5.4.3 正切函数的性质与图象
1.函数f（x）＝tan，x∈R的最小正周期为（ ）
A. B.π
C.2π D.4
2.函数f（x）＝－2tan（2x＋）的定义域是（ ）
A.{x∈R｜x≠}
B.{x∈R｜x≠－}
C.{x∈R｜x≠kπ＋，k∈Z}
D.{x∈R｜x≠＋，k∈Z}
3.函数y＝（－≤x≤，且x≠0）的值域为（ ）
A.[－1，1]
B.（－∞，－1]∪[1，＋∞）
C.（－∞，1]
D.[－1，＋∞）
4.函数f（x）＝tan的单调递增区间是（ ）
A.，k∈Z
B.（2kπ－，2kπ＋），k∈Z
C.，k∈Z
D.［kπ－，kπ＋］，k∈Z
5.（多选）函数y＝tan的性质有（ ）
A.在上单调递增
B.为奇函数
C.以π为最小正周期
D.定义域为
6.（多选）与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是（ ）
A.x＝ B.x＝－
C.x＝ D.x＝－
7.已知函数f（x）＝tan x＋，若f（a）＝5，则f（－a）＝ .
8.函数y＝tan（π－x），x∈的值域为 .
9.比较大小：tan 4 tan 3.
10.画出函数y＝｜tan x｜＋tan x的图象，并根据图象求出函数的单调区间、最小正周期.
11.tan x≥1的解集为（ ）
A.{x｜x≥kπ＋，k∈Z}
B.{x｜x≥2kπ＋，k∈Z}
C.{x｜x≥}
D.{x｜kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z}
12.已知函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f＝（ ）
A.0 B.－
C.－1 D.
13.设定义在区间上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为 .
14.在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝sin x和y＝tan x，x∈[0，2π]的图象，依据图象回答以下问题：
（1）写出这两个函数图象的交点坐标；
（2）写出使tan x＞sin x成立的x的取值范围；
（3）写出使tan x＝sin x成立的x的取值范围；
（4）写出使tan x＜sin x成立的x的取值范围；
（5）写出使这两个函数有相同的单调性的区间.
15.下列图形分别是①y＝｜tan x｜；②y＝tan x；③y＝tan（－x）；④y＝tan｜x｜在x∈（－，）内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是（ ）
A.①②③④ B.①③④②
C.③②④① D.①②④③
16.已知函数f（x）＝x2＋2xtan θ－1，其中θ≠＋kπ，k∈Z.
（1）当θ＝－，x∈[－1，]时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求使y＝f（x）在区间[－1，]上是单调函数的θ的取值范围.
5.4.3 正切函数的性质与图象
1.C T＝＝2π.故选C.
2.D 由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.∴函数f（x）＝－2·tan（2x＋）的定义域是{x∈R｜x≠＋，k∈Z}.
3.B 因为－≤x≤，且x≠0，所以－1≤tan x＜0或0＜tan x≤1，则≤－1或≥1.
4.C 由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，故f（x）的单调递增区间是（－＋kπ，＋kπ），k∈Z.
5.AB 令x∈，则∈，所以y＝tan 在上单调递增，所以A正确；tan＝－tan ，故y＝tan 为奇函数，所以B正确；T＝＝2π，所以C不正确；由≠＋kπ，k∈Z，得函数的定义域为{x｜x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以D不正确.
6.AD 令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以直线x＝＋，k∈Z与函数y＝tan的图象不相交，所以令k＝－1，x＝－；k＝0，x＝.
7.－5 解析：易知函数f（x）为奇函数，故f（a）＋f（－a）＝0，则f（－a）＝－f（a）＝－5.
8.（－，1） 解析：y＝tan（π－x）＝－tan x，在上单调递减，所以值域为（－，1）.
9.＞ 解析：∵＜3＜π＜4＜π，y＝tan x在（，π）上单调递增，∴tan 4＞tan 3.
10.解：因为y＝｜tan x｜＋tan x＝画出函数y＝｜tan x｜＋tan x的图象，如图所示，则函数的单调递增区间是，k∈Z，最小正周期是π.
11.D ∵tan x≥1，由图象（图略）知，＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z.
12.A 由题意，可知T＝，所以ω＝＝4，即f（x）＝tan 4x，所以f＝tan＝tan π＝0，故选A.
13. 解析：画出函数y＝6cos x，y＝5tan x，y＝sin x在上的图象，如图所示.观察图象可知，线段P1P2的长即为满足6cos x＝5tan x时的x对应的sin x的值，所以6cos x＝5tan x＝5·，所以6cos2x＝5sin x.因为sin2x＋cos2x＝1，x∈，所以0＜sin x＜1，则6sin2x＋5sin x－6＝0，所以sin x＝（负值舍去），故线段P1P2的长为.
14.解：作出函数y＝sin x和函数y＝tan x在x∈[0，2π]的图象（如图）.
（1）这两个函数图象的交点坐标为（0，0），（π，0），（2π，0）.
（2）要使tan x＞sin x成立，则x的取值范围为（0，）∪（π，π）.
（3）要使tan x＝sin x成立，则x的取值范围是{x｜x＝0或x＝π或x＝2π}.
（4）要使tan x＜sin x成立，则x的取值范围是（，π）∪（π，2π）.
（5）使两函数具有相同的单调性区间为［0，）和（π，2π］，它们在上述两区间上都单调递增.
15.D y＝tan（－x）＝－tan x在（－，）上单调递减，只有图象d符合，即d对应③.
16.解：（1）当θ＝－时，f（x）＝x2－x－1＝－.
∵x∈[－1，]，且f（x）的图象开口向上，
∴当x＝时，f（x）min＝－；
当x＝－1时，f（x）max＝.
（2）函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵f（x）在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tan θ≥或－tan θ≤－1，
即tan θ≤－或tan θ≥1，
∴－＋kπ＜θ≤－＋kπ或＋kπ≤θ＜＋kπ，k∈Z，
故θ的取值范围是（－＋kπ，－＋kπ］∪［＋kπ，＋kπ），k∈Z.
2 / 25.4.3 正切函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.能够借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图象 数学抽象、直观想象
2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性.并能利用其性质解决相关问题 直观想象、数学运算
我们知道正切是正弦与余弦的比值，那么如何求正切函数的周期和单调性？正切函数的图象有什么特点？本节课就研究正切函数的性质与图象.
【问题】 （1）前面我们学习了正弦函数的图象与性质，余弦函数的图象与性质，回想一下，我们是如何得到正弦函数图象与余弦函数图象的？
（2）类比正弦函数图象和余弦函数图象的学习过程，对于正切函数的图象是否适用？
知识点 正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小 正周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 在区间 上单调递增
对称性 对称中心
提醒 （1）正切函数在定义域上不具备单调性，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，无单调递减区间，没有最大值和最小值；（2）画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指点，（0，0），，“两线”是指直线x＝－和x＝，大致画出正切函数在上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线.
1.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.正切函数的定义域和值域都是R
B.正切函数在R上是递增的
C.正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心
D.正切函数的最小正周期为π
2.函数y＝tan 3x的定义域为 .
3.函数y＝tan x，x∈的值域是 .
4.函数y＝tan的单调增区间是 .
题型一 正切函数的定义域及值域
【例1】 （1）函数y＝tan的定义域为 ；
（2）函数y＝tan2x－2tan x的值域为 .
通性通法
1.求正切函数定义域的方法
（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解；
（2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”.令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
2.求正切函数值域的方法
（1）对于y＝Atan（ωx＋φ）的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域；
（2）对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域.
【跟踪训练】
1.函数y＝3tan（π＋x），－＜x≤的值域为 .
2.函数y＝lg（－tan x）的定义域是 .
题型二 正切函数的奇偶性、周期性
【例2】 （1）若f（x）＝tan ωx（ω＞0）的周期为1，则f＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
（2）函数f（x）＝｜tan 2x｜是（ ）
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
通性通法
正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略
（1）一般地，函数y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期；
（2）判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f（－x）与f（x）的关系.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝tan（4x＋）的最小正周期为（ ）
A. B. C.π D.2π
2.函数f（x）＝（ ）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
题型三 正切函数的单调性及应用
角度1 求正切函数的单调区间
【例3】 求函数y＝tan（－x＋）的单调区间.
通性通法
求函数y＝Atan（ωx＋φ）（A，ω，φ都是常数）的单调区间的方法
（1）若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都单调递增，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋（k∈Z），求得x的范围即可；
（2）若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan（ωx＋φ）转化为y＝Atan[－（－ωx－φ）]＝－Atan（－ωx－φ），即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可.
角度2 比较大小
【例4】 不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）tan 与tan ；
（2）tan（－）与tan（－）.
通性通法
运用正切函数单调性比较大小的方法
（1）运用函数的周期性或诱导公式将所求角化到同一单调区间内；
（2）运用正切函数单调性比较大小关系.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝3tan（－）.
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）试比较f（π）与f（）的大小.
1.函数y＝tan（2x＋）的最小正周期为（ ）
A.2π B.π
C. D.
2.当x∈时，函数y＝tan｜x｜的图象（ ）
A.关于原点对称 B.关于y轴对称
C.关于x轴对称 D.无法确定
3.函数y＝－2＋tan（x＋）的单调递增区间是（ ）
A.（2kπ－，2kπ＋），k∈Z
B.（2kπ－，2kπ＋），k∈Z
C.（kπ－，kπ＋），k∈Z
D.（kπ－，kπ＋），k∈Z
4.函数y＝的定义域为 .
5.比较大小：tan tan .
5.4.3 正切函数的性质与图象
【基础知识·重落实】
知识点
自我诊断
1.CD
2.
解析：因为3x≠kπ＋，k∈Z，所以x≠π＋，k∈Z.
3.[0，1] 解析：y＝tan x在x∈上单调递增，所以tan 0≤y≤tan ，0≤y≤1.
4.，k∈Z
解析：令kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，即函数y＝tan的单调增区间是，k∈Z.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1） （2）[－1，3＋2] 解析：（1）由－≠＋kπ，k∈Z，得x≠－－4kπ，k∈Z，即函数的定义域为{x｜x≠－－4kπ，k∈Z}.
（2）令u＝tan x，∵｜x｜≤，∴由正切函数的图象知u∈[－，]，∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]，∵二次函数y＝u2－2u＝（u－1）2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，∴当u＝1时，ymin＝－1，当u＝－时，ymax＝3＋2，∴原函数的值域为[－1，3＋2].
跟踪训练
1.（－3，] 解析：函数y＝3tan（π＋x）＝3tan x，因为正切函数在上单调递增，所以－3＜y≤，所以值域为（－3，].
2.
解析：由题意得所以函数的定义域是{x｜kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z}.
【例2】 （1）D （2）D 解析：（1）依题意T＝＝1，ω＝π，所以f（x）＝tan πx.所以f＝tan ＝.故选D.
（2）f（－x）＝｜tan（－2x）｜＝｜tan 2x｜＝f（x），所以f（x）＝｜tan 2x｜为偶函数，T＝.
跟踪训练
1.A 函数f（x）＝tan（ωx＋φ）的最小正周期T＝，直接利用公式，可得T＝.
2.A 要使f（x）有意义，必须满足即x≠kπ＋，且x≠（2k＋1）π（k∈Z），∴函数f（x）的定义域关于原点对称.又f（－x）＝＝－＝－f（x），∴f（x）＝为奇函数.
【例3】 解：y＝tan（－x＋）＝－tan（x－），
由kπ－＜x－＜kπ＋（k∈Z），
得2kπ－＜x＜2kπ＋（k∈Z），
∴函数y＝tan（－x＋）的单调递减区间是（2kπ－，2kπ＋）（k∈Z），无单调递增区间.
【例4】 解：（1）因为tan＝tan，tan＝tan＝tan（－），
又－＜－＜0＜＜，y＝tan x在（－，）上单调递增，
所以tan（－）＜tan，
即tan＜tan.
（2）因为tan（－）＝－tan ，
tan（－）＝－tan ，
又0＜＜＜，y＝tan x在［0，）上单调递增，所以tan ＞tan ，
所以－tan ＜－tan ，
即tan（－）＜tan（－）.
跟踪训练
解：（1）因为f（x）＝3tan（－）＝－3tan（－），
所以T＝＝＝4π.
由kπ－＜－＜kπ＋（k∈Z），
得4kπ－＜x＜4kπ＋（k∈Z）.
所以f（x）的单调递减区间为（4kπ－，4kπ＋）（k∈Z）.
（2）f（π）＝3tan（－）＝3tan（－）＝－3tan ，
f（）＝3tan（－）＝3tan（－）＝－3tan ，
因为0＜＜＜，y＝tan x在（0，）上单调递增，所以tan ＜tan .
所以f（π）＞f（）.
随堂检测
1.C T＝＝.
2.B 函数y＝tan｜x｜，x∈是偶函数.其图象关于y轴对称.故选B.
3.A 由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.
4.（k∈Z）
解析：由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈［kπ－，kπ＋）（k∈Z）.
5.＞ 解析：因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0＜＜＜，y＝tan x在（0，）内单调递增，所以tan ＜tan ，即tan ＜tan .
4 / 4(共61张PPT)
5.4.3
正切函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.能够借助单位圆中的正切线画出函数 y ＝tan x 的图
象 数学抽象、
直观想象
2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、
单调性.并能利用其性质解决相关问题 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们知道正切是正弦与余弦的比值，那么如何求正切函数的周期
和单调性？正切函数的图象有什么特点？本节课就研究正切函数的性
质与图象.
【问题】 （1）前面我们学习了正弦函数的图象与性质，余弦函数
的图象与性质，回想一下，我们是如何得到正弦函数图象与余弦函数
图象的？
（2）类比正弦函数图象和余弦函数图象的学习过程，对于正切函数
的图象是否适用？
知识点 正切函数的图象与性质
解析式 y ＝tan x
图象
定义域
值域 R
解析式 y ＝tan x
最小 正周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 在区间 上单调递增
对称性
提醒 （1）正切函数在定义域上不具备单调性，在每一个单调区间
内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，无
单调递减区间，没有最大值和最小值；（2）画正切函数图象常用三
点两线法：“三点”是指点 ，（0，0）， ，“两
线”是指直线 x ＝－ 和 x ＝ ，大致画出正切函数在 上的
简图后向左、向右扩展即得正切曲线.
1. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 正切函数的定义域和值域都是R
B. 正切函数在R上是递增的
C. 正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心
D. 正切函数的最小正周期为π
解析：因为3 x ≠ k π＋ ， k ∈Z，所以 x ≠ π＋ ， k ∈Z.
3. 函数 y ＝tan x ， x ∈ 的值域是 .
解析： y ＝tan x 在 x ∈ 上单调递增，所以tan 0≤ y ≤tan ，
0≤ y ≤1.
[0，1]
4. 函数 y ＝tan 的单调增区间是 ， k
.
解析：令 k π－ ＜ x － ＜ k π＋ ， k ∈Z，得 k π－ ＜ x ＜ k π＋
， k ∈Z，即函数 y ＝tan 的单调增区间是 ， k ∈Z.
， k
∈Z
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正切函数的定义域及值域
【例1】 （1）函数 y ＝tan 的定义域为 ；
解析： 由 － ≠ ＋ k π， k ∈Z，得 x ≠－ －4 k π， k
∈Z，即函数的定义域为{ x ｜ x ≠－ －4 k π， k ∈Z}.
（2）函数 y ＝tan2 x －2tan x 的值域为
.
解析： 令 u ＝tan x ，∵｜ x ｜≤ ，∴由正切函数的图象知
u ∈[－ ， ]，∴原函数可化为 y ＝ u2－2 u ， u ∈[－ ，
]，∵二次函数 y ＝ u2－2 u ＝（ u －1）2－1图象开口向上，
对称轴方程为 u ＝1，∴当 u ＝1时， ymin＝－1，当 u ＝－
时， ymax＝3＋2 ，∴原函数的值域为[－1，3＋2 ].
[－1，3＋2
]
通性通法
1. 求正切函数定义域的方法
（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的
一般要求外，还要保证正切函数 y ＝tan x 有意义，即 x ≠ ＋
k π， k ∈Z. 而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图
象求解；
（2）求正切型函数 y ＝ A tan（ω x ＋φ）（ A ≠0，ω＞0）的定义域
时，要将“ω x ＋φ”视为一个“整体”.令ω x ＋φ≠ k π＋ ，
k ∈Z，解得 x .
2. 求正切函数值域的方法
（1）对于 y ＝ A tan（ω x ＋φ）的值域，可以把ω x ＋φ看成整体，
结合图象，利用单调性求值域；
（2）对于与 y ＝tan x 相关的二次函数，可以把tan x 看成整体，利用
配方法求值域.
【跟踪训练】
1. 函数 y ＝3tan（π＋ x ），－ ＜ x ≤ 的值域为 （－3， ] .
解析：函数 y ＝3tan（π＋ x ）＝3tan x ，因为正切函数在
上单调递增，所以－3＜ y ≤ ，所以值域为（－3， ].
（－3， ]
2. 函数 y ＝lg（ －tan x ）的定义域是 .
解析：由题意得所以函数的定义域是
.
题型二 正切函数的奇偶性、周期性
【例2】 （1）若 f （ x ）＝tan ω x （ω＞0）的周期为1，则 f ＝
（ ）
解析： 依题意 T ＝ ＝1，ω＝π，所以 f （ x ）＝tan π x .所以 f ＝tan ＝ .故选D.
（2）函数 f （ x ）＝｜tan 2 x ｜是（ ）
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
解析： f （－ x ）＝｜tan（－2 x ）｜＝｜tan 2 x ｜＝ f （ x ），所
以 f （ x ）＝｜tan 2 x ｜为偶函数， T ＝ .
通性通法
正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略
（1）一般地，函数 y ＝ A tan（ω x ＋φ）的最小正周期为 T ＝ ，
常常利用此公式来求周期；
（2）判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点
对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断 f （－ x ）
与 f （ x ）的关系.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝tan（4 x ＋ ）的最小正周期为（ ）
C. π D. 2π
解析： 函数 f （ x ）＝tan（ω x ＋φ）的最小正周期 T ＝ ，
直接利用公式，可得 T ＝ .
2. 函数 f （ x ）＝ （ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 是非奇非偶函数
解析： 要使 f （ x ）有意义，必须满足即 x
≠ k π＋ ，且 x ≠（2 k ＋1）π（ k ∈Z），∴函数 f （ x ）的定义域
关于原点对称.又 f （－ x ）＝ ＝－ ＝－ f （ x ），
∴ f （ x ）＝ 为奇函数.
题型三 正切函数的单调性及应用
角度1 求正切函数的单调区间
【例3】 求函数 y ＝tan（－ x ＋ ）的单调区间.
解： y ＝tan（－ x ＋ ）＝－tan（ x － ），
由 k π－ ＜ x － ＜ k π＋ （ k ∈Z），
得2 k π－ ＜ x ＜2 k π＋ （ k ∈Z），
∴函数 y ＝tan（－ x ＋ ）的单调递减区间是（2 k π－ ，2 k π＋ ）
（ k ∈Z），无单调递增区间.
通性通法
求函数 y ＝ A tan（ω x ＋φ）（ A ，ω，φ都是常数）的单调区间的
方法
（1）若ω＞0，由于 y ＝tan x 在每一个单调区间上都单调递增，故可
用“整体代换”的思想，令 k π－ ＜ω x ＋φ＜ k π＋ （ k
∈Z），求得 x 的范围即可；
（2）若ω＜0，可利用诱导公式先把 y ＝ A tan（ω x ＋φ）转化为 y ＝ A
tan[－（－ω x －φ）]＝－ A tan（－ω x －φ），即把 x 的系数化
为正值，再利用“整体代换”的思想，求得 x 的范围即可.
角度2 比较大小
【例4】 不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）tan 与tan ；
解： 因为tan ＝tan ，tan ＝tan ＝tan（－ ），
又－ ＜－ ＜0＜ ＜ ， y ＝tan x 在（－ ， ）上单调
递增，
所以tan（－ ）＜tan ，即tan ＜tan .
（2）tan（－ ）与tan（－ ）.
解： 因为tan（－ ）＝－tan ，tan（－ ）＝－tan ，
又0＜ ＜ ＜ ， y ＝tan x 在［0， ）上单调递增，所以tan ＞
tan ，所以－tan ＜－tan ，
即tan（－ ）＜tan（－ ）.
通性通法
运用正切函数单调性比较大小的方法
（1）运用函数的周期性或诱导公式将所求角化到同一单调区间内；
（2）运用正切函数单调性比较大小关系.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝3tan（ － ）.
（1）求 f （ x ）的最小正周期和单调递减区间；
解： 因为 f （ x ）＝3tan（ － ）＝－3tan（ － ），
所以 T ＝ ＝ ＝4π.
由 k π－ ＜ － ＜ k π＋ （ k ∈Z），
得4 k π－ ＜ x ＜4 k π＋ （ k ∈Z）.
所以 f （ x ）的单调递减区间为（4 k π－ ，4 k π＋ ）（ k
∈Z）.
（2）试比较 f （π）与 f （ ）的大小.
解： f （π）＝3tan（ － ）＝3tan（－ ）＝－3tan ，
f （ ）＝3tan（ － ）＝3tan（－ ）＝－3tan ，
因为0＜ ＜ ＜ ， y ＝tan x 在（0， ）上单调递增，所以tan
＜tan .
所以 f （π）＞ f （ ）.
1. 函数 y ＝tan（2 x ＋ ）的最小正周期为（ ）
A. 2π B. π
解析： T ＝ ＝ .
2. 当 x ∈ 时，函数 y ＝tan｜ x ｜的图象（ ）
A. 关于原点对称 B. 关于 y 轴对称
C. 关于 x 轴对称 D. 无法确定
解析： 函数 y ＝tan｜ x ｜， x ∈ 是偶函数.其图象关于
y 轴对称.故选B.
3. 函数 y ＝－2＋tan（ x ＋ ）的单调递增区间是（ ）
解析： 由－ ＋ k π＜ x ＋ ＜ ＋ k π， k ∈Z，得－ ＋2 k π＜
x ＜ ＋2 k π， k ∈Z.
4. 函数 y ＝ 的定义域为 （ k ∈Z） .
解析：由题可得tan x ＋1≥0，即tan x ≥－1，解得 x ∈ （ k ∈Z）.
（ k ∈Z）
5. 比较大小：tan tan .
解析：因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0＜ ＜ ＜ ， y ＝
tan x 在（0， ）内单调递增，所以tan ＜tan ，即tan ＜tan
.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝ tan ， x ∈R的最小正周期为（ ）
B. π
C. 2π D. 4
解析： T ＝ ＝2π.故选C.
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2. 函数 f （ x ）＝－2tan（2 x ＋ ）的定义域是（ ）
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解析： 由2 x ＋ ≠ ＋ k π， k ∈Z，得 x ≠ ＋ ， k ∈Z. ∴函
数 f （ x ）＝－2tan（2 x ＋ ）的定义域是{ x ∈R｜ x ≠ ＋ ， k
∈Z}.
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3. 函数 y ＝ （－ ≤ x ≤ ，且 x ≠0）的值域为（ ）
A. [－1，1] B. （－∞，－1]∪[1，＋∞）
C. （－∞，1] D. [－1，＋∞）
解析： 因为－ ≤ x ≤ ，且 x ≠0，所以－1≤tan x ＜0或0＜tan
x ≤1，则 ≤－1或 ≥1.
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4. 函数 f （ x ）＝tan 的单调递增区间是（ ）
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解析： 由－ ＋ k π＜ x ＋ ＜ ＋ k π， k ∈Z，得－ ＋ k π＜ x
＜ ＋ k π， k ∈Z，故 f （ x ）的单调递增区间是
， k ∈Z.
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5. （多选）函数 y ＝tan 的性质有（ ）
B. 为奇函数
C. 以π为最小正周期
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解析： 令 x ∈ ，则 ∈ ，所以 y ＝tan 在
上单调递增，所以A正确；tan ＝－tan ，故 y ＝tan 为奇
函数，所以B正确； T ＝ ＝2π，所以C不正确；由 ≠ ＋ k π， k
∈Z，得函数的定义域为{ x ｜ x ≠π＋2 k π， k ∈Z}，所以D不正确.
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6. （多选）与函数 y ＝tan 的图象不相交的一条直线是
（ ）
解析： 令2 x － ＝ ＋ k π， k ∈Z，得 x ＝ ＋ ， k ∈Z，
所以直线 x ＝ ＋ ， k ∈Z与函数 y ＝tan 的图象不相
交，所以令 k ＝－1， x ＝－ ； k ＝0， x ＝ .
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7. 已知函数 f （ x ）＝tan x ＋ ，若 f （ a ）＝5，则 f （－ a ）
＝ .
解析：易知函数 f （ x ）为奇函数，故 f （ a ）＋ f （－ a ）＝0，则 f
（－ a ）＝－ f （ a ）＝－5.
－5
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8. 函数 y ＝tan（π－ x ）， x ∈ 的值域为 （－ ，1） .
解析： y ＝tan（π－ x ）＝－tan x ，在 上单调递减，所以
值域为（－ ，1）.
（－ ，1）
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9. 比较大小：tan 4 tan 3.
解析：∵ ＜3＜π＜4＜ π， y ＝tan x 在（ ， π）上单调递增，
∴tan 4＞tan 3.
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10. 画出函数 y ＝｜tan x ｜＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的单调
区间、最小正周期.
解：因为 y ＝｜tan x ｜＋tan x ＝
画出函数 y ＝｜tan x ｜＋tan x
的图象，如图所示，则函数的单调递增区间是 ， k
∈Z，最小正周期是π.
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11. tan x ≥1的解集为（ ）
解析： ∵tan x ≥1，由图象（图略）知， ＋ k π≤ x ＜ ＋ k
π， k ∈Z.
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12. 已知函数 f （ x ）＝tan ω x （ω＞0）的图象的相邻两支截直线 y ＝
所得线段长为 ，则 f ＝（ ）
A. 0
C. －1
解析： 由题意，可知 T ＝ ，所以ω＝ ＝4，即 f （ x ）＝tan 4
x ，所以 f ＝tan ＝tan π＝0，故选A.
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13. 设定义在区间 上的函数 y ＝6 cos x 的图象与 y ＝5tan x 的图
象交于点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1与函数 y
＝ sin x 的图象交于点 P2，则线段 P1 P2的长为 .
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解析：画出函数 y ＝6 cos x ， y ＝5tan x ， y ＝ sin x 在
上的图象，如图所示.观察图象可知，线段
P1 P2的长即为满足6 cos x ＝5tan x 时的 x 对应的 sin x
的值，所以6 cos x ＝5tan x ＝5· ，所以6 cos 2 x ＝
5 sin x .因为 sin 2 x ＋ cos 2 x ＝1， x ∈ ，所以
0＜ sin x ＜1，则6 sin 2 x ＋5 sin x －6＝0，所以 sin x ＝ （负值舍
去），故线段 P1 P2的长为 .
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14. 在同一平面直角坐标系中，画出函数 y ＝ sin x 和 y ＝tan x ， x
∈[0，2π]的图象，依据图象回答以下问题：
（1）写出这两个函数图象的交点坐标；
（1）这两个函数图象的交点坐标为（0，0），（π，0），（2π，0）.
解：作出函数 y ＝ sin x 和函数 y ＝tan x
在 x ∈[0，2π]的图象（如图）.
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（2）写出使tan x ＞ sin x 成立的 x 的取值范围；
解：要使tan x ＞ sin x 成立，则 x 的取值范围为（0， ）∪
（π， π）.
（3）写出使tan x ＝ sin x 成立的 x 的取值范围；
解：要使tan x ＝ sin x 成立，则 x 的取值范围是{ x ｜ x ＝0或
x ＝π或 x ＝2π}.
（4）写出使tan x ＜ sin x 成立的 x 的取值范围；
解：要使tan x ＜ sin x 成立，则 x 的取值范围是（ ，π）∪
（ π，2π）.
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（5）写出使这两个函数有相同的单调性的区间.
解：使两函数具有相同的单调性区间为［0， ）和（ π，
2π］，它们在上述两区间上都单调递增.
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15. 下列图形分别是① y ＝｜tan x ｜；② y ＝tan x ；③ y ＝tan（－
x ）；④ y ＝tan｜ x ｜在 x ∈（－ ， ）内的大致图象，那么由
a到d对应的函数关系式应是（ ）
A. ①②③④ B. ①③④②
C. ③②④① D. ①②④③
解析： y ＝tan（－ x ）＝－tan x 在（－ ， ）上单调递减，
只有图象d符合，即d对应③.
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16. 已知函数 f （ x ）＝ x2＋2 x tan θ－1，其中θ≠ ＋ k π， k ∈Z.
（1）当θ＝－ ， x ∈[－1， ]时，求函数 f （ x ）的最大值与
最小值；
解： 当θ＝－ 时， f （ x ）＝ x2－ x －1＝ － .
∵ x ∈[－1， ]，且 f （ x ）的图象开口向上，
∴当 x ＝ 时， f （ x ）min＝－ ；
当 x ＝－1时， f （ x ）max＝ .
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（2）求使 y ＝ f （ x ）在区间[－1， ]上是单调函数的θ的取值
范围.
解： 函数 f （ x ）的图象的对称轴为直线 x ＝－tan θ.
∵ f （ x ）在区间[－1， ]上是单调函数，
∴－tan θ≥ 或－tan θ≤－1，
即tan θ≤－ 或tan θ≥1，
∴－ ＋ k π＜θ≤－ ＋ k π或 ＋ k π≤θ＜ ＋ k π， k∈Z，
故θ的取值范围是 ∪ ，
k ∈Z.
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谢 谢 观 看！
