
］时， f （ x ）的最大值为3，最小值为0，求 a 和 b 的值.
解： ∵0≤ x ≤ ，∴－ ≤2 x － ≤ ，
∴－ ≤ cos （2 x － ）≤1.
当 a ＞0时，由题意得解得
当 a ＜0时，由题意得解得
故 a ＝2， b ＝1或 a ＝－2， b ＝2.
通性通法
形如 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ b （或 y ＝ A cos （ω x ＋φ）＋ b ）型
函数，令 z ＝ω x ＋φ，所求函数变为 y ＝ A sin z ＋ b （或 y ＝ A cos z ＋
b ），可先由定义域求得 z 的范围，然后求得 sin z （或 cos z ）的范
围，最后求得值域（最值）.但要注意对 A 正负的讨论.
角度2 可转化为二次函数的最值（值域）问题
【例4】 函数 y ＝ cos 2 x ＋2 sin x －2， x ∈R的值域为 .
解析：因为 y ＝ cos 2 x ＋2 sin x －2＝－ sin 2 x ＋2 sin x －1＝－（ sin x
－1）2.又－1≤ sin x ≤1，所以－4≤ y ≤0，所以函数 y ＝ cos 2 x ＋2
sin x －2， x ∈R的值域为[－4，0].
[－4，0]
【母题探究】
（变条件）若本例中“ x ∈R”变为“ x ∈［ ， ］”，求函数的
最大值和最小值及取得最值时的 x 的值.
解：由例题解答可知 y ＝－（ sin x －1）2，因为 x ∈［ ， ］，所以
≤ sin x ≤1，所以当 sin x ＝1，即 x ＝ 时， ymax＝0；当 sin x ＝ ，即
x ＝ 时， ymin＝－ .
通性通法
形如 y ＝ a sin 2 x ＋ b sin x ＋ c （ a ≠0）的三角函数，可先设 t ＝
sin x ，将函数 y ＝ a sin 2 x ＋ b sin x ＋ c （ a ≠0）化为关于 t 的二次函数
y ＝ at2＋ bt ＋ c （ a ≠0），根据二次函数的单调性求值域（最值）.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝ sin 2 x ＋ cos x － （ x ∈［0， ］）的最大值
是 .
解析：由题意得 f （ x ）＝1－ cos 2 x ＋ cos x － （ x ∈［0，
］），令 cos x ＝ t ，则 t ∈[0，1]，则 y ＝－ t2＋ t ＋ ＝－（ t
－ ）2＋1，则当 t ＝ ，即 x ＝ 时， f （ x ）取得最大值1.
1
2. 求函数 y ＝3－2 sin （2 x ＋ ），－ ≤ x ≤ 的最大值、最小值及
相应的 x 的值.
解：因为－ ≤ x ≤ ，所以0≤2 x ＋ ≤ ，
所以0≤ sin （2 x ＋ ）≤1，所以－2≤－2 sin （2 x ＋ ）≤0，
则1≤3－2 sin （2 x ＋ ）≤3.
所以当 sin （2 x ＋ ）＝0，即 x ＝－ 时，函数取得最大值3；
当 sin （2 x ＋ ）＝1，即 x ＝ 时，函数取得最小值1.
1. 函数 y ＝－ cos x 在区间［－ ， ］上（ ）
A. 单调递增 B. 单调递减
C. 先减后增 D. 先增后减
解析： 因为 y ＝ cos x 在区间［－ ， ］上先增后减，所以 y ＝
－ cos x 在区间［－ ， ］上先减后增.
2. 设 a ＝ cos ， b ＝ sin ， c ＝ cos ，则（ ）
A. a ＞ c ＞ b B. c ＞ b ＞ a
C. c ＞ a ＞ b D. b ＞ c ＞ a
解析： sin ＝ sin （8π－ ）＝－ sin ＝ sin ＝ cos ，
cos ＝ cos （2π－ ）＝ cos （－ ）＝ cos .∵ y ＝ cos x 在（0，
）上单调递减，且 ＜ ＜ ，∴ cos ＞ cos ＞ cos ，即 a ＞ c
＞ b .
3. 函数 f （ x ）＝2 sin （ x － ）在区间［ ， ］上的最大值
为 .
解析：当 x ∈［ ， ］时， x － ∈［ ， ］， ≤ sin （ x － ）
≤ ，所以1≤2 sin （ x － ）≤ ，所以函数 f （ x ）＝2 sin （ x
－ ）在区间［ ， ］上的最大值为 .
4. 函数 f （ x ）＝ cos （ －2 x ）的单调递减区间是 ［ ＋ k π，
.
解析：因为 f （ x ）＝ cos （ －2 x ）＝ cos （2 x － ），令2
k π≤2 x － ≤π＋2 k π（ k ∈Z），得 ＋ k π≤ x ≤ ＋ k π（ k
∈Z），即 f （ x ）＝ cos （ －2 x ）的单调递减区间是［ ＋ k
π， ＋ k π］（ k ∈Z）.
［ ＋ k π，
＋ k π］（ k ∈Z）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列命题中正确的是（ ）
A. y ＝ cos x 在第一象限和第四象限内单调递减
B. y ＝ sin x 在第一象限和第三象限内单调递增
解析： 对于 y ＝ cos x ，该函数的单调递减区间为[2 k π，π＋2 k
π]， k ∈Z，故A错误，C错误；对于 y ＝ sin x ，该函数的单调递增
区间为［－ ＋2 k π， ＋2 k π］， k ∈Z，故B错误，D正确.
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2. 已知函数 y ＝ sin x 和 y ＝ cos x 在区间 I 上都单调递减，那么区间 I 可
以是（ ）
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解析： 逐一验证所给的区间：对于A，函数 y ＝ sin x 在该区间
上单调递增，函数 y ＝ cos x 在该区间上单调递减，A不合题意；对
于B，函数 y ＝ sin x 在该区间上单调递减，函数 y ＝ cos x 在该区间
上单调递减，B符合题意；对于C，函数 y ＝ sin x 在该区间上单调
递减，函数 y ＝ cos x 在该区间上单调递增，C不合题意；对于D，
函数 y ＝ sin x 在该区间上单调递增，函数 y ＝ cos x 在该区间上单调
递增，D不合题意.故选B.
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3. 已知函数 f （ x ）＝ sin （ x ＋ ）在 x0处取得最大值，则 x0可能为
（ ）
解析： 当 x ＋ ＝ ＋2 k π， k ∈Z，即 x ＝ ＋2 k π， k ∈Z时， f
（ x ）取最大值.
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4. 函数 y ＝ sin 2 x ＋ sin x －1的值域为（ ）
A. [－1，1]
解析： 令 sin x ＝ t ，则 t ∈[－1，1]，∴ y ＝ t2＋ t －1＝
－ ，∴当 t ＝－ 时， ymin＝－ ；当 t ＝1时， ymax＝1.故选C.
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5. （多选）对于函数 f （ x ）＝ sin 2 x ，下列选项中正确的是（ ）
B. f （ x ）的图象关于原点对称
C. f （ x ）的最小正周期为2π
D. f （ x ）的最大值为2
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解析： 因为函数 y ＝ sin x 在 上单调递减，所以 f （ x ）
＝ sin 2 x 在 上单调递减，故A正确；因为 x ∈R且 f （－ x ）
＝ sin 2（－ x ）＝ sin （－2 x ）＝－ sin 2 x ＝－ f （ x ），所以 f
（ x ）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； f （ x ）的最小正
周期为π，故C错误； f （ x ）的最大值为1，故D错误.
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6. （多选）下列各式正确的是（ ）
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解析： 由诱导公式可得 sin ＝ sin ＝ sin ， sin
＝ sin ＝ sin ＝ sin ，因为正弦函数 y ＝ sin x 在 上单调递增，且0＜ ＜ ＜ ，所以 sin ＜ sin ，即 sin ＜
sin ，A正确；因为 y ＝ sin x 在 上单调递增，且0＞－ ＞－ ＞－ ，所以 sin ＞ sin ，B错误；
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cos ＝ cos ＝ cos ＝ cos ， cos
＝ cos ＝ cos （－ ）＝ cos ，因为 y ＝ cos x 在（0，
π）上单调递减，且0＜ ＜ ＜π，所以 cos ＞ cos ，即 cos
＞ cos ，C正确；因为 cos ＝ cos ， cos ＝ cos ＝ cos ＝ cos ，0＜ ＜ ＜ ，且函数 y ＝ cos x 在 上单调递减，所以 cos ＞ cos ，所以 cos ＞ cos ，D正确.故选A、C、D.
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7. 若 cos x ＝ m －1有意义，则 m 的取值范围是 .
解析：因为－1≤ cos x ≤1，要使 cos x ＝ m －1有意义，需有－1≤
m －1≤1，所以0≤ m ≤2.
[0，2]
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8. 函数 y ＝｜ sin x ｜＋ sin x 的值域为 .
解析：∵ y ＝｜ sin x ｜＋ sin x ＝又∵－1≤ sin x
≤1，∴ y ∈[0，2]，即函数的值域为[0，2].
[0，2]
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9. 函数 y ＝ cos x 在区间[－π， a ]上单调递增，则 a 的取值范围
是 .
解析：∵ y ＝ cos x 在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，
∴只有当－π＜ a ≤0时，满足条件.故 a 的取值范围是（－π，0].
（－π，0]
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10. 求函数 y ＝3－4 cos ， x ∈ 的最大值、最小值及
相应的 x 的值.
解：因为 x ∈ ，所以2 x ＋ ∈［－ ， ］，
从而－ ≤ cos ≤1.
所以当 cos ＝1，即2 x ＋ ＝0， x ＝－ 时，
ymin＝3－4＝－1.
当 cos ＝－ ，即2 x ＋ ＝ ， x ＝ 时，
ymax＝3－4× ＝5.
综上所述，当 x ＝－ 时， ymin＝－1；
当 x ＝ 时， ymax＝5.
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11. 函数 y ＝ sin x 的定义域为[ a ， b ]，值域为 ，则 b － a 的
最大值和最小值之和等于（ ）
C. 2π D. 4π
解析： 如图，当定义域为[ a1， b ]时，值域为
且 b － a 最大.当定义域为[ a2， b ]时，
值域为 ，且 b － a 最小.∴最大值与最
小值之和为（ b － a1）＋（ b － a2）＝2 b －（ a1＋ a2）＝2× ＋ ＋ ＝2π.
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12. 已知函数 f （ x ）＝ f （π－ x ），且当 x ∈（－ ， ）时， f （ x ）
＝ x ＋ sin x .设 a ＝ f （1）， b ＝ f （2）， c ＝ f （3），则
（ ）
A. a ＜ b ＜ c B. b ＜ c ＜ a
C. c ＜ b ＜ a D. c ＜ a ＜ b
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解析： 由已知得，函数 f （ x ）在（－ ， ）上单调递增.因
为π－2∈（－ ， ），π－3∈（－ ， ），π－3＜1＜π－2，所
以 f （π－3）＜ f （1）＜ f （π－2），即 f （3）＜ f （1）＜ f
（2），即 c ＜ a ＜ b .故选D.
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13. 函数 f （ x ）＝ 的单调递减区间是 ［ ＋ k π，
.
［ ＋ k π，
＋ k π］， k ∈Z
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解析：函数 f （ x ）＝ ，则 sin （2 x － ）≥0，2
k π≤2 x － ≤2 k π＋π， k ∈Z，解得 k π＋ ≤ x ≤ k π＋ ， k
∈Z. 又由正弦函数的性质可得2 k π＋ ≤2 x － ≤2 k π＋ ， k
∈Z，解得 k π＋ ≤ x ≤ k π＋ ， k ∈Z. 由可得 k π＋ ≤ x ≤ k π＋ ， k
∈Z，即函数 f （ x ）＝ 的单调递减区间为［ k π＋
， k π＋ ］， k ∈Z.
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14. 设函数 f （ x ）＝ sin （2 x － ）， x ∈R.
（1）求函数 f （ x ）的最小正周期和单调递增区间；
解： 最小正周期 T ＝ ＝π，
由2 k π－ ≤2 x － ≤2 k π＋ （ k ∈Z），得 k π－ ≤ x ≤ k π
＋ （ k ∈Z），
所以函数 f （ x ）的单调递增区间是［ k π－ ， k π＋ ］
（ k ∈Z）.
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（2）求函数 f （ x ）在区间［ ， ］上的最小值和最大值，并
求出取最值时 x 的值.
解： 令 t ＝2 x － ，则由 ≤ x ≤ 可得0≤ t ≤ ，所
以当 t ＝ ，即 x ＝ 时， f （ x ）min＝ ×（－ ）＝－
1，当 t ＝ ，即 x ＝ 时， f （ x ）max＝ ×1＝ .
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15. 对于函数 f （ x ）＝下列说法中正确的是
（ ）
A. 该函数的值域是[－1，1]
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解析： 画出函数 f （ x ）的图象如
图中实线部分所示，由图象容易看
出，该函数的值域是［－ ，1］；
当且仅当 x ＝2 k π＋ ， k ∈Z或 x ＝2 k π， k ∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当 x ＝2 k π＋ ， k ∈Z时，函数取得最小值－ ；当且仅当2 k π＋π＜ x ＜2 k π＋ ， k ∈Z时， f （ x ）＜0，可知A、B、C不正确.
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16. 定义在R上的偶函数 f （ x ）满足 f （ x ＋1）＝－ f （ x ），且在[－
4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，求证： f
（ sin α）＞ f （ cos β）.
证明：由 f （ x ＋1）＝－ f （ x ），
得 f （ x ＋2）＝－ f （ x ＋1）＝ f （ x ），
所以函数 f （ x ）是周期函数，且2是它的一个周期.
因为函数 f （ x ）是偶函数且在[－4，－3]上单调递增，所以函数
f （ x ）在[0，1]上单调递增.
又α，β是锐角三角形的两个内角，
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则有α＋β＞ ，即 ＞α＞ －β＞0，
因为 y ＝ sin x 在［0， ］上单调递增，
所以 sin α＞ sin （ －β）＝ cos β，
且 sin α∈（0，1）， cos β∈（0，1），
所以 f （ sin α）＞ f （ cos β）.
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谢 谢 观 看！第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
1.下列命题中正确的是（ ）
A.y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B.y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
C.y＝cos x在［－，］上单调递减
D.y＝sin x在［－，］上单调递增
2.已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间I上都单调递减，那么区间I可以是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知函数f（x）＝sin（x＋）在x0处取得最大值，则x0可能为（ ）
A. B.
C. D.
4.函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为（ ）
A.[－1，1] B.
C. D.
5.（多选）对于函数f（x）＝sin 2x，下列选项中正确的是（ ）
A.f（x）在上单调递减
B.f（x）的图象关于原点对称
C.f（x）的最小正周期为2π
D.f（x）的最大值为2
6.（多选）下列各式正确的是（ ）
A.sin ＜sin
B.sin＜sin
C.cos＞cos
D.cos＞cos
7.若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是 .
8.函数y＝｜sin x｜＋sin x的值域为 .
9.函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是 .
10.求函数y＝3－4cos，x∈的最大值、最小值及相应的x的值.
11.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于（ ）
A. B.
C.2π D.4π
12.已知函数f（x）＝f（π－x），且当x∈（－，）时，f（x）＝x＋sin x.设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（3），则（ ）
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
13.函数f（x）＝的单调递减区间是 .
14.设函数f（x）＝sin（2x－），x∈R.
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间［，］上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值.
15.对于函数f（x）＝下列说法中正确的是（ ）
A.该函数的值域是[－1，1]
B.当且仅当x＝2kπ＋（k∈Z）时，函数取得最大值1
C.当且仅当x＝2kπ－（k∈Z）时，函数取得最小值－1
D.当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋（k∈Z）时，f（x）＜0
16.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f（sin α）＞f（cos β）.
第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
1.D 对于y＝cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，C错误；对于y＝sin x，该函数的单调递增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z，故B错误，D正确.
2.B 逐一验证所给的区间：对于A，函数y＝sin x在该区间上单调递增，函数y＝cos x在该区间上单调递减，A不合题意；对于B，函数y＝sin x在该区间上单调递减，函数y＝cos x在该区间上单调递减，B符合题意；对于C，函数y＝sin x在该区间上单调递减，函数y＝cos x在该区间上单调递增，C不合题意；对于D，函数y＝sin x在该区间上单调递增，函数y＝cos x在该区间上单调递增，D不合题意.故选B.
3.C 当x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，f（x）取最大值.
4.C 令sin x＝t，则t∈[－1，1]，∴y＝t2＋t－1＝－，∴当t＝－时，ymin＝－；当t＝1时，ymax＝1.故选C.
5.AB 因为函数y＝sin x在上单调递减，所以f（x）＝sin 2x在上单调递减，故A正确；因为x∈R且f（－x）＝sin 2（－x）＝sin（－2x）＝－sin 2x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误.
6.ACD 由诱导公式可得sin ＝sin＝sin ，sin ＝sin（6π＋）＝sin ＝sin ，因为正弦函数y＝sin x在上单调递增，且0＜＜＜，所以sin ＜sin ，即sin ＜sin ，A正确；
因为y＝sin x在上单调递增，且0＞－＞－＞－，所以sin＞sin，B错误；
cos＝cos＝cos＝cos ，cos＝cos＝cos（－）＝cos ，因为y＝cos x在（0，π）上单调递减，且0＜＜＜π，所以cos ＞cos ，即cos＞cos，C正确；
因为cos＝cos ，cos ＝cos＝cos＝cos ，0＜＜＜，且函数y＝cos x在上单调递减，所以cos ＞cos ，所以cos＞cos ，D正确.故选A、C、D.
7.[0，2] 解析：因为－1≤cos x≤1，要使cos x＝m－1有意义，需有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.
8.[0，2] 解析：∵y＝｜sin x｜＋sin x＝又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2].
9.（－π，0] 解析：∵y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，∴只有当－π＜a≤0时，满足条件.故a的取值范围是（－π，0].
10.解：因为x∈，所以2x＋∈［－，］，
从而－≤cos≤1.
所以当cos＝1，即2x＋＝0，x＝－时，
ymin＝3－4＝－1.
当cos＝－，即2x＋＝，x＝时，
ymax＝3－4×＝5.
综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；
当x＝时，ymax＝5.
11.C 如图，当定义域为[a1，b]时，值域为且b－a最大.当定义域为[a2，b]时，值域为，且b－a最小.∴最大值与最小值之和为（b－a1）＋（b－a2）＝2b－（a1＋a2）＝2×＋＋＝2π.
12.D 由已知得，函数f（x）在（－，）上单调递增.因为π－2∈（－，），π－3∈（－，），π－3＜1＜π－2，所以f（π－3）＜f（1）＜f（π－2），即f（3）＜f（1）＜f（2），即c＜a＜b.故选D.
13.［＋kπ，＋kπ］，k∈Z 解析：函数f（x）＝，则sin（2x－）≥0，2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.又由正弦函数的性质可得2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.由可得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f（x）＝的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］，k∈Z.
14.解：（1）最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递增区间是［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
（2）令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，所以当t＝，即x＝时，f（x）min＝×（－）＝－1，当t＝，即x＝时，f（x）max＝×1＝.
15.D 画出函数f（x）的图象如图中实线部分所示，由图象容易看出，该函数的值域是［－，1］；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋，k∈Z时，f（x）＜0，可知A、B、C不正确.
16.证明：由f（x＋1）＝－f（x），
得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），
所以函数f（x）是周期函数，且2是它的一个周期.
因为函数f（x）是偶函数且在[－4，－3]上单调递增，所以函数f（x）在[0，1]上单调递增.
又α，β是锐角三角形的两个内角，
则有α＋β＞，即＞α＞－β＞0，
因为y＝sin x在［0，］上单调递增，
所以sin α＞sin（－β）＝cos β，
且sin α∈（0，1），cos β∈（0，1），
所以f（sin α）＞f（cos β）.
2 / 2第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转（儿童过山车没有倒转）这几个循环路径.
【问题】 （1）函数y＝sin x与y＝cos x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y＝sin x，y＝cos x的什么性质？
（2）过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数y＝sin x，y＝cos x的什么性质？函数y＝sin x，y＝cos x的图象在什么位置取得最大（小）值？
知识点 正弦、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [－1，1] [－1，1]
单 调 性 增区间 ［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z
减区间 ［＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]， k∈Z
最 值 ymax＝1 x＝＋2kπ，k∈Z x＝
ymin＝ －1 x＝ x＝
提醒 （1）正弦、余弦函数的单调性是函数的局部性质，只针对区间，不能针对象限；（2）正弦、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间；（3）利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.
1.下列说法正确的是（ ）
A.正弦函数y＝sin x在R上是增函数
B.余弦函数y＝cos x的一个单调减区间是[0，π]
C. x∈[0，2π]满足sin x＝2
D.当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z
2.函数y＝sin x的值域为 .
3.函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为 .
题型一 利用三角函数的单调性比较大小
【例1】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1）cos 与cos ；
（2）cos 1与sin 1；
（3）sin，sin与cos.
通性通法
比较三角函数值大小的方法
（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；
（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上.
【跟踪训练】
1.下列关系式中正确的是（ ）
A.sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
B.sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C.sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
D.sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
2.已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是（ ）
A.sin α＜sin β
B.cos α＜sin β
C.cos α＜cos β
D.cos α＞cos β
题型二 求正弦、余弦型函数的单调区间
【例2】 求函数y＝2sin（x－）的单调区间.
【母题探究】
（变条件）求函数y＝2sin（x－），x∈[0，2π]的单调区间.
通性通法
求正弦、余弦型函数的单调区间的策略
（1）结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；
（2）在求形如y＝Asin（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，同上.
【跟踪训练】
1.函数y＝sin（－x），x∈[0，2π]的单调递减区间为 .
2.求函数y＝2cos（2x－）的单调区间.
题型三 正弦、余弦型函数的值域及最值
角度1 可转化为y＝Asin z＋b（或y＝Acos z＋b）的最值（值域）问题
【例3】 （1）求y＝sin（x＋），x∈［0，］的值域；
（2）已知函数f（x）＝acos（2x－）＋b（a≠0），当x∈［0，］时，f（x）的最大值为3，最小值为0，求a和b的值.
通性通法
形如y＝Asin（ωx＋φ）＋b（或y＝Acos（ωx＋φ）＋b）型函数，令z＝ωx＋φ，所求函数变为y＝Asin z＋b（或y＝Acos z＋b），可先由定义域求得z的范围，然后求得sin z（或cos z）的范围，最后求得值域（最值）.但要注意对A正负的讨论.
角度2 可转化为二次函数的最值（值域）问题
【例4】 函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为 .
【母题探究】
（变条件）若本例中“x∈R”变为“x∈［，］”，求函数的最大值和最小值及取得最值时的x的值.
通性通法
形如y＝asin2x＋bsin x＋c（a≠0）的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c（a≠0）化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c（a≠0），根据二次函数的单调性求值域（最值）.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝sin2x＋cos x－（x∈［0，］）的最大值是 .
2.求函数y＝3－2sin（2x＋），－≤x≤的最大值、最小值及相应的x的值.
1.函数y＝－cos x在区间［－，］上（ ）
A.单调递增 B.单调递减
C.先减后增 D.先增后减
2.设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则（ ）
A.a＞c＞b B.c＞b＞a
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
3.函数f（x）＝2sin（x－）在区间［，］上的最大值为 .
4.函数f（x）＝cos（－2x）的单调递减区间是 .
第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
【基础知识·重落实】
知识点
2kπ，k∈Z －＋2kπ，k∈Z π＋2kπ，k∈Z
自我诊断
1.B
2. 解析：因为≤x≤，所以≤sin x≤1，即所求的值域为.
3.
解析：当sin x＝－1时，ymax＝2－（－1）＝3，此时x＝2kπ－，k∈Z.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）cos ＝cos ，cos ＝cos ，
因为0＜＜＜π，又y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos ＞cos ，即cos ＞cos .
（2）因为cos 1＝sin（－1），又0＜－1＜1＜，
且y＝sin x在［0，］上单调递增，
所以sin（－1）＜sin 1，即cos 1＜sin 1.
（3）因为y＝sin x在［0，］上单调递增，0＜＜＜，
所以sin＜sin＜sin，则sin＜sin ，
又因为y＝cos x在［0，］上单调递减，0＜＜，
所以cos ＞cos ＝sin＞sin ，则cos ＞sin .
即cos＞sin＞sin.
跟踪训练
1.A 因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，所以只需比较sin 11°，sin 12°，sin 80°的大小.因为y＝sin x在（0°，90°）上单调递增，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
2.B 因为α，β是锐角三角形的两个内角，故有α＋β＞，所以0＜－β＜α＜，所以cos α＜cos（－β）＝sin β.
【例2】 解：令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增（减）时，函数y＝2sin（x－）也单调递增（减）.
由z∈［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z），
得x－∈［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z），
即x∈［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z），
故函数y＝2sin（x－）的单调递增区间为［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）.
同理可求函数y＝2sin（x－）的单调递减区间为［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）.
母题探究
解：由例题知y＝2sin（x－）的单调递增区间为［2kπ－，2kπ＋］，k∈Z，
又∵x∈[0，2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π，
∴函数y＝2sin（x－），x∈[0，2π]的单调递增区间为［0，］，［，2π］，
同理函数y＝2sin（x－），x∈[0，2π]的单调递减区间为［，］.
综上，函数y＝2sin（x－），x∈[0，2π]的单调递增区间为［0，］，［，2π］，单调递减区间为［，］.
跟踪训练
1.［0，］，［，2π］ 解析：y＝sin（－x）＝－sin（x－），令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，又x∈[0，2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π，∴原函数的单调递减区间为［0，］，［，2π］.
2.解：令2kπ－π≤2x－≤2kπ（k∈Z），
即2kπ－≤2x≤2kπ＋（k∈Z），
∴kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）.
∴单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
令2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z），
即2kπ＋≤2x≤2kπ＋（k∈Z），
∴kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），
∴单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.
∴函数y＝2cos（2x－）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z），
单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.
【例3】 解：（1）令t＝x＋，∵x∈［0，］，∴t∈［，］.∵函数y＝sin t在［，］上单调递增，在［，］上单调递减，当t＝时，y＝，当t＝时，y＝1，当t＝时，y＝，∴所求函数的值域为［，1］.
（2）∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤cos（2x－）≤1.
当a＞0时，由题意得解得
当a＜0时，由题意得解得
故a＝2，b＝1或a＝－2，b＝2.
【例4】 [－4，0] 解析：因为y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－（sin x－1）2.又－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4，0].
母题探究
解：由例题解答可知y＝－（sin x－1）2，因为x∈［，］，所以≤sin x≤1，所以当sin x＝1，即x＝时，ymax＝0；当sin x＝，即x＝时，ymin＝－.
跟踪训练
1.1 解析：由题意得f（x）＝1－cos2x＋cos x－（x∈［0，］），令cos x＝t，则t∈[0，1]，则y＝－t2＋t＋＝－（t－）2＋1，则当t＝，即x＝时，f（x）取得最大值1.
2.解：因为－≤x≤，所以0≤2x＋≤，
所以0≤sin（2x＋）≤1，所以－2≤－2sin（2x＋）≤0，
则1≤3－2sin（2x＋）≤3.
所以当sin（2x＋）＝0，即x＝－时，函数取得最大值3；
当sin（2x＋）＝1，即x＝时，函数取得最小值1.
随堂检测
1.C 因为y＝cos x在区间［－，］上先增后减，所以y＝－cos x在区间［－，］上先减后增.
2.A sin ＝sin（8π－）＝－sin ＝sin ＝cos ，cos ＝cos（2π－）＝cos（－）＝cos .∵y＝cos x在（0，）上单调递减，且＜＜，∴cos ＞cos ＞cos ，即a＞c＞b.
3. 解析：当x∈［，］时，x－∈［，］，≤sin（x－）≤，所以1≤2sin（x－）≤，所以函数f（x）＝2sin（x－）在区间［，］上的最大值为.
4.［＋kπ，＋kπ］（k∈Z）
解析：因为f（x）＝cos（－2x）＝cos（2x－），令2kπ≤2x－≤π＋2kπ（k∈Z），得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），即f（x）＝cos（－2x）的单调递减区间是［＋kπ，＋kπ］（k∈Z）.
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